Duong thang trong ko gian

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách: Cách 1 Sử dụng công thức: Đờng thẳng d đợc cho bởi: Cách 2 Sử dụng phơng pháp quĩ tích: Điểm Mx; y; z  d khi: AM //ABuuuur uuur  AM tABuuuur uuu

lê hồng đức và nhóm cự môn

hình học 12

P hơng trình đờng thẳng

Bài giảng đợc trình bày cho các em học

sinh bằng việc sử dụng giáo án điện tử

Ngời thực hiện: Lê hồng đức

Điện thoại: 0936546689

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đờng Tô Ngọc Vân Tây Hồ  Hà Nội

Đ 3 Phơng trình đờng thẳng

A bài giảng

Định lý 1: Trong không gian Oxyz, đờng thẳng (d) đi qua điểm

a (d) đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vtcp ar(2;1; 0)

b (d) đi qua hai điểm A(2; 1; 3) và B(3; 1; 5)

 Giải

a Ta có thể lựa chọn một trong hai cách:

Cách 1 (Sử dụng công thức): Đờng thẳng (d) đợc cho bởi:

Cách 2 (Sử dụng phơng pháp quĩ tích): Điểm M(x; y; z)  (d) khi:

AM //auuuur r  AM tauuuur r 

Chú ý: Lời giải trong cách 2 chính là ý tởng để chứng minh

định lí trên

b Ta có thể lựa chọn một trong hai cách:

Cách 1 (Sử dụng công thức): Đờng thẳng (d) đợc cho bởi:

Cách 2 (Sử dụng phơng pháp quĩ tích): Điểm M(x; y; z)  (d) khi:

AM //ABuuuur uuur  AM tABuuuur uuur 

động Viết phơng trình đờng thẳng (d), biết:

a (d) đi qua điểm A(3; 2; 1) và có vtcp ar( 3; 1;

x xa



2

y ya

 = 0 3

z za



2

y ya

 = 0 3

z za



Từ đó, đờng thẳng (d) đi qua hai điểm M1(x1; y1; z1) và M2(x2;

y2; z2), ta có:

(d): 1 1 1 1

Qua M (x ;y ;z )Qua M (x ;y ;z )

�

�

� uuuuuur

a Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau Gọi (d)

là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q)

b Hãy tìm tọa độ của một điểm thuộc (d) và xác định tọa độcủa một vtcp của (d)

c Viết phơng trình tham số và chính tắc của đờng thẳng(d)

Chú ý: Nếu thí dụ trên không có câu b) thì để "Viết phơng

trình tham số và chính tắc của đờng thẳng (d)" ngoài cách giải

nh trong c) chúng ta còn có thể thực hiện theo các cách sau:

Cách 1: Tọa độ các điểm thuộc đờng thẳng (d) thỏa mãn hệ

a Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt

nhau.

b Gọi (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và

(Q) Hãy tìm tọa độ của một điểm thuộc (d) và

xác định tọa độ của một vtcp của (d).

c Viết phơng trình tham số và chính tắc của

đ-ờng thẳng (d).

Thí dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1; 2; 3),B(2; 2; 2), C(4; 1; 1) và D(4; 1; 4)

a Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứdiện

b Viết phơng trình tham số đờng cao tứ diện ABCD hạ từ D

c Tìm tọa độ hình chiếu H của D trên mặt phẳng (ABC)

 Ba véctơ ABuuur, ACuuur và ADuuur không đồng phẳng

Vậy, bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện

b Gọi (d) là đờng cao của tứ diện hạ từ D, ta có:

c Tìm tọa độ hình chiếu H của D trên mặt phẳng

= (7; 7; 7) chọn u

r(1; 1; 1)

Từ đó, ta có:

(d):

QuaM(1;1;5)vtcp u(1; 1;1)

a Viết phơng trình chính tắc của đờng thẳng đi

qua điểm M(1; 2; 3), vuông góc với cả (d 1 ) và (d 2 ).

b Viết phơng trình đờng thẳng song song với Oz,

cắt cả (d 1 ) và (d 2 ).

3 Vị trí tơng đối giữa hai đờng thẳng

Trong không gian Oxyz, cho hai đờng thẳng (d1) và (d2) có:

 (d1) đi qua điểm M1(x1; y1; z1) và có vtcp ur1(a1; b1;

c1),

 (d2) đi qua điểm M2(x2; y2; z2) và có vtcp ur2(a2; b2;

c2)

Khi đó, xét ba vectơ ur1, ur2 và M Muuuuuur1 2 ta có kết quả:

1 (d1) và (d2) đồng phẳng khi và chỉ khi ba vectơ ur1, ur2 và

3 (d1) và (d2) song song với nhau khi và chỉ khi ur1và ur2 cùng

ph-ơng và (d1), (d2) không có điểm chung Nh vậy:

a Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì (d1) và (d2) cắt nhau

b Nếu hệ có vô số nghiệm thì (d1) và (d2) trùng nhau

c Nếu hệ vô nghiệm thì (d1) và (d2) song song hoặc chéonhau, song song nếu hai vtcp của chúng cùng phơng, chéonhau nếu hai vectơ đó không cùng phơng

Thí dụ 5: Trong không gian Oxyz, cho hai đờng thẳng (d1) và(d2) có phơng trình:

a Xác định vị trí tơng đối của hai đờng thẳng (d1) và (d2)

b Viết phơng trình mặt phẳng đi qua gốc O và chứa đờngthẳng (d1)

 Giải

a Ta lần lợt có:

 Với (d1) có vtcp uuur1(1; 3; 4) và điểm M1(1; 2; 3)  (d1)

 Với (d2) có vtcp uuur2(1; 3; 4) và điểm M2(2; 5; 7)  (d2)

suy ra các vectơ uuur1, uuur2 và M Muuuuuuur1 2(1; 3; 4) cùng phơng

Vậy, hai đờng thẳng (d1) và (d2) trùng nhau

b Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Lấy thêm điểm N1(0; 1; 1)  (d1) Khi đó, mặt phẳng (P)

đi qua gốc O và chứa đờng thẳng (d1) tơng ứng với việc đi qua ba

Cách 2: Lấy thêm điểm N1(0; 1; 1)  (d1) Khi đó, mặt phẳng (P)

đi qua gốc O và chứa đờng thẳng (d1) tơng ứng với việc đi qua ba

Cách 3: Gọi (P) là mặt phẳng thỏa mãn điều kiện đầu bài thì (P) sẽ

có cặp vtcp là uuur1 và OMuuuuur1 Gọi nr là vtpt của mặt phẳng (P), ta đợc:

 Với (d1) có vtcp uuur1(1; 1; 4) và điểm M1(1; 1; 2)  (d1)

 Các mặt phẳng (P1), (P2) theo thứ tự có vtpt nuur1(1; 1; 0), nuur2(0;4; 1) Khi đó vtcp uuur2 của đờng thẳng (d2) đợc cho bởi:

Suy ra, các vectơ uuur1, uuur2 cùng phơng và không cùng phơng vớivectơ M Muuuuuuur1 2(0; 1; 3).

Vậy, hai đờng thẳng (d1) và (d2) song song với nhau

b Đoạn thẳng M1M2 có trung điểm M 1; ;1 1

2 2

� �.Khi đó, phơng trình đờng thẳng (d) đợc xác định bởi:

(d):

1

1 1quaM 1; ;

2 2vtcp u (1; 1;4)

a Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ) song

song với nhau.

b Viết phơng trình mặt phẳng chứa hai đờng

thẳng (d 1 ) và (d 2 ).

c Viết phơng trình chính tắc của đờng thẳng (d)

nằm trong mặt phẳng ((d 1 ), (d 2 )) và cách đều (d 1 ), (d 2 ).

Thí dụ 7: Trong không gian Oxyz, cho đờng thẳng (d1) có

a Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1) và (d2) cắt nhau

b Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa hai đờng thẳng(d1) và (d2)

 Giải

Ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:

Cách 1: Ta lần lợt có:

a Ta có:

 Với (d1) có vtcp uuur1(1; 1; 3) và điểm M1(1; 0; 2)  (d1),

 Các mặt phẳng (P1), (P2) theo thứ tự có vtpt nuur1(1; 2; 0), nuur2(0;3; 1)

Khi đó vtcp uuur2 của đờng thẳng (d2) đợc cho bởi:

a Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1) và (d2) chéo nhau.

b Viết phơng trình mặt phẳng (P) song song và cách đềucách đều (d1), (d2)

 Giải

a Ta lần lợt có:

 Với (d1) có vtcp uuur1(2; 1; 3) và điểm M1(1; 2; 3)  (d1)

 Với (d2) có vtcp uuur2(1; 2; 3) và điểm M2(2; 3; 1)  (d2)

suy ra các vectơ uuur1, uuur2 không cùng phơng, khi đó:

b Đoạn thẳng M1M2 có trung điểm M 3; 1; 1

2 2vtpt n(1;1; 1)

a Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ) chéo

nhau.

b Viết phơng trình mặt phẳng (R) song song và

cách đều cách đều (d 1 ), (d 2 ).

c Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng

thẳng (d 1 ) và song song với đờng thẳng (d 2 ).

d Viết phơng trình mặt phẳng (Q) chứa đờng

thẳng (d 2 ) và song song với đờng thẳng (d 1 ).

Bài toán 1: Cho điểm M và đờng thẳng (d) có vtcp ar và đi qua

điểm M0 Tính khoảng cách h từ điểm M đến đờng thẳng (d)

 Giải

Gọi A là điểm sao cho M A auuuuur r0  .

Khi đó, diện tích hình bình hành có hai

Chú ý: Các em học sinh có thể ghi nhớ công thức trên để giải

các bài toán liên quan tới khoảng cách từ một điểm tới một đờngthẳng

Thí dụ 9: Trong không gian Oxyz, cho điểm M(3; 1; 3) và ờng thẳng (d) có phơng trình:

đ-(d): x 1 y 1 z 2

    

a Tính khoảng cách từ M tới đờng thẳng (d)

b Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên (d)

Nhận xét: Thông qua lời giải của thí dụ trên các em học sinh cần

ghi nhận ba phơng pháp để tìm tọa độ hình chiếuvuông góc của một điểm lên một đờng thẳng

a Tính khoảng cách từ M tới đờng thẳng (d).

b Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M

M1M2, M1A1 và M2A2 đợc cho bởi:

V = ��u ,u M Muur uur uuuuuur1 2�� 1 2 = h.S = h u ,u��uur uur1 2��  1 2 1 2

u ,u M Mh

Chú ý: Các em học sinh có thể ghi nhớ công thức trên để giải

các bài toán liên quan tới khoảng cách từ một điểm tới một đờngthẳng

Thí dụ 10: Trong không gian Oxyz, cho hai đờng thẳng (d1) và(d1) có phơng trình:

a Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng (d1) và (d2)

b Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa đờng thẳng (d1) vàsong song với đờng thẳng (d2)

S

c Gọi (d) là đờng vuông góc chung của (d1) và (d2) Gọi H1, H2theo thứ tự là giao điểm của (d) với các đờng thẳng (d1),(d2) Xác định tọa độ các điểm H1 và H2.

d

(

)d()

động Cho hai đờng thẳng:

(d 1 ): x y z 5 02x y 1 0

x xa



2

y ya



3

z za

Câu hỏi 3: Cho điểm M có tính chất K, biện luận theo vị trí

của M số đờng thẳng của họ (dm) đi qua M

Câu hỏi 3: Chứng minh rằng họ đờng thẳng (dm) luôn thuộc

một mặt phẳng cố định, để thực hiện yêu cầu này

chúng ta lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Khử m từ hệ của phơng trình (d), ta đợc:

Ax + By + Cz + D = 0 (1)

Khi đó (1) chính là phơng trình của mặtphẳng cố định (P) chứa các đờng thẳng của

họ (dm)

Cách 2: Ta thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 1: Các điểm M(x; y; z) thuộc (dm) có tọa độ thỏa mãn

phơng trình:

[A1(m)x + B1(m)y + C1(m)z + D1(m)] + + [A2(m)x + B2(m)y + C2(m)z + D2(m)] = 0 (2)

Bớc 2: Lựa chọn các giá trị thích hợp của , , đa (2) về

thẳng (dm) luôn đi qua

Tìm vectơ cố định nr(A; B; C)  0r vuông góc với

họ đờng thẳng (dm)

Bớc 2: Khi đó, phơng trình mặt phẳng cố định (P)

là:

(P): Qua M (x ;y ;z )0 0 0 0vtptn(A;B;C)

b Điểm A(3; 3; 1) có thuộc đờng thẳng nào của họ (dm)không.

c Chứng minh rằng họ đờng thẳng (dm) luôn thuộc một mặt

đờng thẳng (dm) và dễ nhận thấy họ (dm) luôn đi qua điểm cố

định M0(1; 2; 0), ứng với t = 0 khi thay vào phơng trình tham sốcủa đờng thẳng

b Điểm A(3; 3; 1) thuộc một đờng thẳng của họ khi hệ sau cónghiệm:

Vậy, điểm A(3; 3; 1) không thuộc đờng thẳng nào của họ (dm)

c Ta lựa chọn một trong ba cách lập luận sau:

 ở cách 1, chúng ta thực hiện việc chuyển phơng trình

của họ (dm) về dạng chính tắc rồi dạng tổng quát (giaotuyến của hai mặt phẳng) và từ đó khử m đề nhận đ-

ợc phơng trình mặt phẳng cố định (P) Công việc nàythực chất là khử dần các tham số t và m

 ở cách 2, chúng ta thực hiện liên tiếp hai phép khử cho

các tham số t và mt và đây là cách giải mà các em họcsinh hãy ghi nhận để áp dụng cho các bài tập tơng tự

 ở cách 3, để tìm đợc vectơ nrchúng ta thực hiện nhsau:

Giả sử nr(A; B; C) và khi đó:

điểm cố định mà họ (dm) luôn đi qua

b Chứng tỏ rằng họ đờng thẳng (dm) luôn thuộc mặt phẳng(P) cố định

c Tính thể tích khối tứ diện giới hạn bởi mặt phẳng (P) và cácmặt phẳng toạ độ

 Hớng dẫn: Sử dụng kiến thức trong phần phơng pháp giải toán.

 Giải

a Để phơng trình (1) là phơng trình chính tắc của một đờngthẳng điều kiện là:

Bớc 1: Biến đổi phơng trình của họ (Pm) về dạng:

f(x, y, z) + mg(x, y, z) = 0

Bớc 2: Vậy, họ (Pm) luôn đi qua một đờng thẳng (d)

cố định có phơng trình:

(d): f (x, y, z) 0g(x, y, z) 0

(1) 

0 1 0 2 0 3

x x

t a

y y

t a

z z

t a



2

y ya

 = 0

3

z za





2

y ya

 = 0 3

z za



2

y ya

 = 0 3

z za

 = t  (d):

3 Với (d) cho dới dạng là giao tuyến của hai mặt phẳng cắtnhau:

ra y và z theo t

Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho đờng thẳng (d) có phơng

trình:

x 2 t(d): y 4 2t, t

c TÝnh tØ sè diÖn tÝch cña hai tam gi¸c OAB vµ OAC

 Híng dÉn: Víi c©u a), sö dông kiÕn thøc trong phÇn ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n.

     .

a Viết phơng trình tham số của (d)

b Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa (d) và cắt chiều

d-ơng các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho tứ diệnOABC có thể tích bằng 6

 Hớng dẫn: Với câu a), sử dụng kiến thức trong phần phơng pháp giải toán.

 Giải

a Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Bằng việc sử dụng tham số trung gian t , ta đợc:

 Với a = 6, b = 3 và c = 2 thay vào (1), ta đợc:

(P2): 3.2x + 6.2y + 6.3z = 6.3.2  (P2): x + 2y + 3z  6 =0

Vậy, tồn tại hai mặt phẳng (P1), (P2) thoả mãn điều kiện đầubài

a Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theogiao tuyến (d) Hãy tìm tọa độ của một vtcp của (d).

b Viết phơng trình tham số và chính tắc của đờng thẳng(d)

c Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa (d) và cắt các trụctoạ độ tại các điểm A, B, C sao cho hình chóp O.ABC làhình chóp đều

 Hớng dẫn: Với câu a), sử dụng kiến thức trong phần phơng pháp giải toán.

ur��n , nuur uur��(12; 6; 6)  chọn u(2; 1; 1)r  

b Ta còn có thể thực hiện theo các cách sau:

Để viết phơng trình đờng thẳng (d), ta sử dụng các kết quả:

1 Đờng thẳng đi qua một điểm và biết vtcp:

(d): 0 0 0 0

Qua M (x ;y ;z )vtcpa(a ;a ;a )

 Ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña (d) cã d¹ng:

(d): 0

1

x x a



2

y y a



= 0

3

z z a

VÝ dô 1: Trong kh«ng gian Oxyz, cho ®iÓm M(3; 5; 7) vµ mÆtph¼ng:

 Híng dÉn: Víi c©u a), sö dông ®iÒu kiÖn mÆt ph¼ng (P) qua M vµ cã vtcp lµ

x 3 t(d ) : y 5 2t , t

1 1c



2 Điều kiện vuông góc với mặt phẳng (P) trong câu a) có thể đợc

đổi thành "Song song với một đờng thẳng ()", ví dụ tiếp theo

sẽ minh hoạ điều này

3 Để "Viết phơng trình tổng quát hình chiếu vuông góc của ờng thẳng (d) trên mỗi mặt phẳng tọa độ " chúng ta thực hiện

4 Câu c) của ví dụ trên còn có thể đợc phát biểu dới dạng "Viết phơng trình mặt phẳng đi qua điểm M, vuông góc với (P) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho hình chóp

O.ABC là hình chóp tam giác đều" Và khi đó để có đợc lời

giải đọc lập với câu a) chúng ta thực hiện nh sau:

Với ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), ta đợc phơng trìnhmặt phẳng (Q) đi qua ba điểm A, B, C có dạng:

 Tứ diện OABC đều, ta đợc:

5

b Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Lấy điểm N(0; 4; 2) thuộc (d) và A(3; 2; 1) thuộc () Mặtphẳng (P) cần dựng sẽ song song với () nên chứa (d) và do đó nó

đi qua điểm N

Vậy, tồn tại hai mặt phẳng (P1) và (P2) thoả mãn điều kiện đầubài.

Cách 2: (Độc lập với câu a): Giả sử mặt phẳng (P) có phơng trình:

rộng dới dạng "Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm M

và song song với hai mặt phẳng cắt nhau (P1) và (P2) cho trớc" Với

yêu cầu này chúng ta lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Tìm các vtpt nuur1 và nuur2 của các mặt phẳng (P1) và (P2)

Bớc 2: Gọi ur là vtcp của đờng thẳng (d), ta có:

(d): Qua Avtcp u

 (Q1) qua A và song song với (P1)

 (Q2) qua A và song song với (P2)

Bớc 2: Khi đó, đờng thẳng (d) cần dựng chứa các điểm M(x; y;

z) thoả mãn hệ:

1

2

(Q )(Q )

 Giải

a Gọi nuur1

, nuur2

theo thứ tự là vtpt của các mặt phẳng (P1), (P2), tacó:

b Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Gọi ur là một vtcp của đờng thẳng (d), ta có:

1 2

Khi đó, đờng thẳng (d) cần dựng chính là giao tuyến của (Q1)

và (Q2), nó chứa các điểm M(x; y; z) thoả mãn hệ:

 nQ  ��n , n1 2��

uur uur uur

= (6; 4; 1) chọn n (6; 4;1)uurQ  Khi đó:

Chú ý: Các em học sinh cần lu ý tới việc ở câu b) có thể thay đổi

điều kiện song song với mặt phẳng (P1) (hoặc (P2)) bằng yêu cầuvuông góc với đờng thẳng (d1) (hoặc (d2)) Để "Viết phơng trình

đờng thẳng (d) đi qua điểm A và vuông góc với hai đờng thẳng

(d1) và (d2) cho trớc" chúng ta lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Tìm các vtcp uuur1 và uuur2 của các đờng thẳng (d1) và (d2)

Bớc 2: Gọi ur là vtcp của đờng thẳng (d), ta có:

ur = ��u , uuur uur1 2��

Bớc 3: Khi đó, ta đợc:

(d): Qua Avtcp u

 (P1) qua A và vuông góc với (d1)

 (P2) qua A và vuông góc với (d2)

Bớc 2: Khi đó, đờng thẳng (d) cần dựng chứa các điểm M(x; y;

z) thoả mãn hệ:

1

2

(P )(P )

a Tìm góc và khoảng cách giữa hai đờng thẳng (d1), (d2)

b Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm A và vuônggóc với cả (d1), (d2)

1 2 1 2

v ,v M Md((d ), (d ))

Chú ý: Để "Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm A

cắt hai đờng thẳng (d1) và (d2) chéo nhau cho trớc", ta có thể lựa

chọn một trong các cách:

Cách 1: Ta thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Giả sử đờng thẳng (d) cắt (d1) và (d2) theo thứ tự tại B,

C Khi đó toạ độ B, C theo thứ tự thoả mãn các phơngtrình của (d1) và (d2)

Bớc 2: Từ điều kiện A, B, C thẳng hàng ta xác định đợc toạ độ

�

Bớc 2: Xác định giao điểm C của (d2) và (P)

Bớc 3: Viết phơng trình đờng thẳng (d) thoả mãn điều kiện:

(d): Qua Avtcp AC

Ví dụ 5: Cho mặt phẳng (P) và hai đờng thẳng (d1) và (d2) có

ph-ơng trình:

(P): 3x + 3y  4y = 0,1

x 1 y 3 z 2(d ):

     ,

2

x 2 y 1 z 1(d ):