biểu diễn nhóm hữu hạn 5

lý thuyết biểu diễn được nghiên cứu qua các tiên đề của đại số trừu tượng. nó được bắt nguồn từ việc nghiên cứu nhóm hoán vị và đại số các ma trận

Chương II

ĐẶC TRƯNG NHÓM

Từ đây về sau nếu không nói gì thêm thì ta luôn xét trường K là trường số phức

C, nghĩa là ta chỉ xét các biểu diễn phức

§3 ĐẶC TRƯNG CỦA MỘT BIEU DIEN

Giả sử E là không gian véctơ hữu hạn ø chiều trên trường K và ƒ:E->E là phép biến đổi tuyến tính có ma trận A=(a, ), đối với co sở {e,,e; e„ } của E Khi

đó

Tr(7)=S 4,

được gọi là vết của ƒ Ta thấy vết của ƒ được định nghĩa như trên không phụ thuộc vào

việc chọn cơ sở Thật vậy, giả sử ƒ có ma trận là A=(a, ), va B=(8, ),, lần lượt ứng

với cơ sở {e,,e; é, } và {ej,e;, e,} Khi đó, tổn tại ma trận khả nghịch T có cấp n,

sao cho 4= TBT”' Xét đa thức đặc trưng của f là:

p(A)=det(A-Ar)=(-1)’ 4" +(-1)" aA" + 4a,

trong đó ï là ma trận đơn vị cấp n Ta thấy

3.1 DINH NGHIA Gid siz @:G->GL(E) là một biểu diễn của G trong không gian

véctơ E Hàm số y„:G—>C được định nghĩa bởi công thức

được gọi là đặc trưng của biểu diễn @

Đặc trưng của 1- biểu diễn được gọi là 1-đặc trưng

DAC TRUNG NHOM 11

3.2 MỆNH ĐỀ Nếu + là đặc trưng của một biểu diễn có cấp n thì

(i) _ Ta có x(e)=Tr(,)=Tr(id,)=n, vì dimE = n

(ii) Vì G có cấp hữu hạn nên mỗi seŒ cũng có cấp hữu hạn, giả sử s có cấp là m Khi đó, @j =0 „=ø,=id, Giả sử Â,,Â;, „ là các giá trị riêng của ọ, Khi đó, A” =1 nên |A,|=1 suy ra Â,=Â/' với l<i<øn Ta có

x0)-Tre)=SÄ=X2'=rfø")=miø.)=x(s')

(iii) Ta có a (sts Min )=Tr(9,9,.9,)=Tr(@,)=x(t)-0

Giử nguyên những ký hiệu trong Mệnh đề 3.2 ta có

Nhận xét : Giá trị của hàm đặc trưng + (s) tại mỗi s thuộc G là tổng của n căn bậc m

của đơn vị, trong đó mlà cấp của s và lx(s)\s n, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

ọ,=Âid, với 2eK

Đặc biệt x(s) = x(e) khi và chỉ khi @, = lá

Thật vậy, trong chứng minh (1) ta thấy các A, là các căn bậc m của đơn vị nên z (s)

là tổng của n căn bậc m của đơn vị và lx (s)|< n vi

Đặc biệt y(s)= x(e)=n© ọ,=ld,.M

3.3 MỆNH ĐỀ Giá sử x„ và x, lần lượt là đặc trưng của các biểu diễn

@:G->GL(E) và :G—>GL(F} Khi ấó :

(i) Đặc trưng xạ của biểu diễn tổng trực tiếp p®y bằng X„ + Xv-

G - Đặc trưng xạ của biểu diễn tích tenxơ ọ® bằng x,4,-

(i) Nếu p và ự không đẳng cấu với nhau, thì ƒ = 0

() — Nếu E= Fvà ọ=VW thì ƒ là một phép vị tự, tức là ƒ =^id, với hằng số Â

nào đó thuộc K

CHỨNG MINH

(i) Giast (#0, dat E’=ker f CE Khid6, VseG va Vxe E' tacé

DAC TRUNG NHOM 13

suy ra px € E’ Nghia la E’ 6n dinh dudi tac dong cia g hay E' là một KG - module con của E.Vì ƒ +0 dẫn đến E'z E mà ọ bất khả quy nên E'=0.Do dé, f đơn cấu

Đặt Ƒ =imf CF, với VseŒ và xe È ta có

W(x) = fQ,x

Suy ra ự,ƒ(x)e Ƒ”, nên Ƒ” ổn định dưới tác động của y hay F’ 14 KG-module con

của Ƒ Vì ự bất khả quy và ƒ #0, nên #” = Ƒ Do đó, ƒ là toàn cấu Suy ra ƒlà đẳng cấu (mâu thuẫn) Vậy nếu ø và ự không đẳng cấu với nhau, thì ƒ = 0

(ii) — Gọi ^ là giá trị riêng của ƒ trị riêng này tổn tại vì K đóng tại số

Dat f’ = f —Aid,, ta thay ự,ƒ'= /'ọ, và ker ƒ'z0 vì Â là một giá trị riêng của ƒ

Theo @), ta suy ra ƒ “=0 tức là ƒ = ^id, M

Nhận xét :Bổ đề Schur cho ta thấy nếu E là một G- module bất khả quy thì Hom,,,(E E) = K

4.2 HỆ QUA Cho G là nhóm hữu hạn, K là trường tùy ý, E, F là các G- không bất khả

quy và Â là phiếm hàm K tuyến tính trên E Giả sử xeE,yeF, nếu E va F không đẳng cấu, thì

đó

3 A(ơx)p"'y=0, VxeE,yeF

Nếu ¿ là phiếm hàm trên Ƒ thì hiển nhiên ta có

#„=(W„(ø)) trong cdc co sé {e,,¢,, ,¢, } của E và {e¡,e;, e

4.3 HỆ QUẢ Nếu p:G->GL(E) và :G >GL(F)là các biểu diễn bất khả quy

không đẳng cấu với nhau, thì

lc oes 5 ®œ,(ơ)W, (o')=0.9

4.4BO DE Cho K là trường tùy ý, E là không gian véctơ n chiều trên K Gid sit A là

một phiếm hàm trên E và ọ;„ e End, (E) là tự đồng cấu mà @;,(y)= À(y)x, Vy e E Khi đó Tr(@;„) =2)

CHUNG MINH Néu x=0 thi 9,,=0 nén7r(g,,)=A(x)=0 Néu x#0, đặt

x¡ =>, ta bổ sung thêm các véctơ x;, x,c E sao cho {x,x;, x„} là cơ sở của E

3 Ăơx)ơ" yA S20); với x,ye€ Ẹ

oeG

Nếu pw la mét phiém ham bat ky trén E thi

> Ă (ox) (on 'y)= Ie Ta ()ặ

Ma Tr(ø;„)= Ăy) (theo Bổ để 4.4), suy ra |G[|Ăy)=nc Chọn A,y sao cho

Ăy) =1, khi đó |ơ[= =nc, nên đặc số của trường K không chia hết n vì không chia hết

|G] vi

CHUNG MINH Ap dụng Mệnh để 4 với ^, là phiếm hàm K tuyến tính trên E thỏa

A, (x)= *,, VỚI x= yr e,,x,EK; p, la phiếm hàm K tuyến tính trên Ƒ thỏa

H, (y)= y, với y= Ñ y2 e K Ta được

i=]

>Ixe (ø)x,3,®, (c sls

oeG c© >> ®,„(ø)®„(ø Vi = ley,

ĐẶC TRƯNG NHÓM 17

._ 85 CÁC ĐẶC TRƯNG BẤT KHẢ QUY LẬP THÀNH MỘT HỆ TRỰC CHUẨN

Xét F(G,C) là một tập hợp gồm tất cả các hàm phức trên G Khi đó, F(G,C) cùng với phép cộng và nhân ngoài được định nghĩa như sau :

(x+8)(s)=œ(s)+ 8s)

(ca)(s) =ca(s), v6i a, Be F(G,C),seG,ceC là một không gian véctơ trên C Trong F(G,C) biểu

Đặc trưng của một biểu diễn của G là một phần tử của F(G, C) Đặc trưng của

một biểu diễn bất khả quy gọi là đặc trưng bất khả quy Sau đây chúng ta sẽ thấy các

đặc trưng bất khả quy lập nên một hệ trực chuẩn trong F(G, C)

5.1 ĐỊNH LÝ

(i) Nếu + là đặc trưng của một biểu diễn bất khd quy thi (x, ~)=1

(ii) Nếu z và y' lần lượt là đặc trưng của hai biểu diễn bất khả quy không đẳng cấu với nhau thì (+ x')= 0

“ie aye =1 (theo Hé qua 4.6)

(ii) Gia st y là đặc trưng của biểu diễn bất khả quy @, biéu dién nay dugc cho trong

khả quy ự được cho trong một cơ sở nào đó có ma trận, =(W„ (z)), eŒ Khi đó :

>hz(/)3 x()= |G| và Lantz) 0

(Nhận xét này được suy từ Mệnh đề 3.2 (iii) va Dinh ly 5.1)

5.2 HỆ QUÁ Giả sứ E là G-không gian với đặc trưng œ và E được phân tích thành

các G- không gian bất khả quy : E = E, ® E, ® ®© E, Khi đó, nếu F là một GŒ- không gian bất khả quy với đặc trưng x thì số các G- không gian bất khả quy E,(L<¡<k) đẳng cấu với F` bằng (a, x)

CHUNG MINH Goi +, là đặc trung cba E, Theo Mệnh để 3.3 ta có

Từ hệ qua trên ta có định nghĩa sau đây :

5.3 ĐỊNH NGHĨA Số (a, x) được gọi là số lan xudt hién cia F trong E, hay s6 béi

ma F dugc chita trong E

Như vậy mỗi G- không gian được phân tích duy nhất thành tổng trực tiếp của các G-không gian bất khả quy sai khác một đẳng cấu

5.4 HỆ QUÁ Hai biểu diễn của G có cùng đặc trưng thì đẳng cấu với nhau

DAC TRUNG NHOM 19

CHUNG MINH Theo Hé qua 5.2, hai biểu diễn này có cùng số lần xuất hiện của mỗi biểu diễn bất khả quy của G §

Nhận xét : Hai biểu diễn có cùng đặc trưng khi và chỉ khi chúng đẳng cấu với nhau

Qua đó ta cũng thấy tầm quan trọng của đặc trưng thể hiện ở chỗ nó cho phép ta phân biệt giữa biểu diễn này với các biểu diễn khác Như vậy, từ đây chúng ta thấy việc

nghiên cứu các biểu diễn được đưa về việc nghiên cứu các đặc trưng của chúng

Đặc biệt, ta có ta có kết quả sau về tính bất khả quy

5.5 ĐỊNH LÝ Biểu diễn @:G —> GL(E)là bất khả quy nếu và chỉ nếu đặc trưng x, của nó có chuẩn bằng 1, nghĩa là (Xo>Xo) =1

CHỨNG MINH Giả sử E có sự phân tích £ =m,E, ®m,E, ® ® m,E, (với mị > 0),

trong đó E,,E;, E„ là các G-không gian bất khả quy đôi một không đẳng cấu với

nhau Gọi z, là đặc trưng của G-không gian bất khả quy E; Theo Định lý 5.l ta có

h (z„:#„) = (Som )= 2m :

Chúng ta kết thúc phần này bằng một định lý đẹp sau đây

5.7 ĐỊNH LÝ Giá sử đặc trưng y của biểu diễn trung thành ọ nhận trên G đúng m giá trị khác nhau Khi đó, mỗi đặc trưng bất khả quy yx, xuất hiện với hệ số khác 0

trong phân tích của ít nhất một trong các đặc trưng x° = #\.X` ⁄""" Nói cách khác, mỗi biểu diễn bất khả quy đều được chứa trong ít nhất một lãy thừa tenxơ ọ ® ®@ (¡

lần),0<¡<m.

CHUNG MINH Gia sit w, = z (s,)(/ = 0,1 m —1) là m giá trị khác nhau mà + nhận

trên G Trong đó, wạ = z (e) là cấp của Đặt

Đây là điều vô lý Vậy ta có điều phải chứng minh

§6 BIỂU DIỄN CHÍNH QUY CHỨA MỌI BIỂU DIỄN BẤT KHẢ QUY

Theo Ví dụ 2 của 1.2 biểu diễn chính quy của G được định nghĩa như sau :

DAC TRUNG NHOM 21

CHUNG MINH Gia sit ¢ 18 biéu dién chính quy của G Khi đó, ta có , (t)=st Ma không gian C[G]có cơ sở là {t} _., hon nita néu se thi st#e, VteG.Ti dé, ta thấy rằng tất cả các phần tử trên đường chéo chính của ma trận của ọ, đối với cơ sở trên đều bằng 0 nếu s #e và bằng 1 nếu s = e Nghĩa là:

;(s)= (nn neu s =e,

0, neu s #e

Dinh lý đã được chứng minh @

6.2 HỆ QUÁ Mỗi biểu diễn bất khả quy đều được chứa trong biểu diễn chính quy với

Gia stt E),E2, E, là tất cả các G- không gian bất khả quy đôi một không đẳng cấu

với nhau, với các đặc trưng tương ứng là Z¡.Z;¿ ,⁄„ Và các cấp tương ứng là ñ¿, nạ,

s €G, theo Dinh ly 6.1, ta c6(i) vais = e va (1) với se

Nhận xét : Giả sử ta đã tìm được các biểu diễn bất khả quy đôi một không đẳng cấu

của G, với cấp tương ứng là mị, nz, ., ne Điều kiện cần và đủ để chúng lập nên một

hệ đây đủ các biểu diễn bất khả quy của G là nị + n¿ + +n, =|G|

§7 SO CAC BIEU DIEN BAT KHA QUY

7.1 DINH NGHIA Ham f :G—C dugc gọi là ham lép trén G néu f(tst')= f(s)

vdi moi s,tEeG

Kí hiệu R.(G)1a khéng gian vécto con của F(G, C) bao gồm tất cả các hàm

Vậy ta có điều phải chứng minh M

7.3 ĐỊNH LÝ Gọi z,.z; y„ là đặc trưng của tất cả các biểu diễn bất khả quy đôi

một không đẳng cấu với nhau của G Khi đó, Visor, lập nên một cơ sở trực chuẩn của không gian ÂÑ, (G) các hàm lớp trên G

CHỨNG MINH Định lý 5.1 đã chỉ ra rằng z¡, Z¿ „ là một hệ trực chuẩn Ta còn cần phải chứng minh chúng sinh ra R (G) Muốn thế ta chỉ cần chứng minh rằng nếu feR.(G) và ƒ trực giao với mọi x, thìƒ =0 Nếu ølà một biểu diễn bất khả quy

ĐẶC TRƯNG NHÓM 23

mỗi biểu diễn là tổng trực tiếp của các biểu diễn bất khả quy nên ø„ =0 với mọi biểu diễn @ (không nhất thiết bất khả quy) Ấp dụng kết quả này cho ø là biểu diễn chính quy của G và e là me tử đơn vị của G, ta có :

0= @,(e )=3 /( (re, (e) )=3,/(

Từ đây, ta suy ra f(t)=0, v6i moi teG.™

Nhận xét : Giả sử ƒ là một hàm lớp bất kỳ trên Œ, Xị X;- X,là tập tất cả các đặc trưng bất khả quy Khi đó

Công thức này được gọi là công thúc Planseren

Thật vậy,theo kết quả của Định lý7.3 ta thấy z,,z;¿ +x„ là cơ sở của ®#,.(G) Do đó, néu feR.(G)thi f= Yanna eŒ Ta lại có

CHUNG MINH Gid sit C), Cy Cy JA tất cả các lớp liên hợp trong G Hàm

#:G —>C là một hàm lớp nếu và chỉ nếu ƒ là hàm hằng trên mỗi lớp liên hợp C; Các hằng số phức này có thể chọn tùy ý, vì thế số chiều của không gian R.(G) các hàm lớp bằng số k các lớp liên hợp trong G Ngoài ra, theo Định lý 7.3 trên số chiều của

®.(G) cũng bằng số biểu diễn bất khả quy đôi một không đẳng cấu nhau của G

$8 BIEU DIEN CUA NHOM ABEL

8.1 ĐỊNH LÝ Nhóm G là nhóm abel nếu và chỉ nếu mọi biểu diễn bất khả quy của nó đều có cấp bằng l

CHUNG MINH Goi ny, nạ, ., nạ là cấp của tất cả các biểu diễn bất khả quy đôi một không đẳng cấu của G Theo Hệ quả 6.3, ta có |G|= mẻ + my + + n„ Nhóm G là abel nếu và chỉ nếu mỗi lớp liên hợp của nó chứa đúng một phân tử, tức là |G|= ( làsố lớp liên hợp của G) Mà, |G[= # tương đương với

m=nạ= =n, =l.M

Do tính đặc biệt của nhóm Abel nên ta có nhận xét sau:

8.2 HỆ QUA Giả sử A là một nhóm con abel của G Khi dé mọi biểu diễn bất khả quy

của G đều có cấp nhỏ hơn hoặc bằng |[G : A]

CHỨNG MINH Giả sử @:G >GL(E) là một biểu diễn bất khả quy của G Ta xét

thu hep @,:4—> GL(E) của ọ trén A Gid sit F CE 1a m6t khong gian biểu diễn con bất khả quy của Ø„ - Theo định lý trên, dimf = l Ta đặt

Dùng nhóm giao hoán tử [G,G] ta thu được kết qua sau

§.3 ĐỊNH LÝ Có tương ứng 1-1 giữa các biểu diễn cấp 1 của nhóm G với các biểu

diễn bất khả quy của nhóm abel G/[G,G] Số các biểu diễn cấp 1 không đẳng cấu với

nhau của G bằng chỉ số của [G,G] trong nhóm G

CHỨNG MINH Giả sử :G —> ŒL (C) là một biểu diễn cấp một của G vì GL(€) là

abel nên im cũng vậy Do đó, kerø chứa nhóm [GŒ,G] các giao hoán tử Ta có một biểu diễn của G/[G,G] sinh bởi ø như sau

@ :G/[G,G]> GLC)

Trong đó z :G —> G/[G,G] là phép chiếu tự nhiên

Tương ứng ự Ky là ngược của tương ứng ~ Ho Rõ ràng @, đẳng cấu với

ọ, nếu và chỉ nếu ọ, đẳng cấu với ø,

Do tương ứng 1-1 vừa thiết lập, và do G/[G,G] là một nhóm abel, cho nên số các biểu diễn cấp 1 không đẳng cấu với nhau của G bằng lc/[c,G] = [G [Œ.đ]] a

§9 BIEU DIEN CUA NHOM HOAN VI

Giả sử G 14 nhém con cta nhom S, tac déng lén tap X ={x,.x; x„} Với mỗi øg eŒ, ánh xạ

dude biéu dién béi ma tran ®(g) c6 cdc phan tử là 0 và 1 Vết + (ø) của ma trận này

là số những phần tử trong X được cố định bởi g

Giả sử X có r quỹ đạo là X;,,X;, X„ tác động bởi G Khi đó, G tác động bắc

cầu (transitively) trên mỗi X,, chúng ta có thể viết