SKKN dãy số 11

Cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu Với 13 năm đứng trên bục giảng năm nào tôi cũng được tham gia giảngdạy cho học sinh lớp 11 và có một số năm được dạy cho học sinh ôn thi Họcsinh gi

1 Cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu

Với 13 năm đứng trên bục giảng năm nào tôi cũng được tham gia giảngdạy cho học sinh lớp 11 và có một số năm được dạy cho học sinh ôn thi Họcsinh giỏi Khi dạy chương dãy số tôi thấy có một số vấn đề sau cần phải giảiquyết:

Một là: Theo qua điểm của ngành Giáo dục và thời lượng chương trìnhdạy học nên nội dung của chương dãy số đã được giảm tải đáng kể Tuy nhiênviệc giảm tải chỉ tập trung vào bài tập còn lí thuyết thì giảm tải không đáng kể vì

đó là yêu cầu tối thiểu Nên khi giáo viên dạy lí thuyết chương này khá vất vả,học sinh học lí thuyết cũng rất vất vả nhưng khi làm bài tập trong Sách giáokhoa học sinh thấy rất đơn giản vì các bài tập hơi khó đã được giảm tải, các bàitập còn lại đều tương tự ví dụ đã có trong phần lí thuyết nên hầu hết học sinhlàm bài theo cách rất máy móc ít hiểu rõ vấn đề do đó khi đề bài chỉ thay đổimột chút là học sinh sẽ cảm thấy khó khăn, chán ngán

Hai là: Các vấn đề về dãy số hầu như không xuất hiện trong các đề thituyển sinh Đại học nên nhiều học sinh không hứng thú với nội dung này Tài liệutham khảo về dãy số cũng rất ít do đó những học sinh có nhu cầu tìm hiểu sauthêm về dãy số hoặc những học sinh có ý đinh ôn thi Học sinh giỏi rất khó tìmcho mình một cuốn tài liệu dễ đọc

Những vấn đề trên chính là lý do để tôi chọn đề tài: Dãy số

2 Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm

Những vấn đề tôi trình bày trong bản sáng kiến với mục đích sau:

Một là: Truyền đạt đến học sinh một cái nhìn toàn diện về dãy số theoquan điểm của học sinh trung học phổ thông không chuyên Hệ thống và phântích các bài tập về dãy số một cách logic từ khó đến rất khó

Hai là: Qua việc luyện tập các bài toán về dãy số ta sẽ thấy nó là cácphép thế tuyệt đệp, nó là phép quy nạp từ các vấn đề đơn giản đến phức tạp tổngquát là phép biến đổi điển hình của đại số và giải tích

Ba là: Hướng dẫn học sinh tìm lời giải một cách tự nhiên cho các bàitoán về dãy số chánh sự gượng ép máy móc

3 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nói trên tôi đã phảinghiên cứu trên các bài toán về dãy số: phương pháp quy nạp toán học, cấp sốcộng, cấp số nhân và giới hạn của dãy số

Phạm vi nghiên cứu của đề tài chủ yếu tập trung vào chương dãy số,giới hạn của dãy số thuộc chương trình trung học phổ thông không chuyên vàcác bài tập thi Học sinh giỏi cấp thành phố

4 Kế hoạch nghiên cứu

Trong quá trình dạy học với những trăn trở như đã trình bày trong phần

cơ sở thực tiến để đưa ra lý do chọn đề tài tôi thấy khi cho các em học sinh lớp

11 khi làm bài tập về dãy số hầu hết đề rất máy móc hiểu vấn đề rất lờ mờ không

hệ thống một số ít học sinh có hứng thú với phần dãy số thì rất khó tìm đượcmột tài liệu tham khảo cho học sinh trung học phổ thông không chuyên nhưngtrong hầu hết các đề thi học sinh giỏi cấp thành phố đều có ít nhất một bài vềdãy số

Từ những khúc mắc nói trên tôi đã nghiên cứu đề tài dãy số qua một sốgiờ tự chon nâng cao tại lớp 11A2 năm học 2011 – 2012 và lớp 11A1 năm học

2012 – 2013 từ đó xây dựng, hoàn thiện bài viết của mình

1 Cơ sở lý luận

a) Phương pháp quy nạp toán học

b) Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn

* Dãy số ( ) un gọi là dãy số tăng nếu un < un+1, ∀ ∈ n ¥*

* Dãy số ( ) un gọi là dãy số giảm nếu un > un+1, ∀ ∈ n ¥*

Vậy: Nếu un+1 − > ∀ ∈ un 0, n ¥*suy ra ( ) un là dãy số tăng

Nếu un+1 − < ∀ ∈ un 0, n ¥*suy ra ( ) un là dãy số giảm

* Nếu tồn tại số M sao cho un ≤ M , ∀ ∈ n ¥*thì ( ) un bị chặn trên

* Nếu tồn tại số m sao cho un ≥ m , ∀ ∈ n ¥*thì ( ) un bị chặn dưới

* Nếu dãy số ( ) un bị chặn trên và bị chặng dưới thì gọi là dãy só bị chặn

c) Cấp số cộng

* Dãy số ( ) un là cấp số cộng ⇔ un+1 = + un d với ∀ ∈ n ¥*, trong đó d là

số không đổi gọi là công sai của cấp số cộng

* Dãy số ( ) un là cấp số nhân ⇔ un+1 = u qn. với ∀ ∈ n ¥*, trong đó q là

số không đổi gọi là công bội của cấp số nhân

* Nếu dãy số ( ) un là cấp số nhân thì 1. n 1

- Nếu dãy số ( ) un tăng và bị chặn trên thì ( ) un có giới hạn

Nếu dãy số ( ) un giảm và bị chặn dưới thì ( ) un có giới hạn

4 5 1

Học sinh có điểm kiểm tra thấp như trên vì các lí do sau :

Câu I – Một số học sinh không có lời giải

- Một số học sinh có lời giải tương tự đáp án nhưng tính toán không chính xác Câu II – Nhiều học sinh không có lời giải

- Một số học sinh có các giải tương tự đáp án trên nhưng tính toán không chính

xác hoặc chưa đi đến kết quả cuối cùng hoặc

Câu III – Hầu hết học sinh không có lời giải

- Một số ít học sinh rất chăm học đã làm nhiều bài tập trong Sách bài tập Cơ bản

và Nâng cao đã có dự đoán và chứng minh theo quy nạp được đẳng thức nhưđáp án

- rát ít học sinh có cách giải như đáp án

3 Các phương pháp đã tiến hành

Vì những hạn chế của học sinh như đã trình bày trong phần lý do chọn

đề tài và phần khảo sát thực tiễn nên trong quá trình dạy lớp 11A2 năm học 2012– 2013 khi dạy chương III và IV tức là phần dãy số và giới hạn của dãy số vớimột số tiết tự chọn nâng cao tội đã tiến hành triển khai việc thực hiện đề tài sángkiến này Nhưng vì thời gian không có nhiều, hơn thế để học sinh chủ độngchiếm lĩnh kiến thức nên ứng với mỗi phần tôi cho học sinh một số bài tập đểcác em thảo luận, trao đổi và về nhà nghiên cứu tìm lời giải Trên lớp tôi chomột số học sinh lên bảng làm bài và một số học sinh khác nhận xét lời giải Sau

đó tôi phân tích lời giải cho cả lớp để các em tìm được lời giải tối ưu và nhấnmạnh một số điểm quan trọng trong mỗi bài, qua mỗi dạng

Để cho việc tiếp thu bài học được dễ dàng tôi chia nội dung bài viết củamình thành ba phần sau:

- Dãy số với phương pháp quy nạp toán học

- Dãy số quy về cấp số cộng và cấp số nhân

- Bài tập về dãy số trong một số đề thi Học sinh giỏi

PHẦN I: DÃY SỐ VỚI PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Bài 1 ∀ ∈ n ¥* hãy chứng minh các đẳng thức sau:

Ta phải chứng minh (2) đúng với n k = + 1 tức là phải chứng minh:

Theo nguyên tắc quy nạp suy ra đẳng thức (2) đúng ∀ ∈ n ¥*

Các ý a) và c) được chứng minh hoàn toàn tương tự

Từ bài tập trên ta có lời giải khá đẹp cho các bài tập sau đây:

Bài 2 Rút gọn các biểu thức biểu thức

Tổng S4và Sk được chứng minh theo phương pháp quy nạp

Trong quá trình giải quyết các bài toán trên ta đã khai thác khá sau cácđẳng thức (1), (2) và (3) đã nêu trong bài 1 nhưng có học sinh lại đặt ra câu hỏinếu không biết đến các đẳng thức (1), (2) và (3) thì bài toán được giải quyết nhưthế nào ? Vấn đề này có thể giải quyết như sau :

k = ⇒ = −

2 2.3 2 3

k = ⇒ = −

3 3.4 3 4

+ +

k n

+ +

Cộng nđẳng thức trên theo vế và giản ước ta được

1 1

n

u u

Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là un = + n2 1

b) Từ công thức truy hồi suy ra

n n

n

u u

; 1 2

Nên ( ) un là cấp số cộng với cồng sai d = 0

Bài 5 Cho dãy số ( ) un có :

Lưu ý là phải thử lại

+) với a = 12 thì theo đề bài suy ra

nên ( ) un là cấp số nhân có công bội q = 1

+) với a = − 12 thì theo đề bài suy ra

1 12, 2 12, 3 12, , n 12

nên ( ) un là cấp số nhân có công bội q = 1

Vậy dãy số ( ) un là cấp số nhân khi a = ± 12

Bài 6 Cho dãy số ( ) un có số hạng tổng quát

Bài 7 Cho dãy số ( ) un xác định bởi công thức: 1

Trong đó α ,q là các hằng số đã cho, f n ( ) là đa thức theo biến số n

* Nếu q = 1 ta được bài toán rất đơn giản như đã trình bày trong phần I

* Nếu q ≠ 1 ta phải tìm một đa thức g n ( ) có bậc bằng bậc của f n ( ) sao cho phương trình un+1 = qun + f n ( ) ⇔ un+1 + g n ( + = 1 ) q u   n + g n ( )  

Khi đó việc tìm un sẽ trở thành tìm vntrong đó dãy số ( ) vn là một cấp số nhân

Bài 8 Tìm số hạng tổng quát của các dãy số ( ) un cho bới công thức truy hồi

Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là un = 2 n3 + 2 n2 − 1

b) Từ đề bài suy ra f n ( ) = 4 n − 2 là đa thức bậc nhất ẩn n nên ta xét đa thức

( )

g n = an b + sao cho un+1 + g n ( + = 1 ) 3   un + g n ( )  

⇔ = = = suy ra ( ) 2 1

2 2

Trong đó α β , , q là các hằng số đã cho, f n ( ) là một đa thức theo biến số n

Với một số lưu ý sau:

* Nếu q = = β 1 ta sẽ tìm đa thức g n ( ) có bậc bằng bậc của f n ( ) cộng với 1sao cho un+1 + g n ( + = + 1 ) un g n ( ) Khi đó ta sẽ đưa về bài toán tìm số hạngtổng quát của một cấp số nhân

* Nếu β = 1và q ≠ 1, ta có đề bài với cách giải tương tự bài tập số 8

* Nếu β ≠ 1 , q ≠ β , ta sẽ tìm đa thức g n ( ) có bậc bằng bậc của f n ( ) sao

Chú ý: bài tập này có thể giải theo cách của bài số 8a.

Bài 11 Tìm số hạng tổng quát của các dãy số ( ) un cho bới công thức truy hồi

1

1 3.2 3 1

Bài 1 (Học sinh giỏi Hà Nội 2012 – 2013)

Cho dãy số ( ) un xác định bởi

1

2 1

2

, 1,

n n

1) Chứng minh rằng dãy số ( ) un giảm và bị chặn

2) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số ( ) un

u u

Bài 2 (Học sinh giỏi Hà Nội 2011 – 2012)

Cho dãy số ( ) un thỏa mãn 1

2

1 2 1

Cho dãy số ( ) vn thỏa mãn: 1

2 1

2015 2; 1

3 4

Theo nguyên tắc quy nạp suy ra ( ) vn tăng và vn ≥ 2011; ∀ n

+) giả sử ( ) v bị chặng trên ⇒ ∃ lim v Đặt lim v = ⇒ ≥ x x 2011

Vậy ( ) vn không bị chặng trên

Bài 4 (Học sinh giỏi Hà Nội 2010 – 2011)

Cho dãy số ( ) un xác định bởi 4 1

Bài 5 (Học sinh giỏi Hà Nội 2009 – 2010)

Cho dãy số ( ) un xác định bởi

2

n

n n n

P u

Bài 7 (Học sinh giỏi Hà Tây 2004 – 2015)

Cho dãy số ( ) un xác định bởi

1

2 1

1

, 1 2005

đúng (theo giả thiết quy nạp)

Vậy dãy số ( ) un tăng

Ta lại chứng minh ( ) un không bị chặn trên

Giả sử ( ) un bị chặn trên ⇒ ∃ lim un Đặt lim un = ⇒ ≥ x x 1 và lim un+1 = x

Mà

lim lim lim

, 2

3

n n

n n

n n

Bài 10 (Học sinh giỏi Việt Nam 2001)

Cho dãy số ( ) xn xác định bởi: 1 2

3

n n

n

x x

Bài 11 (Học sinh giỏi Việt Nam 1991)

Cho dãy số ( ) an xác định bởi:

a1 = 1.2.3, a2 = 2.3.4, an = n n ( + 1 ) ( n + 2 )

Đặt Sn = + + + a1 a2 an Chứng minh rằng 4 Sn + 1 là một số chính phương

Giải

Thật vậy, theo đề bài ⇒ Sk+1 = Sk + ak+1 = Sk + + ( k 1 ) ( k + 2 ) ( k + 3 )

Theo giả thiết quy nạp

-4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Trong quá trình thực hiện đề tài với việc cho học sinh lên bảng làm một

số bài tập người giáo viên có thể nắm bắt được tình hình tiếp thu bài học.Nhưng để có được sự kết luận toàn diện nên giữa học kì II năm học 2012 – 2013khi học sinh đã học song các phần liên quan đến nội dung của bài viết này tôi đãcho các lớp 11A2, 11A5 làm bài kiểm tra 45 phút với đề bài tương tự phần khảosát thực tiễn chỉ thay đổi về mặt số liệu để thuận tiện cho việc đối chiếu so sánhkết quả thu được

Trong đó lớp 11A2 là lớp thực nghiệm trong quá trình triển khai đề tàicòn lớp 11A5 là lớp đối chứng không tham gia trong việc triển khai đề tài

Sau khi chấm bài kiểm tra tôi thu kết quả với mức điểm được tính phầntrăm như sau:

Lớp thực nghiệm 11A2 (50 học sinh)

Lớp đối chứng 11A5 (50 học sinh)

số và các phép biến đổi trong dãy số sẽ góp phần đáng kể nâng cao khả năng tưduy đó là một yêu cầu rất cần thiết đối với người học Toán nói riêng và học môn

tự nhiên nói chung

Tôi rất vui vì nhiều năm gần đây tôi và các bạn đồng nghiệp trongtrường và một số trường lân cận đã viết sáng kiến kinh nghiệm đều nhận thấyrằng việc chấm sáng kiến kinh nghiệm rất khách quan, chính xác, việc phổ biếnsáng kiến trong nhà trường đều góp phần khích lệ tinh thần làm việc và say mệnghiên cứu

Với thời gian ngắn, tuổi nghề chưa nhiều nên việc thực hiện đề tài khótránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong sự góp ý của các thầy cô giáo và cácbạn đồng nghiệp

Xác nhận của Hiệu trưởng trường

Trung học phổ thông Mĩ Đức A

Hà Nội ngày 5 tháng 3 năm 2013Tôi xin cam đoan sáng kiến kinhnghiệm này do tôi tự viết chứ khôngphải đi sao chép Nếu sai tôi xin chịumọi trách nhiệm!

Tác giả

Nguyễn Hà Hưng

IV TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo viên, Sách giáo khoa và Sách bài tập Đại số, Giải tích 11 theochương trình chuẩn và chương trình nâng cao của nhà xuất bảnGiáo Dục

2 Chuyên đề chọn lọc Dãy số và áp dụng của tác giả Nguyễn Văn Mậu(chủ biên) – Nhầ xuất bản giáo dục

3 Rèn luyện khả năng sáng tạo toán học ở trường phổ thông của tác giảHoàng Chúng – Nhà xuất bản Thành phố Hồ Chí Minh