CÁC TÍNH CHẤT PHỦ-NÉ VÀ CẤU TRÚC CỦA CÁC NHÓM HỮU HẠN

Ezquerro đã đưa ra một số tiêu chuẩn của một nhóm hữu hạn G là p-siêu giải được và siêu giải được dựa trên giả thiết tất cả các nhóm con tối đại của nhóm con Sylow của G có các tính chất

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Hoàng Yến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Hoàng Yến

CÁC TÍNH CHẤT PHỦ-NÉ VÀ CẤU TRÚC CỦA

CÁC NHÓM HỮU HẠN

Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số

Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TS MỴ VINH QUANG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với PGS.TS Mỵ Vinh Quang khoa Toán trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã dành nhiều thời gian và công sức tận tình hướng dẫn giúp tôi hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy PGS.TS Trần Tuấn Nam, TS Trần Huyên, PGS.TS Bùi Xuân Hải, PGS.TS Bùi Tường Trí và quý thầy cô khoa Toán

đã giảng dạy cho tôi những kiến thức cơ bản về Đại số và Giải tích để từ đó tôi có thể tự đọc thêm kiến thức và hoàn thành luận văn này

Bên cạnh đó, tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Ban chủ nhiệm khoa Toán và quý Thầy Cô đã giảng dạy, tạo điều kiện cho chúng tôi hoàn thành khóa học này

Và để có được kết quả như ngày hôm nay, tôi đã nhận được những lời động viên, đóng góp ý kiến của bạn bè và người thân

Cuối cùng, trong quá trình viết luận văn này, khó tránh khỏi những thiếu sót, tôi mong nhận được những ý kiến đóng góp của bạn đọc

Xin chân thành cảm ơn!

MỤC LỤC

Trang

Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Mục lục

Bảng ký hiệu dùng trong luận văn

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2

Chương 2 CAP-NHÓM CON CỦA CÁC NHÓM HỮU HẠN 15

2.1 CAP- nhóm con của nhóm hữu hạn 15

2.2 Một số đặc trưng của nhóm giải được hữu hạn 24

KẾT LUẬN 41

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 42

BẢNG KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN

N H Cái chuẩn hóa của H trong G

C (G H) Tâm hóa tử của H trong G

H char G H là nhóm con đặc trưng của G

MỞ ĐẦU

Lý thuyết nhóm là một trong những lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của Đại

số hiện đại Bài toán cơ bản của lí thuyết nhóm là mô tả cấu trúc các nhóm với sự chính xác đến một đẳng cấu, và nghiên cứu các phép biến đổi trên các nhóm Trên

thực tế, việc mô tả cấu trúc các nhóm là không thể, chính vì thế mà lí thuyết nhóm

vẫn còn được tiếp tục nghiên cứu Năm 1993, L.M Ezquerro đã đưa ra một số tiêu

chuẩn của một nhóm hữu hạn G là p-siêu giải được và siêu giải được dựa trên giả thiết tất cả các nhóm con tối đại của nhóm con Sylow của G có các tính chất phủ và

né Trong phạm vi luận văn này, dựa theo kết quả của bài báo: “ Cover-avoidance properties and the structure of finite groups” của Guo Xiuyun và K.P Shum, tôi sẽ trình bày một vài tiêu chuẩn của một nhóm hữu hạn giải được dựa trên giả thiết một

số nhóm con tối đại hoặc 2-nhóm con tối đại của nó có tính chất phủ và né Mục tiêu chính của luận văn này là nghiên cứu các tính chất cơ bản của các nhóm con có tính chất phủ - né và những ảnh hưởng của nó lên cấu trúc của một nhóm hữu hạn Đặc biệt, là nghiên cứu các nhóm con có tính chất phủ và né trong sự liên hệ với tính giải được, tính lũy linh của một nhóm hữu hạn Nội dung chính của luận văn gồm 2 chương

Trong chương 1, ta sẽ định nghĩa các khái niệm cơ bản như các nhóm con đặc trưng, nhóm giải được, nhóm lũy linh, và chứng minh một số kết quả quan trọng sẽ được sử dụng trong việc chứng minh các định lí ở chương 2

Trong chương 2, ta sẽ định nghĩa CAP-nhóm con của một nhóm và tìm hiểu

vài tính chất của nó để thấy sự liên hệ giữa các nhóm con có tính chất phủ và né với tính giải được, tính lũy linh của một nhóm hữu hạn

Mặc dù bản thân có nhiều cố gắng nhưng với thời gian và kiến thức có hạn nên không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong những ý kiến đóng góp, phê bình của quý Thầy Cô và các bạn để luận văn được hoàn chỉnh hơn

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ1.1 Nhóm con tối đại, 2-nhóm con tối đại, nhóm con tối tiểu

Cho G là nhóm, L< G i) Nhóm con tối đại, 2-nhóm con tối đại

L gọi là nhóm con tối đại của G nếu không tồn tại M G < sao cho L M G< < Kí

hiệu L G< ⋅

K gọi là 2-nhóm con tối đại của G nếu K là nhóm con tối đại của L

ii) Nhóm con tối tiểu

L gọi là nhóm con tối tiểu của G nếu L≠1và không tồn tại N G< sao cho

G N = n là nguyên tố cùng nhau Khi đó G chứa các nhóm con cấp m và hai

nhóm con cấp m bất kì liên hợp với nhau trong G [6, Định lí 9.1.2, trang 253]

1.4 Nhóm con Frattini

Cho G là một nhóm Khi đó, ( )Φ G char G, do đó ( )Φ G  G

1.5 C huẩn hóa tử, tâm hóa tử, lõi

Cho G là nhóm, K ≤G Khi đó, ta định nghĩa:

i) Với mọi g G∈ , nhóm con g 1

K =g Kg− gọi là nhóm con liên hợp của K trong

G

ii) N ( )G K ={g∈G K g =K} gọi là chuẩn hóa tử của K trong G

iii) C ( )G K ={g∈G gk =kg,∀ ∈k K} gọi là tâm hóa tử của K trong G.

iv) Z( )G =C ( )G G ={g∈G xg =gx,∀ ∈x G} gọi là tâm giao hoán của G

Cho G là nhóm, K ≤ , K G gọi là nhóm con đặc trưng của G nếu ( )α K = K

với mọi α∈Aut( )G , kí hiệu charK G

1.7.2 Định lí

i) Nếu charH G thì H  G ii) Với mọi α∈Aut( ), (G α H)≤H thì H charG

iii) Nếu charK H và H  thì K G G  [1, Mệnh đề 8.2, trang 35]

1.8 Nhóm con dẫn xuất

Cho G là một nhóm và với mỗi x y, ∈G, kí hiệu [ ] 1 1

,

x y = x y xy− − Khi đó, [ ]x y , được gọi là hoán tử của x và y

Nhóm con sinh bởi tập các hoán tử của G được gọi là nhóm con dẫn xuất của

G và được kí hiệu là 'G

1.9 Định lí

i) G ' là nhóm con chuẩn tắc của G.

ii) G ' là nhóm con nhỏ nhất sao cho G G là nhóm Abel'

iii) G ' là nhóm con đặc trưng của G [1, Định lí 2.16 trang 19]

1.10 Định nghĩa phần bù

Cho G là nhóm và H K, ≤ K G được gọi là phần bù của H trong G nếu

G=HK và H ∩K = 1

1.11 Định lí Sylow

1.11.1 Định nghĩa nhóm con Sylow

Cho G là nhóm hữu hạn, p là một số nguyên tố Khi đó, ta định nghĩa:

i) G được gọi là p- nhóm nếu G có cấp là lũy thừa của p

ii) Nhóm con H của G được gọi là p-nhóm con của G nếu H là một p-nhóm

iii) Nhóm con H của G được gọi là p-nhóm con Sylow của G nếu H là phần tử tối đại trong tập các p-nhóm con của G theo quan hệ bao hàm

1.11.2 Định lí Sylow

Cho p là số nguyên tố, G là nhóm hữu hạn, G = p m m p a ,( , )= Khi đó: 1

i) Mọi p-nhóm con của G đều nằm trong một p-nhóm con Sylow nào đó của G Đặc biệt, vì 1 là một p-nhóm con nên các p-nhóm con Sylow luôn tồn tại

ii) Nếu n p là số các p-nhóm con Sylow thì n p ≡1 mod p

iii) Tất cả các p-nhóm con Sylow của G đều liên hợp với nhau

Ta chứng minh qui nạp theo cấp của G

Giả sử G là nhóm có cấp nhỏ nhất không thỏa mãn mệnh đề

Vì H < và Z( ) 1G G ≠ nên H HZ( )G

Nếu Z( )G ≤ H thì H <HZ( )G ≤N (G H) Do đó, ta giả sử Z( )G ≤H Khi đó, Z( )

• Nếu N i N i+1 với i =0,1, ,n−1 thì dãy (1) được gọi là dãy chuẩn tắc của

G và được viết lại là 1=N0 N1  N n =G Khi đó, mỗi N i+1 N i được gọi là nhân tử của dãy

• Nếu nhân tử N i+1 N i là nhóm đơn thì N i+1 N i được gọi là nhân tử hợp thành

của G

• Nếu nhân tử N i+1 N i là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu G N thì i N i+1 N i được

gọi là nhân tử chính của G

1.12.1 Định nghĩa

Nhóm G được gọi là nhóm giải được nếu nó có một dãy chuẩn tắc

1=N N   N n =G sao cho N i+1 N i là nhóm Abel với i =0,1, ,n−1

Khi đó, dãy trên được gọi là dãy Abel của G Độ dài dãy Abel ngắn nhất trong G gọi là độ dài dẫn xuất trong G

1.13 Định nghĩa p-nhóm Abel sơ cấp

Cho p là một số nguyên tố và G là một p-nhóm hữu hạn Khi đó, G được gọi

là một p-nhóm Abel sơ cấp nếu G là tích trực tiếp của hữu hạn nhóm cyclic cấp p

Do đó N là một p-nhóm Abel sơ cấp nếu và chỉ nếu N là nhóm Abel thỏa

điều kiện x p = ∀ ∈1, x N

1.14 Định lí

Nếu G là nhóm hữu hạn giải được thì mọi nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G đều là p-nhóm con Abel sơ cấp [1, Định lí 11.3, trang 53]

1.15 Nhóm con Hall, p-nhóm con chuẩn tắc tối đại

Cho p là tập không rỗng các số nguyên tố và 'p là phần bù của p trong tập tất cả các số nguyên tố

• Một số nguyên dương n được gọi là một p -số nếu các ước nguyên tố của n

thuộc p

• Một phần tử của G được gọi là p -phần tử nếu cấp của g là một p -số

• Một nhóm G được gọi là một p -nhóm nếu mọi phần tử của G đều là p -phần

tử Trường hợp đặc biệt, khi p ={ }p thì p -nhóm chính là p-nhóm

• Một nhóm con H của một nhóm G được gọi là một p -nhóm con Hall của G nếu H là một p -nhóm và G H: là một p -số '

Trong một nhóm G hữu hạn bất kì, H là một nhóm con Hall của G nếu và chỉ

nếu (G H H: , )=1 Hơn nữa, p-nhóm con Sylow của G là một trường hợp đặc biệt

của p -nhóm con Hall khi p chỉ chứa một số nguyên tố p

Trong nhóm G hữu hạn bất kì, giả sử H và K là các p -nhóm con, KG Khi đó H∩K và HK K là các p -nhóm Do đó HK là p -nhóm Vì vậy nhóm con sinh bởi tất cả các p -nhóm con chuẩn tắc của G là p -nhóm Đây là p -nhóm con

chuẩn tắc lớn nhất duy nhất của G, kí hiệu:

1.16.1 Định nghĩa

Cho G là nhóm hữu hạn và p là số nguyên tố Ta định nghĩa:

i) G được gọi là nhóm giải được nếu mọi nhân tử hợp thành của G hoặc là

p-nhóm hoặc là p'-nhóm

ii) Gọi P là p-nhóm con Sylow của G Nhóm G được gọi là nhóm p-lũy linh nếu trong G có nhóm con chuẩn tắc N sao cho G= PN và P∩N =1

Khi đó N được gọi là p-phần bù chuẩn tắc của G

iii) Nhóm G được gọi là p-đóng nếu nó có một p-nhóm con Sylow chuẩn tắc iv) Với p-nhóm P bất kì, ta kí hiệu ( ) A P là tập các nhóm con Abel của P có cấp

tối đại Khi đó ta định nghĩa

J P = A A∈A P ( )

J P được gọi là nhóm con Thompson của P

1.16.2 Định lí (Glauberman - Thompson)

Cho P là p- nhóm con Sylow của nhóm G hữu hạn, trong đó p là một số

nguyên tố lẻ Nếu N (Z( ( )))G J P có một phần bù chuẩn tắc thì G cũng có một

1.17 Nhóm lũy linh

1.17.1 Định nghĩa

Nhóm G được gọi là nhóm lũy linh nếu G có một dãy tâm, tức là G có một

dãy các nhóm con chuẩn tắc 1=G0 G1   G n =G sao cho

Cho G là nhóm lũy linh Khi đó:

i) Nếu M ≤G thì M là nhóm lũy linh

ii) Nếu M G thì G M là nhóm lũy linh

iii) Nếu M và N là hai nhóm lũy linh thì M ×N là nhóm lũy linh

1.17.5 Định lí

Giả sử mọi nhóm con tối đại của nhóm hữu hạn G là nhóm lũy linh nhưng G

không lũy linh Khi đó:

i) G là nhóm giải được

ii) G = p q m n trong đó p và q là hai số nguyên tố khác nhau.

iii) Có một p-nhóm con Sylow P duy nhất và một q-nhóm con Sylow Q là nhóm

cyclic Do đó G=QP và PG [6, Định lí 9.1.9, trang 258]

1.17.6 Định lí

Cho nhóm hữu hạn G không là p-lũy linh nhưng các nhóm con tối đại của G

là các nhóm p- lũy linh Khi đó G có một p-nhóm con Sylow chuẩn tắc P sao cho

:

G P là lũy thừa số nguyên tố q≠ p Hơn nữa mọi nhóm con tối đại của G là

nhóm lũy linh [6, Định lí 10.3.3, trang 296]

1.17.7 Định lí

Nếu nhóm hữu hạn G có một nhóm con tối đại lũy linh M có cấp lẻ thì G là

nhóm giải được [6, Định lí 10.4.2, trang 303]

1.17.8 Định lí

Giả sử nhóm hữu hạn G là nhóm không giải được có một nhóm con tối đại lũy linh M Gọi T là 2-nhóm con Sylow duy nhất của M và U là 2-phần bù duy nhất của M Khi đó UG, Z( )U ≤Z( ),G G Z( )U ≅G U U× Z( )U và G U là nhóm không giải được nhưng các 2-nhóm con Sylow của G U là các nhóm con tối đại

Đăc biệt, nếu Z( ) 1G = thì M là 2- nhóm con Sylow của G [7, Định lí 1, trang 183]

1.17.9 Định lí

Cho H là nhóm con tối đại của nhóm G H là nhóm lũy linh và các 2-nhóm con Sylow của H có lớp ≤2 Khi đó, G là nhóm giải được

1.17.10 Định lí

Nếu G là một nhóm hữu hạn thì Φ( )G là nhóm con lũy linh của G.

1.18 Nhóm con X-bất biến, nhóm con nguyên thủy

1.18.1 Định nghĩa

Cho G và X là hai nhóm Khi đó ta định nghĩa:

i) Nhóm con U của G là X-bất biến nếu với mọi x X∈ :

Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau:

Cho G là nhóm lũy linh và H G< Khi đó H <N (G H) Thật vậy:

Vì G là nhóm lũy linh nên Z( ) N ( )G ≤ G H

• Nếu Z( )G ≤/H thì H <HZ( )G ≤N (G H)

• Nếu Z( )G ≤H thì ta chứng minh qui nạp theo cấp của G

Xét nhóm thương Z( )G G Theo giả thiết qui nạp: H Z( )G <NGZ( )G (H Z( )G )

Gọi K là nhóm con của G sao cho K Z( )G <NGZ( )G (H Z( )G )

Vì H Z( )G K Z( )G nên H  Suy ra K H <K ≤N (G H)

Bây giờ ta chứng minh định lí

Gọi P là p-nhóm con Sylow của G

Chọn S ={T1, ,T m} là tập tối đại các liên hợp của T thỏa mãn tính chất sau

Nhưng do cách chọn S nên H L ≤ Suy ra L chứa tất cả các nhóm liên hợp của T trong G Vậy L G

Vì 1≠ ≤L K và K là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G nên K = = × ×L T1 T m Với mọi ( 1, )T i i = m , T i là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu trong T1× × T m nên T là i

nhóm đơn

Chương 2 CAP-NHÓM CON CỦA CÁC NHÓM HỮU HẠN

Trong luận văn này, ta chỉ xét các nhóm hữu hạn

2.1 CAP-nhóm con của nhóm hữu hạn

Nhận xét: Cho G là nhóm, A G ≤ và H K là nhân tử chính của G Khi đó, nếu A

phủ H K thì A không né H K và ngược lại Thật vậy, giả sử A phủ và né H K

Ta có HA= KA và H ∩ = ∩ A K A

H ∩A≅ A= A≅ K∩A nên H = K Điều này mâu thuẫn vì K H<

2.1.2 Ví dụ

Cho G= S4 là nhóm đối xứng bậc 4 Khi đó, nhóm G chỉ có một dãy chuẩn

tắc 1 V≤ 4 ≤A4 ≤G Dễ thấy A S A D4, 3, 3, 8 là các CAP-nhóm con của

ii) Mọi nhóm con Hall của là các CAP-nhóm con của

Do K L là p-nhóm Abel sơ cấp nên với mọi phần tử x∈K có cấp là t sao

cho ( )t p, =1, ta có x∈L Thật vậy, khi đó , :∃u v tu+ pv = 1

Do H là nhóm con Hall nên H là p- nhóm con Sylow của G

Giả sử K = p m L k , = p m l l ( <k) Suy ra, k

H ∩K = p và l

H∩ =L p

G

• S pcn( )G và S ocn( )G là các nhóm con đặc trưng của G Thật vậy:

Nếu F pcn = /0 thì hiển nhiên S pcn( )G char G

Khi đó, (ϕ S pcn( ))G ≤S pcn( )G nên theo định lí 1.8.2, ta có S pcn( )G char G

Chứng minh tương tự ta cũng có S ocn( )G char G

• Với nhóm G bất kì, ta luôn có Φ( )G ≤S ocn( )G ≤S pcn( )G

2.1.6 Bổ đề (Schaller [9, Lemma 1.4])

Cho G là nhóm, N  và A là một CAP-nhóm con của G Khi đó, AN là một G CAP- nhóm con của G

Chứng minh

Gọi K L là nhân tử chính của G

• Nếu K ≤ NL thì AN phủ K L vì ANK ≤ ANNL ≤ ANL

• Nếu K ≤/ NL thì NK NL≠1 và NK NL là nhân tử chính của G

Thật vậy, xét toàn cấu chiếu p G L: →G NL

g g Giả sử M G NL sao cho M <NK NL Khi đó 1

( )

Do tính tối tiểu của K L nên p−1( M ) 1 = Suy ra M = 1

Vì A là CAP- nhóm con của G nên ta xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1: A phủ NK NL Khi đó, K ≤ NK ≤ ANL Suy ra, AN phủ K L

Trường hợp 2: A né NK NL Khi đó, A ∩ NK ≤ ∩ A NL Suy ra, NK∩AN =(NK∩A N) =(NL∩A N) ≤NL và

AN∩ ≤K NL∩ =K L N ∩K =L Vậy AN né K L

2.1.7 Bổ đề

Cho G là nhóm, N  sao cho G N ≤S pcn( )G Nếu p là số nguyên tố lớn

nhất trong ( )p N thì hoặc G là nhóm giải được hoặc N là nhóm p-đóng Trong cả hai trường hợp, N luôn là p- giải được Đặc biệt, nếu p là số nguyên tố lớn nhất chia

hết cấp của S pcn( )G thì S pcn( )G là nhóm p-giải được

Chứng minh

Giả sử G không là nhóm giải được, ta sẽ chứng minh N là nhóm p-đóng

Dễ thấy, bổ đề đúng với p = Bây giờ, ta giả sử p là số nguyên tố lẻ 2

Gọi P1 là p- nhóm con Sylow của N

Khi đó, theo định lí Sylow, tồn tại P∈Syl G p( ) sao cho P1 = ∩P N

Nếu P1 G thì N là nhóm p-đóng

Giả sử P1 không chuẩn tắc trong G Khi đó, tồn tại một nhóm con tối đại M của G

sao cho N ( )G P ≤N ( )G P1 ≤M (do P1 = ∩P N nên P1 =N ( )G P ∩N ⇒ P1N ( )G P ) Theo định lí 1.6, ta có G=NN ( )P Ta sẽ chứng minh G M: là hợp số