Tai lieu giang day ToanHH11

---Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11CHƯƠNG I... Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11..... Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11..... Tài

Trang 1

MỘT SỐ KÍ HIỆU THÔNG DỤNG

C Số các tổ hợp chập k của n phần tử Combinatory

y' hoặc f'(x) Đạo hàm của hàm số y = f(x)

y'' hoặc f''(x) Đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x)

y(n) hoặc f(n)

(x) Đạo hàm cấp n của hàm số y = f(x)

dy hoặc df(x) Vi phân của hàm số y = f(x) Differenttial

n(A) hoặc  A  Số phần tử hữu hạn của tập A

Võ Thanh Hùng - THPT Trần Quốc Toản - Đồng Tháp

Trang 2

-Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11

CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

oOo

1 Các giá trị lượng giác của cung (góc) α :

• sin α luôn xác định ∀α ∈ R và sin( α + k2 π ) = sin α;

cos α luôn xác định ∀α ∈ R và cos( α + k2 π ) = cos α

• - 1 ≤ sin α ≤ 1 (  sin α≤ 1).

- 1 ≤ cos α ≤ 1 (  cos α ≤ 1).

• tan α xác định khi α ≠ π + k π

2 và tan( α + k π ) = tan α ; cot α xác định khi α ≠ k π và cot( α + k π ) = cot α

• Dấu của các giá trị lượng giác của góc α:

2 Bảng các giá trị lượng giác đặc biệt:

tan( π - α ) = -tan α

cot( π - α ) = -cot α

Trang 3

5 Các công thức lượn giác thường sử dụng:

Công thức cộng:

cos(a - b) = cosacosb +

sinasinb

cos(a + b) = cosacosb

-sinasinb

sin(a b) = sinacosb

-cosasinb

sin(a + b) = sinacosb +

cosasinb

b a

tan tan 1

tan tan

) tan(

+

−

=

−

b a

tan tan 1

tan tan

) tan(

−

+

= +

Công thức nhân đôi:

sin2a = 2sinacosa cos2a = cos2a - sin2a = 2 cos2a - 1 = 1 - 2sin2a

a tan 1

2tana 2

−

=

a

Công thức hạ bậc:

2

2 cos 1 cos2a = + a

2

2 cos 1

a = −

a

a a

2 cos 1

2 cos 1 tan2

+

−

=

Công thức biến tích thành tổng:

cosacosb =

2

1 [cos(a + b) + cos(a - b)]

sinasinb

=-2

1 [cos(a + b) - cos(a - b)]

sinacosb =

2

1 [sin(a + b) + sin(a - b)]

Công thức biến đổi tổng thành tích:

cosu + cosv = 2cos

2

v

u + cos

2

v

u −

cosu - cosv = -2sin

2

v

u + sin

2

v

u −

sinu + sinv = 2sin

2

v

u + cos

2

v

u −

sinu - sinu = 2cos

2

v

u + sin

2

v

u −

• Công thức nhân ba:

• Công thức sina + cosa:

sina + cosa = 2 sin(a + π 4 )

sina - cosa = 2 sin(a - π 4 )

sina + cosa = 2 cos(a - π 4

)

 Ghi chú:

Trang 4

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số và giải tích 11

Tài liệu lưu hành nội bộ

-4

Trang 5

§1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

I- ĐỊNH NGHĨA:

1 Hàm số sin và hàm số côsin:

a) Hàm số sin:

• Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx

sin: R → R

x  y = sinx

hiệu là y = sinx

• Tập xác định của hàm số sin là: D = R.

b) Hàm số côsin:

• Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx

cos: R → R

x  y = cosx

hiệu là y = cosx

• Tập xác định của hàm số côsin là: D = R.

2 Hàm số tang và hàm số côtang:

a) Hàm số tang:

• Hàm số tang là hàm số được xác định bởi công thức y =

x

cos

sin (cosx ≠ 0), kí hiệu là y = tanx.

• Tập xác định của hàm số y = tanx là: D = R\{

2

π + k π , k ∈ Z}.

b) Hàm số côtang:

• Hàm số côtang là hàm số được xác định bởi công thức y =

x

sin

cos (sinx ≠ 0), kí hiệu là y = cotx.

• Tập xác định của hàm số y = cotx là: D = R\{k π , k ∈ Z}.

Trang 6

số y = sin(x), y = cos(x), y = tan(x) và y = cot(x).

* Nhận xét: Hàm số y = sinx là hàm số lẻ, hàm số y = cosx là hàm

số chẵn, từ đó suy ra các hàm số y = tanx và y = cotx đều là những hàm số lẻ.

II- TÍNH TUẦN HOÀN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC:

Tìm những số T sao cho f(x + T) = f(x) với mọi x thuộc tập xác định của các hàm số: a) y = sinx; b) y = tanx.

• Hàm số y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 π

• Hàm số y = cosx là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 π

• Hàm số y = tanx và y = cotx cũng là hàm số tuần hoàn, với chu kì π III- SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC:

1 Hàm số y = sinx:

• Hàm số y = sinx xác định với mọi x ∈ R và -1 ≤ sinx ≤ 1;

• Là hàm số lẻ;

• Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 π

a) Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [0; π ]:

Hàm số y = sinx đồng biến trên [0;

x 0 2

π π

y = sinx

1

0 0

* Chú ý: Vì hàm số y = sinx là hàm

số lẻ nên lấy đối xứng đồ thị hàm

số trên đoạn [0; π ] qua gốc tọa độ O,

ta được đồ thị hàm số trên đoạn [- π ;

0].

b) Đồ thị hàm số y = sinx trên R:

-6

Trang 7

c) Tập giá trị của hàm số y = sinx:

Tập giá trị của hàm số y = sinx là T = [-1; 1].

2 Hàm số y = cosx:

• Hàm số y = cosx xác định với mọi x ∈ R và -1 ≤ cosx ≤ 1;

• Là hàm số chẵn;

• Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 π ;

• Hàm số y = cosx đồng biến trên [- π ; 0] và nghịch biến trên [0; π ].

• Bảng biến thiên:

x - π 0

π

y = cosx 1

-1 -1

• Đồ thị hàm số y = cosx:

• Tập giá trị của hàm số y = cosx là T = [-1; 1].

Đồ thị hàm số y = sinx, y = cosx được gọi chung là các đường hình sin.

3 Hàm số y = tanx:

• Tập xác định: D = R\{ π + k π

2 , k ∈ Z};

• Là hàm số lẻ;

• Là hàm số tuần hoàn với chu kì π ;

a) Sự biến thiên của hàm số y = tanx trên nửa khoảng [0;

2

π ):

Trang 8

Hàm số y = tanx đồng biến trên nửa khoảng [0;

* Nhận xét: Khi x càng gần

• Đồ thị hàm số y = tanx trên )

2

; 2 ( − π π :

• Đồ thị hàm số y = tanx trên D:

-8

Trang 9

• Tập giá trị của hàm số y = tanx là T = (- ∞ ; + ∞ ).

4 Hàm số y = cotx:

• Tập xác định: D = R\{k π , k ∈ Z};

• Là hàm số chẵn;

• Là hàm số tuần hoàn với chu kì π ;

a) Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = cotx trên khoảng (0; π ):

Hàm số y = cotx nghịch biến trên khoảng (0; π ).

x 0 2

π π

Trang 10

• Tập giá trị của hàm số y = cotx là T = (- ∞ ; + ∞ ).

 Ghi chú:

-10

Trang 11

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1 Bài tập cơ bản:

Bài 1: Hãy xác định các giá trị của x trên đoạn [- π ;

2

3 π ] để hàm số y =

tanx:

a) Nhận giá trị bằng 0; b) Nhận giá trị bằng 1;

Bài 2: Tìm tập xác định của các hàm số:

a) y =

x

sin

cos

1 + ; b) y =

x

cos 1

−

3

tan( x − π ; d) y = )

6 cot( x + π .

Bài 3: Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx, tìm các giá trị của x để cosx =

2

1 Bài 4: Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị dương.

Bài 5: Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị âm.

Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số:

Bài 7: Dựa vào đồ thị của hàm số y = sinx, hãy vẽ đồ thị của hàm số y

=  sinx 

Bài 8: Chứng minh rằng sin2(x + k π ) = sin2x với mọi số nguyên k Từ đó vẽ đồ thị hàm số y = sin2x.

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Xét tính chẵn - lẻ của mỗi hàm số sau:

a) y = -2sinx; b) y = 3sinx - 2; c) y = sinx - cosx; d) y = sinxcos2x + tanx.

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a) y = 2cos(x +

3

) sin(

1 − x2 - 1; c) y = 4sin x

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

Trang 12

-12

Trang 13

§2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

1 Phương trình sinx = a:

Xét phương trình sinx = a (a ∈ R) (1)

Trường hợp  a  > 1: phương trình (1) vô nghiệm

Trường hợp  a  ≤ 1:

sinx = sin α ⇔

) ( 2

2

Z k k x

k x

∈







+

−

=

+

=

π α

π

π α

sinx = a

sinx = a ⇔





+

−

=

+

=

) ( 2 arcsin

2 arcsin

Z k k a x

k a x

π π

π

* Chú ý:

] sin ) ( [sin

sin ) ( sin

0

β

α

=

x u

] 360 180

[ 2 )

(

] 360 [

2 )

(

0 0

0

0 0

Z k k

k x

u

k k

x







+

− +

−

=

+ +

=

β π

α π

β π α

• sinu(x) = a

(-1 ≤ a ≤ 1)

) ) ( (sin

) ( sin

a x u

=

] 360 arcsin

180 [ 2 arcsin )

(

] 360 [arcsin

2 arcsin )

(

0 0

0

Z k k

a k

a x

u

k a k

a x

u

∈







+

− +

−

=

+ +

=

π π

π

• Tổng quát: sin[f(x)] = sin[g(x)] ⇔ ( )

2 ) ( )

(

2 ) ( ) (

Z k k x g x

f

k x g x f

∈







+

−

=

+

=

π π

π

• Đặc biệt: sin[f(x)] = 1 ⇔ f(x) =

2

π + k2 π , k ∈ Z

sin[f(x)] = -1 ⇔ f(x) =

-2

π + k2 π , k ∈ Z

sin[f(x)] = 0 ⇔ f(x) = k π , k ∈ Z.

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) sinx =

2

1

5

1

450) =

-2 2

Giải:

Trang 14

2 Phương trình cosx = a: Xét phương trình cosx = a (a ∈ R) (2) Trường hợp  a  > 1: phương trình (2) vô nghiệm Trường hợp  a  ≤ 1: cosx = cos α ⇔ ) ( 2 2 Z k k x k x ∈    + − = + = π α π α cosx = a cosx = a ⇔    ∈ + − = + = ) ( 2 arccos 2 arccos Z k k a x k a x π π * Chú ý:

] cos ) ( [cos cos ) ( cos 0 β α = = x u x u ⇔ ( ) ] 360 [ 2 ) ( ] 360 [ 2 ) ( 0 0 0 0 Z k k k x u k k x u ∈    + − + − = + + = β π α β π α • cosu(x) = a (-1 ≤ a ≤ 1)

] ) ( [cos ) ( cos a x u a x u = = ⇔ ( ) ] 360 arccos [ 2 arccos ) ( ] 360 [arccos 2 arccos ) ( 0 0 Z k k a k a x u k a k a x u ∈    + − + − = + + = π π • Tổng quát: cos[f(x)] = cos[g(x)] ⇔ ( ) 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( Z k k x g x f k x g x f ∈    + − = + = π π • Đặc biệt: cos[f(x)] = 1 ⇔ f(x) = k2 π , k ∈ Z cos[f(x)] = -1 ⇔ f(x) = π + k2 π , k ∈ Z cos[f(x)] = 0 ⇔ f(x) = 2 π + k π , k ∈ Z. Ví dụ: Giải các phương trình sau: a) cosx = cos 6 π ; b) cos3x = -2 2 ; c) cosx = 3 1 ; d) cos(x + 600) = 2 2 Giải:

-14

Trang 15

3 Phương trình tanx = a: tanx = tan α ⇔ x = α + k π , k ∈ Z [x = β0 + k1800, k ∈ Z] tanx = a tanx = a ⇔ x = arctana + k π , k ∈ Z [x = arctana + k1800, k ∈ Z] * Chú ý: tan[u(x)] = tan α ⇔ u(x) = α + k π , k ∈ Z [u ( x) = β0 + k1800, k ∈ Z] • tan[u(x)] = a tan[u(x)] = a ⇔ u ( x) = arctana + k π , k ∈ Z [u ( x) = arctana + k1800, k ∈ Z] • Tổng quát: tan[f(x)] = tan[g(x)] ⇔ f(x) = g(x) + k π , k ∈ Z • Đặc biệt: tan[u(x)] = 0 ⇔ u(x) = k π , k ∈ Z Ví dụ: Giải các phương trình sau: a) tanx = tan 5 π ; b) tan2x = -3 1 ; c) tan(3x + 150) = 3 Giải:

Trang 16

4 Phương trình cotx = a: cotx = cot α ⇔ x = α + k π , k ∈ Z [x = β0 + k1800, k ∈ Z] cotx = a cotx = a ⇔ x = acrcota + k π , k ∈ Z [x = acrcota + k1800, k ∈ Z] * Chú ý: cot[u(x)] = cot α ⇔ u(x) = α + k π , k ∈ Z [u ( x) = β0 + k1800, k ∈ Z] • cot[u(x)] = a cot[u(x)] = a ⇔ u ( x) = acrcota + k π , k ∈ Z [u ( x) = acrcota + k1800, k ∈ Z] • Tổng quát: cot[f(x)] = cot[g(x)] ⇔ f(x) = g(x) + k π , k ∈ Z • Đặc biệt: cot[u(x)] = 0 ⇔ u(x) = 2 π + k π , k ∈ Z. Ví dụ: Giải các phương trình sau: a) cot4x = cot 7 2 π ; b) cot3x = -2; c) cot(2x - 100) = 3 1 Giải:

-16

Trang 17

 Ghi chuù:

Trang 18

BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập cơ bản: Bài 1: Giải các phương trình sau: a) sin(x + 2) = 3 1 ; b) sin3x = 1; c) sin( 3 3 2 x − π ) = -2 1 ; d) sin(x + 200) = -2 3 Bài 2: Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin3x và y = sinx bằng nhau? Bài 3: Giải các phương trình sau: a) cos(x - 1) = 3 2 ; b) cos3x = cos120; c) cos( 4 2 3 x − π ) = -2 1 ; d) cos22x = 4 1 Bài 4: Giải phương trình 0 2 sin 1 2 cos 2 = − x x Bài 5: Giải các phương trình sau: a) tan(x - 150) = 3 3 ; b) cot(3x - 1) = - 3; c) cos2x.tanx = 0; d) sin3xcotx = 0 Tài liệu lưu hành nội bộ

-18

Trang 19

Bài 6: Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = tan(

4

π

-x) và y = tan2x bằng nhau?

Bài 7: Giải các phương trình sau:

Bài 1: Tìm nghiệm của các phương trình sau trong khoảng đã cho:

a) sin2x =

2

1

− với 0 < x < π ; b) cos(x - 5) =

2 3 với - π < x

< π ;

c) tan(2x - 150) = 1 với -1800 < x< 900; d) cot3x =

3

1

−

với

2

π

− < x < 0 Bài 2: Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:

a) y =

2 sin 2

cos 1

+

−

x

x x

x

cos 2

cos

) 2 sin(

−

c) y =

x

tan 1

tan

1

+

x .

Trang 20

§3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

I- PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là

phương trình dạng: at + b = 0

trong đó a, b là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác.

Cách giải: Biến đổi phương trình đã cho về phương trình lượng giác cơ bản.

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a) 2sinx - 3 = 0; b) 5cosx + 3 = 0; c) 3tanx + 1 = 0; d) 3 cotx - 3 = 0

Giải:

II- PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC: Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình dạng: at2 + bt + c = 0 trong đó a, b, c là các hằng số (a ≠ 0) và t là một trong các hàm số lượng giác Cách giải: Đặt ẩn phụ (điều kiện cho ẩn phụ nếu có), giải phương trình theo ẩn phụ rồi đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản Ví dụ: Giải phương trình sau: Tài liệu lưu hành nội bộ

-20

Trang 21

a) 3cos2x - 5cosx + 2 = 0; b) 3tan2x - 2 3 tanx + 3 = 0; c) 2sin22

x

+

2 sin 2 x - 2 = 0.

Giải:

III- PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI sinx VÀ cosx:

1 Công thức biến đổi biểu thức asinx + bcosx:

asinx + bcosx = a2+ b2 sin(x + α )

với cos α = 2 2

b a

a

+ và sin α = a2 b2

b

+

2 Phương trình dạng asinx + bcosx = c:

Xét phương trình asinx + bcosx = c (a2 + b2 ≠ 0) (1)

Trang 22

Nếu a = 0, b ≠ 0 (hoặc a ≠ 0, b = 0) thì (1) là phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.

Nếu a ≠ 0, b ≠ 0 thì (1) ⇔ a2+ b2 sin(x + α ) = c ⇔ sin(x + α ) = a2 b2

Ví dụ 2: Giải phương trình 3sin3x - 4cos3x = 5.

Trang 23

a) sin2x - sinx = 0; b) 2cos2x - 3cosx + 1 = 0; c) 2tan2x + 3tanx + 1 = 0.

a) cosx - 3sinx = 2 ; b) 3sin3x - cos3x = 2 ;

c) 2sinx + 2cosx - 2 = 0; d) 5cos2x + 12sin2x - 13 = 0.

2 cos 2 2

sin2 x − x + = ; c) tanx - 2cotx +

1 = 0.

a) 2sin2x + sinxcosx - 3cos2x = 0; b) 3sin2x - 4sinxcosx + 5cos2x = 2; c) sin2x + sin2x - 2cos2x =

2

1

; d) 2cos2x - 3 3sin2x - 4sin2x = -4.

a) tan(2x + 1)tan(3x - 1) = 1; b) tanx + tan(x +

4

π ) = 1.

a) 2(sinx + cosx) + 6sinxcosx – 2 = 0; b) 2sin2x - 3 3 (sinx + cosx) + 8 = 0;

c) (1 - 2 )(1 + sinx – cosx) = sin2x; d) cosx – sinx + 3sin2x – 1 = 0; e) 5sin2x + sinx + cosx + 6 = 0; f) sin2x + 2 sin(x -

4

π ) = 1.

a) cosxcos5x = cos2xcos4x; b) sin2x + sin4x = sin6x;

c) sin24x + sin23x = sin22x + sin2x; d) (sinx – cosx)2 – ( 2 + 1)(sinx – cosx) +

2 = 0.

a) sinx + 3 cosx = 2sin(2x +

6

π );

b) 2sinx(cosx - 1) = 3 cos2x; b) cos3x - sinx = 3 (cosx - sin3x); c) 3 cosx - sinx = 2 (sin3x - cos3x).

a)

2

2 )]

Trang 24

Trang 25

* ÔN TẬP CHƯƠNG I *

Trang 26

Trang 27

Bài 1: a) Hàm số y = cos3x có phải là hàm số chẵn không? Tại sao?

b) Hàm số y = tan(x +

5

π

) có phải là hàm số lẻ không? Tại sao?

Bài 2: Căn cứ vào đồ thị hàm số y = sinx, tìm những giá trị của x trên đoạn [

2

3 π

− ; 2 π ] để hàm số đó:

Bài 4: Giải các phương trình sau: a) 2cos2x - 3cosx + 1 = 0; b) 2sinx + cosx = 1.

Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số sau:

a) y = 2 ( 1 + cos x ) + 1; b) y = 3sin(x -

6

π ) - 2;

Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số:

3 tan(

2 sin 1

cot tan

Trang 28

-28

Trang 29

CHƯƠNG II TỔ HỢP - XÁC SUẤT

c) ∅ ⊂ A với mọi tập hợp A.

• Kí hiệu: N*, Z*, Q*, R* là các tập hợp số không có phần tử 0.

2 Các phép toán trên tập hợp:

A x B

A x B A x

A x B A

Phần bù

Khi B ⊂ A thì A\B gọi là phần bù của B trong A, kí hiệu B

A

C

3 Dấu hiệu chia hết:

• Số chia hết cho 2 là những số có chữ số tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8.

• Số chia hết cho 5 là những số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.

• Số chia hết cho 3 là những số có tổng các chữ số chia hết cho 3.

• Số chia hết cho 9 là những số có tổng các chữ số chia hết cho 9.

4 Số và chữ số:

chữ số

Trang 30

Trang 31

§1.QUY TẮC ĐẾM

Số phần tử hữu hạn của tập hợp A được kí hiệu n(A) hoặc  A 

a) Nếu A = {a, b, c} thì số phần tử của tập hợp A là 3, ta viết n(A) = 3 hoặc

A = 3.

b) Nếu A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} và B = {2, 4, 6, 8} thì A\ B = {1, 3, 5, 7}.

- Số phần tử của tập hợp A là n(A) = 9

- Số phần tử của tập hợp B là n(B) = 4

- Số phần tử của tập hợp A\B là n(A\B) = 5

I- Quy tắc cộng:

Quy tắc: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện (không trùng với bất kì cách nào của hàng động thứ nhất) thì công việc đó có m + n cách thực hiện.

* Chú ý: • Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động

• Quy tắc cộng thực chất là quy tắc đếm số phần tử của hai tập hợp hữu hạn không giao nhau Vậy nếu A và B là các tập hữu hạn không giao nhau thì n(A ∪ B) = n(A) + n(B).

II- Quy tắc nhân:

Quy tắc: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp.

Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hoàn thành công việc.

* Chú ý: Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp.

Ví dụ 1: Một mạng đường đi giữa các thành phố A, B, C, D như sau:

(Số giữa hai địa điểm chỉ số con đường đi giữa hai địa điểm đó)

Có bao nhiêu cách đi từ thành phố A đến thành phố D?

Ví dụ 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm:

Giải:

Trang 32

Ví dụ 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5?

Ví dụ 3: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau?

Bài 1: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tựnhiên gồm:

a) Một chữ số? b) Hai chữ số? c) Hai chữ số khác nhau?

-32

Trang 33

Bài 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên bé hơn 100?

Bài 3: Các thành phố A, B, C, D được nối với nhau bởi các con đường (như hình vẽ).

Hỏi: a) Có bao nhiêu cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần?

b) Có bao nhiêu cách đi từ A đến D rối quay lại A?

Bài 4: Có ba kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và bốn kiểu dây (kim loại, da, vải và nhựa) Hỏi có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây?

Bài 5: Lớp 11CB1 có 20 nam và 24 nữ Có bao nhiêu cách chọn ban cán sự lớp 3 người gồm một lớp trưởng nam, một lớp phó nam và một lớp phó nữ.

Bài 1: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, có bao nhiêu cách chọn một số hoặc là số chẵn hoặc là số nguyên tố.

Bài 2: Có bao nhiêu số nguyên dương gồm không quá ba chữ số khác nhau?

Trang 34

§2 HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP

I- HOÁN VỊ:

1 Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

* Nhận xét: Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp

II- CHỈNH HỢP:

số 3 bạn đắc cử ban chấp hành.

1 Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1) Kết quả của việc

lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần

-34

Trang 35

III- TỔ HỢP:

hàng) Liệt kê tất cả các đoạn thẳng được tạo thành từ các điểm đó?

1 Định nghĩa: Giả sử tập A có n phần tử (n ≥ 1) Mỗi tập con gồm k

phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

* Chú ý: Vì tập ∅ (0 phần tử) là tập con của tập A nên ta có điều kiện

n

Ck n

−

= (0 ≤ k ≤ n) (n, k ∈ N)

Ví dụ: Một tổ gồm có 10 người gồm 6 nam và 4 nữ Cần lập một đoàn đại biểu gồm 5 người Hỏi:

a) Có tất cả bao nhiêu cách lập?

b) Có bao nhiêu cách lập đoàn đại biểu, trong đó có ba nam, hai nữ Giải:

3 Tính chất của các số k

k n

Trang 36

Bài 1: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập các số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau Hỏi:

a) Có tất cả bao nhiêu số?

b) Có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ?

c) Có bao nhiêu số bé hơn 432000?

Bài 2: Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho mười người khách vào mười ghế kê thành một dãy.

Bài 3: Giả sử có bảy bông hoa màu khác nhau và ba lọ khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách cắm ba bông hoa vào ba lọ đã cho (mỗi lọ cắm một bông)?

-36

Trang 37

Bài 4: Trong mặt phẳng, cho sáu điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập điểm đã cho?

Bài 5: Có bao nhiêu cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn được chọn từ 6 bóng đèn khác nhau?

Bài 6: Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá một bông) nếu:

a) Các bông hoa khác nhau?

b) Các bông hoa như nhau?

Bài 7: Trong mặt phẳng có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường thẳng song song với nhau và năm đường thẳng vuông góc với bốn đường thẳng song song đó?

Bài 1: Có bao nhiêu cách sắp xếp n đại biểu vào một bàn hình tròn? Bài 2: Một lớp học có 20 nam, 10 nữ Có bao nhiêu cách chọn 3 người trực lớp

c) Có ít nhất một nữ; d) Có nhiều nhất hai nữ.

Bài 3: Một lớp học có 20 nam, 10 nữ Có bao nhiêu cách chọn một ban cán sự gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó học tập, 1 lớp phó phong trào:

Trang 38

Trang 39

§3 NHỊ THỨC NEWTON

I- CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON:

k của 3 phần tử? Trong khai triển đó thành phần nào là số hạng? thành phần nào là hệ số của số hạng?

n n n n n n k

k n k n

n n

C0+ 1+ +

• Với a = 1, b = -1, ta có: (1 - 1)n = 0n = n

n n k

n

k n

C0− 1+ + ( − 1 ) + + ( − 1 )

* Chú ý: Vế phải trong khai triển nhị thức NewTon:

a) Số các hạng tử là n + 1;

b) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n (quy ước

Trang 40

II- TAM GIÁC PASCAL:

0

1

2

3

4

6

Bài 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton:

x

1 )13 Bài 2: Tìm hệ số của x3 trong khai triển của biểu thức (x + 22

x )

6.

-40

Định dạng
Số trang	122
Dung lượng	2,09 MB