Tai lieu giang day toan HH10

Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng: Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó2. Hai vectơ bằng nhau: • Mỗi vectơ có một độ dài, đó là khoảng

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10

CHƯƠNG I VECTƠ

oOo

- CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1 Đoạn thẳng, đường thẳng và tia: Cho hai điểm A, B ta có một đoạn thẳng duy nhất, kí hiệu: AB hoặc BA (Giới hạn hai đầu) Đường thẳng d (Không giới hạn - dài vô tận) Tia Ax (Giới hạn một đầu) 2 Trọng tâm tam giác: Trọng tâm G của tam giác là giao điểm ba đường trung tuyến, và AM AG 3 2 = 3 Đường trung bình của tam giác: Đường trung bình trong tam giác song song và bằng 2 1 cạnh đáy 4 Hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD Ta có: AB // DC và AB = DC BC // AD và BC = AD AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường Khi đó O gọi là tâm của hình bình hành  Ghi chú:

Võ Thanh Hùng - THPT Trần Quốc Toản - Đồng Tháp

-Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10

§1 CÁC ĐỊNH NGHĨA

1 Khái niệm vectơ:

Cho đoạn thẳng AB Nếu ta chọn điểm A làm điểm đầu, điểm B làm điểm cuối thì đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B Khi đó ta nói AB là một đoạn thẳng có hướng.

Định nghĩa: Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.

• Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B được kí

hiệu là: AB

• Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm

cuối của một vectơ thì vectơ được kí hiệu là: a  , b  , x 

, y  , gọi là các vectơ tự do.

 Từ hai điểm phân biệt ta có bao nhiêu vectơ? Nhận xét sự khác nhau giữa đoạn thẳng và vectơ?

2 Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng:

Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.

Định nghĩa: Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng

song song hoặc trùng nhau.

 Nhận xét: • Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.

• Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ AB và AC cùng phương.

 Khẳng định: "Nếu ba điểm A, B, C thẳng hàng thì hai vectơ AB và BC cùng hướng" đúng hay sai? vì sao?

3 Hai vectơ bằng nhau:

• Mỗi vectơ có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và

điểm cuối của vectơ đó Độ dài vectơ AB được kí hiệu là AB Vậy:

BA AB

AB = =

• Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị.

 Hãy nhận xét về hướng và độ dài của hai vectơ AB và DC trong hình vẽ sau:

• Hai vectơ a  và b  được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng hướng và cùng độ dài, kí hiệu a  = b   Hãy dựng vectơ OA bằng vectơ a  * Chú ý: Khi cho trước vectơ a  và điểm O, thì ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho OA = a  4 Vectơ - không: • Vectơ đặc biệt có điểm đầu và điểm cuối đều là A (điểm đầu và điểm cuối trùng nhau), được kí hiệu là: AA và gọi là vectơ - không. • Vectơ - không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ • Độ dài vectơ - không: AA = 0, nên mọi vectơ - không đều bằng nhau. • Vectơ - không được kí hiệu: 0   Ghi chú:

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho ba vectơ a  , b  , c  đều khác vectơ 0  Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Nếu hai vectơ b a  , cùng phương với  c  thì a  và b  cùng phương.

b) Nếu b a  , cùng ngược hướng với  c  thì a  và b  cùng hướng.

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD, tâm O Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD, BC a) Có bao nhiêu vectơ khác vectơ 0  có điểm đầu và điểm cuối là một trong số các điểm A, B, C, D, O, M, N.

b) Chỉ ra hai vectơ có điểm đầu, điểm cuối lấy trong số các điểm A, B, C,

D, O, M, N mà:

i/ cùng phương với AB ; ii/ cùng hướng AB ; iii/ ngược

hướng với AB

c) Chỉ ra các vectơ bằng vectơ MO , OB

Bài 3: Chỉ ra các vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng và các vectơ bằng nhau trong hình sau:

Bài 4: Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng tứ giác đó là hình bình hành khi

và chỉ khi AB = DC

Bài 5: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O.

a) Tìm các vectơ khác 0  và cùng phương với OA ;

b) Tìm các vectơ bằng vectơ AB

Bài 6: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm BC, CA, AB Chứng

minh EF = CD

Bài 7: Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của

BC và AD Điểm I là giao điểm của AM và BN, K là giao điểm của DM và CN Chứng minh AM = NC , DK = NI

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10

§2 TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ

1 Tổng của hai vectơ:

Định nghĩa: Cho hai vectơ a  và

b  Lấy một điểm A tùy ý, vẽ

a

AB =  và BC = b  Vectơ AC được

gọi là tổng của hai vectơ a  và b 

Ta kí hiệu tổng hai vectơ a  và b 

là a  + b 

Vậy:

b a

AC =  + 

2 Quy tắc hình bình hành:

Nếu ABCD là hình bình hành thì:

AC AD

3 Tính chất của phép cộng các vectơ:

Với ba vectơ a  , b  , c  tùy ý ta có:

a b b

a  +  =  +  (tính chất giao hoán)

) ( )

( a  + b  + c  = a  + b  + c  (tính chất kết hợp)

a a

a  +  0 =  0 +  =  (tính chất của vectơ - không)

4 Hiệu của hai vectơ:

 Hãy nhận xét về hướng và độ dài của hai vectơ AB và CD trong hình bình hành ABCD:

a) Vectơ đối: Cho vectơ a  Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với a 

được gọi là vectơ đối của vectơ a  , kí hiệu là - a 

* Chú ý: • Vectơ đối của vectơ AB là BA , nghĩa

là − AB = BA

• Vectơ đối của vectơ 0  là vectơ 0 

Ví dụ: Cho tam giác ABC, gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB Tìm ít nhất ba cặp vectơ đối nhau?

b) Định nghĩa hiệu của hai vectơ: Cho hai vectơ a  và b  Ta gọi hiệu của hai vectơ a  và b  là vectơ a  + ( b −  ) , kí hiệu a  − b  Vậy: ) ( b a b a  −  =  + −  * Chú ý: Phép toán tìm hiệu hai vectơ còn gọi là phép trừ vectơ. c) Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tùy ý, ta có: AC BC AB + = CB AC AB − = Ví dụ: Chứng minh rằng với bốn điểm bất kì A, B, C, D ta luôn có CB AD CD AB + = + Giải:

5 Trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác: • Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi IA + IB = 0  • Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi GA + GB + GC = 0   Ghi chú:

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Chứng minh rằng đối với tứ giác ABCD bất kì ta luôn có

MC

MA + = +

Bài 4: Cho sáu điểm M, N, P, Q, R, S bất kì Chứng minh rằng:

RQ NP MS RS

Bài 7: Chứng minh rằng AB = CD khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng

AD và BC trùng nhau.

Bài 8: Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B sao cho AM > MB Vẽ các vectơ MA + MB và MA − MB

Bài 9: Cho b a  , là hai vectơ khác 0   Khi nào có đẳng thức

a) a  + b  = a  + b  ; b) a  + b  = a  − b 

Bài 10: Cho a  + b  = 0 So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ a  và b  Bài 11: Cho ba lực F1 = MA , F2 = MB và F3 = MC cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật đứng yên Biết cường độ của F1, F2 đều là 100N và góc AMB bằng 600 Tìm cường độ và hướng của lực F 3

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10

§3 TÍCH CỦA VETƠ VỚI MỘT SỐ

1 Định nghĩa:

Cho số k ≠ 0 và vectơ a  ≠ 0  Tích của vectơ a  với số k là một vectơ, kí

hiệu là k a  , cùng hướng với a  nếu k > 0, ngược hướng với a  nếu k < 0 và có độ dài bằng  k  a   .

Ta còn gọi tích của vectơ với một số là tích của một số với một vectơ Quy ước: 0 a  = 0  , k 0  = 0 

2 Tính chất:

Với hai vectơ a  và b  bất kì, với mọi số h và k, ta có:

• k( a  + b  ) = k a  + k b  • (h + k) a  = a  + k a 

• h(k a  ) = (hk) a  • 1 a  = a  , (-1) a  = - a 

 1) Cho hình bình hành MACB, gọi I là giao điểm của AB và MC Nhận xét gì về mối quan hệ giữa MA + MB với MI

2) Cho G là trọng tâm tam giác ABC Dựa vào đẳng thức GA + GB + GC = 0  , chứng minh

MG MC

MB

MA + + = 3

3 Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác:

a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có:

MI MB

MA + = 2 .

b) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có:

MG MC

MB

MA + + = 3

Ví d ụ: Cho hình bình hành ABCD Chứng minh rằng AB + 2 AC + AD = 3 AC

Giải:

4 Điều kiện để hai vectơ cùng phương:

• Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a  và b  (b  ≠ 0  ) cùng phương là có một số k để a  = kb 

• Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để

AC

k

AB =

5 Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương:

Cho hai vectơ a  và b  không cùng

phương Khi đó mọi vectơ x  đều phân

tích được một cách duy nhất theo hai

vectơ a  và b  , nghĩa là có duy nhất

cặp số h, k sao cho x  = a  + k b 

Ví d ụ 1: Cho tam giác ABC cĩ trọng tâm G Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh

BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF Đặt u  = AE , v  = AF Hãy phân tích các vectơ AI , AG , DE , DC

theo hai vectơ u  , v  .

Giải:

Ví dụ 2: Cho 4 điểm A, B, C, M thỏa mãn MA + 2 MB − 3 MC = 0  Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng Giải:

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10

 Ghi chú:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD Chứng minh rằng: AB + AC + AD = 2 AC

Bài 2: Gọi AM là trung tuyến của tam giác ABC và D là trung điểm của đoạn

AM Chứng minh rằng:

a) 2 DA + DB + DC = 0  ; b) 2 OA + OB + OC = 4 OD , với O là một điểm túy ý.

Bài 3: Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD của tứ giác ABCD Chứng minh rằng:

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10

AD BC BD AC

2 Bài 4: Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC Hãy phân tích các vectơ AB , BC , CA theo hai vectơ u  = AK , v  = BM

Bài 5: Trên đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác ABC lấy một điểm M sao cho MB 3 = MC Hãy phân tích vectơ AM theo hai vectơ u  = AB và v  = AC

Bài 6: Cho hai điểm phân biệt A và B Tìm điểm K sao cho: 3 KA + 2 KB = 0 

Bài 7: Cho tam giác ABC Tìm điểm M sao cho MA + MB + 2 MC = 0 

Bài 8: Cho lục giác ABCDEF Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Bài 9: Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến

BC, AC, AB Chứng minh rằng MD ME MF MO

2

3

= +

§4 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

1 Trục và độ dài đại số trên trục:

• Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị e 

Kí hiệu: (O; e  ).

• Cho điểm M nằm trên trục (O; e  ) Khi đó có duy nhất một số k sao cho

OM = k e  Ta gọi số k đó là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho.

• Cho hai điểm A, B nằm trên trục (O; e  ) Khi đó có duy nhất số a sao cho

AB = a e  Ta gọi số a đó là độ dài đại số của vectơ AB đối với hệ trục đã

cho và kí hiệu a = AB

* Nhận xét: Nếu AB cùng hướng e  thì AB = AB, còn nếu AB ngược

hướng e  thì AB = -AB Độ dài đại số của vectơ OM chính là tọa độ điểm M.

• Nếu hai điểm A và B trên trục (O; e  ) có tọa độ lần lượt là a và b thì AB

= b - a.

Ví dụ: Trên trục cho các điểm A, B, M, N lần lượt có tọa độ là -4; 3; 5; -2.

a) Hãy biểu diễn các điểm đó trên trục số;

b) Hãy xác định độ dài đại số của các vectơ AB , AM , MN

Giải:

2 Hệ trục tọa độ:

a) Định nghĩa:

Hệ trục tọa độ (O; i  ,  j ) gồm hai trục (O; i  ) và (O; j  ) vuông góc với nhau.

• Điểm gốc O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ.

• Trục (O; i  ) được gọi là trục hoành và kí hiệu Ox

• Trục (O; j  ) được gọi là trục tung và kí hiệu Oy.

• Các vectơ i  và j  là các vectơ đơn vị trên Ox và Oy và i  =  j = 1 Hệ trục tọa độ (O; i  ,  j ) còn được gọi là Oxy.

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10

* Chú ý: Khi trong mặt phẳng đã cho một hệ trục tọa độ Oxy, gọi mặt

phẳng đó là mặt phẳng tọa độ Oxy hay mặt phẳng Oxy.

b) Tọa độ của vectơ:

Đối với hệ trục tọa độ (O; i  ,  j ), mọi vectơ u  đều được biểu diễn u  = x i 

+y j  với (x; y) là cặp số duy nhất.

Khi đó: cặp số (x; y) được gọi là tọa độ của vectơ u  , kí hiệu là: u  = (x; y) hay u  (x; y).

Như vậy: u  = (x; y) ⇔ u  = x i  + y j 

* Nhận xét: Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.

Nếu u  = ( y x ; ) , u  ' = ( x ;' y ' ) thì u  = u  ' ⇔







=

= '

'

y y

x x

c) Tọa độ của một điểm: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ

OM được gọi là tọa độ của điểm M

• Cặp số (x; y) là tọa độ của điểm M khi và chỉ khi OM = (x; y) Ta viết:

M(x; y) hoặc M = (x; y).

Hoành độ của điểm M còn được kí hiệu xM, tung độ điểm M còn được kí hiệu yM.

• Gọi M1, M2 lần lượt là hình

chiếu của M trên Ox, Oy Khi đó, nếu

M(x; y) thì

x = OM1

y = OM2

Ví dụ 1:

Xác định tọa độ các điểm A, B,

C, D, E, F trên hình vẽ.

Giải:

Ví dụ 2:

Biểu diễn các điểm sau đây

trên hệ trục tọa độ Oxy:

M(-2; 3), N(0; -4), P(3; 0), Q(-5; 6), I(-4; -2)

d) Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng:

Với hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) thì: AB = (xB - xA; yB - yA)

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(2; 5), B(1; 2) và C(4; 1) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

Giải:

3 Tọa độ của các vectơ u  + v  , u  − v  , k u  : Cho u  = (u1; u2) và v  = (v1 ; v2) Khi đó: • u  + v  = (u1 + v1; u2 + v2); • u  − v  = (u1 - v1; u2 - v2); • k a  = (kx; ky) với k ∈ R; Ví dụ 1: Cho a  = ( 1 ; − 2 ) , b  = ( 3 ; 4 ) , c  = ( 5 ; − 1 ) Tìm tọa độ vectơ u  = 2 a  + b  − c  Giải:

Ví dụ 2: Cho a  = ( 1 ; − 1 ), b  = ( 2 ; 1 ) Hãy phân tích vectơ c  = ( 4 ; − 1 ) theo a  và b  Giải:

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10

* Chú ý: Vectơ u  =(u1; u2) cùng phương với vectơ v  =(v1; v2) với v  ≠ 0  khi và chỉ khi tồn tại số thực k khác 0 sao cho u  = k v  hay    = = 2 2 1 1 kv u kv u Ví dụ 1: Cho u  =(2; -5) Tìm x biết rằng b  = (6; x) cùng phương với u  Giải:

Ví dụ 2: Cho ba điểm A(-2; -1), B(3; 2 3 ), C(2; 1) Hãy chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng Hai vectơ AB và AC cùng hướng hay ngược hướng? Giải:

4 Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng Tọa độ của trọng tâm tam giác:

 Cho A(xA; yA), B(xB; yB), gọi I(xI; yI) là trung điểm AB Từ đăng thức IA + IB = 0  , hãy tìm tọa độ điểm I?

• Cho đoạn thẳng AB có A(xA; yA), B(xB; yB) Khi đó tọa độ trung điểm I(xI; yI) của AB được tính theo công thức:

2

B A I

x x

,

2

B A I

y y

.

 Cho A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC), gọi G(xG; yG) là trọng tâm tam giác ABC Hãy phân tích vectơ

OG theo ba vectơ OA , OB , OC Từ đó hãy tính tọa độ của G theo tọa độ của A, B, C.

• Cho tam giác ABC có A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC) Khi đó tọa độ trọng tâm G(xG; yG) được tính theo công thức

3

C B A G

x x x

3

C B A G

y y y

Ví dụ: Cho tam giác ABC có ba đỉnh A(2; 3), B(6; 7), C(1; 2) Tìm tọa độ trung điểm I của cạnh AB và trọng tâm G của tam giác ABC.

Giải:

 Ghi chú:

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Trên trục (O; e  ) cho các điểm A, B, M, N có tọa độ lần lượt là -1; 2; 3; -2.

a) Hãy vẽ trục và biểu diễn các điểm đã cho trên trục;

b) Tính độ dài đại số của AB và MN Từ đó suy ra hai vectơ AB và MN

ngược hướng.

Bài 2: Tìm tọa độ của các vectơ sau:

a) a  2 = i  ; b) b  = − 3  j ; c) c  = 3 i  − 4  j ; d) d  = 0 , 2 i  + 3  j

Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có A(-1; -2), B(3; 2), C(4; -1) Tìm tọa độ đỉnh D Bài 4: Cho a  =(2; -2), b  =(1; 4) Hãy phân tích vectơ c  =(5; 0) theo hai vectơ a  và

b 

Bài 5: Các điểm A'(-4; 1), B'(2; 4) và C'(2; -2) lần lượt là trung điểm các cạnh

BC, CA và AB của tam giác ABC Tính tọa độ các đỉnh của tam giác ABC Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác ABC và A'B'C' trùng nhau.

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10

* ÔN TẬP CHƯƠNG I *

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O Hãy chỉ ra các vectơ bằng AB có

điểm đầu và điểm cuối là O hoặc các đỉnh của lục giác.

Bài 2: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a Tính: a) AB + AC ;

b) AB − AC

Bài 3: Cho sáu điểm M, N, P, Q, R, S bất kì Chứng minh rằng:

RQ NP MS RS

a) Tìm tọa độ của vectơ u  = 3 a  + 2 b  − 4 c  ;

b) Tìm tọa độ vectơ x  sao cho x  + a  = b  − c  ;

c) Tìm các số k và h sao cho c  = a  + h b 

Bài 6: Cho u  i  5  j

2

1 −

= , v  = m i  − 4 j  Tìm m để u  và v  cùng phương.

Bài 7: Cho tam giác OAB Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OA và OB Tìm các số m, n sao cho:

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10

CHƯƠNG II TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

oOo

1 Các điểm đặc biệt trong tam giác:

Trọng tâm G của

tam giác là giao

điểm ba đường trung

tuyến, và AG AM

3

2

=

Trực tâm H của tam giác ABC là giao điểm ba đường cao.

Tâm O đường tròn ngoại tiếp

∆ ABC là giao điểm

ba đường trung trực.

Tâm I của đường tròn nội tiếp ∆ ABC là giao điểm ba đường phân giác trong.

2 Tam giác vuông ABC vuông tại A:

2

1 1

1

AC AB

3 Các công thức đặc biệt:

• Diện tích tam giác đều: S = (cạnh)2 ×

4

3 • Chiều cao tam giác

đều: h = cạnh ×

2 3

• Độ dài đường chéo hình vuông: l = cạnh × 2

4 Diện tích các hình đặc biệt khác:

• Hình vuông: S = cạnh × cạnh • Hình thoi: S =

2

1

(chép dài × chéo ngắn)

• Hình chữ nhật: S = dài × rộng • Hình thang: S =

2

1

(đáy lớn + đáy bé) × chiều cao

• Hình tròn: S = π R2 • Hình bình hành: S = đáy × chiều cao

5 Hai tam giác đồng dạng và định lí Talet:

• ∆ ABC ∽ ∆ MNP nếu chúng có hai góc tương

ứng bằng nhau.

• Nếu ∆ ABC ∽ ∆ MNP thì

MP

MN AC

MN AC

AN AB

§1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ 00

ĐẾN 1800

1 Định nghĩa:

Nửa đường tròn đơn vị:

Nửa đường tròn tâm O nằm phía

trên trục hoành bán kính R = 1 được

gọi là nửa đường tròn đơn vị.

 Nếu cho trước một góc nhọn α thì ta có thể xác định một điểm M duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho góc xOM bằng α Giả sử điểm M có tọa độ (x0; y0) Hãy chứng tỏ rằng sin α = y0, cos α = x0, tan α =

Với mỗi góc α (00 ≤ α ≤ 1800) ta xác định

một điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao

cho góc xOM bằng α và giả sử điểm M có

tọa độ M(x0; y0) Khi đó ta định nghĩa:

• sin của góc α là x0, kí hiệu sin α = y0;

• côsin của góc α là x0, kí hiệu cos α = x0;

• tang của góc α là

Các số sin α , cos α , tan α , cot α được gọi là các giá trị lượng giác của góc α

 Nhắc lại mối quan hệ giữa tọa độ của điểm M(x0; y0) và độ dài đại số của các vectơ

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10

* Chú ý: • Nếu α là góc tù thì cos α < 0 , tan α < 0, cot α < 0.

• tan α chỉ xác định khi α ≠ 900, cot α chỉ xác định khi α ≠ 00 và α ≠

4 Góc giữa hai vectơ:

Định nghĩa: Cho hai vectơ a  và b  đều

khác vectơ 0  Từ một điểm O bất kì ta vẽ

a

OA =  và OB = b  Góc AOB với số đo từ 00

đến 1800 được gọi là góc giữa hai vectơ a 

và b  Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ a  và b 

là ( b a  ,  )

Nếu ( b a  ,  ) = 900 thì ta nói rằng a  và b 

vuông góc với nhau, kí hiệu là a  ⊥ b  hoặc

a

b  ⊥ 

* Chú ý: Từ định nghĩa ta có ( b a  ,  ) = ( a b  ,  )

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A và có góc B = 500 Tính các góc (

5 Sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị lượng giác của một góc:

• Tính các giá trị lượng giác của góc α :

Ấn MODE khi màn hình xuất hiện ấn 1 để chọn đơn vị

đo góc là "độ".

Để tính sin, cos, tan của một góc α: ấn sin, cos hay tan → ấn góc α

Ví dụ: Tính sin của góc α = 63052'41'' ta thực hiện:

Ấn sin → ấn 63 → ấn o''' → ấn 52 → ấn o''' → ấn 41 → ấn o''' → ấn =

ta được kết quả ≈ 0.897859012

 Chọn đơn vị cho máy là "Deg"

ấn sin-1, cos-1 hay tan-1 → ấn số a → ấn =

Ví dụ: Tìm góc x biết sinx = 0.3502 ta thực hiện:

Ấn sin-1→ ấn 0.3502 → ấn = →  SHIFT → ấn o'''

ta được kết quả 20029'58''.

6 Công thức sin2α + cos2α :

Deg Rad Gra

1 2

"Độ

" "Radian "

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10

Với mọi góc α bất kì ta có: sin2α +

cos2α = 1

* Chú ý: (sin α )2 được kí hiệu sin2α

Ví dụ1: sin2(2a) + cos2(2a) =

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1: Chứng minh rằng:

a) sin1050 = sin750; b) cos1700 = -cos100; c) cos1220 = -cos580 Bài 2: Tính 3sin1350 + cos600 + 4sin1500.

Bài 3: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có: a) sin Α = sin(B + C); b) cosA = -cos(B + C).

Bài 4: Cho góc x, với cosx =

3

1

Tính giá trị của biểu thức P = 3sin2x + cos2x Bài 5: Cho AOB là tam giác cân tại O có OA = a và có các đường cao OH và

AK Giả sử góc AOH bằng α Tính AK và OK theo a và α

Bài 6: Cho hình vuông ABCD Tính: cos( AC , BA ) , sin( AC , BD ) , cos( AB , CD )

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

§2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

1 Định nghĩa:

Cho hai vectơ a  và b  đều khác vectơ 0  Tích vô hướng của a  và b  là một

số, kí hiệu là b a  , được xác định bởi công thức sau: 

) , cos(

b a b a b

a   =    

* Chú ý: • Nếu a  = 0  hoặc b  = 0  ta quy ước b a  = 0 

• Với a  và b  khác vectơ 0  ta có a  b  = 0 ⇔ a  ⊥ b 

• Khi a  = b  tích vô hướng a  a  = a  .a  cos 00 được kí hiệu là a 2 và số này

được gọi là bình phương vô hướng của vectơ a 

Ta có: a 2= a 2 (bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của nó)

Ví dụ: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và có chiều cao AH Tính các tích vô hướng AB. AC , AC. CB , AH. BC

2 Các tính chất của tích vô hướng:

Với ba vectơ a  , , b  c  bất kì và mọi số k ta có:

a b b

a   =   (tính chất giao hoán)

c a b a c b

a  (  +  ) =   +   (tính chất phân phối)

) (

) ( ).

( k a  b  = k a  b  = a  k b 

0 0

3 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng:

Trên mặt phẳng tọa độ ( O , i  ,  j ) , cho hai vectơ a  = ( a1; a2) , b  = ( b1; b2) Khi đó:

2 2 1 1 b a b a b

a   = +

* Nhận xét: Cho hai vectơ a  = ( a1; a2) , b  = ( b1; b2) đều khác vectơ 0  Ta có:

0 =

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 10

Ví dụ 2: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm M(-3; 4), N(1; -3) Tìm điểm

P trên trục Ox sao cho tam giác MNP vuông tại P.

4 Ứng dụng:

a) Độ dài của vectơ: Độ dài của vectơ a  = ( a a1; 2) được tính theo công thức:

2 2

2

1 a a

a  = + b) Góc giữa hai vectơ: Cho hai vectơ a  = ( a1; a2) , b  = ( b1; b2) đều khác 0  thì ta có:

2 2

2 1

2 2

2 1

2 2 1 1.

) , cos(

b b a a

b a b a b

a

b a b a

+ +

c) Khoảng cách giữa hai điểm: Khoảng cách giữa hai điểm A(xA; yA), B(xB; yB) được tính:

2

) ( xB xA yB yAAB

 Ghi chú: