3 day so

Phơng pháp quy nạp toán học Việc sử dụng phơng pháp quy nạp toán học để chứng minh fn có tính chất K với n ∈ N ta thực hiện theo các bớc sau: Bớc 1: Bớc cơ sở: Chứng tỏ với n = 1 thì f1

chơng 3 − dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

A Kiến thức cần nhớ

I Phơng pháp quy nạp toán học

Việc sử dụng phơng pháp quy nạp toán học để chứng minh f(n)

có tính chất K với n ∈ N ta thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 1: (Bớc cơ sở): Chứng tỏ với n = 1 thì f(1) thoả mãn tính chất

K

Bớc 2: (Bớc quy nạp): Giả sử số hạng f(k) thoả mãn tính chất K.

Ta đi chứng minh số hạng f(k + 1) cũng thoả mãn tínhchất K

Một dãy số thờng đợc xác định bằng một trong các cách:

Cách 1: Dãy số xác định bởi một công thức cho số hạng tổng quát

u n

Thí dụ 1: Dãy số (un) xác định bởi un = 2n + 1 Khi

đó, nếu viết dãy số này dới dạng khai triển, ta đợc 3, 5, 7,

…, 2n + 1, …

Cách 2: Dãy số xác định bởi một công thức truy hồi (hay còn nói

cho dãy số bằng quy nạp), tức là:

 Trớc tiên, cho số hạng đầu (hoặc vài số hạng đầu)

 Cho công thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hayvài số hạng) đứng trớc nó

Thí dụ 2: Dãy số (vn) xác định bởi:







≥+

v

1vv

1 n 2 n n

2 1

.Khi đó, nếu viết dãy số này dới dạng khai triển, ta đ-ợc:

v1 = 1, v2 = 1, v3 = 2, v4 = 3, v5 = 5, …

Dãy số này đợc gọi là dãy số Phibônaxi.

Cách 3: Dãy số xác định bởi một mệnh đề mô tả các số hạng liên tiếp

của nó.

Thí dụ 3: Cho dãy số (un) với un là chữ số thứ n trongcách viết thập phân của số π, khi đó ta có dãy số:

u1 = 3, u2 = 1, u3 = 4, u4 = 1, u5 = 5, …Trong trờng hợp này ta không tìm đợc công thức biểu thị sốhạng un qua n

3 dãy số tăng, dãy số giảm

Định nghĩa 2:

a Dãy số (un) đợc gọi là dãy số tăng nếu ∀n ∈ N* , un < un+1

b Dãy số (u n ) đợc gọi là dãy số giảm nếu ∀n ∈ N* , un > un+1.Vậy, ta thấy:

uu

(u, d là hai số thực cho trớc) đợc gọi là cấp số cộng

 u là số hạng đầu tiên

 d là công sai

Đặc biệt khi d = 0 thì (un) là dãy số trong đó tất cả các số hạng đềubằng nhau

(u, q là hai số thực khác 0 cho trớc) đợc gọi là cấp số nhân

1

qn

−

−

B Phơng pháp giải các dạng toán liên quan

n +

.(1)

Từ các chứng minh trên suy ra (*) đúng với mọi số nguyên dơngn

k +

+ (3k +2)

=

2

4k6kk

3 2+ + + =

2

4k7k

3 2+ + =

2

)4k3)(

1k

=

2

]1)1k(3)[

1k

, đpcm

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi số nguyên dơngn

 Nhận xét: Nh vậy, ví dụ trên đã minh hoạ cách sử dụng phơng

pháp quy nạp toán học để chứng minh một mệnh

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi số nguyên n ≥ 2

Ví dụ 2: Cho tổng Sn =

2.1

1 +

)1n(n

1

3.2

1

+++ với n ∈ Ơ*

S1 =

2.1

1 = 1 −

2

1 = 1 −

11

1+ ,

S2 =

2.1

1 + 3.2

1 = 1 −

2

1 + 2

1

−3

1 = 3

2 = 1 −

12

1+ ,

S3 =

4

3 = 1 −

13

1+ .

b Dự đoán công thức tính tổng Sn là:

Sn = 1 −

1n

1+ .(*)

Ta đi chứng minh dự đoán trên bằng quy nạp nh sau:

 Với n = 1, ta thấy (*) do kết quả từ câu a)

 Giả sử (*) đúng với n = k, tức là:

Sk = 1 −

1k

1+ .

 Ta sẽ đi chứng minh (*) cũng đúng với n = k + 1, thật vậy:

Sk + 1 = Sk +

)2k)(

1k(

1++ = 1 − k 1

1+ + (k 1)(k 2)

1++

= 1 +

)2k)(

1k(

2k1++

−

−

= 1 −

1)1k(

1++ , đpcm.

Từ các chứng minh trên suy ra (*) đúng với mọi số nguyên dơngn

 Nhận xét: Ví dụ trên đã minh hoạ một công việc rất hay gặp

khi thực hiện các bài toán về dãy số, đó là "Đoán

nhận công thức tổng quát của dãy số và chứng minh công thức đó".

Thí dụ 2 Chứng minh rằng 2 22 23 2n 22n1

3

1)21(

)21)(

21)(

21

1521

1= + = = − nên công thức đúng

 Giả sử công thức đúng với n = k, tức là:

)12(3

1)

21( + 2k+1 2k+1− = 2k+2− .Vậy, công thức (*) đúng với mọi n ∈ N*

Từ đó, suy ra ta cần chứng minh:

1 n 1

3

1)12(3

2 Các em học sinh khác, sau khi tham khảo lời giải trên có thể thấyngay rằng nếu không dự đoán đợc công thức cho Fn thì cũng cóthể chứng minh bất đẳng thức bằng phơng pháp quy nạp mộtcách trực tiếp

Thí dụ 3 Giả sử a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Chứng minh rằng với bất kì số nguyên n > 1 thì:

−+

x

zz

yy

x2 2 2

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho các số dơng, ta có:

anb(a – b) + bnc(b – c) + cna(c – a) ≥ 0 đợc chứng minh.

 Giả sử bất đẳng thức đúng tới n Không mất tính tổng quát,

ta giả sử c ≤ b ≤ a Theo giả thiết quy nạp, ta có:

= anb(a – b)2 + cna(c – a)(c – b) ≥ 0

Vậy bất đẳng thức đúng với n + 1

Theo nguyên lý quy nạp bất đẳng thức đã cho đúng với mọi n >

1

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

a = b = c hay ∆ABC đều

Đ2 D ãy sốDạng toán 1: Mở đầu về dãy số

b Xác định xem a là số hạng thứ mấy của dãy số Câu hỏi này

đợc thực hiện bằng việc giải phơng trình ẩn n

…

Thí dụ 1 Cho dãy số (un) với un =

n

1)1(− n+ .

a Tìm u9, u12, u2n, u2n + 1

b Tìm xem 0 là số hạng thứ mấy của dãy số ?

 Giải

a Ta có:

u9 =

9

1)1(− 9+ = 0; u

12 =

12

1)1(− 12+ =

61

u2n =

n

1)1(− n+ =

n

1

; u2n + 1 =

1n

1)1( n 1

9u,15u

1 n 2 n n

2 1

a Hãy viết 6 số hạng đầu của dãy số

b Tìm xem−3 là số hạng thứ mấy của dãy số ?

Ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:

Cách 1: Sử dụng biến đổi đại số để thu gọn và đơn giản biểu

 Nhận xét: Nh vậy, ở thí dụ trên chúng ta không cần thực hiện

việc dự đoán công thức cho un

Thí dụ 2 Cho dãy số (un) xác định nh sau:







≥+

=

=

uu

1u

1 n n

=

SS

uS

n 1 n n

1 1

1n

1

+ = n 1

n

+ .Vậy, ta có Sn =

1n

n

+ .

Dạng toán 3: Sử dụng phơng pháp quy nạp chứng

minh dãy số (u n ) thoả mãn tính chất K

Phơng pháp áp dụng

Ta thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 1: (Bớc cơ sở): Chứng minh rằng số hạng u1 thoả mãn tính

chất K

Bớc 2: (Bớc quy nạp): Giả sử số hạng uk thoả mãn tính chất K Ta

đi chứng minh số hạng uk+1 cũng thoả mãn tính chất K

Bớc 3: Kết luận dãy số (un) thoả mãn tính chất K

Thí dụ 1 Cho dãy số (un) với un = n3 + 11n Chứng minh rằng

mọi số hạng của dãy số này đều chia hết cho 6.

Thật vậy:

uk + 1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 + 11k + 11 = (k3 + 11k) + 3k(k + 1) + 12

suy ra uk + 1  6 bởi (k3 + 11k)  6, 3k(k + 1)  6 và 12  6

Vậy, mọi số hạng của dãy số (un) đều chia hết cho 6

Thí dụ 2 Cho dãy số (un) xác định nh sau:







≥+

2u,1u

1 n 2 n n

2 1

=

1 k

4

=

1 k

Thí dụ 3 *Cho dãy số nguyên (an) thoả mãn an+2 + an − 1 = 2(an+1

+ an) Chứng tỏ rằng tồn tại số nguyên M không phụ

 Giải

Đặt un = an+2 − an+1− an, khi đó với giả thiết ta có ngay:

u − + 4un − 1.an + 4 2

na = 2

1 n

u − + 4(an+1 − an − an − 1).an + 4 2

n

a = 2

1 n

u− − 4an − 1.an.Vậy 2

 Nhận xét: Cách giải trên đợc trình bày sau khi đã thực hiện

sinh có thể nhận thấy đợc dãy un theo kiểu đặt vấn

u − 4an+1.an = 2

1 n

u − − 4an.an − 1

⇔ 2 n

u = 2

1 n

u − + 4an+1.an− 4an.an − 1 gt

⇔ u2n = 2

1 n

u− + 4(an+1− an − an − 1)an + 4 2

n

a (2)

Tới đây, đặt un − 1 = an+1− an − an − 1 thì ta đợc:

2 n

u = (un − 1 + 2an)2 ⇔ un = un − 1 + 2an

⇔ an+2− an + 1− an = an+1 − an − an − 1 + 2an

⇔ an+2 + an − 1 = 2(an+1 + an),

đó chính là giả thiết của bài toán

Nh vậy, với phép nháp trên, chúng ta đã chỉ đợc ra dãy

un thoả mãn điều kiện đầu bài

Dạng toán 4: Xét tính tăng, giảm của một dãy số (u n )

Phơng pháp áp dụng

Ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:

Cách 1: Thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Lập hiệu H = un + 1 − un, từ đó xác định dấu của

H

Bớc 2: Khi đó:

 Nếu H > 0 với ∀n ∈ N* thì dãy số (un) tăng

 Nếu H < 0 với ∀n ∈ N* thì dãy số (un) giảm

Cách 2: Nếu un > 0 với ∀n ∈ N* ta có thể thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Lập tỉ số P =

n

1 n

u

u +

, từ đó so sánh P với 1

Bớc 2: Khi đó:

 Nếu P > 1 với ∀ n ∈ N* thì dãy số (un) tăng

 Nếu P < 1 với ∀n ∈ N* thì dãy số (un) giảm

Thí dụ 1 Xét tính tăng, giảm của dãy số (un) với un = nn

Cách 2: Dễ thấy un > 0 với ∀n ∈ N*, xét tỉ số:

P =

n

1 n

Vậy, dãy (un) giảm

Thí dụ 2 Xét tính tăng, giảm của dãy số (un), biết:







≥+

=

=

uu

1u

1 n n

 Chú ý: Đối với bất đẳng thức chứa các toán tử mang tính đặc

thù trong nhiều trờng hợp chúng ta sử dụng tính đơn

điệu của dãy số để chứng minh, cụ thể với dãy số {un}

để chứng minh uk≤u0ta đi chứng minh dãy {un} đơn

uk + 1 = 4uk− 1 =

3

)12

(

4 2k+1+ − 1 =

3

34

22k+1+2+ − =

31

22k+3+ .

 Mäi d·y sè (un) gi¶m lu«n bÞ chÆn trªn bëi u1.

 Mäi d·y sè (un) t¨ng lu«n bÞ chÆn díi bëi u1

ThÝ dô 1 XÐt tÝnh t¨ng gi¶m vµ bÞ chÆn cña c¸c d·y sè (un),

biÕt:

a un =

n

1sin)1(− n−1 b un = n+1− n

1+

un + 1 = n+2− n+1 = n+21+ n+1 < n 1 n

1+

+ = unVËy, d·y (un) gi¶m

MÆt kh¸c, ta cã:

0 <

n1n

1++ < 1 ⇒ (un) bÞ chÆn.

Thí dụ 2 Chứng tỏ rằng dãy số (un) với un =

 Sử dụng bất đẳng thức Côsi thì:

un C≥ôsi2 n.n1 = 2 ⇒ (un) bị chặn dới bởi 2

 Không tồn tại số M để un ≤ M, ∀n ∈ N* nên (un) không bị chặntrên

Vậy, dãy (un) bị chặn dới nhng không bị chặn trên

Thí dụ 3 Chứng tỏ rằng dãy số (un) với un =

1n

1n

 Ta đi chứng minh un ≤ 1 với ∀n ∈ N* bằng việc sử dụng biến

đổi đại số, cụ thể:

1n

1n

1

+

3.2

1n

1

+

− = 1 −

1n

1

+(1)

=

1n

cộng

Phơng pháp áp dụng

Câu hỏi thờng đợc đặt ra là:

" Cho ba số a, b, c lập thành cấp số cộng, chứng minh tính chất K "

khi đó, ta thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 1: Từ giả thiết a, b, c lập thành một cấp số cộng, ta đợc:

a + c = 2b hoặc biểu thức tơng đơng a − b = b − c =

Thí dụ 2 Cho (an) là một cấp số cộng Chứng minh rằng:

ThÝ dô 2 Cho ba sè d¬ng a, b, c lËp thµnh mét cÊp sè céng.

Chøng minh r»ng ba sè

cb

−

− +

ba

ba

−

−

=

ba

cb

−

− +

ba

ba

−

− =

ba

bacb

−

−+

−

=

)ca(21

ca

−

− =

ac

2

Vậy, ba số

cb

Dạng toán 3: Tìm điều kiện của tham số để bộ số lập

thành một cấp số cộng

Phơng pháp áp dụng

a Để ba số a, b, c lập thành cấp số cộng, điều kiện là:

a + c = 2b, bài toán đợc chuyển về việc giải phơng trình

b Để bốn số a, b, c, d lập thành cấp số cộng, điều kiện là:







=+

=+

c2db

bca

bài toán đợc chuyển về việc giải hệ phơng trình

Thí dụ 1 Tìm x để ba số x2 + 1, x − 2, 1 − 3x lập thành một

cấp số cộng.

 Giải

Để ba số x2 + 1, x − 2, 1 − 3x lập thành một cấp số cộng, điềukiện là:

(x2 + 1) + (1 − 3x) = 2(x − 2)

⇔ x2 − 5x + 6 = 0 ⇔ x = 2 ∨ x = 3

Vậy, với x = 2 hoặc x = 3 thoả mãn điều kiện đầu bài

 Chú ý: Một bài toán rất quen thuộc đối với phơng trình trùng

phơng là:

" Tìm điều kiện của tham số sao cho phơng trình:

ax3 + bx2 + cx + d = 0, với a ≠ 0(1)

có 3 nghiệm x1, x2, x3 lập thành cấp số cộng "

Ta thực hiện nh sau:

Điều kiện cần: Giả sử phơng trình có ba nghiệm phân biệt thành

định phơng trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt

Thí dụ 2 Xác định m để phơng trình:

x3 − 3x2 − 9x + m = 0 (1)

Điều kiện đủ: Với m=11, ta đợc:

1 x

12 1 x

Bài toán trên có thể đợc giải bằng phơng pháp hằng số bất

2 2 0 0

xdxm

dx9

x3

32d

1

x0

Vậy, với m = 11 thoả mãn điều kiện đầu bài

2 Một bài toán rất quen thuộc đối với phơng trình trùng phơng là:

" Tìm điều kiện của tham số để phơng trình

có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng"

Khi đó, ta thực hiện nh sau:

c

0a/b

0'

(3)

và khi đó bốn nghiệm của (1) là - t2 , - t1, t1, t2

Bốn nghiệm trên lập thành cấp số cộng khi:

−

−

=+

−

1 2

1

1 1

2

t2tt

t2tt

⇔ t2 =3 t1 ⇔ t2 = 9t1 (4) Theo định lí Viét ta có:

a/ct

t

a/bt

t

2

1

2 1

a/c)t

9

.(

t

a/bt9

t

1 1

ct

a10

bt

2 1

1

a10

Kết hợp (5) và (3) nhận đợc điều kiện của tham số

 Chú ý: Các em học sinh sẽ thấy đợc ví dụ trong phần "Các bài

tập chọn lọc".

Dạng toán 4: Tìm các phần tử của một cấp số cộng

(u n )

Phơng pháp áp dụng

Thông thờng bài toán đợc chuyển về xác định u1 và công sai d

Thí dụ 1 Cho cấp số cộng (un) thoả mãn u2− u3 + u5 = 10 và u1

+ u6 = 17

a Tìm số hạng đầu tiên và công sai.

b Tính tổng số của 20 số hạng đầu tiên.

=+

−

17u

u

10uu

u

6 1

5 3 2

=+++

−+

17)du(u

10)du()du()du(

1 1

1 1

=+

17du

10du

1

u1

.Vậy, cấp số cộng (un) có u1 = 1 và d = 3

[2.1 + (20 − 1).3] = 590

1170u

u

60u

u2 12

2 4

15 7

++

=+++

1170)

d11u()du

(

60)d14u()du

(

2 1

2 1

1 1

+

=+

585d

65du14u

30d10u

2 1

2 1 1

−+

−

−

=

585d

65d1030d14)d1030

(

d1030u

2 2

−

−

=

063d36d

d1030u2 1

d

d1030

và5/21d

0uvà3d

1

1

.Vậy, tồn tại hai cấp số cộng (un) có u1 = 0 và d = 3 hoặc u1 = −12

và d =

5

21

thoả mãn điều kiện đầu bài

Thí dụ 3 Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết

tổng của chúng bằng 16 và tổng bình phơng của chúng bằng 84.

 Giải

Gọi d = 2x là công sai, ta có bốn số là a − 3x, a − x, a + x, a + 3x.Khi đó, từ giả thiết ta có:







=++++

−+

−

=++++

−+

−

84)xa()xa()xa()xa

(

16)xa()xa()xa()xa

(

2 2

2 2

=

84x20a

16a

4a

⇔ 





1,3,5,7

7,5,3,1

.Vậy, bốn số cần tìm là 1, 3, 5, 7

 Chú ý: Nếu không biết biểu diễn bốn số dới dạng đối xứng

nh trên thì sẽ phải giải một hệ bậc hai khá phức tạp,

cụ thể:

Gäi d lµ c«ng sai cña cÊp sè céng x, y, z, t tho¶ m·n ®iÒukiÖn ®Çu bµi, ta cã:







=+++

=+++

94tzyx

14tzyx

2 2 2

=++++++

94)dx()dx()dx(x

14)dx()dx()dx(x

2 2

2 2

=+

47dxd6x

7dx

(199 + 3) = 5050

Đ4 C ấp số nhânDạng toán 1: Chứng minh tính chất của một cấp số

nhân

Phơng pháp áp dụng

Câu hỏi thờng đợc đặt ra là:

" Cho ba số a, b, c lập thành cấp số nhân, chứng minh tính chất K "

khi đó, ta thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 1: Từ giả thiết a, b, c lập thành một cấp số nhân, ta đợc:

Dạng toán 2: Chứng minh bộ số lập thành một cấp số

Thí dụ 1 Cho ba số

ab

2

− lập thành một cấp số cộng.

Chứng minh rằng ba số a, b, c lập thành một cấp số nhân.

 Giải

Từ giả thiết ba số

ab

Dạng toán 3: Tìm điều kiện của tham số để ba số

lập thành một cấp số nhân

Phơng pháp áp dụng

a Để ba số a, b, c lập thành cấp số nhân, điều kiện là:

ac = b2, bài toán đợc chuyển về việc giải phơng trình

b Để bốn số a, b, c, d lập thành cấp số nhân, điều kiện là:

2

cbd

bac

,bài toán đợc chuyển về việc giải hệ phơng trình

thoả mãn điều kiện đầu bài

 Chú ý: Một bài toán rất quen thuộc đối với phơng trình bậc

ba là:

" Tìm điều kiện của tham số sao cho phơng trình:

ax3+ bx2 + cx + d = 0, với a ≠ 0

(1)

định phơng trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.

Thí dụ 3 Xác định m để phơng trình:

x3 + 2x2 + (m + 1)x + 2(m + 1) = 0(1)

1m

0x

Vậy, không tồn tại m thoả mãn điều kiện đầu bài

Dạng toán 4: Tìm các phần tử của một cấp số nhân

(u n )

Phơng pháp áp dụng

Thông thờng bài toán đợc chuyển về xác định u1 và công bội q

Thí dụ 1 Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của các cấp số

u

72uu3 5

2 4

.uq

u

72q.uq

u

2 1

72)1q(q.u

2 2 1

2 1

⇒ q =

72

144 = 2 ⇒ u1 =12

Vậy, cấp số nhân (un) có u1 = 12 và q = 2

ThÝ dô 2 Cho cÊp sè nh©n (un) tho¶ m·n u4 − u2 = 72 vµ u5 − u3

= 144

a T×m sè h¹ng ®Çu tiªn vµ c«ng béi

b TÝnh tæng sè cña 10 sè h¹ng ®Çu tiªn

u

72u

u

3 5

2 4

.uq.u

72q.uq.u

2 1

4 1 1

3 1

u

72)qq.(

u

2 4 1

3 1

⇒ 43 2

qq

qq

1

q10

−

− = 12

12

1

q10

−

− = 12.22

12

15ca

6b

=+

=

153c

a

15ca

6b

2 2

6b

3a

VËy, ba sè cÇn t×m lµ 3, 6, 12

ThÝ dô 4 BiÕt r»ng ba sè x, y, z lËp thµnh mét cÊp sè nh©n vµ

ba sè x, 2y, 3z lËp thµnh mét cÊp sè céng T×m c«ng béi cña cÊp sè nh©n.

 Gi¶i

Gäi q lµ c«ng béi cña cÊp sè nh©n

C¸c sè x, 2y, 3z lËp thµnh mét cÊp sè céng, suy ra:

x + 3z = 4y ⇔ x + 3xq2 = 4xq ⇔ 





=+

−

=

01qq

i

¹lo0x

1q

1q

VËy, cÊp sè nh©n cã c«ng béi q = 1 hoÆc q =

3

1

1

q9

−

− = 2

13

S = 100.2100 − (1 + 2 + 22 + … + 299) = 100.2100 −

12

1

2100

−

− =99.2100 + 1

ThÝ dô 2 TÝnh tæng S = 1 + 11 + 111 + … +  

sè ch n

1

1

11 }

Suy ra sn lµ tæng n sè h¹ng ®Çu cña cÊp sè nh©n (un), tøc lµ:

sn =

110

k k

s = ∑

n 1 k

k 1)10(9

k

10 −

9n

2u

1 n n

1

a Chøng minh r»ng (un) bÞ chÆn díi bëi 1.

b Chøng minh r»ng (un) gi¶m Suy ra (un) bÞ chÆn.

2

1

1+ = 1, ®pcm

VËy, ta lu«n cã un > 1, ∀n ∈ N*, tøc lµ (un) bÞ chÆn díi bëi 1

b Ta cã thÓ tr×nh bµy theo hai c¸ch sau:

1− = 0.