Tai lieu giang day toan HH11

Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành M' sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM' được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d

Trang 1

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 11

MỘT SỐ KÍ HIỆU THÔNG DỤNG

() hoặc mp() Mặt phẳng 

A  () Điểm A thuộc mp() hay A nằm trên () hay () chứa A hay () qua A

A  ()

Điểm A không thuộc () hay A không nằm trên () hay () không chứa A hay () không qua A

d  () d chứa trong mặt phẳng 

d  () = {M} d cắt mặt phẳng () tại M

()  () =  mp() cắt mp() theo giao tuyến 

mặt đáy ABC.A'B'C' Hình lăng trụ tam giác

d(A,()) Khoảng cách từ A đến mp() Distance from A to ( ) d(,()) Khoảng giữa đường thẳng  và

mp() d((),()) Khoảng giữa hai mp() và mp()

Võ Thanh Hùng - THPT Trần Quốc Toản - Đồng Tháp

Trang 2

-Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 11

CHƯƠNG I PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG

oOo

1 Vectơ:

a) Các định nghĩa:

 Độ dài vectơ AB kí hiệu AB bằng độ dài

đoạn thẳng AB.

 Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá

của chúng song song hoặc trùng nhau.

 Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu

chúng cùng hướng và cùng độ dài.

 Hai vectơ được gọi là đối nhau nếu chúng

ngược hướng và cùng độ dài Vectơ đối của

vectơ a  kí hiệu là - a  ; vectơ đối của MN là NM

nên ta có  MN  NM

 Hai vectơ a  và b  cùng phương  k  R: a  =

k b 

 a   b   a   b  0

 Quy tắc hình bình hành: Nếu

ABCD là hình bình hành thì:

AC AD

AB  

 Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tùy ý, ta có:

AC BC

AB  

CB AC

AB  

 A, B, C thẳng hàng  AB k AC , k  R

 I là trung điểm AB  IA  IB  0 

 G là trọng tâm ABC  GA  GB  GC  0  b) Tọa độ vectơ và tọa độ điểm:

Cho hai vectơ u  = (u1; u2), v  = (v1; v2), ta có:

1 1

v u

v u v

B A B

)  Tọa độ trọng tâm ABC: G(

3

; 3

C B A C B

)

2 Đường thẳng trong mặt phẳng:

 Phương trình tham số của đường thẳng :



 (a; b) VTCP

có

) y

; M(x qua

at x x

có

) y

; M(x qua

n là: A(x - x0) + B(y

- y0) = 0.

Trang 3

Phương trình Ax + By + C = 0 là phương trình đường thẳng  có vectơ pháp tuyến n   ( B A ; )

 Nếu đường thẳng d có vectơ chỉ phương u   ( b a ; ) thì d có một vectơ pháp tuyến n   (  b ; a ) Nếu đường thẳng  có vectơ pháp tuyến n  = (A; B) thì  có một vectơ chỉ phương là u   (  B ; A )

 Đường thẳng song song đường thẳng : Ax + By + C = 0 có dạng: Ax + By +

C1 = 0 (C ≠ C1).

 Đường thẳng vuông góc đường thẳng : Ax + By + C = 0 có dạng: -Bx + Ay + C2 = 0.

3 Đường tròn:

 Đường tròn (C):



R kính bán

b a I tâm ( ; )

có phương trình: (x - a)2 + (y - b)2 = R2  Phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn (C) khi và chỉ khi a2 + b2 - c > 0 Khi đó (C) có tâm I(a; b) và bán kình là R = a2 b2 c

.

 Ghi chú:

Trang 4

Trang 5

§1 PHÉP BIẾN HÌNH

của điểm M lên đường thẳng d Dựng được bao nhiêu điểm M' như thế?

ĐỊNH NGHĨA:

Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M' của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.

Nếu kí hiệu phép biến hình là F thì taviết F(M) = M' hay M' = F(M) và gọi điểm M' là ảnh của điểm M qua phép biến hình F.

Nếu H là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu H' = F(H) là tập hợp các điểm M' = F(M), với mọi điểm M thuộc H Khi đó ta nói F biến hình H thành hình H', hay hình H' là ảnh của hình H qua phép biến hình F.

Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.

MM' = a Quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M' nêu trên có phải là một phép biến hình không? vì sao?

 Ghi chú:

CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI

Trang 6

Trang 7

§2 PHÉP TỊNH TIẾN

I- ĐỊNH NGHĨA:

Trong mặt phẳng cho vectơ v  Phép biến

hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho

 Phép tịnh tiến theo vectơ - không chính là phép đồng nhất.

bằng nhau Tìm phép tịnh tiến biến

ba điểm A, B, E theo thứ tự thành ba

III- BIỂU THỨC TỌA ĐỘ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v  = (a; b), với mỗi điểm M(x; y) Gọi

M'(x'; y') là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vectơ v  , khi đóù:

a x x

'

(biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến Tv)

của điểm M(3; -1) qua phép tịnh tiến Tv.

Trang 8

Ví dụ1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho v  = (-2; 3) và đường thẳng d có phương trình 3x - 5y + 3 = 0 Viết phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến Tv.

Giải:

Ví dụ2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0 Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v  = (-2; 3) Giải:

Trang 9

 Ghi chú:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

1 Bài tập cơ bản:

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh

tiến theo vectơ AD.

Bài 2: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm Xác điïnh ảnh của tam giác

ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ AG Xác định điểm D sao cho phép tịnh tiến theo vectơ AG biến D thành A.

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho v  = (2; -1), điểm M(3; 2) Tìm tọa độ của các điểm A sao cho:

Trang 10

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v  = (-1; 2), hai điểm A(3; 5), B(-1; 1) và đường thẳng d có phương trình x - 2y + 3 = 0.

a) Tìm tọa độ của các điểm A', B' theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép

tịnh tiến theo vectơ v 

b) Tìm tọa độ của điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo

v 

c) Tìm phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến

theo v 

Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x - 1)2

+ (y + 2)2 = 9 Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v  = (-2; 5).

Bài 6: Chứng minh rằng: M' = Tv( M ) M Tv( M ' )





Bài 7: Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau Hãy chỉ ra một phép tịnh tiến biến a thành b Có bao nhiêu phép tịnh tiến như thế.

2 Bài tập nâng cao:

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho v  = (2; 1), đường thẳng d có phương trình 2x -3y + 3 = 0, đường thẳng d1 có phương trình 2x - 3y - 5 = 0.

a) Viết phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua Tv.

b) Tìm tọa độ của w  có giá vuông góc với đường thẳng d để d1 là ảnh của d qua Tw.

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x - y - 9 = 0 Tìm phép tịnh tiến theo vectơ có phương song song với trục Ox biến d thành đường thẳng d' đi qua gốc tọa độ và viết phương trình đường thẳng d'.

Bài 3: Cho hai điểm phân biệt B và C cố định trên đường tròn (O) tâm O, điểm A di động trên đường tròn (O) Chứng minh rằng khi A di động trên đường tròn (O) thì trực tâm của tam giác ABC di động trên một đường tròn.

Trang 11

§3 PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

Cho đường thẳng d Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành M' sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM' được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục.

Đường thẳng d được gọi là trục

của phép đối xứng trục hoặc đơn

giản là trục đối xứng.

Phép đối xứng trục d thường được

kí hiệu là Đd.

Nếu hình H' là ảnh của hình H qua phép đối xứng trục d thì ta còn nói H

đối xứng với H' qua d, hay H và H' đối xứng với nhau qua d.

* Nhận xét:

 Cho đường thẳng d Với mỗi điểm M, gọi M0 là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng d Khi đó: M' = Đd(M)  M0M '   M0M 

 M' = Đd(M)  M = Đd(M').

Ví dụ 1: Cho hình thoi ABCD Tìm ảnh của các điểm A, B, C, D qua phép đối xứng trục AC.

Giải:

Ví dụ 2: Dựng ảnh của các hình sau đây qua phép đối xứng trục Đd:

Trang 12

II- BIỂU THỨC TỌA ĐỘ

1) Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho

trục Ox trùng với đường thẳng d.

Với mỗi điểm M(x; y), gọi M' =

Đd(M) = (x'; y') thì:







y y

x x

' '

Biểu thức tọa độ của phép ĐOy

2) Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho

trục Oy trùng với đường thẳng d.

Với mỗi điểm M(x; y), gọi M' =

Đd(M) = (x'; y') thì:









y y

x x

' '

Biểu thức tọa độ của phép ĐOy

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(1; 5), đường thẳng d có phương trình

x - 2y + 4 = 0 và đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0 Tìm ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng trục Ox.

Giải:

III- TÍNH CHẤT:

Tính chất 1: Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Trang 13

Tính chất 2: Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

IV- TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA MỘT HÌNH:

Định nghĩa: Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình H nếu

phép đối xứng qua d biến H thành chính nó Khi đó ta nói H là hình có trục

đối xứng.

Ví dụ: Dựng trục đối xứng (nếu có) của các hình sau đây:

 Ghi chú:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập cơ bản: Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1; -2) và B(3; 1) Tìm ảnh của A, B và đường thẳng AB qua phép đối xứng trục Ox

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x - y + 2 = 0 Viết phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy

Bài 3: Cho tứ giác ABCD Hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại E Xác định ảnh của tam giác ABE qua phép đối xứng qua đường thẳng CD.

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(3; -5), đường thẳng d có phương trình 3x + 2y - 6 = 0 và đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 - 2x + 4y - 4

= 0 Tìm ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng trục Oy.

Bài 5: Trong các chữ cái sau đây, chữ nào có trục đối xứng?

Trang 14

V I E T N A M W T O

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(1; 5), đường thẳng d có phương trình

x - 2y + 4 = 0 Tìm ảnh của M qua Đd.

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x - 5y + 7 = 0 và đường thẳng d' có phương trình 5x - y - 13 = 0 Tìm phép đối xứng qua trục biến d thành d'

Bài 3: Chứng minh rằng đồ thị hàm số chẵn luôn có trục đối xứng.

Bài 4: Cho hai đường tròn (C) và (C') có bán kính khác nhau và đường thẳng d Hãy dựng hình vuông ABCD có hai đỉnh A, C lần lượt nằm trên (C) và (C') còn hai đỉnh kia nằm trên d.

Trang 15

§4 PHÉP QUAY

Cho điểm O và góc lượng giác  Phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành M' sao cho OM' = OM và góc lượng giác (OM; OM') bằng  được gọi là phép quay tâm O góc .

Điểm O được gọi là tâm quay còn 

được gọi là góc quay của phép quay đó.

Phép quay tâm O góc  thường được kí

hiệu là Q(O, ).

* Nhận xét:

1) Chiều dương của phép quay là

chiều dương của đường tròn lượng giác

nghĩa là chiều ngược với chiều quay của

Chiều quay dương Chiều quay âm

2) Với k là số nguyên ta luôn có:

 Phép quay Q(O; 2k ) là phép đồng

nhất.

 Phép quay Q(O; (2k + 1) ) là phép đối

xứng tâm O.

của A, B qua phép quay tâm O, góc quay -900 Chứng minh AB = A'B'.

II- TÍNH CHẤT:

Tính chất 1: Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Tính chất 2: Phép quay biến đường

thẳng thành đường thẳng, biến đoạn

thẳng thành đoạn thẳng bằng nó,

biến tam giác thành tam giác bằng

nó, biến đường tròn thành đường

tròn có cùng bán kính.

* Nhận xét: Phép quay góc  với

0 <  < , biến đường thẳng d thành

đường thẳng d' sao cho góc giữa d và

d' bằng  (nếu 0 <  

2

 ), hoặc bằng 

Giải:

Trang 16

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(3; 4) Hãy tìm tọa độ điểm A' là ảnh của A qua phép quay tâm O góc 900.

Giải:

 Ghi chú:

BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập cơ bản: Bài 1: Cho hình vuông ABCD tâm O a) Tìm ảnh của điểm C qua phép quay tâm A góc 900 b) Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm O góc 900 Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2; 0) và đường thẳng d có phương trình x + y - 2 = 0 Tìm ảnh của A và d qua phép quay tâm O góc 900 Bài 3: Cho hình vuông ABCD tâm O M là trung điểm của AB, N là trung điểm của OA Tìm ảnh của tam giác AMN qua phép quay tâm O góc 900.

Bài 4: Cho lục giác đều ABCDEF, O là tâm đối xứng của nó, I là trung điểm của AB.

a) Tìm ảnh của tam giác AIF qua phép quay tâm O góc 1200.

b) Tìm ảnh của tam giác AOF qua phép quay tâm E góc 600.

Trang 17

Bài 1: Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C, điểm B nằm giữa hai điểm A và C Dựng về một phía của đường thẳng AC các tam giác đều ABE và BCF.

a) Chứng minh rằng AF = EC và góc giữa hai đường thẳng AF và EC bằng

600.

b) Gọi M và N lần lượt là trung điểm AF và EC Chứng minh BMN đều Bài 2: Cho hai đường thẳng a, b và điểm C không nằm trên chúng Hãy tìm trên a và b lần lượt hai điểm A và B sao cho ABC là tam giác đều.

Trang 18

§5 KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU

I- KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH:

B, O qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 900 và phép đối xứng qua đường thẳng BD.

Phép dời hình biến:

1) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm;

2) Đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó;

3) Tam giác thành tam giác bằng nó, góc thành góc bằng nó;

4) Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

* Chú ý:

a) Nếu một phép dời hình biến

tam giác ABC thành tam giác A'B'C' thì

nó cũng biến trọng tâm, trực tâm,

tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại

tiếp của tam giác ABC tương ứng

thành trọng tâm, trực tâm, tâm các

đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của

tam giác A'B'C'.

b) Phép dời hình biến đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, biến đỉnh thành đỉnh, biến cạnh thành cạnh.

Trang 19

Ví dụ: Cho lục giác đều ABCDEF, O

là tâm đường tròn ngoại tiếp của

nó Tìm ảnh của tam giác OAB qua

phép dời hình có được bằng cách

thực hiện liên tiếp phép quay tâm O,

góc 600 và phép tịnh tiến theo vectơ

OE

Giải:

 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E, F, H, I theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, CD, BC, EF Hãy tìm một phép dời hình biến tam giác AEI thành tam giác FCH. III- KHÁI NIỆM HAI HÌNH BẰNG NHAU: Định nghĩa: Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia  Cho hình chữ nhật ABCD Gọi I là giao điểm của AC và BD Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AD và BC Chứng minh rằng các hình thang AEIB và CFID bằng nhau.  Ghi chú:

Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A(-3; 2), B(-4; 5) và C(-1; 3).

a) Chứng minh rằng các điểm A'(2; 3), B'(5; 4) và C'(3; 1) theo thứ tự là ảnh của A, B và C qua phép quay tâm O góc -900.

b) Gọi tam giác A1B1C1 là ảnh của tam giác ABC qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc -900 và phép đối xứng qua trục Ox Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác A1B1C1.

Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E, F, H, K, O, I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA, KF, HC, KO Chứng minh hai hình thang AEJK và FOIC bằng nhau.

Trang 20

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho v  =(3; 1) và đường thẳng d: 2x - y =

0 Tìm ảnh của d qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O góc 900 và phép tịnh tiến theo vectơ v 

Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi O là tâm đối xứng của nó; E, F, G, H, I, J theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA, AH, OG Chứng minh rằng hai hình thang AIOE và GJFC bằng nhau.

Bài 2: Cho hình vuông ABCD có tâm I Trên tia BC lấy điểm e sao cho BE = AI Xác định một phép dời hình biến A thành B và I thành E, dựng ảnh của hình vuông ABCD qua phép dời hình ấy.

§6 PHÉP VỊ TỰ I- ĐỊNH NGHĨA: Định nghĩa: Cho điểm O và số k ≠ 0 Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho OM '  k . OM được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k Phép vị tâm O, tỉ số k thường được kí hiệu là V(O,k) Ví dụ: Phép vị tự tâm O tỉ số Phép vị tự tâm O tỉ số

* Nhận xét:

1) Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó.

2) Khi k = 1, phép vị tự là phép đồng nhất.

3) Khi k = -1, phép vị tự là phép đối xứng qua tâm vị tự.

4) M' = V(O,k)(M)  M = V( ,1)( M ' )

k

tự biến B và C tương ứng thành E và F.

 Tính chất 1: Nếu phép vị tự tỉ số

k biến hai điểm M, N tùy ý theo thứ

tự thành M', N' thì M ' N '  k . MN và M'N' =

k MN

Trang 21

 Tính chất 2: Phép vị tự tỉ số k:

a) Biến ba điểm thẳng hàng

thành ba điểm thẳng hàng và bảo

toàn thứ tự giữa các điểm;

b) Biến đường thẳng thành

đường thẳng song song hoặc trùng

với nó, biến tia thành tia, biến đoạn

thẳng thành đoạn thẳng;

c) Biến tam giác thành tam giác

đồng dạng với nó, biến góc thành

góc bằng nó;

d) Biến đường tròn bán kính R

thành đường tròn bán kính k R.

Tìm một phép vị tự biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C'.

Ví dụ 1: Cho điểm O và đường tròn (I; R) Tìm ảnh của đường tròn đó qua phép vị tự tâm O tỉ số -2.

Giải:

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x + 2y - 6 = 0 Hãy viết phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 2 Giải:

 Ghi chú:

Trang 22

Bài 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và H là trực tâm Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tâm H, tỉ số

2

1 Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x - 3)2

+ (y + 1)2 = 9 Hãy viết phương trình đường tròn (C') là ảnh của (C) qua phép

vị tự tâm I(1; 2) tỉ số k = -2.

Bài 3: Chứng minh rằng khi thực hiện liên tiếp hai phép vị tự tâm O sẽ được một phép vị tự tâm O

Bài 1: Cho tam giác ABC có hai góc B, C đều nhọn Dựng hình chữ nhật DEFG có EF = 2DE với hai đỉnh D, E nằm trên BC và hai đỉnh F, G lần lượt nằm trên

AC, AB.

Bài 2: Cho nửa đường tròn đườn kính AB Hãy dựng hình vuông có hai đỉnh nằm trên nửa đường tròn, hai đỉnh còn lại nằm trên đường kính AB của nửa đường tròn đó.

Trang 23

§7 PHÉP ĐỒNG DẠNG

I- ĐỊNH NGHĨA:

Phép biến hình F được gọi là phép

đồng dạng tỉ số k (k > 0), nếu với hai

điểm M, N bất kì và ảnh M', N' tương

ứng của chúng ta luôn có M'N' =

kMN.

* Nhận xét:

a) Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1.

b) Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số k .

c) Nếu thực hiện liên tiếp phép đồng dạng tỉ số k và phép đồng dạng

tỉ số p ta được phép đồng dạng tỉ số pk.

Phép đồng dạng tỉ số k:

a) Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy;

b) Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng;

c) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó;

d) Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính kR.

* Chú ý:

a) Nếu một phép đồng dạng biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' thì nó cũng biến trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác A'B'C'.

b) Phép đồng dạng biến đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, biến đỉnh thành đỉnh, biến cạnh thành cạnh.

liên tiếp hai phép vị tự tâm I tỉ số

2

1

và phép quay tâm I góc quay 900 Nhận xét hai tam giác trên.

III- HÌNH ĐỒNG DẠNG:

Định nghĩa: Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép

đồng dạng biến hình này thành hình kia.

Trang 24

Ví dụ: Cho hình chữ nhật ABCD, AC và BD cắt nhau tại I Gọi H, K, L và J lần lượt là trung điểm của AD, BC, KC và IC Chứng minh hai hình thang JLKI và IHAB đồng dạng với nhau.

Bài 1: Cho tam giác ABC Xác định ảnh của nó qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm B tỉ số

2

1 và phép đối xứng qua đường thẳng trung trực BC.

Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD, AC và BD cắt nhau tại I Gọi H, K, L và J lần lượt là trung điểm AD, BC, KC và IC Chứng minh hai hình thang JLKI và IHDC đồng dạng với nhau.

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm I(1; 1) và đường tròn tâm I bán kính 2 Viết phương trình của đường tròn là ảnh của đường tròn trên qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O, góc 450 và phép vị tự tâm O, tỉ số 2

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao kẻ từ A Tìm một phép đồng dạng biến tam giác HBA thành tam giác ABC.

Bài 1: Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau và điểm C Tìm trên a và b các điểm A và B tương ứng sao cho tam giác ABC vuông cân ở A.

Trang 25

Bài 2: Cho hình thang ABCD có AB song song với CD, AD = a, DC = b còn hai đỉnh A, B cố định Gọi I là giao điểm của hai đường chéo.

a) Tìm tập hợp các điểm C khi D thay đổi.

b) Tìm tập hợp các điểm I khi C và D thay đổi như trong câu a).

Trang 26

* ÔN TẬP CHƯƠNG I *

Trang 27

Trang 28

Bài 1: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O Tìm ảnh của tam giác AOF

a) Qua phép tịnh tiến theo vectơ AB;

b) Qua phép quay tâm O góc 1200.

Bài 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-1; 2) và đường thẳng d có phương trình 3x + y + 1 = 0 Tìm ảnh của A và d

a) Qua phép tịnh tiến theo vectơ v  = (2; 1);

b) Qua phép quay tâm O góc 900.

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn tâm I(3; -2), bán kính 3.

a) Viết phương trình của đường tròn đó;

b) Viết phương trình ảnh của đường tròn (I; 3) qua phép tịnh tiến theo

vectơ v  = (-2; 1).

Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn tâm I(1; -3), bán kính 2 Viết phương trình ảnh của đường tròn (I; 2) qua phép đồng dạng có được từ việc thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số 3 và phép đối xứng qua trục Ox.

Bài 5: Cho hai điểm A, B và đường tròn tâm O không có điểm chung với đường thẳng AB Qua mỗi điểm M chạy trên đường tròn (O) dựng hình bình hành MABN Chứng minh rằng điểm N thuộc một đường tròn xác định.

Bài 1: Cho hai hình chữ nhật có tỉ số giữa chiều rộng và chiều dài bằng 2

Trang 29

CHƯƠNG II ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN.

QUAN HỆ SONG SONG

AM



b) Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng a, b:

c) Một số tính chất thường sử dụng:

Tính chất bắc cầu:

 Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song nhau.

 Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song nhau.

2 Một số hình hình học không gian:

Hình chóp đều Lăng trụ đứng Hình hộp chữ nhật

Trang 30

Trang 31

§1 ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

I- KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU:

1 Mặt phẳng:

Mặt phẳng là một đối tượng của toán học Mặt phẳng không có bề dày và không có giới hạn.

 Để biểu diễn tả mặt phẳng ta

thường dùng hình bình hành hay

một miền góc và ghi tên của

mặt phẳng vào một góc của hình

biểu diễn.

 Để kí hiệu mặt phẳng, ta thường dùng các chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hi Lạp đặt trong dấu ngoặc "( )" Ví dụ mặt phẳng (P)  viết tắt mp(P) hay (P); mặt phẳng ()  viết tắt mp() hay ();

2 Điểm thuộc mặt phẳng:

Cho điểm A và mặt phẳng ()

 Điểm A thuộc mặt phẳng ()

ta nói A nằm trên () hay ()

chứa A hoặc ( ) đi qua A.

 Kí hiệu: A  ()  Điểm A không thuộc mặt phẳng ( ) ta nói A nằm ngoài () hay ()

không chứa A hoặc ( ) không đi

qua A.

 Kí hiệu: A  ().

3 Hình biểu diễn của một hình không gian :

Để nghiên cứu hình học không gian người ta thường vẽ các hình không gian lên bảng, lên giấy Ta gọi hình vẽ đó là hình biểu diễn của một hình không gian Hình biểu diễn được vẽ dựa vào các quy tắc:

 Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn là đoạn thẳng;

 Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau;

 Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa các điểm và đường thẳng;

 Dùng nét vẽ liền " " để biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn "- - - -" biểu diễn cho đường bị che khuất.

Ví dụ: Vẽ hình biểu diễn của một hình lập phương.

Trang 32

II- CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHẬN:

Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Tính chất 3: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

Nếu đường thẳng d có hai điểm thuộc mp() thì khi đó mọi điểm của đường thẳng d đều thuộc mp() ta nói d chứa trong (nằm trong) mp() hay mp() chứ d và kí hiệu d  () hay ()  d.

có thuộc mp(ABC) không? và đường thẳng AM có nằm trong mp(ABC) không?.

Tính chất 4: Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.

Nếu có nhiều điểm cùng thuộc một mặt phẳng thì ta nói những điểm

đó đồng phẳng, còn nếu không có mặt phẳng nào chứa các điểm đó thì ta nói rằng chúng không đồng phẳng.

Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa.

Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng sẽ có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy.

Đường thẳng chung của hai mặt phẳng phân biệt ( và () được gọi

là giao tuyến của hai mặt phẳng ()

và () và kí hiệu là:

d = ( )  ()

ABCD Lấy điểm S nằm ngoài mặt

phẳng (P) Hãy chỉ ra một điểm chung

của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) khác

điểm S.

Tính chất 6: Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học

phẳng đều đúng.

III- CÁCH XÁC ĐỊNH MỘT MẶT PHẲNG:

1 Ba cách xác định mặt phẳng:

Trang 33

a) Mặt phẳng được hoàn toàn xác định

khi biết nó đi qua ba điểm không thẳng

hàng.

Mặt phẳng qua ba điểm không thẳng

hàng A, B, C kí hiệu là:

mp(ABC) hoặc (ABC)

b) Mặt phẳng được hoàn toàn xác định

khi biết nó đi qua một điểm và chứa

một đường thẳng không đi qua điểm đó.

Cho đường thẳng d và điểm A không

nằm trên d, khi đó ta xác định được mặt

phẳng, kí hiệu là:

mp(A, d) hay (A, d)

c) Mặt phẳng được hoàn toàn xác định

khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt

nhau.

Cho hai đường thẳng cắt nhau a và b.

Khi đó hai đường thẳng a và b xác định

một mặt phẳng và kí hiệu là:

mp(a, b) hay (a, b), hoặc mp(b, a) hay (b, a).

2 Một số bài toán cơ bản:

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng:

Ví dụ: Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D Trên đoạn AB và AC lấy hai điểm M và N sao cho  1

Trang 34

Phương

pháp:

b) Chứng minh ba điểm thẳng hàng:

Ví dụ: Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D Trên ba cạnh AB, AC và AD lần lượt lấy các điểm M, N và K sao cho đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại H, đường thẳng NK cắt đường thẳng CD tại I, đường thẳng KM cắt đường thẳng BD tại J Chứng minh ba điểm H, I, J thẳng hàng.

Phương

pháp:

Trang 35

c) Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng:

Ví dụ: Cho tam giác BCD và điểm A không thuộc mặt phẳng (BCD) Gọi

K là trung điểm của đoạn AD và G là trọng tâm của tam giác ABC Tìm giao điểm của đường thẳng GK và mặt phẳng (BCD).

Phương

pháp:

Trang 36

IV- HÌNH CHÓP VÀ HÌNH TỨ DIỆN:

 Trong mặt phẳng () cho đa giác lồi A 1A2 An Lấy điểm S nằm ngoài ().

Lần lượt nối S với các đỉnh A 1A2 An ta được n tam giác SA1A2, SA2A3,…, SAnA1 Hình gồm đa giác A 1A2 An và n tam giác SA1A2, SA2A3, …, SAnA1 gọi là hình chóp, kí

hiệu là S.A1A2 An Ta gọi S là đỉnh và đa giác A 1A2 An là mặt đáy Các tam giác SA1A2, SA2A3, …, SAnA1 được gọi là các mặt bên; các đoạn SA1, SA2, , SAn là

các cạnh bên; các cạnh của đa giác đáy gọi là các cạnh đáy của hình chóp Ta gọi hình chóp có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác, … lần lượt là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,…

 Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Hình gồm bốn tam giác ABC,

ACD, ABD và BCD gọi là hình tứ diện (hay ngắn gọn là tứ diện) và được kí

hiệu là ABCD Các điểm A, B, C, D gọi là các đỉnh của tứ diện Các đoạn

thẳng AB, BC, CD, DA, CA, BD gọi là các cạnh của tứ diện Hai cạnh không đi

qua một đỉnh gọi là hai cạnh đối diện Các tam giác ABC, ACD, ABD, BCD gọi

là các mặt của tứ diện Đỉnh không nằm trên một mặt gọi là đỉnh đối diện với mặt đó.

* Đặt biệt: Hình tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều gọi là hình tứ

Trang 37

trên)?.

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD Gọi M, N, P lần lượt

là trung điểm của AB, AD, SC Tìm giao điểm của mặt phẳng (MNP) với các cạnh của hình chóp và giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt của hình chóp.

* Các bước giải bài toán hình học không gian:

Trang 38

Trang 39

Bài 1: Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng  chứa tam giác BCD Lấy

E, F là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC.

a) Chứng minh đường thẳng EF nằm trong mặt phẳng (ABC).

b) Khi EF và BC cắt nhau tại I, chứng minh I là điểm chung của hai mặt phẳng (BCD) và (DEF).

Bài 2: Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng Gọi GA, GB, GC, GD lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, CDA, ABD, ABC Chứng minh rằng AGA,

BGB, CGC, DGD đồng quy.

Bài 3: Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD.

a) Tìm giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng (MNP).

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ACD).

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có AB và CD không song song Gọi M là một điểm thuộc miền trong của tam giác SCD.

a) Tìm giao điểm N của đường thẳng CD và mặt phẳng (SBM).

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC).

c) Tìm giao điểm I của đường thẳng BM và mặt phẳng (SAC).

d) Tìm giao điểm P của SC và mặt phẳng (ABM), từ đó suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và (ABM).

Bài 5: Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng () có hai cạnh AB và CD không song song Gọi S là điểm nằm ngoài mặt phẳng () và M là trung điểm của đoạn SC.

a) Tìm giao điểm N của đường thẳng SD và mặt phẳng (MAB).

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD Chứng minh rằng ba đường thẳng

SO, AM, BN đồng quy.

Bài 6: Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng Gọi I, K lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AD, BC.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD).

b) Gọi M và N là hai điểm lần lượt lấy trên hai đoạn thẳng AB và AC Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và(DMN).

Bài 7: Cho tứ diện ABCD Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh

AB và CD, trên cạnh AD lấy điểm P không trùng với trung điểm của AD.

a) Gọi E là giao điểm của đường thẳng MP và đường thẳng BD Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (PMN) và (BCD).

b) Tìm giao điểm của mặt phẳng (PMN) và BC.

Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD Trong mặt phẳng đáy vẽ đường thẳng d đi qua A và không song song với các cạnh của hình bình hành, d cắt đoạn BC tại E Gọi C’ là một điểm nằm trên cạnh SC.

a) Tìm giao điểm M của CD và mặt phẳng (C’AE)

b) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (C’AE).

Bài 1: Gọi M là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng () Chứng minh M là điểm chung của () với một mặt phẳng bất kì chứa d.

Bài 2: Cho ba đường thẳng d1, d2, d3 không cùng nằm trong một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi một Chứng minh ba đường thẳng trên đồng quy.

Trang 40

Định dạng
Số trang	97
Dung lượng	1,86 MB