T-NHÓM GIẢI ĐƯỢC HỮU HẠN

L ỜI MỞ ĐẦU Như đã biết, tính chuẩn tắc của các nhóm con trong một nhóm không có tính bắc cầu.. Từ đó nảy sinh ra một câu hỏi rất thú vị là “Khi nào thì tính chuẩn tắc của các

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Đỗ Hoàng Hải

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2014

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Đỗ Hoàng Hải

Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số

LỜI CẢM ƠN

Trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này , tôi đã nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ quý báu của các thầy cô , các anh chị và các bạn Với lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tôi xin được bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới:

Ban Giám Hiệu, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán Trường Đại học Sư

phạm TP Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện bảo vệ luận văn

PGS TS Mỵ Vinh Quang, người thầy kính mến đã hết lòng giúp đỡ , dạy bảo, và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và chu đáo của thầy Mỵ Vinh Quang Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đối với thầy

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán-Tin đã giúp tôi trang bị

những kiến thức cần thiết để tôi có thể hoàn thành luận văn

Và cuối cùng tôi xin dành lời cảm ơn đến các bạn bè, người thân đã luôn động viên, cổ vũ giúp tôi yên tâm hoàn thành tốt luận văn

M ỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Mục lục

Bảng kí hiệu dùng trong luận văn

L ỜI MỞ ĐẦU 1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2

1.1 Nhóm, nhóm con 2

1.2 Tâm hóa tử, chuẩn hóa tử và tâm 4

1.3 p-nhóm, π-nhóm, p’-nhóm, p-nhóm con Sylow, nhóm con Hall 4

1.4 Nhóm giải được 6

1.5 Nhóm siêu giải được 7

1.6 Nhóm lũy linh 8

1.7 Hoán tử, nhóm con hoán tử, nhóm con dẫn xuất 9

1.8 Dãy chuẩn tắc, nhân tử cơ bản, dãy cơ bản 11

1.9 Hệ Sylow, System Normalizer 12

1.10 Phép tự đẳng cấu lũy thừa 12

1.11 Nhóm con abnormal, nhóm con pronormal 12

Chương 2 T -NHÓM H ỮU HẠN GIẢI ĐƯỢC 13

2.1 T -nhóm 13

2.2 H -nhóm con 13

2.3 T -nhóm hữu hạn siêu giải được 20

2.4 N SN -nhóm 25

K ẾT LUẬN 31

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 32

B ẢNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN

H ≤G H là nhóm con c ủa G

H <G H là nhóm con th ực sự của G

H G H là nhóm con chu ẩn tắc của G

:

G H Chỉ số của nhóm con H trong G

G Cấp, lực lượng, số phần tử của G

L ỜI MỞ ĐẦU

Như đã biết, tính chuẩn tắc của các nhóm con trong một nhóm không có tính bắc

cầu Nhóm nhị diện D là m8 ột ví dụ điển hình Từ đó nảy sinh ra một câu hỏi rất thú

vị là “Khi nào thì tính chuẩn tắc của các nhóm con trong một nhóm có tính bắc cầu? Các nhóm đó có những tính chất gì?” Người ta gọi những nhóm mà tính chuẩn tắc của nhóm con có tính bắc cầu là T-nhóm

Các T-nhóm này có nhiều tính chất thú vị và thu hút được sự quan tâm, nghiên

cứu của nhiều nhà toán học, chẳng hạn như W Gaschutz, D.J.S Robinson, T.A Peng, Rose… Đặc biệt, gần đây đã có những kết quả mới thú vị về các T-nhóm giải được

Bởi vậy tôi quyết định chọn đề tài là “T-nhóm giải được hữu hạn” để làm luận văn

thạc sĩ Nội dung chính của luận văn dựa trên bài báo On finite solvable groups in

which normality is a transitive relation của các tác giả Mariagrazia Bianchi, Anna Gillio Berta Mauri, Marcel Herzog và Libero Verardi

Luận văn được trình bày trong hai chương:

Chương 1 là những kiến thức chuẩn bị về lí thuyết nhóm nhằm phục vụ cho chương sau

Chương 2 là tổng hợp các kết quả về một số đặc trưng mới của các T-nhóm giải được hữu hạn và các T-nhóm siêu giải được hữu hạn Trình bày các khái niệm về N-nhóm, *

H -nhóm, P-nhóm, nghiên cứu các N-nhóm, *

H -nhóm, P-nhóm hữu hạn Khái niệm về nhóm hữu hạn mà mọi nhóm con hoặc chuẩn tắc hoặc tự chuẩn hóa, mô

tả đặc trưng của chúng

Do kiến thức còn hạn hẹp và thời gian thực hiện không được nhiều, luận văn chắc

chắn không tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế nhất định Tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và những ai quan tâm đến vấn đề này

TP.HCM, ngày 27 tháng 8 năm 2014

Đỗ Hoàng Hải

Chương1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Nhóm,nhóm con

1.1.1 Nhóm h ữu hạn

Nhóm G là nhóm h ữu hạn nếu số phần tử của nó là hữu hạn

1.1.2 Nhóm con chu ẩn tắc

Nhóm con N c ủa nhóm G được gọi là nhóm con chuẩn tắc của G nếu N thỏa thêm

điều kiện chuẩn tắc: ∀ ∈ ∀ ∈ thìg G, n N 1

Cho G là m ột nhóm và H là nhóm con của G

Tập hợp Core G( )H =H Glà nhóm con sinh bởi hợp tất cả các nhóm con chuẩn

tắc của G chứa trong Hđược gọi là lõi của H trong G, với quy ước nếu trong G không

tồn tại nhóm con như trên thì H G = 1

1.1.5.2 Định lí Cho G là m ột nhóm, H là nhóm con của G Khi đó H là nhóm con chuẩn tắc tối G đại của G chứa trong H

1.1.6 Nhóm Dedekind

Cho G là m ột nhóm G được gọi là nhóm Dedekind nếu mọi nhóm con của G đều

chuẩn tắc trong G

Ch ứng minh

Giả sử G là nhóm hữu hạn, H ≤G và G H : = p với p là số nguyên tố

Giả sử tồn tại nhóm con K của G thỏa H < <K G Khi đó G H : = G K K H : ⋅ :

Mà G K : và K H : khác 1 do H ≠K K, ≠ nên G G H : không là số nguyên tố, mâu thuẫn với giả thuyết

Vậy H là nhóm con tối đại của G ■

1.1.9.A -nhóm

Cho G là m ột nhóm G được gọi là A -nhóm n ếu G giải được và mọi nhóm con

Sylow của G đều abel

1.2 Tâm hóa t ử,chuẩn hóa tử vàtâm

1.2.1 Tâm hóa t ử

Cho G là một nhóm và ∅ ≠ H ≤G Khi đó C G( ) {H = g∈G hg| = gh,∀ ∈h H}≤ và được gọi là tâm hóa tử của H trên G G

Nh ận xét:

( )

G

N H ≤ vàG H N G( )H

Nếu K ≤G sao cho H  thìK K ≤ N G( )H

1.3 p-nhóm, π-nhóm,p’-nhóm,p-nhóm con Sylow,nhóm con Hall

1.3.1 p-nhóm,p-nhóm con Sylow

(1) Cho p là s ố nguyên tố Một nhóm hữu hạn được gọi là p-nhóm nếu cấp của nó

là một lũy thừa của p

(2) Cho G là một nhóm hữu hạn cấp a

p m với ( p m , ) = 1 và p là số nguyên tố

Một nhóm con của nhóm G có cấp là a

p được gọi là p-nhóm con Sylow

(3) Cho A, B là hai nhóm con c ủa nhóm G A được gọi là liên hợp với

B⇔ ∃ ∈g G A: =B g

1.3.2 Định lí Sylow

Cho G là m ột nhóm hữu hạn cấp n và p là ước nguyên tố của n Khi đó:

(1) M ỗi p-nhóm con của G đều chứa trong một p-nhóm con Sylow nào đó của G Đặc biệt, do 1 là m ột p-nhóm con nên p-nhóm con Sylow luôn tồn tại

(2) T ất cả các p-nhóm con Sylow của G đều liên hợp với nhau

(3) N ếu np là s ố p-nhóm con Sylow của G thì np là ước của n và n p ≡1 mod( p)[6,

1.3.6 p’-nhóm

Cho p là s ố nguyên tố Một nhóm hữu hạn được gọi là p’-nhóm nếu cấp của nó

nguyên tố cùng nhau với p

1.3.7 π-nhóm

Giả sử π là một tập hợp gồm các số nguyên tố Khi đó nếu n là một số tự nhiên có

tất cả các ước nguyên tố đều nằm trong π thì n được gọi là một π-số

Nếu G là một nhóm mà mọi phần tử đều có cấp là một π-số thì G được gọi là một

π-nhóm

1.3.8 Nhóm con Hall

1.3.8 1 Định nghĩa

Cho G là m ột nhóm hữu hạn Một nhóm con H của G được gọi là nhóm con Hall

của G nếu H và / G H nguyên tố cùng nhau

1.3.8 2 Định lí

N ếu H là một nhóm con Hall chuẩn tắc của G thì tồn tại nhóm con K của G sao cho G H/ ≅K

(1) G ch ứa ít nhất một nhóm con cấp k

(2) Hai nhóm con c ấp k bất kì trong G đều liên hợp với nhau

(3) N ếu | k k ′ thì mọi nhóm con cấp k ′ c ủa G đều chứa trong một nhóm con cấp k[1, 11.7, tr.54]

1.3.9 p′ -nhóm con Hall

Nếu p là một số nguyên tố và G là một nhóm hữu hạn có cấp m

ap , với (a p, )= 1thì một nhóm con của G có cấp a được gọi là một p′-nhóm con Hall của G

1.4 Nhóm gi ải được

1.4 1 Định nghĩa

Cho G là m ột nhóm Một dãy aben trong G là dãy các nhóm con

0 1

1=G G   G n =G thỏa điều kiện G i+1/G i là nhóm aben ∀i

Một nhóm G được gọi là giải được nếu nó có một dãy aben

1.4.2 Tính ch ất

Cho nhóm G, N là nhóm con c ủa G Ta có các khẳng định sau:

(1) N ếu G giải được thì N giải được

(2) N ếu G giải được, N G thì G N/ gi ải được

(3) N ếu N G , N và G N gi/ ải được thì G giải được[6, 5.1.1]

p′-1.5 Nhóm siêu gi ải được

Một nhóm G được gọi là nhóm siêu giải được nếu nó có một dãy cyclic chuẩn tắc

1.5.2 Các tính ch ất của nhóm siêu giải được

1.5.2.1 M ệnh đề Cho G là nhóm siêu gi ải được H ≤G N, G Khi đó:

(1) H là nhóm siêu gi ải được

(2) G N/ là nhóm siêu gi ải được

(3) N ếu A A1, 2, , An là nhóm siêu gi ải được thì A1× × × A2 An là nhóm siêu gi ải được

1.5.2.2 M ệnh đề (1) Nhóm siêu gi ải được thỏa mãn điều kiện max

(2) Nhóm lũy linh hữu hạn sinh là nhóm siêu giải được[6, 5.4.6]

1.5.2.3 M ệnh đề

M ột nhóm là siêu giải được nếu và chỉ nếu nó có một chuỗi cyclic chuẩn tắc mà

nh ững nhân tử có cấp vô hạn hoặc cấp nguyên tố

1.5.2.4 M ệnh đề

M ột nhóm siêu giải được có một nhóm con chuẩn tắc cyclic cấp nguyên tố hoặc

vô h ạn

1.5 2.5 Định lí Cho G là nhóm siêu gi ải được Khi đó : (1) V ới mọi H ≤G , H có m ột nhóm con có chỉ số trong H là p với mỗi p là ước nguyên t ố của H

(2) N ếu p là ước nguyên tố lớn nhất của G thì G có một p-nhóm con Sylow chu ẩn tắc S và S có phần bù T trong G

1.6 Nhóm lũy linh

1.6 1 Định nghĩa

Cho G là m ột nhóm, dãy tâm là dãy các nhóm con chuẩn tắc của

G1=G0 ≤G1 ≤ ≤ G n = thG ỏaG i+1/G i ⊂Z G G( / i)∀ =i 0,n− 1

Nhóm G được gọi là nhóm lũy linh nếu trong G có một dãy tâm

Độ dài dãy tâm ngắn nhất trong G được gọi là lớp lũy linh của G

1.6.2 Tính ch ất

(1) M ọi nhóm abel đều là nhóm lũy linh

(2) M ọi nhóm lũy linh đều là nhóm giải được [1, 9.14, tr.45]

1.6.3 Định lí

M ọi p-nhóm hữu hạn đều lũy linh[6, 5.1.3]

1.6 4 Định lí

Cho G là nhóm lũy linh Khi đó:

(1) N ếu N ≤G thì N là nhóm lũy linh

(2) N ếu N G thì G N/ là nhóm lũy linh

(3) N ếu A, B là nhóm lũy linh thì A B × là nhóm lũy linh[6, 5.1.4]

1.6 5 Định nghĩa

Nhóm G th ỏa điều kiện chuẩn hóa nếu mọi nhóm con thực sự của nhóm G đều

thực sự nằm trong chuẩn hóa tử của nó

1.6.10 Định lí

Đối với nhóm hữu hạn G, những điều kiện dưới đây tương đương:

(1) G lũy linh;

(2) M ọi nhóm con của G đều á chuẩn tắc;

(3) G th ỏa điều kiện chuẩn hóa;

(4) M ọi nhóm con tối đại của G đều chuẩn tắc;

(5) G là tích tr ực tiếp của những nhóm con Sylow của nó[1, 9.26, tr.49]

1.6 11 Định lí

Cho G là nhóm lũy linh hữu hạn Nếu P là nhóm con Sylow của G thì P là nhóm con Sylow duy nh ất của G hay PG

p-Ch ứng minh

Đặt H = NG( ) P Theo Định lí 1.3.5 (1) ta có NG( ) H = H Khi đó H =G

Thật vậy, giả sử H <G Do G lũy linh nên G thỏa điều kiện chuẩn hóa Suy ra

1.7.5 Nhóm con d ẫn xuất

1.7.5 1 Định nghĩa

Cho nhómG Nhóm con sinh bởi tập tất cả các hoán tử của

G G'=G G, = x y, | ,x y∈G được gọi là nhóm con dẫn xuất của G

1.7.5 2 Định lí (1) G ′  G (2) Cho H G Khi đó / G H là nhóm abel khi và chỉ khiG H ′ ≤

N ếu N G và N , G N ′/ gi ải được thì G giải được[6, 5.2.10]

1.8 Dãy chu ẩn tắc,nhân tử cơ bản,dãy cơ bản

1.8.1 Dãy chu ẩn tắc

Cho G là m ột nhóm Một dãy các nhóm con của G: 1=G0 ≤G1 ≤ ≤ G n = sao G

cho G i G i+1 được gọi là dãy chuẩn tắc của G

1.8.2 Dãy các nhóm con chu ẩn tắc

Cho G là một nhóm Một dãy các nhóm con của G: 1=G0 ≤G1 ≤ ≤ G n = sao G

cho G i  được gọi là dãy các nhóm con chuẩn tắc của G G

1.9 H ệ Sylow,System Normalizer

1.9.1 H ệ Sylow

1.9.1.1 Định nghĩa

Cho G là một nhóm hữu hạn và gọi p p1, 2, ,p klà các ước nguyên tố phân biệt

của G Giả sử rằng Q là m i ột p ′ -nhóm con Hall c i ủa G Khi đó tập {Q Q1, 2, ,Q k}

được gọi là một hệ Sylow của G

1.10 Phép t ự đẳng cấu lũy thừa

Một tự đẳng cấu của nhóm G mà tất cả các nhóm con đều bất biến qua nó được

gọi là một phép tự đẳng cấu lũy thừa

1.11 Nhóm con abnormal, nhóm con pronormal

1.11.1 Nhóm con abnormal

Nhóm con H c ủa nhóm G được gọi là abnormal trong G nếu x∈ H H, x với

mọi x G∈

1.11.2 Nhóm con pronormal

Nhóm con H c ủa nhóm G được gọi là pronormal trong G nếu với mỗi g∈G,

Chương 2.T -NHÓM H ỮU HẠN GIẢI ĐƯỢC

2.1 T -nhóm

2.1.1 Định nghĩa T -nhóm, Cp-nhóm, T -nhóm

(1) Một nhóm G được gọi là T-nhóm nếu mọi nhóm con á chuẩn tắc của G đều

chuẩn tắc trong G

(2) Một nhóm hữu hạn G là một Cp-nhóm (v ới p là một số nguyên tố) nếu mọi

nhóm con củap-nhóm con Sylow P của G đều chuẩn tắc trong N G( )P

(3) Một nhóm G được gọi là T -nhóm n ếu tất cả nhóm con của G đều là T-nhóm

(4) G có tính ch ất Cp v ới mọi số nguyên tố p;

(5) v ới mọi số nguyên tố p, các p-nhóm con của G thì pronormal trong G

Ch ứng minh

Trong [7], Gaschutz chứng minh mệnh đề (1) và (2) tương đương

Robinson trong [5] đã chứng minh mệnh đề (1), (3), (4) tương đương

Cũng trong [5], Rose đã chỉ ra (4) và (5) tương đương

Trong [3], Peng chỉ ra một cách độc lập rằng (1) và (5) tương đương

Vậy (1), (2), (3), (4), (5) tương đương ■

Dễ thấy rằng các p-nhóm con Sylow của một nhóm hữu hạn, các nhóm con chuẩn

tắc và tự chuẩn hóa của một nhóm bất kì thỏa tính chất (*)

2.2.2 Định nghĩa N ( ) ( ) ( ) ( ) G , P G , L G , M G , SN ( ) G , N -nhóm, P-nhóm,

*

H -nhóm

Cho G là một nhóm

(1) N(G) là t ập hợp tất cả các nhóm con chuẩn tắc của G

(2) L(G) là t ập hợp tất cả các nhóm con của G

(3) P(G) là t ập hợp tất cả các p-nhóm con của nhóm hữu hạn G, với mọi số

nguyên tố p

(4) M(G) là t ập hợp các nhóm con tối đại của G

(5) SN(G)là t ập hợp các nhóm con tự chuẩn hóa của G

(6) Nhóm G được gọi là N-nhóm nếu H ( )G = N ( )G

(7) Nhóm G được gọi là H *-nhóm nếu H ( )G =L ( )G

(8) Nhóm G được gọi là P-nhóm nếu P( )G ≤H ( )G

Ta có M ( )G ⊂ N ( )G SN ( )G ⊂H ( )G ⊂L ( )G

2.2.3 B ổ đề

Cho G là m ột nhóm và N H, ≤G (1) N ếu N ≤H và NG thì H∈ H ( )G khi và ch ỉ khi H N/ ∈ H (G N/ ) (2) N ếu H ≤ N và G =N G( )H N thì H∈ H ( )N kéo theo H∈ H ( )G

Cho G là m ột nhóm hữu hạn và π là tập gồm các số nguyên tố

(1) N ếu H là một π-nhóm con Hall của G thì H ∈ H ( )G (2) N ếu , N KG K, ≤N thì ảnh ngược S trong G của mỗi nhóm con Sylow

/

S K c ủa / N K thu ộc vào H ( )G Đặc biệt, mọi nhóm con Sylow của một nhóm con chu ẩn tắc của G thuộc vào H ( )G

(3) N ếu , N K G K, ≤N và N K giải được thì ảnh ngược H trong G của mọi /

π-nhóm con Hall H /K c ủa / N K thuộc vào H ( )G Đặc biệt, mọi nhóm con Hall

c ủa một nhóm con chuẩn tắc giải được của G thuộc vào H ( )G

Ta có G K/ là nhóm hữu hạn, N /KG K/ , S K/ là nhóm con Sylow của

Do N /K giải được nên theo 1.3.8.3 thì mọi π -nhóm con Hall của N /K đều liên hợp

Theo Bổ đề Frattini tổng quát (1.3.4) thì G K/ = N G K/ (H K/ )(N K/ )

Tương tự (2), áp dụng Bổ đề 2.2.3 (2), do G K / = NG K/ ( H K / )( N K / ) và

(3) N ếu G giải được thìScó một dãy chuẩn tắc với các nhân tử abel, có các thành

có SN i  và S (SN i+1) (/ SN i) là nhân tử cơ bản của S

(SN i+1) (/ SN i) là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của S/(SN i) Theo (1) thì SN i∈ H ( )G

Vậy chuỗi Σ thu được bằng cách loại bỏ các thành phần giống nhau của chuỗi (*)

(3) Do G gi ải được nên G có một dãy chuẩn tắc với các nhân tử abel

1 = N    N Nn = G