Phương pháp tính tích phân a Phương pháp đổi biến số.. b Phương pháp tích phân từng phần CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG II...
Trang 11 Khái niệm tích phân
Cho hàm số f liên tục trên K và a, b K Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:
F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là
( )
b
a
f x dx
( ) ( ) ( )
b a
f x dx F b F a
�
Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một
chữ khác thay cho x, tức là:
f x dx f t dt f u du F b F a
Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không
âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x =
a
S�f x dx
2 Tính chất của tích phân
0
0
f x dx
f x dx f x dx
kf x dx k f x dx
const)
b ( ) ( ) b ( ) b ( )
f x g x dx� f x dx�g x dx
f x dx f x dx f x dx
Nếu f(x) 0 trên [a; b] thì ( ) b 0
a
f x dx�
�
Nếu f(x) g(x) trên [a; b] thì ( ) b b ( )
f x dx� g x dx
3 Phương pháp tính tích phân
a) Phương pháp đổi biến số
( )
( ) '( ) ( )
u b b
f u x u x dx f u du
trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác định trên K, a, b K.
b) Phương pháp tích phân từng phần
CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG
DỤNG
CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG
DỤNG
II TÍCH PHÂN
Trang 2Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b
K thì:
a
udv uv vdu
Chú ý: – Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.
– Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho
b a vdu
� dễ tính hơn
b a udv
VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng
nguyên hàm
Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản Tìm nguyên hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp định nghĩa tích phân:
( ) ( ) ( )
b a
f x dx F b F a
�
Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải:
– Nắm vững bảng các nguyên hàm.
– Nắm vững phép tính vi phân.
2
1
3 2 1)
2
1
1 3
x
2
1 2
1
dx x x
d)
2
2
1 2
x
dx x
� e)
1
2 2
2
4 4
dx x
x
1
e
x x
�
g) 2
1
( x1)(x x1)dx
1
(x x x x dx)
4
1
4
2 x x dx x
k)
2 2
3
1
2
x x dx
x
2
1
dx x
8
3 2 1
1 4
3
x
�
a)
2
1
1
x dx
5
2
dx
x 2 x2
2
1
(x x x x dx)
�
d) 02
2
1
xdx dx
x
2 2
0 3 3
3 1
x dx x
0x x 9dx
�
0
) 6 2
3
(2sinx3cosx x dx )
�
0
sin3x cos2x dx
�
Trang 3d) 4
2 0
tan
cos
x dx x
�
e) 3 2
4
3tan xdx
�
6
(2cot x5)dx
�
g) 2
01 sin
dx
x
�
h) 2
0
1 cos
1 cos
x dx x
�
i) 2 2 2 0
sin cosx xdx
�
6
(tanx cot )x dx
�
2
sin( ) 4 sin( ) 4
x dx x
�
0
cos xdx
�
a)
1
0
dx
x x
x x
e e
e e
2 2 1
( 1)
ln
x dx
x x x
0
4 2
x x
e
�
d) ln2
0 1
x x
e
dx
e
1e x(1 e x)dx
x
02
x x
e dx
�
g) 2 cos
0 e xsinxdx
�
h) 4
1
x
e dx x
1
1 ln
e x dx x
�
k)
1
ln
e x dx
x
0
x
xe dx
1
0
1
1e x dx
�
VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
Dạng 1: Giả sử ta cần tính b ( )
a
g x dx
Nếu viết được g(x) dưới dạng: g x( ) f u x u x ( ) '( ) thì
( )
( )
( ) ( )
u b b
g x dx f u du
Dạng 2: Giả sử ta cần tính �f x dx( )
.
Đặt x = x(t) (t K) và a, b K thoả mãn = x(a), =
x(b)
thì ( ) b ( ) '( ) b ( )
f x dx f x t x t dt g t dt
g t( ) f x t x t ( ) '( )
Dạng 2 thường gặp ở các trường hợp sau:
Trang 4f(x) có
2 2
a x x a sin ,t � �2 t 2
hoặc x a cos ,t 0� �t
2 2
a x x a tan ,t 2 t 2
hoặc x a cot ,t 0 t
2 2
x a
a
t
��� ��
hoặc
a
t
� �
�
a)
1
0
19
) 1
( x dx
1
0
3 2
3
) 1 ( x
x
c) 1
0 2
5
1dx
x x
d)
1
0 2x 1
xdx
e)
1
2 0
1
x x dx
1
3 2 0
1
x x dx
�
g)
3
2
5 x x2 4
dx
h)
3
3 5
1
2
dx x
x x
i) ln2
0 1
x x
e dx e
�
k)
ln3
3
x x
e dx
e
x
dx x
ln 2
m)
e
dx x
x x
1
ln ln 3 1
n)
2
0 cos2 4sin2
2 sin
dx x x
2
0
2
3
sin 1
sin cos
dx x
x
6
0
2
2 cos sin
2
2 sin
dx x x
x
a)
2
1
0 1 x2
1
2
4 x
dx x
2
1
2
2 4 x dx x
d)
3
0
2 3
x
dx
1
0
2
2 1)( 2)
dx
f) 1
0
2
x xdx
g)
0
2
1 2 2
dx
� h)
2
1 3
2 1
dx x
x
i)
1
0 1 x2 5
dx
k)
2
3
2
dx
x x
2 2 2
2
0 1
x dx x
2
2 0
2
x x x dx
�
VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân
từng phần
Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:
Trang 5( ).
b
x a
P x e dx
a
P x xdx
a
P x xdx
a
P x l xdx
�
dv e dx x cosxdx sinxdx P(x)
a)
4
0
2 sin
xdx
2
0
2 )cos sin
(
xdx x
2
0
2cos xdx
x
2
4
0
cos
3 2
4
tan
x xdx
�
1
0
2
) 2 (x e x dx
g) xe x dx
2
ln
0
h) x x dx
e
1
3
2
2 ) ln(x x dx
k)
2
0
3 sin5
xdx
2
0 cos sin2
xdx
e
xdx
1
3
ln
o) x x dx
e
1
2
e
e
dx x
x
1 2
ln
q) x(e x x 1)dx
0
1
3 2
VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân các hàm số có chứa giá trị
tuyệt đối
Để tính tích phân của hàm số f(x) có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f(x) rồi sử dụng công thức phân đoạn để tính tích phân trên từng đoạn nhỏ.
a)
2
0
2 dx
2
0
2 x dx
2
0
d) 3 2
3
1
x dx
2
(x 2 x 2)dx
0
2x4dx
�
g)
4
2
1
x x dx
3
0
2
3 4x 4x dx
1
1
4 xdx
�
a)
2
0
2 cos
0
1 sin2 x dx
2
sinx dx
�
d) 1 sinxdx
�
e) 2
0
1 cosxdx
0
1 cos2xdx
�
Trang 6g) 3 2 2
6
tan xcot x2dx
�
2
cosx cosx cos xdx
�
2
0
1 sinxdx
�
VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân các hàm số hữu tỉ
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số hữu tỉ.
a)
3
1
3
x
x
dx
b) 1
0
2 5x 6
x
dx
c) 3
0 2
3
1
2x
x
dx x
d)
1
0
3
2
1 x dx
x
e)
3
2
9
2
1 x
dx x
f) 4
1
2(1 x)
x dx
g)
4
2 x (x 1)
dx
1
0
11 4
x x
dx x
i)
1 3
0
1 1
x x
dx x
�
k)
0 3 2
2 1
3 2 3 2
x x dx
1 2
3
0(3 1)
x dx
x
�
a)
2
0
2 2x 2
x
dx
3
0 2
2
1
2 3
dx x
x
c) 2
0
2
2 3
4
9 4 2
dx x
x x x
d)
1
2 2 0
1 (x2) (x3) dx
1 3 2 0
1 1
x x dx x
1 4
01
x dx x
�
g)
2
4 1
1
(1 )dx
x x
2 2008
2008 1
1
x
dx
x x
3 4
2 2
2( 1)
x dx
x
�
k)
2
2 0
1
4x dx
2 2 4 1
1 1
x dx x
1 4 2 0
2 1
x dx x
�
VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân các hàm số vô tỉ
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số vô tỉ.
2
2
0
2 1dx
x
1
3
1dx
x x
x
c)
1
dx
d)
2
11 x 1dx
x
e)
6
22 1 4 1
dx
x x
2
0 5
4
1dx
x x
g)
10
5 2 1
dx
x x
1
0
2
3 x 1dx
1
0 2 3 1
3 4
dx x x
k)
3
7
03 3 1
1
dx x
2 3
2
dx
x x
2
0 1
x x dx x
�
Trang 7n)
2
2
0
1
1
x dx x
2 3 2
dx
x x
2 3
1 1
dx
x x
�
a)
1
2 2
0
1
x x dx
2 2 1
1 1
x x
1
2 3
0 (1 )
dx x
�
d) 2 2
1
2008
x dx
0
10
x x dx
0
1 x dx
�
g)
1
2
11 1
dx
x x
� h)
2 2
1 2008
dx
x
1 3
2
x dx
x x
�
k)
2
2
2 3
0 (1 )
dx x
2 2 2
2
0 1
x dx x
5 4
2 1
12x4x 8dx
�
a) 2
0
cos
7 cos2
xdx x
�
0
sinx cosxcos xdx
�
c) 2
2 0
cos
2 cos
xdx x
�
0
1 cos xsin cosx xdx
�
e) 2
0
sin2 sin
1 3cos
x x dx x
�
f) 3
0
cos
2 cos2
xdx x
�
g) 2
2 0
cos
1 cos
xdx x
�
h) 3
2 4
tan cos 1 cos
x dx
0
sin2 sin
1 3cos
x x dx x
�
a)
ln3
0 x 1
dx
e
ln2 2
0 1
x x
e dx
e
1
1 3ln ln
dx x
�
d)
ln3 2
ln2
ln
ln 1
x dx
x x
0
2 3 1
x e x dx
ln2
3
0 ( 1)
x x
e dx
e
�
g)
ln3
0 ( 1) 1
x
e e
0
x
x x
e dx
e e
ln2
0
1
x
e dx
�
VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân các hàm số lượng giác
Xem lại cách tìm nguyên hàm của các hàm số lượng giác.
Trang 8a)
4
0
cos 2
sin
xdx
4
0
tan
2
01 3cos sin
dx x x
d)
2
0
3
sin
0
2
0
23 cos x
g) 2 2 4
0
sin xcos xdx
�
h) 2
0
3
2 cos sin
xdx
0
sin xcos xdx
�
0
(sin xcos )x dx
�
l) 2 3
0
cos cos 1
x dx x
2
0 1 cos
cos 2 sin
dx x
x x
n) 4 3
0
tan xdx
�
o) 3 4
4
tan xdx
�
4
sin cos
dx
�
q) 2 3
2 0
sin
1 cos
x dx x
�
r) 2 3
0
cos
1 cos
x dx x
�
s)
/3 4 /6sin cos
dx
�
a)
2
0
5
3 sin cos cos
1
xdx x
2
6
cos sin
2 cos 2 sin 1
dx x x
x x
x x
x
3
4
2
cos 1 cos tan
0
cos2 (sinx xcos )x dx
�
e) 4
0
sin cos ) (tan
dx x e
x x f) x x dx
2
0
3
2 sin2 sin
1
g) 3
0
sin ln(cos )x x dx
0
sin (tan 1) cos
x
dx
3
3
1 sin x 9cos x dx
�
a) 2
3
1
sinx dx
�
02 cos
dx x
�
c) 2
0
1
2 sin x dx
�
d) 2
0
cos
1 cos
x dx x
�
e) 2
0
cos
2 cos
x dx x
�
f) 2
0
sin
2 sin
x dx x
�
g) 2
0
1 sinxcosx1dx
�
h) 2
2
sin cos 1 sin 2cos 3
dx
�
0cos cos( )
4
dx
x x
�
Trang 9k) 2
2 0
(1 sin )cos
(1 sin )(2 cos )
dx
�
l) 3
4sin cos( )
4
dx
x x
�
3
6sin sin( )
6
dx
x x
�
a)
2
0
cos ) 1 2
(
xdx
4
01 cos2
x
3
0 2
cos
dx x x
d) 2 3
0
sin xdx
�
e) 2 2 0
cos
x xdx
�
0
sin2 xe x dx
�
g)
2
1
cos(ln )x dx
6
ln(sin ) cos
x dx x
�
0
(2x1)cos xdx
�
0
sin
x
�
l) 4 2 0
tan
x xdx
�
0
sin cos
x x xdx
�
n) 2 2
sin 3
0
sin cos
x
�
o) 4
0
ln(1 tan ) x dx
�
p) 4
0 4
cos
x dx
VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân các hàm số mũ và logarit
Sử dụng các phép toán về luỹ thừa và logarit Xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.
a)
1
01 x
x
e
dx
e
b)
2 ln
0 e x 5
dx
c)
1
0
1 4
x dx
e
�
d)
8
ln
3
ln e 1dx
e
x
x
e) ln8
3 ln
2
1e dx
e x x f)
2 ln
0 1
1
dx e
e
x x
g) 2
1
1
1ex dx
0 1
x x
e dx
e
0 1
x x
e dx e
�
1
ln
(ln 1)
dx
x x
1 2
0 1
x x
e dx e
ln3
0
1 1
x dx
e
�
a)
2
0
sin
xdx
2
0
2 dx
1
0
dx
xe x
d)
2
0
cos ) cos (
xdx x
1
0
1
ln x dx
1
1 ln
e x dx x
�
g)
2
ln ln(ln )
x
e
dx x
ln
ln
i)
3
ln(ln )
e x dx x
�
Trang 10k)
2
2
1
lnx
dx
x
6
ln(sin ) cos
x dx x
�
1
0
ln( 1) 1
x dx x
�
VẤN ĐỀ 9: Một số tích phân đặc biệt
Dạng 1 Tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ
Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số lẻ trên [-a; a] thì
a
a
f x dx
�
Nếu hàm số f(x) liên tục và là hàm số chẵn trên [-a; a]
thì
0
( ) 2 ( )
a
f x dx f x dx
Vì các tính chất này không có trong phần lý thuyết của SGK nên khi tính các tích phân có dạng này ta có thể chứng minh như sau:
Bước 1: Phân tích
0
0
I f x dx f x dx f x dx
0
0
( ) ; a ( )
a
J f x dx K f x dx
Bước 2: Tính tích phân
0
( )
a
J f x dx
� bằng phương pháp đổi biến.
Đặt t = – x.
– Nếu f(x) là hàm số lẻ thì J = –K I = J + K = 0
– Nếu f(x) là hàm số chẵn thì J = K I = J + K = 2K
Dạng 2 Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên R thì:
0
1
x
f x dx f x dx a
(với R + và a > 0) Để chứng minh tính chất này, ta cũng làm tương tự như trên.
0
0
0
0
Để tính J ta cũng đặt: t = –x.
Dạng 3 Nếu f(x) liên tục trên 0;
2
� �
� � thì
(sin ) (cos )
f x dx f x dx
Để chứng minh tính chất này ta đặt:
2
t x
Dạng 4 Nếu f(x) liên tục và ( f a b x ) f x( ) hoặc
f a b x f x
thì đặt: t = a + b – x
Trang 11Đặc biệt, nếu a + b = thì đặt t = – x
nếu a + b = 2 thì đặt t = 2 – x
Dạng 5 Tính tích phân bằng cách sử dụng nguyên hàm phụ
Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x) ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x) g(x) dễ
xác định hơn so với f(x) Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x) Ta thực hiện các bước như sau:
Bước 1: Tìm hàm g(x).
Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x) g(x),
tức là:
1 2
( ) ( ) ( )
F x G x A x C
F x G x B x C
�
Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra ( ) 1 ( ) ( )
2
F x A x B x là nguyên hàm C của f(x).
a)
7 5 3
4
4 4
1 cos
x x x x
dx x
�
2
cos ln(x x 1 x dx)
�
1 2
1 2
1 cos ln
1
x
x
� �
� �
�
2 1
ln x 1 x dx
1
4 2
x dx
x x
� f)
1 4 2 1
sin 1
x x dx x
�
2
sin
1 cos
x dx x
�
2
4 sin
xdx x
2
cos
4 sin
dx x
�
a)
1 4
12x 1
x dx
� b) 1 2
1
1
1 2x
x dx
1
2
1( x 1)( 1)
dx
� d) sin2
3x 1
x dx
�
e)
3
3
2
2 1
1
dx
x
1
2
1(4x 1)( 1)
dx x
� g) 2
2
sin sin3 cos5
1 x
x x x dx e
�
h)
6 6 4
4
sin cos
6x 1
x x dx
�
i)
2 2 2
2
sin
1 2x
x x dx
�
a)2
0
cos
cos sin
n
x dx
x x
�
(n N * ) b) 2 7
7 7 0
sin sin cos
x dx
x x
�
c)
2
0
sin
sin cos
x dx
x x
�
Trang 12d) 2 2009
2009 2009
0
sin
x
dx
�
4 4 0
cos cos sin
x dx
4
2
4 4
0
sin
cos sin
x dx
�
0
.sin
4 cos
x x
dx x
�
0
cos
4 sin
dx x
�
c) 2
0
1 sin ln
1 cos
x dx x
�
d) 4
0
ln(1 tan ) x dx
�
e)
2
3 0
.cos
x xdx
0
.sin
x xdx
�
g)
01 sin
x dx
x
�
h)
0
sin
2 cos
x x dx x
�
0
sin
1 cos
x x dx x
�
k) 4
0
sin4 ln(1 tan )x x dx
�
0
sin
9 4cos
x x dx
x
�
m)
4 0
sin cos
x x xdx
�
a) 2
0
sin
sin cos
x dx
x x
�
b) 2
0
cos sin cos
x dx
x x
�
c) 2
0
sin sin cos
x dx
x x
�
d) 2
0
cos
sin cos
x dx
x x
�
4 4 0
sin sin cos
x dx
x x
�
4 4 0
cos sin cos
x dx
x x
�
6 6
0
sin sin cos
x dx
x x
�
6 6 0
cos sin cos
x dx
x x
�
i) 2 2 0
2sin sin2x xdx
�
k)
2
2
0
2cos sin2x xdx
�
l)
1
1
x
x x
e dx
e e
1
1
x
x x
e dx
e e
�
n) 1
1
x
x x
e dx
e e
� o) 1
1
x
x x
e dx
e e
�