Tai lieu giang day toan GT12

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12MỘT SỐ KÍ HIỆU THÔNG DỤNG Võ Thanh Hùng - THPT Trần Quốc Toản - Đồng Tháp... ---Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12CHƯƠNG I... Tài liệu

Trang 1

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

MỘT SỐ KÍ HIỆU THÔNG DỤNG

Võ Thanh Hùng - THPT Trần Quốc Toản - Đồng Tháp

Trang 2

-Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12

CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

oOo

1 Dấu nhị thức bậc nhất:

 Dạng f(x) = ax + b (a  0) Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax +

b = 0.

 Bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b (a  0):

x - -

a b

+

ax + b trái dấu với a 0 cùng

dấu với a

2 Dấu tam thức bậc hai:

 Dạng f(x) = ax2 + bx + c (a  0) Nghiệm của tam thức là nghiệm phương trình

f(x) cùng dấu với a

 Nếu  = 0 thì: phương trình f(x) = 0 có nghiệm kép x =

f(x) cùng dấu với a 0

cùng dấu với a

 Nếu  > 0 thì: phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm x1, x2 (x1 < x2) và

x - x1 x2

+

f(x) cùng dấu với a 0 trái dấu với a 0

cùng dấu với a

* Chú ý: Có thể xét dấu tam thức bậc hai theo ' nếu hệ số b

Ví dụ1: Xét dấu các biểu thức sau:

a) f(x) = (x - 1)(x2 - 2x - 3); b) f(x) = 2

) 1 (

Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau:

Tài liệu lưu hành nội bộ

-2

Trang 3

a) x2 + 2x + 3 < 0; b) (x - 1)(x + 1)2  0; c)

1 2

5 1

0 1

6

0 15

4 Dấu các nghiệm phương trình bậc hai:

Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (*) ( = b2 - 4ac)

Phương trình (*) có hai

nghiệm trái dấu (x1

a

b S a

c P a

Phương trình (*) có hai nghiệm dương phân

a

b S a

c P a

5 Điều kiện không đổi dấu của tam thức bậc hai:

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a  0).

) ( ) ( ) (

) (

x g

x r x k x g

x f



 (với f(x) là đa thức có bậc lớn hoặc bằng bậc của g(x)), trong đó k(x) là thương và r(x) là dư trong phép chia

) (

x g

x f

.

Ví dụ 1: Biễu diễn các phân thức dạng

) (

x g

x f

thành dạng

) (

) ( ) (

x g

x r x







 1

1 22

; g)

2 2

2 33

2 1

2

5 2 3

7 Các khái niệm liên quan đến hàm số:

Hàm số cho bởi biểu thức được kí hiệu y = f(x) với f(x) là một biểu thức chứa biến x.

Trang 4

 Tập xác định của hàm số: D = {x  R 

b) Tính giá trị của hàm số tại x = -2;

c) Tìm tọa độ điểm M có hoành độ x = 0

trên đồ thị hàm số (1);

d) Tìm trên đồ thị hàm số (1) những

điểm có tung độ bằng 0

Ví dụ 3: Tìm tập xác định của các hàm

1 3

;

c) y =

1

12

0

x fx

x

1

4 lim

x

x   ; i)

20

1 2 lim

4 lim





9 Đạo hàm:

a) Các phép toán: Giả sử u = u(x), v = v(x), w = w(x) là các hàm số có

đạo hàm, khi đó:

(u + u - w)' = u' + v' - w'; (uv)' = u'v + v'u; (k.u)' = k.u' ;

2' ' )' (

v

u v v u v

)'

1 (

v

b) Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản:

Đạo hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm hàm số hợp (u = u(x))

(  (x > 0)

2

1 )'

2

' )' (  (u > 0)

2

' )'

1 (

u

u   (u  0) (sinx)' = cosx

(cosx)' = -sinx (sinu)' = cosu.u' (cosu)' = -sinu.u'

-4

Trang 5

(tanx)' =

x

2 cos

1 (x    k 

2 , k  Z) (cotx)' =

-x

2 sin

1 (x  k, k  Z).

(tanu)' =

u

2 cos

' (u    k 

2 , k  Z) (cotu)' =

-u

u

2 sin

' (u  k, k  Z).

c) Một số công thức tính đạo hàm đặc biệt:

 (

d cx

b ax



 )' = 2

) ( cx d

bc ad





2 2

) (

2 )'

(

e dx

dc be aex adx

e dx

c bx ax











2 2

2

) (

2 ) (

)' (

f ex dx

ec bf x dc af x

bd ae f

ex dx

c bx ax

















Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm số sau đây:

a) y = x3 +

x

1

- x2  1 ; b) y =

2

3





x

2

1



x

1



d) Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M(x0; y0) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) là f'(x0) và phương trình tiếp tuyến tại M(x0; y0) có dạng: y - y0 = f'(x0)(x - x0).

Ví dụ: Cho hàm số y = x2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số đó, biết:

a) Tiếp điểm là điểm (1; 1);

b) Tung độ của tiếp điểm bằng 4;

c) Tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = -x + 2;

d) Tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y = 1

2

1



10 Lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số y = ax + b & y = ax2 + bx +

c (a ≠ 0):

 Yêu cầu lập được bảng biến thiên và vẽ được đồ thị các hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai.

Ví dụ:Vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) y = 2x - 1; b) y = 1 - x; c) y = 2; d) x = -3; e) y = x.

11 Tìm tọa độ giao điểm của hai đường:

 Yêu cầu tìm được tọa độ giao điểm của hai đường có phương trình cho trước.

Ví dụ 1: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm số:

a) (C): y = x2 - 2x + 2 và d: y = x; b) (C): y = x3 + 4x2 + 4x + 1 và d:

y = x + 1;

c) (C): y = x3 + 3x2 + 1 và d: y = 2x + 5; d) (C): y = x3 - 3x và d: y = x2 + x -4.

Ví dụ 2: Tìm tọa giao điểm của các đường sau đây với hai trục tọa độ:

a) y = x + 1; b) y = x2 + 1; c) y = x2 - 5x + 6; d) y = x4 -4x2 + 3.

 Ghi chú:

Trang 6

-6

Trang 7

Trang 8

§1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

I - TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:

1) Định nghĩa:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên K (K = (a; b) hoặc K = [a; b) hoặc K = (a; b] hoặc K = [a; b])

Hàm số y = f(x) đồng biến

(tăng) trên K nếu với mọi cặp x1,

x2 thuộc K sao cho:

a

xlim

y 

b

xlim

Đồ thị hàm số đồng biến là đường đi lên từ trái sang phải là đường đi xuống từ trái sang phải Đồ thị hàm số nghịch biến

2) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm:

 Tính đạo hàm y', xét dấu y', quan sát đồ thị hàm số y = f(x) để hoàn thiện bảng biến thiên và rút ra nhận xét:

y' - 0 + y

+

0 b) y =

x

1 TXĐ: D =

y' =

Bảng biến thiên: Đồ thị:

x - 0 +

y'

y Nhận xét: Nếu y' < 0 trên K thì hàm số trên K.

Nếu y' > 0 trên K thì hàm số trên K.

-8

Trang 9

Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.

a) Nếu f'(x) > 0 x  K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

b) Nếu f'(x) < 0 x  K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

* Hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên K gọi chung là đơn điệu trên K, K gọi chung là khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x).

Ví dụ: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số

a) y = 2x4 + 1; b) y = sinx trên khoảng (0; 2).

Giải:

* Chú ý: Quan sát đồ thị hàm số y = x3 và trả lời câu hỏi: Khẳng định sau đúng hay sai? vì sao? "Nếu hàm số y = f(x) tăng trên R thì f'(x) > 0 với mọi x  R" Trả lời:

Trang 10

Định lí mở rộng: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K Nếu f'(x)  0 (f'(x)  0), x  K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x0 thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K.  Nếu f'(x) = 0 x  K thì f(x) không đổi trên K (hay hàm số y = f(x) là hàm hằng y = c trên K) II QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ: 1 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x):  Trình bày bài giải:  Tìm tập xác định D của hàm số (D = {x  R  f(x) có nghĩa})  Tính đạo hàm f'(x) Cho f'(x) = 0, tìm các điểm xi (i = 1, 2, , n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định  Lập bảng biến thiên (lưu ý sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần trên bảng biến thiên).  Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số Ví dụ 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x) = 2 2 2 1 3 1 3 2    x x x Giải:

Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau: Tài liệu lưu hành nội bộ

-10

Trang 11

a) y = 2x3 + 6x2 + 6x - 7; b) y = x4 - 2x2 - 3; c) y =

-2

4

x - x2 +

2

3

; d) y =

1





x

Giải:

Trang 12

2 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức: Ví dụ: Chứng minh rằng x > sinx trên khoảng (0; 2  ) Giải:

 Ghi chú:

-12

Trang 13

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1 Bài tập cơ bản:

Bài 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

a) y =

3

1

x3 + 3x2 - 7x - 2; b) y = -x3 + x2 - 5; c) y = 3x3 - 8x2;

d) y = x3 - 6x2 + 9x; e) y = x3 - 3x2 - x + 3; f) y = 2x3 - 6x + 2.

Bài 2: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

a) y = x4 - 2x2 + 3; b) y = x4 + 8x2 + 5;

Trang 14

c) y = 16x + 2x2 -

3

16

x3 - x4; d) y = x – 24 x + 3.2 Bài 3: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

a) y =

x



 1

1 3

7

2 3





x

1





x

a) y =

1

1 2







x

x x



 1

2

1

3 2 2





x

2 Bài tập nâng cao:

a) y =

9

2

2 

x

Bài 2: Chứng minh rằng hàm số y =

1

2 

x

đồng biến trên khoảng (-1; 1) và nghịch biến trên các khoảng (-; -1) và (1; +) (HD: Chứng minh y' 0x (-1;1)

và y'  0x (-;-1) (1; +))

Bài 3: Chứng minh hàm số y = 2 x  x2 đồng biến trên (0; 1) và nghịch biến trên (1; 2)

Bài 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) tanx > x (0 < x <

2



3

x (0 < x <

2

 ).

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

-14

Trang 15

§2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU: Lập bảng biến thiên của hàm số sau: y = x x x 2 5 2 3 6 1 3 2  

Đồ thị hàm số y = x x x

2

5 2

3 6

1 3 2



Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b)

(có thể a là -; b là +) và điểm x0  (a; b).

a) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x0) với mọi x  (x0 - h; x0 + h) và x 

x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0.

Trang 16

b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x0) với mọi x  (x0 - h; x0 + h) và x 

x0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0.

* Chú ý:

a) Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là fCĐ (fCT) hay yCĐ (yCT), còn điểm M(x0; f(x0)) gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

b) Các điểm cực đại, điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

c) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b) và đạt cực trị tại

x0 thì f'(x0) = 0.

II ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ:

Định lí: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x0 - h; x0

+ h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \{x0}, h > 0.

a) Nếu f'(x) > 0 trên khoảng (x0 - h; x0) và f'(x) < 0 trên khoảng (x0;

x0 + h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x).

b) Nếu f'(x) < 0 trên khoảng (x0 - h; x0) và f'(x) > 0 trên khoảng (x0;

x0 + h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

III QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ:

1 Quy tắc 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số y = f(x)

 Tìm tập xác định.

 Tính f'(x) Tìm các điểm x sao cho tại đó f'(x) bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.

 Lập bảng biến thiên.

 Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

x x0 - h x0

x0 + h

f'(x) + 0

-f(x) yCĐ x x0 - h x0 x0 + h f'(x) - 0 +

f(x)

yCT "Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm" "Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương" Ví dụ 1: Tìm các điểm cực trị của hàm số y = x3 - x2 - x + 3 Giải:

-16

Trang 17

Ví dụ 2: Tìm cực trị của hàm số y = 1 1 3   x x Giải:

 Áp dụng quy tắc I, hãy tìm cực trị của hàm số f(x) = x(x2 - 3) 2 Quy tắc 2: Định lí 2: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng (x0 - h; x0 + h), với h > 0 Khi đó: a) Nếu      0 ) ( '' 0 ) ( ' 0 0 x f x f thì x0 là điểm cực tiểu b) Nếu      0 ) ( '' 0 ) ( ' 0 0 x f x f thì x0 là điểm cực đại. Quy tắc 2:  Tìm tập xác định  Tính f'(x) Giải phương trình f'(x) = 0 và kí hiệu xi (i = 1, 2, ) là các nghiệm của nó  Tính f''(x) và tính f''(xi)  Dựa vào dấu của f''(xi) để suy ra tính chất cực trị của điểm xi Ví dụ: Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau: a) f(x) = 4 1 x4 - 2x2 + 6; b) f(x) = sin2x Giải:

Trang 18

 Ghi chú:

-18

Trang 19

Bài 1: Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) y = 2x3 + 3x2 - 36x - 10; b) y = x4 + 2x2 - 3; c) y = x +

x

1

; d) y = x3(1 - x)2; e) y = x2  x  1

Bài 2: Áp dụng quy tắc 2, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:

a) y = x4 - 2x2 + 1; b) y = sin2x - x; c) y = sinx + cosx; d) y = x5 - x3 - 2x + 1.

Bài 3: Tính khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 2.

Bài 4: Tìm các giá trị của m để x = 1 là một điểm cực tiểu của hàm số

y =

1

1 2









x

m mx

Bài 5: Xác định giá trị của tham số m để hàm số y =

m x

mx x



2

đạt cực đại tại x = 2.

Bài 6: Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số y = x3 - mx2

- 2x + 1 luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu (HD: Chứng minh y'

= 0 có hai nghiệm phân biệt)

Bài 1: Cho hàm số y = x3 - 6x2 + 3(m + 1)x - m - 6 Xác định m sao cho:

a) Hàm số có cực trị; b) Hàm số có hai điểm cực trị cùng dấu.

Bài 2: Tìm a và b để các cực trị của hàm số y =

3

5

a2x3 + 2ax2 - 9x + b đều là những số dương và x0 =

9

5

 là điểm cực đại.

Trang 20

-20

Trang 21

§3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM

SỐ

I ĐỊNH NGHĨA:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D.

a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x)  M với mọi x thuộc D và tồn tại x0 D sao cho f(x0) = M Kí hiệu M =

 Quan sát đồ thị các hàm số sau và trả lời các câu hỏi tương ứng:

Giá trị lớn nhất của hàm số

 Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b).

 Ta lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x) trên khoảng (a; b), từ đó

suy ra kết luận.

(Nếu bài toán không chỉ ra khoảng K thì ta tìm GTLN, GTNN trên tập

xác định)

x a x0

b f'(x) + -

f(x) GTLN

x a x0b

f'(x) - +

f(x)

GTNN Trong đó: f'(x) = 0 hoặc không xác định tại x0.

Ví dụ 1: Tìm GTNN và GTLN của hàm số y = x - 5 +

x

1 trên khoảng (0; +).

Giải:

Trang 22

Trang 23

 Quan sát đồ thị hàm số sau và trả lời các câu hỏi tương ứng:

Giá trị lớn nhất của hàm số y = x3

-x2 - x + 2 trên đoạn [0; 2] là: tại x =

Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3

-x2 - x + 2 trên đoạn [0; 2] là: tại x =

2/ Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn:

 Tìm các điểm x1, x2, , xn trên khoảng (a; b), tại đó f'(xi) = 0 hoặc không xác định (i = 1, 2, n).

Trang 24



 ] và [  ; 2 

 Nếu hàm số y = f(x)

đồng biến trên [a; b] thì:

max[ b]y = f(b), min[ ]

b y = f(a)

 Nếu hàm số y = f(x)

nghịch biến trên [a; b]

Trang 25

IV ỨNG DỤNG:

Ví dụ: Cho một tấm nhôm

hình vuông cạnh a Người ta

cắt ở bốn góc bốn hình

vuông bằng nhau, rồi gập

tấm nhôm lại như hình vẽ để

được một cái hộp không nắp.

Tính cạnh của các hình vuông

bị cắt sao cho thể tích của

khối hộp là lớn nhất.

Trang 26

Trang 27

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) y = x3 - 3x2 - 9x + 35 trên [-4; 4] và [0; 5]; b) y = x4 - 3x2 + 2 trên [0; 3] và [2; 5];

2 trên [2; 4] và [-3; -2]; d) y = 5  4 x trên [-1; 1].

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 4  x 2 x Bài 3: Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

nhật có diện tích lớn nhất (HD: Gọi x là cạnh thứ nhất của hình chữ nhật,

tìm cạnh thứ hai và chu vi của hình chữ nhật theo x.)

Bài 5: Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích 48cm2, hãy xác

định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất (HD: Gọi x là cạnh thứ nhất của hình

chữ nhật, tìm cạnh thứ hai và diện tích hình chữ nhật theo x.)

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y =

2

32

x ; b) f(x) = -3x2 + 4x - 8 trên [-2;

2

3 ); c) y = x -

x

1 trên (0; 2].

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x +

Bài 4: Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

a) y = 2sin2x + 2sinx - 1; b) y = cos22x - sinxcosx + 4.

Bài 5: Cho số dương m Hãy phân tích m thành tổng của hai số dương sao cho tích của chúng là lớn nhất.

Bài 6: Tìm hai số biết hiệu của chúng là 13 sao cho tích của chúng là bé nhất.

Bài 7: Hãy tìm tam giác vuông có diện tích lớn nhất nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số a (a > 0).

Bài 8: Cho hàm số y  2 x4 3 x2 2 x  1 Tìm trên đồ thị hàm số điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng (d): y = 2x - 1 là nhỏ nhất.

Bài 9: Tìm x để các hàm số sau đây đạt giá trị lớn nhất:

Trang 28

Trang 29

§4 ĐƯỜNG TIỆM CẬN

 Quan sát đồ thị hàm số y =

, trả lời các câu hỏi sau:

 Tính các giới hạn

2

1 lim

 Khoảng cách từ một điểm M(x; y) trên đồ thị hàm số đến đường thẳng x = 2 càng gần số nào khi x  2+ và khi x 2-và đồ thị hàm số như thế nào với đường thẳng x = 2 khi x  2+và khi x 2-?

I ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG:

Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn (là

khoảng dạng (a; +  ), (-  ; b) hoặc (-  ; +  )) Đường thẳng y = y0 là đường tiệm

cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất

một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:xlim f(x) = y 0 (hoặcxlim f(x) = y 0).

* Chú ý: Nếu x f x x f x  l







 ( ) lim ( ) lim , ta viết chung là x f x  l



 ( )

II – ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG

Đ ịnh nghĩa: Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (hay

tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các

điều kiện sau được thỏa mãn: 

 0

lim

x

x f(x) = +  (hoặc 

Trang 30

Bài 1: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:

a) y =

1 2

2 3

5 2

-30

Trang 31

1

x x

Bài 1: Cho hàm số y =

1

1 2

Trang 32

§5 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

 Điểm uốn của đồ thị hàm số:

Lõ m

Lồ i

O

x y

* Nhận xét:

Hàm bậc ba hoặc có một điểm uốn hoặc không có điểm uốn Hàm bậc bốn trùng phương hoặc có hai điểm uốn hoặc không có điểm uốn.

Phần đồ thị hai bên điểm uốn khác nhau về hình dáng: bên "lồi" lên, bên "lõm" xuống.

I- KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = ax3+ bx2+ cx + d (a 0)

 Tập xác định: D = R

 y' = f'(x)

y' = 0: giải phương trình f'(x) = 0.

 y'' = f''(x)

y'' = 0 Kết luận điểm uốn I.

y

x lim = (chỉ cần kết quả, không cần giải

thích)

 Vẽ bảng biến thiên.

+ Kết luận các khoảng đơn điệu.

+ Kết luận cực trị của hàm số.

 Điểm đặc biệt:

Điểm cực trị (nếu có)

Giao điểm với trục tung: x = 0 tìm y.

Giao điểm với trục hoành: y = 0 giải phương trình f(x) = 0 tìm x.

 Đồ thị: đồ thị hàm số nhận điểm uốn I làm tâm đối xứng.

Ví dụ: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số:

a) y = x3 + 3x2 - 4; b) y = -x3 + 3x2 - 4x + 2; c) y =

3

x - x2 + x + 1.

Trang 33

Trang 34

-34

Trang 35

y

x lim = (chỉ cần kết quả, không cần giải

thích)

+ Kết luận các khoảng đơn điệu.

+ Kết luận các điểm cực trị của đồ thị hàm số.

 Điểm đặc biệt:

Điểm cực trị;

Giao điểm với trục tung: x = 0 tìm y;

Giao điểm với trục hoành (nếu có): y = 0 giải phương trình f(x) = 0 tìm x.

 Đồ thị: đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.

Ví du: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số:

Trang 36

3 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =

d cx

b ax

 Tính các giới hạn:

y

x

xlim 0 = ,  

 yx

cần giải thích)

Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Hàm số không có cực trị

 Điểm đặc biệt: Giao điểm với trục tung: x = 0 tìm y.

Giao điểm với trục hoành: y = 0 giải phương trình f(x) = 0 tìm x.

 Đồ thị: đồ thị hàm số nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

-36

Trang 37

Ví dụ: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số:

Trang 38

II – SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ

1/ Tọa độ giao điểm của hai đồ thị:

Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường: (C) y = x2 + 2x - 3 và d: y = 2x + 1.

2/ Biện luận bằng đồ thị số nghiệm phương trình f(x) = g(x):

Ví dụ 1: Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y =

Trang 39

Trang 40

Định dạng
Số trang	133
Dung lượng	2,58 MB