Biểu diễn nhóm hữu hạn

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này, em đã nhận được sự quan tâm, động viên, khích lệ của các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số nói riêng và các thầy cô trong khoa To

KHOA TOÁN

*************

NGUYỄN HUYỀN NGỌC

BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Đại số

HÀ NỘI - 2014

KHOA TOÁN

*************

NGUYỄN HUYỀN NGỌC

BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Đại số

Người hướng dẫn khoa học Th.S ĐỖ VĂN KIÊN

HÀ NỘI - 2014

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này, em đã nhận được sự quan tâm, động viên, khích lệ của các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số nói riêng và các thầy cô trong khoa Toán trường Đại học

sư phạm Hà Nội 2 nói chung Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với

các thầy giáo, cô giáo, đặc biệt là Th.S Đỗ Văn Kiên người đã tận tình

hướng dẫn em trong suốt thời gian qua để em hoàn thành khóa luận này

Do trình độ và thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên những vấn đề

mà em trình bày trong khóa luận này sẽ không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong nhận được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Huyền Ngọc

Trong quá trình nghiên cứu khóa luận “Biểu diễn nhóm hữu

hạn” em có sử dụng một số tài liệu tham khảo để hoàn thành khóa luận

của mình Danh sách tài liệu tham khảo này em đã đưa vào mục tài liệu tham khảo của khóa luận

Em xin cam đoan khóa luận được hoàn thành bởi sự cố gắng nỗ

lực của bản thân cùng với sự hướng dẫn tận tình của Th.S Đỗ Văn Kiên

cũng như các thầy cô trong tổ Đại số Đây là đề tài không trùng với đề tài của các tác giả khác

Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Huyền Ngọc

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Nhóm 3

1.1.1 Khái niệm nhóm 3

1.1.2 Nhóm con 5

1.1.3 Nhóm con chuẩn tắc và nhóm thương 5

1.1.4 Đồng cấu nhóm 6

1.1.5 Nhóm cyclic và cấp của nhóm 8

1.1.6 Nhóm hữu hạn 8

1.2 Vành và trường 10

1.2.1 Vành 10

1.2.2 Trường 11

1.3 Môđun 11

1.3.1 Định nghĩa môđun 11

1.3.2 Môđun con 12

1.3.3 Tổng trực tiếp và tích Ten-xơ 12

1.3.4 Đồng cấu môđun 14

1.3.5 Tổng trực tiếp và tích Ten-xơ của hai đồng cấu môđun 14

CHƯƠNG 2 LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN 16

2.1 Các định nghĩa và ví dụ 16

2.1.1 Biểu diễn ma trận 16

2.1.2 Biểu diễn tuyến tính 18

2.2 Biểu diễn nhóm theo thuật ngữ môđun 22

2.3 Hai biểu diễn tương đương 24

2.3.1 Định nghĩa 24

2.3.2 Biểu diễn con 24

2.3.5 Mối quan hệ giữa các biểu diễn tuyến tính và các biểu diễn bất

khả quy 26

2.4 Đặc trưng của biểu diễn 28

2.4.1 Vết của biểu diễn 28

2.4.2 Đặc trưng của biểu diễn 29

2.4.3 Đặc trưng của tổng trực tiếp và tích Ten-xơ của biểu diễn 30

2.5 Bổ đề Schur 31

2.5.1 Định lý 2.5.1 (bổ đề Schur) 31

2.5.2 Các hệ quả 32

2.6 Đặc trưng của biểu diễn bất khả quy 34

2.6.1 Tích vô hướng 34

2.6.2 Đặc trưng bất khả quy 35

2.6.3 Số các biểu diễn bất khả quy 37

2.7 Biểu diễn cảm sinh 38

CHƯƠNG 3 BIỂU DIỄN CỦA MỘT SỐ NHÓM HỮU HẠN 40

3.1 Biểu diễn của nhóm Abel 40

3.2 Biểu diễn của nhóm đối xứng 42

3.2.1 Định nghĩa 42

3.2.2 Biểu diễn của
 ( ≤ ) 42

3.3 Nhóm thay phiên 44

3.2.2 Biểu diễn của nhóm  ( ≥ ) 45

KẾT LUẬN 48

TÀI LIỆU THAM KHẢO 49

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Đại số là một ngành chiếm vị trí quan trọng trong toán học, nó góp phần thúc đẩy sự phát triển của toán học nói riêng và của loài người nói chung Ngày nay, khoa học kỹ thuật ngày càng phát triển, toán học nói chung và Đại số nói riêng cũng có những bước tiến bộ vượt bậc Những

tư tưởng, phương pháp và kết quả của Đại số đã thâm nhập vào hầu hết các lĩnh vực của toán học, từ tôpô và hình học tới giải tích và xác suất lượng tử, cũng như một số lĩnh vực của cơ học, vật lí lí thuyết, hóa học lượng tử,… Có thể nói mọi ngành toán học đều cần tới đại số đại cương

và những hiểu biết về cấu trúc đại số Trong đó nhóm hữu hạn là một trong những đối tượng cơ bản của toán học Nhóm hữu hạn là một nội dung có nhiều ứng dụng trong Đại số đại cương đặc biệt là cấu trúc nhóm Vì vậy, với lòng yêu thích và mong muốn tìm hiểu sâu hơn về nội dung này dưới góc độ một sinh viên sư phạm toán và trong phạm vi của một khóa luận tốt nghiệp, cùng với sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo –

Thạc sỹ Đỗ Văn Kiên, em xin trình bày những hiểu biết của mình về đề

tài “Biểu diễn nhóm hữu hạn”

2 Mục đích nghiên cứu

Trong quá trình tìm hiểu đề tài đã giúp em làm quen với việc nghiên cứu khoa học, tinh thần làm việc độc lập, tìm hiểu sâu hơn về đại số đặc biệt là hiểu rõ hơn về nhóm hữu hạn thông qua biểu diễn của nó

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đề tài này được nghiên cứu nhằm đi sâu khai thác làm nổi bật các đặc trưng của biểu diễn nhóm hữu hạn, các hình thức biểu diễn nhóm hữu

hạn và biểu diễn của một số nhóm đặc biệt như Abel ,Cyclic, đối xứng, thay phiên

4 Phương pháp nghiên cứu

Đề tài được hoàn thành dựa trên sự kết hợp các phương pháp nghiên cứu, lý luận phân tích, tổng hợp, đánh giá

5 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm có 3 chương:

• Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

• Chương 2 Lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn

• Chương 3 Biểu diễn của một số nhóm đặc biệt

Trong suốt quá trình thực hiện, được sự chỉ bảo, giúp đỡ tận tình của

thầy giáo – Th.s Đỗ Văn Kiên, em đã hoàn thành khóa luận tốt nghiệp

cuối khóa Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy

CHƯƠNG 1 NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nhóm

(G 2 ) Có đơn vị: Với mỗi

(G 3 ) Có nghịch đảo: Với mỗi

các ánh xạ, nhóm này không giao hoán

Ví dụ 1.1.2 Nhóm Quaternion Q8 là nhóm sinh bởi hai phần tử a và b và

- cùng với phép toán cảm sinh lập thành một nhóm

Mệnh đề 1.1.2 Một bộ phận A của một nhóm X là nhóm con của X nếu

và chỉ nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

i) Với mọi x y, ∈A xy, ∈A

ii) e∈A , với e là phần tử trung lập của X

iii) Với mọi x∈A x, −1∈A

Mệnh đề 1.1.3 Giao c ủ a m ộ t h ọ b ấ t k ỳ nh ữ ng nhóm con c ủ a m ộ t nhóm

là m ộ t nhóm con c ủ a

Ví dụ 1.1.3 Cho là một nhóm, Đặt - = "|/ ∈ ℤ+ thì - là

một nhóm con của

1.1.3 Nhóm con chuẩn tắc và nhóm thương

Định nghĩa 1.1.4 Gi ả s ử là m ộ t nhóm và- là nhóm con c ủ a Khi

đ ó, - đượ c g ọ i là nhóm con chu ẩ n t ắ c c ủ a n ế u  v ớ i m ọ i

0 ∈ - và m ọ i x∈G Ký hi ệ u

Mệnh đề 1.1.4 Gi ả s ử A là m ộ t nhóm con c ủ a nhóm G các đ i ề u ki ệ n sau là t ươ ng đươ ng:

i) A là chu ẩ n t ắ c

ii) xA=Ax v ớ i m ọ i x∈G

Ví dụ 1.1.4 Trong nhóm các phép thế S3 ta xét nhóm con A3 gồm các phép thế chẵn Ta có

Định nghĩa 1.1.6 Cho (8, ); (9, ) là 2 nhóm Ánh xạ $: 8 → 9 gọi là

đồng cấu nhóm nếu với mọi

Đồng cấu $ được gọi là đơn cấu nếu $ là đơn ánh;

Đồng cấu $ được gọi là toàn cấu nếu $là toàn ánh;

Đồng cấu $ được gọi là đẳng cấu nếu $ là song ánh

Chú ý 1.1.2

- Nếu tồn tại đẳng cấu $: 8 → 9thì ta cũng nói 8 đẳng cấu với 9, ký

hiệu 8 ≅ 9

- Nếu 8 ≡ 9 thì đồng cấu $: 8 → 8 gọi là tự đồng cấu

Định nghĩa 1.1.7 Cho $: 8 → 9 là đồng cấu nhóm Ta gọi các tập:

iv) $ là đơn cấu khi và chỉ khi >?$ = "E+

$ là toàn cấu khi và chỉ khi AB$ = 9

Mệnh đề 1.1.6 Tích của hai đồng cấu nhóm là một đồng cấu nhóm

f X →Y g Y: →Z là hai đồng cấu nhóm Khi đó gf X: → Z là một đồng cấu nhóm

Mệnh đề 1.1.7 (Định lý cơ bản về đồng cấu nhóm)

Giả sử $: 8 → 9 là đồng cấu nhóm F: 8 → 8/ >?$ là toàn cấu chính

tắc Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu $̅ ∶ 8/>?$ → 9 sao cho

$: $.H F; $̅ là đơn cấu và AB$̅ = $8 tức là biểu đồ sau giao hoán

8/>?$

$̅

ψ

X $ T

Hệ quả 1.1.1 Nếu $: 8 → 9 là đồng cấu nhóm thì 8/>?$ ≅ $8

Hệ quả 1.1.2 Nếu $: 8 → 9 là toàn cấu thì 8/>?$ ≅ 9

Ví dụ 1.1.6 Nhóm cộng ℤ là nhóm cyclic với phần tử sinh là 1 hoặc −1

Định nghĩa 1.1.9(Cấp của nhóm) Cấp của một nhóm G ký hiệu bởi G

là số ph ầ n t ử c ủ a G n ế u G có h ữ u h ạ n ph ầ n t ử , b ằ ng vô cùng n ế u G có

vô h ạ n ph ầ n t ử

C ấ p c ủ a ph ầ n t ử a∈G là c ấ p c ủ a m ộ t nhóm cyclic sinh b ở i a, ký hi ệ u Ord(a)

Chú ý 1.1.3

- Ord(a)=1 khi và chỉ khi a=e

- Ord(a)=m nếu m là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn am = e

- Ord a( )= ∞ khi và chỉ khi với mọin≠ m thì an ≠ am

{ 1, 2, , m}

A= x x x

Và các phần tử phân biệt xx xx1, 2, , xxm Đó là tất cả các phần tử của

lớp trái xA Như vậy xA có m phần tử Vì G là hữu hạn nên số các lớp trái là hữu hạn, gọi l là số các lớp trái xA Do các lớp trái là rời nhau nên

ta có n=ml

Tương tự ta cũng có l là số các lớp phải Ax

Từ định lý Lagrange ta có các hệ quả:

Hệ quả 1.1.3 Cấp của một phần tử tùy ý của một nhóm hữu hạn G là

ước của cấp của G

Hệ quả 1.1.4 Mọi nhóm hữu hạn có cấp nguyên tố đều là cyclic và được

sinh ra bởi một phần tử bất kỳ, khác phần tử trung lập của nhóm

Ví dụ 1.1.7 Tập  tất cả các song ánh trên tập "1,2,3, … , /+ cùng với

Định nghĩa 1.2.1 Ta gọi là một vành mỗi tập hợp N khác rỗng cùng với

hai phép toán 2 ngôi:

phép cộng +: N × N → N

và phép nhân ×: N × N → N

thỏa mãn 3 điều kiện sau:

(R 1 ): N là một nhóm Abel đối với phép cộng

(R 2 ): Phép nhân có tính chất kết hợp

(R 3 ): Phép nhân phân phối về hai phía đối với phép cộng

Vành N được gọi là giao hoán có đơn vị nếu phép nhân của nó có đơn

là cộng và nhân thông thường)

Ví dụ 1.2.2 Cho N, + là một nhóm Abel Gọi E là tập các tự đồng cấu

của R, trên Q ta định nghĩa hai phép toán (+) và × như sau:

Ví dụ 1.2.3 Tập hợp ℚ các số hữu tỷ cùng với phép cộng và phép nhân

các số là một trường Ta cũng có trường số thực ℝvà trường số phức ℂ

1.3 Môđun

1.3.1 Định nghĩa môđun

Định nghĩa 1.3.1 Gi ả s ử N là m ộ t vành giao hoán có đơ n v ị 1 M ộ t

mô đ un trái trên N là m ộ t nhóm Abel U (vi ế t theo l ố i c ộ ng) cùng v ớ i m ộ t ánh x ạ

U × N ⟶ U

thỏa mãn các điều kiện giống như (M 1 ), (M 2 ) nêu trên trong đó các vô hướng được viết ở bên phải và điều kiện ( )M3 thay bằ ng đ i ề u ki ệ n

(M 3 ’): v ớ i m ọ i ,  ∈ N

Sau đây ta chỉ xét các N-môđun trái và gọi chúng là các N-môđun

Chú ý 1.3.1 Nếu N là 1 trường thì mỗi N-môđun là một không gian

vector

Ví dụ 1.3.1 Cho 8 là nhóm Abel, kí hiệu

Q = Q/X8, 8 = "$: 8 → 8|$ là đồng cấu nhóm}

Theo ví dụ 1.2.2, Q là vành có đơn vị Khi đó, Xlà một Q-mođun với

phép nhân vô hướng

ii) Y đ óng kín đố i v ớ i phép nhân vô h ướ ng, t ứ c là v ớ i m ọ i r∈R x, ∈N thì

Ví dụ 1.3.2 Mọi nhóm Abel cộng đều là ℤ-môđun nên mọi môđun con

của U là các nhóm con của U

1.3.3 Tổng trực tiếp và tích Ten-xơ

Định nghĩa 1.3.3(Ánh xạ song tuyến tính) Cho A, B và X là các mô đ un trên R M ộ t ánh x ạ f t ừA B × vào X trên R g ọ i là ánh x ạ song tuy ế n tính

n ế u và ch ỉ n ế u ta có:

⊕ là tập hợp các dãy ZZ∈\ có hữu hạn giá trị khác 0 (tức Z = 0

hầu hết trừ ra một số hữu hạn) Khi đó trên i

⊕ là một N-môđun và được gọi là tổng trực

tiếp của họ môđun UZZ∈\

Định nghĩa 1.3.5 Tích Ten-xơ của hai N-mođun U và Y là một cặp

^, _ trong đó _ là một N-môđun và ^: U × Y → _ là 1 ánh xạ song

tuyến tính có tính chất sau: Với mọi cặp ψ, ` trong đó ` là một

N-mođun và ψ ∶ U × Y → ` là 1 ánh xạ song tuyến tính tồn tại duy nhất

một N-đồng cấu ℎ: _ → ` sao cho ψ = ℎ^ tức là biểu đồ sau giao hoán

(αm1+βm2)⊗ =n α.m1⊗ +n β.m2 ⊗n

Ví dụ 1.3.3 Tích Ten-xơ của các ℤ-môđun ℤ3 và ℤ5 bằng 0

Thật vậy, ta có (3,5)=1 suy ra tồn tại duy nhất ,u v∈ ℤ sao cho 3u+5v=1 Với mọi x ∈ ℤ3 thì 3x=0 và với mọi y ∈ ℤ5 thì 5y=0 khi đó

Định nghĩa 1.3.3 Cho U và Y là hai N-môđun Một ánh xạ $: U → Y

được gọi là một đồng cấu môđun hay gọi là N-đồng cấu (hoặc ánh xạ

tuyến tính) nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau đây:

ii) Với mọi

Hơn nữa , $ gọi là đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu nếu ánh xạ tương ứng

là đơn ánh, toàn ánh hay song ánh

Ví dụ 1.3.4 U, Ylà hai N-môđun Khi đó d: U ⟶ Y là đồng cấu môđun

Định nghĩa 1.3.4 (Môđun đơn) Một N-môđun Uđược gọi là đơn (hay

bất khả quy) nếu

1.3.5 Tổng trực tiếp và tích Ten-xơ của hai đồng cấu môđun

Định nghĩa 1.3.5 Giả sử f M : → M 'và g N : → N 'là những đồng cấu tùy ý cho trước của những môđun trên R

Ta xét tích Ten-xơ M ⊗N M, '⊗N' trên R cùng với các ánh xạ Ten-xơ ϕ

và ψ của chúng Gọi h = ×f g M: × →N M '×N'là tích Đề-các của f và

g xác định bởi h x y( ), =(f x g y( ) ( ), ) với mọi ( )x y, ∈M ×N

Vì ψ ( f ×g):M × →N M′⊗N′ là ánh x ạ song tuy ế n tính nên t ừ đị nh ngh ĩ a tích ten-x ơ M ⊗N suy ra t ồ n t ạ i m ộ t đồ ng c ấ u duy nh ấ t

g ọ i là tích Ten-x ơ c ủ a các đồ ng c ấ u mô đ un đ ã cho f và g

Ví dụ 1.3.5 Cho f X : → X ' và g Y : → Y ' là hai đồng cấu trên R Khi

2.1.2 Biểu diễn tuyến tính

Biểu diễn của một nhóm trên một trường F phụ thuộc vào căn bậc n của

1 trên trường đó Sau đây ta định nghĩa căn bậc n của đơn vị trong một

trường F.

Định nghĩa 2.1.2 T ậ p c ă n b ậ c n c ủ a 1 trên F là m ộ t nhóm nhân cyclic,

kí hi ệ u µn( ) F .Ph ầ n t ử sinh c ủ a nhóm này đượ c g ọ i là c ă n nguyên th ủ y

b ậ c n c ủ a 1

N ế u đặ c s ố c ủ a Fchia h ế t n thì µn( ) F ≤ n Ng ượ c l ạ i, n ế u đặ c s ố c ủ a

F không chia h ế t n thì đ a th ứ c Xn − 1 tách đượ c Khi đ ó trong tr ườ ng phân rã c ủ a Xn − 1 trên F thì µn( )F =n Ví d ụ khi thay th ế m ộ t tr ườ ng con F c ủ a ℂ b ằ ng F( )ζ v ớ i ζ =e2πi n/ ho ặ c thay th ế Fb ằ ng

Định nghĩa 2.1.3 Một biểu diễn tuyến tính của

- Nếu > là trường ℚ, ℝ hoặc ℂ thì ta nói ^ là biểu diễn hữu tỷ, thực

hoặc phức (tương ứng của

Chú ý 2.1.2 Một biểu diễn tuyến tính của  (với ˆlà không

gian vector Fn trên trường F) là một biểu diễn ma trận bậc /

Ví dụ 2.1.6 Đặt G=C n = σ và giả sử F chứa một phần tử lũy đẳng nguyên thủy nghiệm bậc n của 1, gọi là ζ ĐặtG→GL V( )

σ σ ֏ V

là biểu diễn tuyến tính của G Khi đó ( )V n ( )n 1

V

σ = σ = và bậc của đa thức tối tiểu của σV chia hếtX n −1 Mà X n −1có / nghiệm phân biệt

∑  ∑ là một đồng cấu nhóm Khi đó ta nói rằng

đồng cấu này là biểu diễn chính quy của nhóm

Ví dụ 2.1.8 Cho tập S có n phần tử, S ={s s1, , ,2 s n} Đặt ( )S ={c s1 1+c s2 2+ + c s n n|c i∈ }

Ta nói ℂ( )S là không gian vector sinh bởi S trên ℂ

Cho G là một nhóm và S là G- tập (G tác động lên S ) Khi đó ta có ánh xạ

là một tác động của G lên ℂ( )S

Ví dụ 2.1.9. (Biểu diễn chính quy) Cho G là một nhóm Khi đó ta có G

tác động lên chính nó bởi tác động chính quy trái

( )g h, ֏gh

Do đó nếu G ={g g1, 2, ,g n} thì ta có G-môđun tương ứng biểu diễn tuyến tính của G trong ℂ( )G là