biểu diễn nhóm hữu hạn 6

lý thuyết biểu diễn được nghiên cứu qua các tiên đề của đại số trừu tượng. nó được bắt nguồn từ việc nghiên cứu nhóm hoán vị và đại số các ma trận

Trang 1

MỘT SỐ VẤN PE NGHIEN CUU VE BIEU DIEN NHÓM HỮU HẠN 32

Chương II

MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU VỀ BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HAN

Trong chương này chúng tôi tập trung nghiên cứu một số vấn để của biểu diễn nhóm hữu hạn nhằm làm rõ hơn những vấn để đã được đề cập ở chương I và chương II Đầu tiên là mở rộng Định lý Maschke

MỆNH ĐỀ 1 (Mở rộng Định lý Maschke) Cho p:G—»GL(E) là biểu diễn của nhóm

G (G không nhất thiết hữu hạn), trong đó E là không gian véctơ trên trường K có đặc

trưng p Giả sử G chứa nhóm con H có chỉ số hữu hạn thỏa p} |G:H | va Pus hoan toàn khả quy Khi đó, hoàn toàn khả quy

CHỨNG MINH : Giả sử F #0 là G-không gian con của E, suy ra F cũng là 77 -không gian con của E Vi @,, hoàn toàn khả quy nên tổn tại F’ 1A H-khéng gian con cha E

sao cho

E=F OF’

Véi méi me E,m=n+n',neF,n'eF' Do do, anh xa K-tuyén tinh

f:Ev,E m>n thỏa

Trang 2

MOT SO VAN DE NGHIEN CUU VE BIEU DIEN NHOM HUU HAN 33

Ọ, (m— gm)=0,m~0,gm

=0,m~— 60,m

=(1-g)0,m

Suy ra, Ø,(m— gm)e(L—g)E Điều này chứng tổ (7 - g)E là G-không gian con của E

Vi g thỏa ¡ và ii nên gE = F Suy ra E=F@(1-g)E

[G:H|=h hitu han va z,,z,, ,z, 1a các phần tử đại diện của các lớp ghép trái của G

theo nhóm con H Dat

Suy ra 0,g=gọ, Ta có điều phải chứng minh

Nhận xét: Trong trường hợp p|| thì kết quả trên không còn đúng nữa

Thật vậy, xét K là trường có đặc trưng p và G =(z) là nhóm cyclic sinh bởi x cap p, chọn E= K” là không gian véctơ 2 chiểu trên K Đặt

T:G~»GL(E)

xE>1,

Trang 3

sao cho ma trận của 7”, và l Ì Khi đó, 7 hoàn toàn được xác định vì nếu x' =x/

thi i= 7 mod p nên

1 i) 1 j

r ; - L ¡

dẫn đến 7, =7”, và ta cũng dễ dàng nhận thấy 7 là một biểu diễn

Xét không gian véctơ con Ƒ'= K (1,0) của E và phần tử (k,0) e Ƒ, ta có

cee yore le b 0 1)\b b

vi F’ là G- không gian con Do đó, (a+b,b)= œ(a,b), với œ e K suy ra

a+b=aa b=ab

từ đây dẫn đến b = 0, mâu thuẫn Vậy E là G- không gian không hoàn toàn khả quy

Bổ đề Schur cho ta thấy cho ta thấy nếu E là một G-module bất khả quy thì Hom,,,(E) = K Mệnh đề sau đây cho ta điều ngược lại

MENH DE 2 (Về chiều đảo của Bổ đề Schur) Giả sử E là A- module hoàn toàn khả quy trong đó A là đại số trên trường K Nếu HomA(E,E) = K thì E bất khả quy

CHỨNG MINH Giả sử, E không bất khả quy Khi đó, tổn tại E;, E; khác 0 là hai A-

m =Im +m,, mị c Em, e E,

Đặt

@:E>E

mm

Khi đó,øc Hom,(E,E) và gụ, = ld,., øụ =0 nên œ không là đồng cấu vô hướng

tức 14 Hom, (Z,E)#K dẫn đến mâu thuẫn Vậy nếu Hom, (E,E)= K thì E bất khả quy.#

Trang 4

Nhận xét: Kết quả trên không còn đúng khi E không hoàn toàn khả quy

a, (ax + by) + a,cy a(ax+b,y)+b(a,x+b,y)

Đồng nhất và đơn giản ta thu được hệ phương trình

aby + a,cy = ab,y + ba,x + bb,y + bby =ca,x

Chon x = b= 1, y = 0 ta dudc a2 = 0; chon x = 0, y = b=l ta được bị= 0 va a, = bạ Đặt

A =a, =b, khi đó ma trận của @ là

A 0

=A]

OA

v6i I 1 ma tran don vi Diéu nay cing cé nghia 1a g = Ald,, Do do, Hom, (£,E)=K

Ta lại thấy E không bất khả quy vì tổn tại

r-J#e4

Trang 5

MOT SỐ VẤN ĐỀ NGHIEN CUU VE BIẾU DIỄN NHÓM HỮU HẠN 36

là A-module con thật sự của E Hơn nữa, E không hoàn toàn khả quy vì nếu E hoàn

toàn khả quy thì tổn tại F là A-module con của E sao cho È= E'®Ƒ với F = K(x,y)

là A-module con một chiều của E được sinh bởi (x,y) voi x,ye K,y #0

hệ này dẫn đến y = 0, đây là điều mâu thuẫn Vậy E không hoàn toàn khả quy

MỆNH ĐỀ 3 (Mối quan hệ giữa biểu diễn bất khả quy và tâm của nhóm) Giả sử ọ

là một biểu diễn phúc bất khả quy của nhóm G có cấp n và y là một đặc trưng của 0 Gọi Z là tâm của nhóm GŒ Khi đó

1) cọ, là một phép vị tự với mọi se Z Từ đó suy ra |x(s)|=n VseZ

2) n’s[G:Z]

3) Néu @ trung thanh thi nhém Z la cyclic

Suy ra mọi biểu diễn bất khả quy của nhóm Abel đều 1 chiều

CHỨNG MINH

1) Giả sử ọ là một biểu diễn bất khả quy của Ở với không gian biểu diễn của E (E

là một C[G]-module bất khẩ quy ) Ta có ọ,là một đẳng cấu tuyến tính với mọi s thuộc G Ngoài ra với se Z,7 cỚ ta có

£0.(*)=0,(0.(%))=4(#)=0, (*) =0,(0-(3))=0.(ex), Ye Z

Suy ra 9, € Hom,,,(E,E) Theo Bổ để Schur ta có g, =Ald,, vdi A là một trị riêng của ø, Gọi m là số mũ của G ta có

gy = Pn =O, = Id,, với e là đơn vị của G Suy ra ^Â là một căn bậc m của 1 Khi đó

Trang 6

MOT SO VAN DE NGHIEN CUU VE BIEU DIEN NHOM HUU HAN - 37

Ye(s'+ ¥ xf -Lef =I

3) Chứng minh nếu ọ trung thành thì Z là nhóm cyclic

Với mỗi se Z, tổn tại Â, là một căn bậc m của đơn vị sao cho ø, =A,/d (do 1)) Dat

H={^,:seZ} Khi đó, H là nhóm con của nhóm các căn bậc m của đơn vị Thật

vậy,l=Â, HH và với s,r e Z bất kỳ, ta có

suy ra

AA, =, € HH

Hon nitag_, =A,'Id nén A, € H

Vay H là nhóm cyclic vì nhóm các căn bậc m của đơn vị là nhóm cyclic Giả sử

H được sinh bởi Ä„ › khi đó Z được sinh bởi s„ Thật vậy, Vr eZ ta có

Vì ø trung thành nên z = s; Vậy Z là nhóm cyclic

Từ 2) ta thấy nếu G là nhóm Abel thì Z =GŒ nên [G:Z]=1.Do đó, ø=1, như vậy ø

là biểu diễn 1 chiều

Định lý 7.4 cho ta thấy số các module phức bất khả quy của một nhóm luôn

luôn bằng số lớp liên hợp trong nhóm đó Mệnh đề sau đây cho thấy kết quả không

còn đúng trong trường hợp trường cơ sở không đóng đại số

MỆNH ĐỀ 4.(Về số module bất khả quy trong trường hợp không đóng đại số) Cho G

là nhóm hữu hạn và K là trường không đóng đại số thỏa charK Ï lơ| Khi đó, số KG-

module bất khả quy không nhất thiết bằng số lớp liên hợp trong G

CHUNG MINH Xét K là trường số hữu tỉ, G =(x) là nhóm cyclic cấp p nguyên tố và

r, là biểu diễn chính quy của G Đặt = s x' vàu =x'—x”',1<¡< p—1 Khi đó,

N, = Ku, va N, = a Ku,là các G-không gian con bất khả quy của KG và

KG =N,®N;, Thật vậy, trước hết ta dễ dàng nhận thấy rằng N,,N, là hai không gian

véctơ con của KG

Với v bất kỳ thuộc M,, v có dạng

Trang 7

Nếu i+/>p thì x°'—x”!'=x"! "Ty"?! sự EN);

Nếu ¡+/=p thì x°—x””!=x°—x” =-(u,,+ +u,)EN,, vi l<i,j<p-l

Suy ra 7, (x')(u) ceN, Vậy N, là G- không gian con của KG Ngoài ra ta còn có ma trận của z„ (x) đối với cơ sở {t.1;, u„ 1} là

0 0 0 -1 10 0 -1

0 1 0 -I]

0 0 1 -I

Đa thức đặc trưng của ma trận này là

aA 0 0 -I p(A)=|0 1 0 -—1 |=Ä””+Ã"”+ +Ä+1

0 0 1 -Ä-I

Đa thức này bất khả quy trên Q nên M, là G- không gian con bất khả quy Thật vậy, giả sử ẤN, không bất khả quy, khi đó N; =NM, ®N,' với N,,N,' là hai G- không gian con của N,(vi NW, hoàn toàn khả quy theo Định lý Maschke) Gọi A, B lần lượt là ma

Trang 8

điều này làm cho p(2^) không bất khả quy (mâu thuẫn) Vậy N, là G- không gian con bất khả quy Vì z, là biểu diễn chính quy nên chứa mọi biểu diễn bất khẩ quy, suy ra

G chỉ có hai KG-module bất khả quy Ngoài ra ta còn có G là nhóm Abel nên số lớp liên hợp bằng số phần tử của G và bằng p Như vậy trong trường hợp p = 2 thì ta có số

KG-module bất khả quy bằng số lớp liên hợp, trong trường hợp p > 2 thì số KG-module

bất khả quy nhỏ hơn số lớp liên hợp &

MỆNH ĐỀ 5 (Biểu diễn đối ngẫu) Giả sử :G->ŒGL (V) là một biểu diễn của nhóm

G và V` là không gian đối ngẫu gồm tất cả các dạng tuyến tính phúc trên V Với xeV,x EV", goi (x,x") là giá trị của dạng tuyến tính x` tại x Khi đó tôn tại duy

nhất một biểu diễn @`:G ~>GL(V}) sao cho

Trang 9

Suy ra, ø- là đẳng cấu hay 9° eGL(V})

Biểu diễn ø`” như trên là duy nhất Thật vậy, giả sử tôn tại ự” :G>GL(V") sao cho

Ta thấy đặc trưng +” của biểu diễn đối ngẫu ø” của @ là y That vậy, gọi

{i.vạ v„} là cơ sở của V, {ƒ, ý ƒ„} là cơ sở đối ngẫu của ƒ* Giả sử ƒ=ø, có

Trang 10

MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CUU VE BIEU DIEN NHOM HUU HAN 41

Do đó

xr (s)=Tr(@, )= Tr Lø, | =Tr (9, )=z (s" )=x(s) a

MỆNH ĐỀ 6 (Mối liên hệ giữa tích tenxơ và biểu diễn đối ngẫu) Giả sử va w la

hai biểu diễn bất khả quy của G Khi đó,]- biểu diễn của G xuất hiện trong phân tích của ọ®ự với hệ số khác 0 khi và chỉ khi ọ đẳng cấu với biểu diễn đối ngẫu `" của

Ự Trong trường hợp ngược lại, ( Xo> ky) =0

CHUNG MINH Giả sử biểu diễn bất khả quy ø, ự lần lượt có đặc trưng là z„

và x, ; biểu điễn đối ngẫu ự"” có đặc trưng Ấy =#y và 1- biểu diễn có đặc trưng +;

xuất hién ag lan (a, # 0) trong sự phân tích ®ự Khi đó

MỆNH ĐỀ 7 (Nhóm đối ngẫu) Giả sử G là nhóm Abel hữu hạn và G la Tập hợp tất

cả các đặc trưng bất khả quy của G Nếu 4,,X, eG thi tich WX eG G véi phép nhân đó là một nhóm Abel cùng cấp với G Ta gọi nó là nhóm đối ngẫu của G Với mỗi

xeG, ánh xạ # > x(x) là một đặc trưng bất khả quy của 6 và do đó là phân tử của nhóm đối ngẫu G của G Anh xạ G ->G thụ được bằng cách đó là đẳng cấu nhóm

CHỨNG MINH Vì G là nhóm Abel nên các đặc trưng bất khả quy của G đều một

chiều Do đó, với z¡,y; eG thì tích x¡+; eG (theo Mệnh để 5.6) và Ở với phép nhân

nay là một nhóm Abel với phần tử đơn vị là 1-đặc trưng, phần tử nghịch đảo của z là

Trang 11

1

+*' véi y'=7 Vi số đặc trưng bất khả quy bằng số lớp liên hợp, mà G là nhóm

Abel nên số lớp liên hợp bằng số phần tử của G Vậy G và G có cùng cấp

Xét

1, :G>C

xr x(x)

với xeŒ Ta thấy, z„ là đồng cấu nhóm nên nó là đặc trưng bất khả quy của G

Bây giờ ta sẽ chứng minh G đẳng cấu với G Đặt

GŒ Khi đó, #¡,Z; „ cũng là n đặc trưng bất khả quy khác nhau của G/{x) Suy ra

|G/(x)|=nnén |(x)|=1 Vay x=e hay ọ là đơn cấu Vì G là nhóm Abel nên nó có

số phần tử bằng số lớp liên hợp và bằng số đặc trưng bất khả quy Từ đó

ầ =|ê|=|6i

và do đó @ 1A song ánh, nghĩa là G>= G.M

MỆNH ĐỀ 8(Và đặc trưng của tích Descartes các nhóm) Giả sử G=Œ,xG, và

@:G,—>GL(V,)và :G, >GL(V,)là hai biểu diễn của các nhóm Œ, và G, trên

trường đóng đại số K với các đặc trưng tương ứng là x„và xụ„ Khi đo; ánh xạ

®V:G->GL(V, ®V,) được định nghĩa bởi 9 ®y(g,,g,)=9(g8,)@w(g,) la một biểu diễn với đặc trưng

tương ứng lề Xoay = X„X,.Nếu ọ,W bất khả quy thì e® cũng bất khả quy Ngược

lại, mỗi biểu diễn bất khả quy của G,xG, đều có dang ọ ®V, trong đó @,W bất khả

quy

CHỨNG MINH Ta thấy ánh xạ ®ự :G —>GL(W,®ƒ,) là một biểu diễn (vì tích

tenxơ của hai đẳng cấu tuyến tính là một đẳng cấu tuyến tính) và có đặc trưng

Trang 12

Bây giờ, Giả sử @,ự bất khả quy Ta chứng minh ø ®ự là một biểu dién bat kha quy hay V,@V, la KG-module bất khả quy Với mỗi x,eKG,, xét tự đồng cấu (x,), :mb> x,m, meV, va

(KG), ={(x,), 25, € KG}

Khi d6 V, 1a (KG,), -module bất khả quy trung thành Ngoài ra (KG,), còn là vành

Artin có đơn vị nên (KG,) „ là vành đơn Theo Định lý Wedderbum ta có

(KG,), = Hom, (V V,) với D, = Hom„, (V,,V,) Mà KG, là đại số trên trường đóng đại số K và ÿ,là KG,- module bất khả quy nên theo Bổ để Schur Hom,, (V,,V,)=K Id, Vậy (KG,), = Hom, (;.V,) nên với mỗi T; e Hom, (V,,V,) tổn tại (x,), e(KG,), sao cho

Bay gid gia st’ V,®V, khOng bat kha quy Khi dé, V, @V, =W @W,,W,W, #0 va W,

la KG- module bất khả quy trung thành (vì (KG), là vành đơn mà mỗi vành đơn đều

có modul bất khả quy trung thành) Ta xây dựng ánh xạ

T:V,®V, — V,®V,

m =m, +m, > m với m, € W,,m, e W, Rõ ràng 7 là một đồng cấu , do đó 7 e Hom, (V, V,, Vị ®V; ) suy

ra tổn tại ae KG,a#0:T =a, và

m = Tm = am = a(m, + m„ ) = am, + am,

Trang 13

2

hy hy hị hy

l6l=IGilo.|=S= La = (nn)

i=l j=l ij

Ngoài ra ta còn biết ring V, @V,kh6ng ding cau véi V/®V, tiv khi V, ding cau vdi

V, và V, đẳng cấu với V, Thật vậy, không mất tính tổng quát ta giả sit V, #V, Khi

dé, ton tai ee KG,:eV,=V,, eV, =0 Suy ra, (e,¢,, )(⁄ @V,)=(V,@V,) trong khi (e, 6, )(® J⁄ÿ)=0, với e„ là phần tử đơn vị của Œ, Vậy 4ÿ, #V/®ƒ; ( vì nếu tổn tại đẳng cấu ƒ :J„ 1, -> ƒ'®ƒ; thì

ƒ(W,.®V,)= f (ee, VV, @YV,))=(2.e,, )Z®V,)c(e.s„)(V'®P;) =0

Từ đây ta thấy tích tenxơ của mét KG,-module bat kha quy va mét KG,- module bat

khả quy là một KG-module bất khả quy và số các KG-module bất khả quy này lập

thành một hệ đầy đủ các KG-module bất khả quy của G (theo nhận xét của Hệ quả

6.3) Vậy mỗi KG-module bất khả quy đều có đạng tích tenxơ của một KG, -module bất khả quy và một KG, -module bất khả quy hay nói cách khác mỗi biểu diễn bất khả quy của G xG, đều có dạng ®ự_ trong đó g,ự bất khả quy

Chú ý : Khi G,=G, =G thì ọ ®ự là một biểu diễn của nhóm GxŒ Hạn chế biểu diễn này lên nhóm con đường chéo của GxŒ, tức là nhóm

A(GxG)={(s.ø): gG} =G,

ta cũng thu được một biểu diễn mà trước đây ta gọi là tích tenxơ của hai biểu diễn Ta cân phân biệt hai biểu diễn cùng được ký hiệu là ọ®W Nếu ọ và bất khả quy thì

ọ ®ự của GxG cũng bất khả quy, nhưng nói chung ọ®W của G không bất khả quy

MỆNH ĐỀ 9 (Thác triển của các đặc trưng) Giả sử G là một nhóm Abel hữu hạn và B

là nhóm con của G Khi đó, mỗi đặc trưng bất khả quy của B đều thác triển được thành

đặc trưng bất khả quy của G và số những thác triển như vậy bằng đúng chỉ số [G : BỊ CHỨNG MINH Giả sử G là nhóm Abel cấp n, B là nhóm con của G và [G :B]=m;

+¿ là đặc trưng bất khả quy của B Ta cần chứng minh tổn tại m đặc trưng bất khả quy

của G sao cho khi thu hẹp lên B bằng xạ.Vì G là nhóm Abel cấp n nên có n đặc trưng bất khả quy khác nhau của G; G/B là nhóm Abel cấp m nên G/B có m đặc trưng bất khả quy khác nhau là 1,7,, ,7, và B là nhóm Abel cấp n/m Dat

š,(*)=r, (x).x eG, j=1,m Khi do &,,&,, ,., 14 m đặc trưng trưng khác nhau của G

ta có thể giả sử m đặc trưng này là #¡,¿ X„„ Bổ sung vào m đặc trưng này (n — m)

đặc trưng bất khả quy của G ta được tất cả n đặc trưng bất khả quy khác nhau của G là

XI›Ã2›:» Ấn

Tiêu đề	Một số vấn đề nghiên cứu về biểu diễn nhóm hữu hạn
Trường học	Đại học
Thể loại	Luận văn

Định dạng
Số trang	21
Dung lượng	711,46 KB