Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d?. Phương trình nào dưới đây là phương trình tham số của đường thẳng đi qua A và B.. Phương trình nào dưới đây là phương trìn
Trang 1 Dạng 98 Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Câu 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
−
−
y
d Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d ?( )
A ur =(1;2;3) B ur =(2;3; 4− )
C ur = − − −( 1; 2; 3) D ur = − −( 2; 3;4)
Câu 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ( ) : 21
= +
=
= −
Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ( )d ?
A ur =(1;0;3) B ur =(2;1; 5− ) C ur =(1;1;3) D ur =(1;1; 5− )
Câu 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
+
−
y
d Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ( )d ?
A ur =(1; 2;3 − ) B ur =(2; 3; 1 − − ) C ur = −( 1;2; 3 − ) D ur =(1; 2; 3 − − )
Câu 4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng phương trình:
( ) : 1 2
5
= +
= −
=
z
Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ( )d ?
ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN
Trang 3 Dạng 99 Viết phương trình đường thẳng
Câu 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(2;0; 1− ) và (6; 6;1 − )
N Phương trình nào dưới đây là phương trình tham số của đường
thẳng ∆ đi qua M và N ?
A. 2 46
1 2
= − +
= −
= +
1
= − +
= −
= +
1
= +
= −
= − +
2
= +
= −
= +
Lời giải tham khảo
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(2;0; 1− ) và N(6; 6;1− ) có vectơ chỉ phương
(4; 6;2) (2 2; 3;1 )
r uuuur
2 2
3
1
= +
= −
= − +
Câu 6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 2;1− ) và (−1;1;2)
B Phương trình nào dưới đây là phương trình tham số của đường thẳng
đi qua A và B?
A
1 2
2 3 1
= −
= − +
= +
1 2
2 3 1
= −
= +
= +
1 2
2 3 1
= −
= − +
= −
D
1 2
2 3 1
= − −
= − +
= +
Lời giải tham khảo
( 2;3;1)
= −
uuur
AB Phương trình AB:
1 2
2 3 1
= −
= − +
= +
Câu 7 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;1;3) và (1; 2;1− )
B Phương trình nào dưới đây là phương trình tham số của đường thẳng
Trang 4A.( )∆ : 2 1 3
−
− = y = −
+ + = y = +
C ( )∆ : 1 2 1
− + = y = +
−
−
y
Lời giải tham khảo
Vì Đường thẳng ( )∆ đi qua 2 điểm A(2;1;3) và B(1; 2;1− ) nên có véc tơ chỉ phương
là u BAr uuur= =(1;3;2)
Đồng thời đường thẳng ( )∆ đi qua điểm A(2;1;3) nên có phương trình là
−
∆ x = y = z
Cách khác: Thay tọa độ của điểm A và B vào phương trình đường thẳng ( )∆ , chỉ
có đáp án A thỏa mãn.
Trang 5 BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương
trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M(2;0; 1− ) và có vectơ chỉ phương (4; 6;2)
= −
r
A. 2 46
1 2
= − +
= −
= +
1
= − +
= −
= +
1
= +
= −
= − +
2
= +
= −
= −
y
Câu 9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O và có vectơ chỉ phương (1;2;3) = r u ? A 0 2 3 = = = x y t z t B 1 2 3 = = = x y z C 2 3 = = = x t y t z t D 2 3 = − = − = x t y t z t
Trang 6
Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là
phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M(1; 2;2016− ) và có vectơ chỉ phương ra(4; 6;2− )?
A. 1 42 6
2016 2
= −
= − +
B 1 42 6
2016 2
= +
= − −
2 2016
= +
= − −
= +
D 1 46
2016 2
= +
= −
Câu 11 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và đường
+ = = −
−
y
thẳng đi qua điểm A , vuông góc với đường thẳng d và cắt trục Ox?
−
− = y = −
−
− = y = −
+ + = y = +
+ + = y = +
Lời giải tham khảo
Gọi B là giao điểm của đường thẳng ∆ và trục Ox Khi đó B b( ;0;0 )
Vì ∆ vuông góc với đường thẳng d nên uuurAB u ( với ⊥uurd uuurAB= − − −(b 1; 2; 3),uuurd=(2;1; 2− )) Suy ra uuur uurABu d= ⇔ = −0 b 1
Do đó uuurAB= − − −( 2; 2; 3) Chọn vectơ chỉ phương cho đường thẳng ∆ là uuur∆ =(2;2;3)
Phương trình đường thẳng ∆ là 1 2 3
−
− = y = −
Trang 7Câu 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và hai đường
phương trình của đường thẳng đi qua A , vuông góc với d và cắt 1 d ?2
−
y
−
−
y
−
y
+
−
y
Lời giải tham khảo
Gọi B là giao điểm của d và d 2 B d∈ ⇒2 B(1 ;1 2 ; 1 )−t + t − +t
1 1 0 1
⊥ ⇔uuur uur= ⇒ = −
d d ABu t suy ra B(2; 1 2 − −; )
PT d đi qua A và có vecto chỉ phương uuurAB=(1; 3; 5− − ): 1 2 3
−
y
Trang 8 BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng :
1
:
+ = =y −
−
−
y
d
Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua M(1; 2; 3− )
đồng thời vuông góc với d d1, 2?
A. 1 42
3
= +
= +
= − +
. B 1 22
3 7
= +
= −
= − −
. C 1 32
3
= +
= −
= − +
. D 1 22
3 7
= +
= +
= − −
.
Câu 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;1;10) và đường thẳng d có phương trình: 1 2 2 2 1 − + = = − y x z Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua A vuông góc và cắt đường thẳng d? A. 2 1 10 1 3 8 − − = = − − − y x z . B 2 1 10 1 3 10 − − = = − − y x z . C 1 1 3 2 3 6 + − = y = − x z . D 1 1 3 2 3 6 − + = = + − y x z .
Trang 9.
Câu 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(− −4; 5;3), hai đường thẳng 1: 1 3 2 3 2 1 + + = = − − − y x z d và 2: 2 1 1. 2 3 5 + − = = − − y x z d Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua A và cắt đường thẳng d d1, 2? A. 4 3 3 3 2 1 + + = = − − y x z B 4 5 3. 5 4 7 + + = y = − x z C 4 5 3 1 5 2 + + = = − − y x z D 4 5 3. 2 3 2 + + = = − − y x z
Câu 16 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;1) và hai đường thẳng:
+
−
∆ x = y = z và ( ) : 21
= −
′ = +
x
Trang 10Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua A , vuông góc
với ( )∆ và cắt đường thẳng ( )d ?′
−
y
y
−
y
y
.
Câu 17 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Viết phương trình đường thẳng d song song với : 4 5 2 3 4 1 − + + ∆ = = − y x z và cắt hai dường thẳng 1 2 1 6 : 3 1 5 − − = y = − x z d , 2 6 1 : 3 2 1 − = =y − x z d Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng song song với và cắt đường thẳng d d ?1, 2 A. 2 3 3 4 1 − − = = − y x z. B 2 3 3 4 1 + + = = − y x z. C 2 3 3 3 4 1 − + = = − − y x z . D 2 3 3 4 1 − + = = − y x z.
Trang 11
.
Câu 18 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có các đỉnh (1; 2;3 ,− ) (2;1;0 ,) (0; 1; 2 − − ) A B C Phương trình nào dưới đây là phương trình đường cao AH của tam giác ABC? A. 1 2 3 1 2 3 − + = = + − y x z . B 2 1 2 1 1 − − = = − y x z. C 1 2 3 1 4 5 + − = = − − y x z . D 1 2 3 1 4 5 + − = = − − y x z .
Câu 19 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;1;2) , (−2;3;1)
B , C(3; 1;4− ) Phương trình nào dưới đây là phương trình tham số của
đường cao kẻ từ B ?
A
2 3 1
= − −
= +
= +
. B
2 3 1
= − −
= +
= −
. C
2 3 1
= − +
=
= −
y
. D
2 3 1
= −
= +
= +
.
Trang 12
Câu 20 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;3; 2− )và mặt phẳng ( )P :x−2y+3z+ =1 0 Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua M và vuông góc với ( )P ? A. 1 3 2 1 2 3 − − = = − − y x z . B 1 3 2 1 2 3 + − = = − − y x z . C 1 3 2 1 2 3 − − = = + − y x z . D 1 3 2 1 2 3 − + = = − − − y x z .
Câu 21 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;4; 7− ) và mặt phẳng ( )P :x+2 – 2 –y z 3 0= Phương trình nào dưới đây là phương trình chính
tắc của đường thẳng đi qua A và vuông góc với ( )P ?
−
−
y
−
−
y
−
−
y
−
− = y = −
Lời giải tham khảo
Trang 13Mặt phẳng ( )P có vectơ pháp tuyến nr =(2, 3,3)− và đi qua M(0;–1;4 )
Câu 22 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và mặt phẳng ( )P : 2x+2y z+ +2017 0= Phương trình nào dưới đây là phương trình
chính tắc của đường thẳng đi qua A và vuông góc với ( )P ?
+ + = y = +
−
− = y = −
−
− = y = −
+ + = y = +
Lời giải tham khảo
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )P nên
( ) (2;2;1)
uur uuur
u n Đường thẳng d đi qua A(1;2;3) và có vectơ chỉ phương là (2;2;1)
=
uur
d
u nên có phương trình chính tắc là 1 2 3
−
− = y = −
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 23 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P x y: − +2z+ =3 0
và đường thẳng
4
= +
= −
=
z t
Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng thuộc mặt phẳng ( )P , đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d?
A
3 4 1
= +
= +
= − +
. B
3 2
4 5 1
= +
= +
= −
z
. C
3 2 4 0
= +
= +
=
z
. D
3 4 1
= +
= +
= −
z
.
Trang 14
Câu 24 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( )P x: −2y z+ − =4 0 và đường thẳng : 3 5 3 3 5 1 + − = = − − − y x z d Phương trình nào dưới đây là phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d lên mặt phẳng ( )P ? A 4 3 = = − = − x t y t z t . B 4 3 = − = = − x t y t z t . C 4 4 = − = = − x t y t z t . D 4 4 = − = = + x t y t z t .
Câu 25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;2;1) , đường thẳng
1
1
= +
=
= −
z
và mặt phẳng ( )P : 2x y+ −2z− =1 0 Phương trình nào dưới
đây là phương trình đường thẳng đi qua M , song song với ( )P và vuông góc
với đường thẳng d?
A
1 4
2 2
1 3
= +
= −
= +
1 3
2 2
1 4
= +
= +
= −
1 3
2 2
1 4
= −
= −
= −
1 4
2 2
1 3
= −
= +
= +
Trang 15
Lời giải tham khảo
Đường thẳng qua điểm M và có vectơ chỉ phương là vectơ tích có hướng của
vectơ chỉ phương của đường thẳng d và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )P
Câu 26 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;4), mặt phẳng ( )P : 2x y z+ + − =4 0 và đường thẳng : 2 2 2
−
∆ x = y = z Phương trình nào
dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua A song song với ( )P và cắt
đường thẳng ∆?
A
1 2
4 2
= +
=
= −
y
1 2
4 2
= −
=
= −
y
1 2 2
4 2
= −
=
= +
y
1 2 2
4 2
= +
=
= +
y
Lời giải tham khảo
Gọi giao điểm của d và ∆ là B(2 3 ;2 t;2 5 + t + + t Tìm t từ giả thiết ) uuur rABn. =0, với n r
là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( )P
Câu 27 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2; 1 ,− ) đường
− = =y z+
d x và mặt phẳng ( )P : 2x y z+ − + =1 0 Phương trình nào dưới
đây là phương trình đường thẳng đi qua A , cắt ( )d và song song với ( )P ?
A
2 1 3
2 3 5 1 3
= +
= +
= − +
2 1 3
2 3 5 1 3
= +
= −
= − −
2 1 3
2 3 5 1 3
= −
= +
= − +
D
2 1 3
2 3 5 1 3
= −
= −
= − −
Lời giải tham khảo
Gọi ( )Q là mặt phẳng qua A và song song với ( )P , suy ra phương trình mp( )Q :
2x y z+ − − =5 0
Gọi ( ) ( ) 5; 1; 8
= ∩ ⇒ − − ÷
Trang 16( )∆ là đường thẳng qua A B , phương trình đường thẳng ( )∆ là:
2 1 3
2 3 5 1 3
= +
= −
= − −
Câu 28 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
( )P : 2x y z+ + − =4 0 và hai đường thẳng 1: 3 2 6
−
− = y = −
− = =y −
d
Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng thuộc mặt phẳng ( )P
, đồng thời cắt hai đường thẳng d d ?1, 2
−
y
−
y
−
y
−
y
Lời giải tham khảo
Gọi A B lần lượt là giao điểm của d d với mặt phẳng 1, 2 ( )P
Đường thẳng d cần tìm đi qua A và B.
Câu 29 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng
( )P x: −2y+2z− =5 0 và hai điểm A(−3;0;1 ;) (B 1; 1;3− ) Phương trình nào dưới
đây là phương trình đường thẳng đi quan A , song song với ( )P sao cho khoảng
cách từ B đến d là lớn nhất?
+ = = −
−
y
+
−
y
+ = = −
−
y
+ = = −
−
y
Lời giải tham khảo
Khoảng cách từ B đến đường thẳng d là lớn nhất nếu AB vuông góc với d
Đường thẳng d đi qua A và nhận vectơ pháp tuyến là ,
uuur r
AB n với n là vectơ phápr
tuyến của mặt phẳng ( )P
Trang 17Câu 30 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
13 2
=
= − +
= − +
x t
,
7 3 ' ' : 1 2 '
8
= − +
= − −
=
z
Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng cắt ;d d , đồng thời vuông góc với mặt phẳng tọa độ ′ (Oxz ?)
A
3 7 25 7 18 7
= −
= +
=
x
z
3 7 25 7 18 7
= −
= − +
=
x
z
3 7 25 7 18 7
=
= − +
=
x
z
D
3 7 25 7 18 7
=
= − −
=
x
z
Lời giải tham khảo
Gọi tọa độ giao điểm của đường thẳng và hai đường thẳng d và d’ lần lượt là
( ; 4− + − +; 13 2 ,) (− +1 3 '; 1 2 ';8− − )
A t t t B t t , Tìm t và t’ từ điều kiện uuurAB cùng phương
với vectơ rj=(0;1;0) là vectơ pháp tuyến của (Oxz )
Trang 18 Dạng 100 Vị trí tương đối giữa hai đường
thẳng
Câu 31 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:
( ) : 1
1 2
= +
=
= − +
y t
d và ( ) : 12 2 ''
3 '
= −
= +
=
′
−
d
Tìm tất cả các giá trị của m để ( )d cắt ( )d ′
A m=0 B m=1 C m= −1
D m=2
Lời giải tham khảo
Vì hai VTCP không cùng phương nên ( )d và ( )d cắt nhau khi hệ có nghiệm ′
Giải hệ t được m=0
Câu 32 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(− −4; 2;4) và đường thẳng
3 2
1 4
= − +
= −
= − +
Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi
qua A , đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d?
+
−
y
:
+
−
y
+
y
+
∆ x = y = z
Lời giải tham khảo
Tìm tọa độ hình chiếu H vuông góc của điểm A xuống d Đường thẳng cần lập đi qua , A H
Câu 33 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng