gt12 c1a

VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số Để xét chiều biến thiên của hàm số y = fx, ta thực hiện các bước như sau: – Tìm tập xác định của hàm số.. Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị

1 Đinh nghĩa:

Hàm số f đồng biến trên K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) < f(x2) Hàm số f nghịch biến trên K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) > f(x2)

2 Điều kiện cần:

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f(x)  0, x  I

b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f(x)  0, x  I

3 Điều kiện đủ:

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I

a) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I

b) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I

c) Nếu f(x) = 0, x  I thì f không đổi trên I

Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì

f phải liên tục trên đó.

VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số

Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:

– Tìm tập xác định của hàm số.

– Tính y  Tìm các điểm mà tại đó y = 0 hoặc y không tồn tại

(gọi là các điểm tới hạn)

– Lập bảng xét dấu y  (bảng biến thiên) Từ đó kết luận

các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Bài 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) y 2x24x5 b) 2 5

x

y  x c) y x 24x 3 d) y x 32x2 x 2 e) y (4 x x)( 1)2 f) y x 33x24x1 g) 1 4 2 2 1

4

y x  x  h) y  x4 2x23 i) 1 4 1 2 2

10 10

y x  x 

CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM

SỐ

CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM

SỐ

I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

k) 2 1

5

x

y

x





1 2

x y

x





1 1 1

y

x

 

 n) 2 2 26

2

y

x

 



1 3 1

x

   

2

4 15 9 3

y

x

 



Bài 2. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) y 6x48x33x2 1 b) 2

2

1 4

x y x





2 2

1 1

y

 



  d) y 2x21

x



3 2

x y



  f) y x  3 2 2 x g) y 2x 1 3 x h) y x 2x2 i) y 2x x 2

k) sin2

y x��  x ��

y x x ��  x ��

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến

hoặc nghịch biến trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định)

Cho hàm số y f x m ( , ), m là tham số, có tập xác định D.

 Hàm số f đồng biến trên D  y  0, x  D.

 Hàm số f nghịch biến trên D  y  0, x  D.

Từ đó suy ra điều kiện của m.

Chú ý:

1) y  = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.

2) Nếu y ax' 2bx c  thì:



0 0 ' 0,

0 0

a b c

a

�  

�

� ��



�

�

� ��

�



0 0 ' 0,

0 0

a b c

a

�  

�

� ��



�

�

� ��

�

3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai g x( )ax2bx c  :

 Nếu  < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.

 Nếu  = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x =

2

b a

 )

 Nếu  > 0 thì g(x) có hai nghiệm x 1 , x 2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.

4) So sánh các nghiệm x 1 , x 2 của tam thức bậc hai g x( )ax2bx c

với số 0:

 1 2 0 00

0

S

� 

�

  � � 

�

�



 0 1 2 00

0

S

� 

�

  � � 

�

�



 x1 0 x2�P0

5) Để hàm số y ax 3bx2  có độ dài khoảng đồng biến cx d

(nghịch biến) (x 1 ; x 2 ) bằng d thì ta thực hiện các bước sau:

 Tính y.

 Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch

biến:

0 0

a

� �

� 

 Biến đổi x x1 2  thành d 2 2

(x x ) 4x x d (2)

 Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.

 Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập xác định) của nó:

a) y x 35x 13 b) 3 3 2 9 1

3

x

y  x  x c) 2 1

2

x y x







Bài 2. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định (hoặc tập xác định) của nó:

a) y  5x cot(x 1) b) ycosx x c) ysinxcosx2 2x

Bài 3. Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng xác định) của nó:

a) y x 33mx2(m2)x m b) 3 2 2 1

x mx

y   x

c) y x m

x m





4

mx y

x m







Bài 4. Tìm m để hàm số:

a) y x 33x2mx m nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1

b) 1 3 1 2 2 3 1

y x  mx  mx m nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3

c) 1 3 ( 1) 2 ( 3) 4

3

y  x  m x  m x đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4

Bài 5. Tìm m để hàm số:

a) 3 ( 1) 2 ( 1) 1

3

x

y  m x  m x đồng biến trên khoảng (1; +)

b) y x 33(2m1)x2(12m5)x đồng biến trên khoảng (2; +).2 c) y mx m

x m

4( 2)



 đồng biến trên khoảng (1; +).

d) y x m

x m





 đồng biến trong khoảng (–1; +).

I Khái niệm cực trị của hàm số

Giả sử hàm số f xác định trên tập D (D  R) và x0  D.

a) x0 – điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b)  D và x0  (a; b) sao cho

f(x) < f(x0), với x  (a; b) \ {x0}

Khi đó f(x0) đgl giá trị cực đại (cực đại) của f

b) x0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b)  D và x0  (a; b) sao cho

f(x) > f(x0), với x  (a; b) \ {x0}

Khi đó f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f

c) Nếu x0 là điểm cực trị của f thì điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị của đồ thị hàm số f

II Điều kiện cần để hàm số có cực trị

Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f (x0) = 0

Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà

tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.

III Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị

1 Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa

điểm x0 và có đạo hàm trên (a; b)\{x0}

a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt

cực tiểu tại x0.

b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt

cực đại tại x0.

2 Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b)

chứa điểm x0, f (x0) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0

a) Nếu f (x0) < 0 thì f đạt cực đại tại x0

b) Nếu f (x0) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x0

VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị của hàm số

Qui tắc 1: Dùng định lí 1.

 Tìm f (x).

II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

 Tìm các điểm x i (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.

 Xét dấu f (x) Nếu f (x) đổi dấu khi x đi qua x i thì hàm số đạt cực trị tại x i

Qui tắc 2: Dùng định lí 2.

 Tính f (x).

 Giải phương trình f (x) = 0 tìm các nghiệm x i (i = 1, 2, …).

 Tính f (x) và f (x i ) (i = 1, 2, …).

Nếu f  (x i ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x i

Nếu f  (x i ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x i

Bài 1. Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y3x22x3 b) y x 32x22x1 c) 1 3 4 2 15

3

y  x  x  x

d) 4 2 3

2

x

y x  e) y x 44x25 f) 4 2 3

x

y  x 

2

y

x

  



2

1

y

x

 



2 2 15 3

y

x

 





Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y (x 2) (3 x1)4 b) 2

2

y

 



2 2

1

y

 



  d) y x x 24 e) y x22x5 f) y x  2x x 2

Bài 3. Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y3 2x 1 b) 3 2

2 1

x y x



x x

y e  e

d) y x 25x 5 2lnx e) y x 4sin2x f) y x ln(1x2)

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị

1 Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x 0 thì f  (x 0 ) = 0 hoặc tại x 0 không có đạo hàm.

2 Để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x 0 thì f  (x) đổi dấu khi x

đi qua x 0

Chú ý:

 Hàm số bậc ba y ax 3bx2  có cực trị  Phương trình y = cx d

0 có hai nghiệm phân biệt.

Khi đó nếu x 0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x 0 ) bằng hai cách:

+ y x( )0 ax03bx02cx0d

+ y x( )0 Ax0 , trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y B cho y .

 Hàm số 2

' '

ax bx c y

a x b

 



 =

( ) ( )

P x

Q x (aa  0) có cực trị  Phương trình y

= 0 có hai nghiệm phân biệt khác '

'

b a



Khi đó nếu x 0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x 0 ) bằng hai cách:

0 0

0

( ) ( )

( )

P x

y x

Q x

0

0

'( ) ( )

'( )

P x

y x

Q x



 Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần

phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai.

 Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các

kiến thức khác nữa, nhất là định lí Vi–et.

Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn có cực đại, cực tiểu:

a) y x 33mx23(m21)x m 3 b) y2x33(2m1)x26 (m m1)x1

Bài 2. Tìm m để hàm số:

a) y(m2)x33x2mx có cực đại, cực tiểu.5

b) y x 33(m1)x2(2m23m2)x m m (  có cực đại, cực tiểu.1)

c) y x 33mx2(m21)x đạt cực đại tại x = 2.2

d) y mx42(m2)x2  có một cực đại m 5 1

2

x

Bài 3. Tìm m để các hàm số sau không có cực trị:

a) y x 3 3x23mx3m4 b) y mx 33mx2(m1)x1

Bài 4. Tìm a, b, c, d để hàm số:

a) y ax 3bx2  đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đạicx d

bằng 4

27 tại x =

1 3 b) y ax 4bx2 có đồ thị đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trịc

bằng –9 tại x = 3

Bài 5. Tìm m để hàm số :

a) y x 32(m1)x2(m24m1)x2(m2 đạt cực trị tại hai điểm1) x1, x2 sao cho: 1 2

1 2

2 x x

3

y x mx mx đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho:

1 2 8

x x �

c) 1 3 ( 1) 2 3( 2) 1

y mx  m x  m x đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho: x12x2 1

Bài 6. Tìm m để đồ thị hàm số :

a) y  x3 mx2 có hai điểm cực trị là A, B và 4 2 900 2

729

m

b) y x 4mx24x m có 3 điểm cực trị là A, B, C và tam giác ABC nhận gốc toạ độ O làm trọng tâm

Bài 7. Tìm m để đồ thị hàm số :

a) y2x3mx212x có hai điểm cực trị cách đều trục tung.13 b) y x 33mx24m3 có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất

c) y x 33mx24m3 có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với đường thẳng (d): 3x2y  8 0

VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

1) Hàm số bậc ba y f x ( )ax3bx2  cx d

 Chia f(x) cho f (x) ta được: f(x) = Q(x).f  (x) + Ax + B.

 Khi đó, giả sử (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ) là các điểm cực trị thì:

( ) ( )

�

 Các điểm (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ) nằm trên đường thẳng y = Ax + B 2) Hàm số phân thức ( ) ( ) 2

( )

P x ax bx c

y f x

 

 Giả sử (x 0 ; y 0 ) là điểm cực trị thì 0 0

0

'( ) '( )

P x y

Q x

 Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình

đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy là: '( ) 2

'( )

y



Bài 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số :

a) y x 32x2 x 1 b) y3x22x3 c) y x 33x26x8

Bài 2. Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số:

a) y x 33mx23(m21)x m 3

b) y x 33(m1)x2(2m23m2)x m m ( 1)

Bài 3. Tìm m để hàm số:

a) y2x33(m1)x26(m2)x có đường thẳng đi qua hai điểm1 cực trị song song với đường thẳng y = –4x + 1

b) y2x33(m1)x26 (1 2 )m  m x có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị nằm trên đường thẳng y = –4x

c) y x 3mx27x có đường thẳng đi qua các điểm cực đại,3 cực tiểu vuông góc với đường thẳng y = 3x – 7

d) y x 33x2m x m2  có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng (): 1 5

2 2

y x

1 Định nghĩa:

Giả sử hàm số f xác định trên miền D (D  R)

a)

( ) , max ( ) : ( )

D

M f x � ���x ��D f x �M

b)

( ) , min ( ) : ( )

D

f x m x D

m f x � ���x ��D f x �m

2 Tính chất:

a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì [ ; ] [ ; ]

max ( ) ( ), min ( ) ( )

a b f x  f b a b f x  f a .

b) Nếu hàm số f nghịch biến trên [a; b] thì [ ; ] [ ; ]

max ( ) ( ), min ( ) ( )

a b f x  f a a b f x  f b .

VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập

bảng biến thiên

Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một

khoảng.

 Tính f (x).

 Xét dấu f (x) và lập bảng biến thiên.

 Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.

Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b].

 Tính f (x).

 Giải phương trình f (x) = 0 tìm được các nghiệm x 1 , x 2 , …, x n trên [a; b] (nếu có).

III GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ III GIÁ TRỊ LỚN NHẤT

VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

 Tính f(a), f(b), f(x 1 ), f(x 2 ), …, f(x n ).

 So sánh các giá trị vừa tính và kết luận.

[ ; ]

max ( ) max ( ), ( ), ( ), ( ), , ( )n

a b

M f x  f a f b f x f x f x

[ ; ]

min ( ) min ( ), ( ), ( ), ( ), , ( )n

a b

m f x  f a f b f x f x f x

Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

a) y x 24x3 b) y4x33x4 c) y x 42x22

d) y x2 x 2 e) 2 1

2 2

x y





2 2

1

y

x

 



 g) y x2 1 (x 0)

x

2

1 1

y

 



4 2 3

1 ( 0)

 



Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

a) y2x33x212x trên [–1; 5]1 b) y3x x trên [–2; 3]3 c) y x 42x2 trên [–3; 2]3 d) y x 42x2 trên [–2;5 2]

e) 3 1

3

x

y

x





1 1

x y x





 trên [0; 4]

g) 4 2 7 7

2

y

x

 



2 2

1 1

x x y

x x

 



  trên [0; 1] i) y 100x2 trên [–6; 8] k) y 2 x 4x

Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

a) 2sin 1

sin 2

x y

x





1 cos cos 1

y



  c)

2 2sin cos 1

y x x

d) ycos2x2sinx1 e) ysin3xcos3x f) 2

4 2

1 1

x y





  g) y4 x22x 5 x22x3 h) y  x2 4x x24x3

1 Định nghĩa:

Điểm U x f x 0; ( )0  đgl điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x) nếu

tồn tại một khoảng (a; b) chứa điểm x0 sao cho trên một trong hai khoảng (a; x0) và (x0; b) tiếp tuyến của đồ thị tại điểm U nằm phía trên đồ thị còn trên khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị

2 Tính chất:

 Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên một khoảng chứa điểm x0, f(x0) = 0 và f(x) đổi dấu khi x đi qua x0 thì

 0; ( )0 

U x f x là một điểm uốn của đồ thị hàm số

IV ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ

 Đồ thị của hàm số bậc ba y ax 3bx2  (a  0) luôn cócx d

một điểm uốn và đó là tâm đối xứng của đồ thị

Bài 1. Tìm điểm uốn của đồ thị các hàm số sau:

a) y x 36x23x2 b) y x 33x29x9 c) y x 46x23

d) 4 2 2 3

4

x

y  x  e) y x 412x348x210f) y3x55x43x2

Bài 2. Tìm m, n để đồ thị của hàm số sau có điểm uốn được chỉ ra:

a) y x 33x23mx3m ; I(1; 2).4 b) 3 2 8

( 1) ( 3)

x

y   m x  m x ; I(1; 3)

c) y mx 3nx2 ; I(1; 4)1 d) y x 3mx2nx ; 2 2; 3

3

I��  ��

e) y x3 3mx2 2

m

    ; I(1; 0) f) y mx 33mx2 ; I(–1; 2)4

Bài 3. Tìm m để đồ thị của hàm số sau có 3 điểm uốn:

5

4 (4 3) 5 1

5 3

x

y  x  m x  x

Bài 4. Tìm m, n để đồ thị của các hàm số:

a) y x 42x36x2mx2m có hai điểm uốn thẳng hàng với1 điểm A(1; –2)

x

y  x mx có điểm uốn ở trên đường thẳng y x  2

4

y  x mx  có điểm uốn ở trên Ox.n

Bài 1. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

a) 2 5

1

x

y

x





10 3

1 2

x y

x





2 3 2

x y

x







1 Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

 Tìm tập xác định của hàm số

 Xét sự biến thiên của hàm số:

+ Tính y

+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y bằng 0 hoặc không xác định

+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)

V ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ

VI KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VI KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN

VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số

 Vẽ đồ thị của hàm số:

+ Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phương)

– Tính y

– Tìm các điểm tại đó y = 0 và xét dấu y

+ Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị

+ Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị như giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (trong trường hợp đồ thị không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì có thể bỏ qua) Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thị để có thể vẽ chính xác hơn

+ Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thị

2 Hàm số bậc ba y ax 3bx2 cx d a( � :0)

 Tập xác định D = R

 Đồ thị luôn có một điểm uốn và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

 Các dạng đồ thị:

y’ = 0 có 2 nghiệm

phân biệt

 ’ = b2 – 3ac > 0

y’ = 0 có nghiệm

kép

 ’ = b2 – 3ac = 0

y’ = 0 vô nghiệm

 ’ = b2 – 3ac < 0

3 Hàm số trùng phương y ax 4bx2c a( � :0)

 Tập xác định D = R

 Đồ thị luôn nhận trục tung làm trục đối xứng

 Các dạng đồ thị:

y

x 0

I

y

x

0 I

y

x 0

I

y

x 0

I