Dãy số 11

Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó... Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó, biết rằng hiệu của số hạng thứ ba và số hạng

Lúđi noâi ăíìuTrong chûúng trònh 11, coâ thïí noâi Daôy söị - Cíịp söị cöơng vađ cíịp söị nhín cuông lađ möơt nöơi dung quan troơng trong chûúng trònh 11 Chûúng

nađy giuâp chuâng ta lađm quen vúâi nhûông daôy söị, nhûông phûúng phaâp chûâng minh khùỉng ắnh toaân hoơc.

Chûúng nađy giuâp chuâng ta ređn luýơn kô nùng tñnh toaân, tíơp vađ lađm quen vúâi phûúng phaâp chûâng minh quy naơp ăíìy thuâ võ Ăíy lađ möơt phûúng

2010

Đỗ Đức Thănh Trường THPT TP Cao Lênh

Chuyín đề về dêy số

Tuy khöng nùìm nhiïìu trong chûúng trònh thi ăaơi hoơc nhûng Daôy söị - Cíịp söị cöơng vađ cíịp söị nhín seô lađ lađ bûúâc cú súê ăïí ta díìn tiïịp cíơn

vúâi toaân cao cíịp (Seô ặúơc hoơc úê Ăaơi Hoơc).

Mònh giúâi thiïơu vúâi caâc baơn chuýn ăïì veđ Daôy söị - Cíịp söị cöơng vađ cíịp söị nhín Ăoâ lađ cöng sûâc trong quaâ trònh hoơc tíơp saâch giaâo

khoa cuêng nhû saâch bađi tíơp, mònh ăaô thu nhùơt ặúơc vađ phín loaơi chuâng, biïịn chuâng thađnh nhûông thûâ ríịt cíìn thiïịt.

Chuýn ăïì giúâi thiïơu möơt söị bađi toaân theo chuê ăïì Giuâp caâc baơn dïî

dađng tiïịp thu vúâi Daôy söị - Cíịp söị cöơng vađ cíịp söị nhín Caâc bađi

tíơp ặúơc sùưp xïịp tûđ dïî ăïịn khoâ, tûđ ban cú baên ăïịn ban níng cao.

Mong rùìng seô ặúơc caâc baơn ăoân nhíơn Trong quaâ trònh lađm seô

khöng traânh thiïịu xoât, mong caâc baơn coâ nhiïìu goâp yâ giuâp mònh hoađn thiïơn chuýn ăïì hún.

Ăöìng Thaâp, ngađy

7 thaâng 10 nùm 2010 Ăöî Ăûâc Thađnh

Chuýn ăïì vïì daôy söị

I - Daõy Soâ:

 Nhaĩc lái moôt soâ khaùi nieôm veă daõy soâ:

- Moôt haøm soâ u xaùc ñònh tređn taôp hôïp caùc soâ nguyeđn döông ¥ *ñöôïc gói laø moôt daõy

soâ vođ hán (hay coøn gói taĩt laø daõy soâ).

- Coù 3 caùch cho moôt daõy soâ:

• Cho daõy soâ bôûi cođng thöùc cụa soâ háng toơng quaùt

• Cho daõy soâ bôûi heô thöùc truy hoăi

• Dieên ñát baỉng lôøi caùch xaùc ñònh moêi soâ háng cụa daõy soâ

- Dãy số ( )u được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có n u n <u n+1

- Dãy số ( )u được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có n u n > u n+1

- Dãy số bị chặn:

• Dãy số ( )u được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho n

∀ ∈n ¥*,u n ≤ M

• Dãy số ( )u được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho n

∀ ∈n ¥*,u n ≥m

• Dãy số( )u được gọi là dạy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới; n

nghĩa là, tồn tại một số M và một số m sao cho

∀ ∈n ¥*,m u≤ n ≤ M hoặc m u M< <

Vấn đề 1: Xét tính tăng – giảm của các dãy số (hay tính đơn điệu).

Bài 1: Hãy xét tính tăng – giảm của các dãy số sau:

a) Dãy số ( )u với n u n = n3 −3n2 +5n−7;

b) Dãy số ( )x với n = +1 ;

3

n x

c) Dãy số ( )a với n a n = n+ −1 n

• +1 = ++12 ;

3

n x

Xét:

+ +

1 1

3

n n

n n

→ a n 1 < a n →dãy số là dãy số giảm.a n

Bài 2: Hãy xét tính đơn điệu của các dãy số sau:

a) Dãy số ( )a với n 3 2 2 1 ;

Bài 3: Hãy xét tính tăng – giảm của các dãy số sau:

a) Dãy số a với ( )n a n = 2n3 −5n+1;

b) Dãy số b với ( )n 3n ;

n

=+

n

=+

2 2

n

n c

+

=+ là:

a) Một dãy số giảm;

b) Một dãy số tăng

Vấn đề 2: Dãy số bị chặn.

Bài 5: Trong các dãy số ( )u sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn? n

Bài Làm

a) Ta có: n ≥ ↔1 2n2 − ≥ →1 1 u n ≥1;

( )u n là dãy số bị chặn dưới.

Bài 7: Chứng minh rằng dãy số( )v , với n 22 1

n

n v n

Từ ( )1 và 2( ) → − ≤2 v n ≤ →1 ( )v n là dãy số bị chặn

Bài 8: Chứng minh rằng dãy số( )u , với n u n 75n 75

n

+

=+ , là một dãy số tăng và bị chặn.

Vấn đề 3: Chứng minh các yếu tố trong dãy số.

Bài 9: Cho dãy số ( )u xác định bởi: n

1 và n 2 n 1 3 với mọi 2

Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh rằng với mọi n ≥1ta có 2n 1 3

n

u = + − .

• Giả sử (*) đúng với n k k= , ≥2, tức là: u k = 2k+1 −3.

• Ta sẽ đi chứng minh (*) đúng với n k= +1, nghĩa là: 1 2k 2 3

• Giả sử (*) đúng với n k k= ;( ≥1), tức là: v k =v k+3.

• Ta sẽ đi chứng minh (*) đúng với n k= +1, nghĩa là: v k+1 = v k+4

• Thật vậy, theo giả thiết:

1 4 2

1

.7; 1

• Giả sử (*) đúng với n k k= , ≥1, tức là: u k =7k−6.

• Ta sẽ đi chứng minh (*) đúng với n k= +1, nghĩa là: u k+1 =7(k+1) − =6 7k+1.

• Thật vậy, theo giả thiết: u k+1 = u k + =7 7k− + =6 7 7k+1; đpcm ( )

Bài 15: Cho dãy số ( )u xác định bởi n

1 1

• Ta sẽ đi chứng minh (*) đúng với n k= +1, nghĩa là: 1 2.5k

2

.4

4

n n

2

: đúng

424

u u u

• Giả sử (*) đúng với n k k= , ≥1, tức là: u k = u k+1 = u1 = 2.

• Ta sẽ đi chứng minh (*) đúng với n k= +1, nghĩa là: u k+1 =u k+2..

• Thật vậy, theo giả thiết: 1 2 ( )

1 2 1

2

2

; đpcm4

24

k

k k

u

u u

+

+ + +

Vấn đề 3: Tính tổng của dãy số.

Bài 17: Cho dãy số ( )u với n sin 2( 1) ; 1

Gọi S là tổng 17 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho thì: n

III – Cấp số cộng:

 Nhắc lại một số kiến thức về cấp số cộng:

- Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai,mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số d không đổi,nghĩa là

( )u n la cấp số cộng ø ↔ ∀ ≥n 2,u n = u n−1 +d.Số d được gọi là công sai của cấp số cộng

- Nếu ( )u là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng n

cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nótrong dãy, tức là

1 1.2

- Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu u và công sai d thì số hạng tổng quát 1 u của n

nó được xác định theo công thức sau:

( )

1 1

n

u =u + n− d

- Giả sử ( )u là một cấp số cộng Với mỗi số nguyên dương n, gọi n S là tổng n số hạng n

đầu tiên của nó (S n =u1 +u2 + + u n). Khi đó, ta có:

( 1 ) 2

n n

Vấn đề 1: Chứng minh một số đẳng thức trong cấp số cộng.

Bài 20: Cho cấp số cộng ( )u với công sai d và cho các số nguyên dương m và k, với n m k≥

11

m k

Thế (1) vào (2) ta được: u m =u k −(k−1) (d+ m−1)d u= k +(m k d− ) (; đpcm )

Bài 21: Cho cấp số cộng ( )u và cho các số nguyên dương m, k với m k n < Chứng minh

11

Vấn đề 2: Một số bài toán tìm yếu tố bị thiếu (công sai, số hạng đầu, số hạng tổng

quát,…) của cấp số cộng.

Bài 22: Một cấp số cộng có tổng của số hạng đầu và số hạng thứ ba bằng 28, tổng của số

hạng thứ ba và số hạng thứ năm bằng 40 Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó

Bài Làm

Gọi cấp số cộng đó được xác định bởi: u n =u1 +(n−1) ; với 1 nd ( ≤ ) thì: 3 1

5 1

2.4

Bài 23: Cho cấp số cộng ( )u có n u20 = −52 và u51 = −145 Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.

Bài Làm

Vì ( )u là một cấp số cộng nên: n 20 1

51 1

19.50

Bài 24: Cho một cấp số cộng Biết rằng số hạng thứ hai bằng 3 và số hạng thứ tư bằng 7.

Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó

Bài Làm

Gọi cấp số cộng đó được xác định bởi: u n =u1 +(n−1 ;) (d ∀ ≥n 1) thì: 2 1

4 1

.3

Bài 25: Cho một cấp số cộng với công sai dương và số hạng thứ tư bằng 11 Hãy tìm số

hạng tổng quát của cấp số cộng đó, biết rằng hiệu của số hạng thứ ba và số hạng thứ nămbằng 6

.10

loại1

u u u u

Vấn đề 3: Tính tổng của một cấp số cộng

Bài 29: Hãy tính các tổng sau đây :

a) Tổng tất cả các số hạng của một cấp số cộng có số hạng đầu bằng 102, số hạng thứ thứ hai bằng 105 và số hạng cuối bằng 999

b) Tổng tất cả các số hạng của một cấp số cộng có số hạng đầu bằng 102, số hạng thứ hai bằng 1

b) Theo đề bài tao có:

( )

1

2 1 2

Theo đề bài, ta có:

Vấn đề 4: Một số bài toán tổng hợp.

Bài 33: Cho dãy số ( )u mà tổng n số hạng đầu tiên của nó, kí hiệu là n S , được tính theo n

a) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số ( )u n

b) Chứng minh rằng dãy số ( )u là một cấp số cộng Hãy xác định công sai của cấp số n

1 7 3 1

( )1 là một cấp số cộng với 3 1 3. 3.

a) Chứng minh rằng dãy số ( )v , mà n v n =u2n;(∀ ≥n 1 ,) là một cấp số cộng Hãy xác

định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó

b) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số ( )u n

Xét dãy số ( )v n , mà v n =u n+1 −u n với mọi n ≥1

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương N, tổng N số hạng đầu tiên của dãy số

( )v bằng n u N+1 −u1.

b) Chứng minh rằng dãy số ( )v là một cấp số cộng Hãy xác định số hạng đầu và công n

sai của cấp số cộng đó

Xét dãy số ( )v n , mà v n =u n+1 −u n;(∀ ≥n 1 )

a) Chứng minh rằng dãy số ( )v là một cấp số cộng Hãy xác định số hạng đầu và công n

sai của cấp số cộng đó

b) Cho số nguyên dương N, hãy tính tổng N số hạng đầu tiên của dãy số ( )v theo N n

Từ đó, suy ra số hạng tổng quát của dãy số ( )u n

Bài Làm

a) Ta có:

• v n =u n+1 −u n = u n +2n− −1 u n =2n−1;

• v n+1 = v n+2 −u n+1 =u n+1 +2(n+1) − −1 u n+1 = 2n− + =1 2 u n +2

IV – Cấp số nhân:

 Nhắc lại một số kiến thức về cấp số nhân:

- Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứhai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và một số q khôngđổi, nghĩa là:

( )u n là cấp số nhân ↔ ∀ ≥n 2,u n = u n−1 .q

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân

- Nếu ( )u là một cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ hai, bình phương của mỗi số n

hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) bằng tích của hai số hạng đứngkề nó trong dãy, tức là:

2

1 1

u =u u− +

- Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu u và công bội 1 q ≠0 thì số hạng tổng quát u n

của nó xác định bởi công thức

n n

Vấn đề 1: Chứng minh một số đẳng thức trong cấp số nhân.

Bài 37: Cho cấp số nhân ( )u với công bội n q≠ 0 và u1 ≠0 Cho các số nguyên dương m và

k, với m k≥ Chứng minh rằng u m = u q k. m k− .

Bài Làm

Ta có: 1 1 1 ( )

1 1

1

; đpcm

m k

k k

k k

Vấn đề 2: Một số bài toán tìm yếu tố bị thiếu (công bội, số hạng đầu, số hạng tổng

quát,…) của cấp số nhân.

Bài 39: Cho cấp số nhân ( )u có công bội n q<0 Biết u2 = 4 và u4 = 9, hãy tìm u 1

Bài 40: Một cấp số nhân mà hai số hạng đầu tiên là những số dương, tích của số hạng đầu

và số hạng thứ ba bằng 1, tích của số hạng thứ ba và số hạng thứ năm bằng 1

16 Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó

Theo đề bài ta có hệ sau:

2

2 2 1

1 3

1

2 6 1

1 21

1

1616

Bài 41: Cho một cấp số nhân với công bội dương Biết rằng số hạng thứ hai bằng 3 và số

hạng thứ tư bằng 6 Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó

Bài 42: Một cấp số nhân với số hạng đầu và công bội là các số âm Biết rằng tích của số

hạng thứ ba và số hạng thứ năm bằng 5184, tích của số hạng thứ năm và số hạng thứ bảybằng 746496 Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó

( )

1 1

0

00

245184

746496 746496

1 12

24

n n

u u

u

q q

Bài 43: Cho một cấp số nhân, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng thứ bảy gấp bằng 243 lần

số hạng thứ hai Hãy tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó

20 272272

( )

3 3 24

Bài Làm

Vì ( )u là một cấp số cộng nên: n

1 1

1 1

n n

n n

u u q

− +

( )

1 1

1

1 1

5 1

1 2 3 4 5

5 1

1 1 1

11

n n

n n

1 1 2

1 1 2

49

11

35 35

35

u q q

Vấn đề 3: Một số bài toán kết hợp giữa cấp số nhân và cấp số cộng.

Bài 48: Ba số , ,x y z theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân với công bội q≠1 ; đồng thời, các số ,2 ,3x y z theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng với công sai khác 0 Hãy

Bài 49: Ba số , ,x y z theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân; đồng thời, chúng lần lượt

là số hạng đầu, số hạng thứ ba và số hạng thứ chín của một cấp số cộng Hãy tìm ba số đó, biết rằng tổng của chúng bằng 13 và công sai d ≠0

Bài Làm

Vì ba số , ,x y z theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân nên: y2 = xz; 1 ( )

Vì ba số , ,x y z lần lượt là số hạng đầu, số hạng thứ ba và số hạng thứ chín của một

cấp số cộng nên: 2 ; 2( )

Mặt khác tổng của ba số , ,x y z bằng 13 nên: x y z+ + =3x+10d =13; 3 ( )

Từ (1); (2) và (3) ta có: ( )2 ( ) 0; loại( )

Bài 50: Ba số , ,x y z theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân; ba số , x y−4,z theo thứ

đó cũng lập thành một cập số nhân; đồng thời, các số ,x y−4,z−9 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng Hãy tìm , ,x y z

Bài Làm

Vì ba số , ,x y z theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân nên: y2 = xz

Vì ba số ,x y−4,z theo thứ đó cũng lập thành một cập số nhân nên: ( )2

Theo đề bài ta có hệ sau: ( )

2 2 2

12

45

1

x y

1 10

3

38

x y

x y

Vấn đề 4: Một số bài toán tính tổng của cấp số nhân.

Bài 53: Tính các tổng sau:

a) Tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân, biết rằng số hạng đầu bằng 18, số hạng thứ hai bằng 54 và số hạng cuối bằng 39366;

b) Tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân, biết rằng số hạng đầu bằng 1

256, số hạng thứ hai bằng 1

1 8

( )

1 1

1 1 13

Bài 54: Hãy tính các tổng sau:

a) Tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân có số hạng đầu bằng 2 , số hạng thứ hai bằng -2 và số hạng cuối bằng 64 2

b) Tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân có 11 số hạng, số hạng đầu bằng 4

3 vàsố hạng cuối bằng 81

256, biết công bội luôn dương.

1 13

u

q u

11 11 1

11 1

( )

3 4

1

.5189

11529 5 2 51

Bài 56: Cho cấp số nhân ( )u với công bội n q∈( )0;1 Hãy tính tổng 25 số hạng đầu tiên

của cấp số nhân đó, biết rằng 12 32

1 3

3.5

3 4

Vấn đề 5: Một số bài toán tổng hợp.

Bài 59: Cho dãy số ( )u xác định bởi: n 1 1 ( )

a) Chứng minh rằng dãy số ( )v , với n v n = u n +2, là một cấp số nhân Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó.

b) Tìm số hạng tổng quát của dãy số ( )u n

n

S = −−

a) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số ( )u n

b) Chứng minh rằng dãy số ( )u là một cấp số nhân Hãy xác định cộng bội của cấp số n

b) Ta có:

( )

1

1 1

= với mọi n≥1, là một cấp số nhân Hãy xác định công bội của cấp số nhân đó

b) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số ( )u n

1 1

c) Ta có: ( 11)

1 3

b) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số ( )u n

c) Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy số ( )u n

Muïc Luïc