T-NHÓM HỮU HẠN

L ỜI MỞ ĐẦU Như đã biết, tính chất chuẩn tắc của nhóm con trong một nhóm là không có tính bắc cầu.. Từ đó nảy sinh ra một câu hỏi rất thú vị là: khi nào tính chuẩn tắc của nhóm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

L ỜI CẢM ƠN

Trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này , tôi đã nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ quý báu của các thầy cô , các anh chị và các bạn Với lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tôi xin được bày tỏ lới cảm ơn chân thành tới:

Ban giám hiệu, phòng sau đại học, khoa Toán trường Đại Học Sư ph ạm TP Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi trong quá trình họ c tập v à thực

hiện bảo vệ luận văn

PGS TS Mỵ Vinh Quang người thầy kính mến đã hết lòng g iúp đỡ, dạy bảo,

và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và chu đáo của thầy Mỵ Vinh Quang Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đối với thầy

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán-Tin đã giúp tôi trang bị

những kiến thức cần thiết để tôi có thể hoàn thành luận văn

Và cuối cùng tôi xin dành lời cảm ơn đến các bạn bè, người thân đã luôn động viên, cổ vũ giúp tôi yên tâm hoàn thành tốt luận văn

M ỤC LỤC

Trang Trang phụ bìa

Lời cảm ơn

Mục lục

Bảng kí hiệu dùng trong luận văn

L ỜI MỞ ĐẦU 1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2

1.1 Nhóm con Nhóm con chuẩn tắc 2

1.2 Nhóm con tối đại Nhóm con tối tiểu 2

1.3 Nhóm con trung tâm Nhóm con chuẩn hóa 3

1.4 Định lý Sylow 4

1.5 p’-nhóm p-ph ần bù p-perfect nhóm 5

1.6 Nhóm giải được 6

1.7 Nhóm siêu giải được 7

1.8 Nhóm con á chuẩn tắc 8

1.9 Nhóm con chuẩn tắc yếu 8

1.10 Nhóm con abnormal 9

1.11 Nhóm con pronormal 10

1.12 Điều kiện á chuẩn hóa 10

1.13 H-nhóm con 11

Chương 2 T-NHÓM HỮU HẠN 13

2.1 T-nhóm hữu hạn 13

2.2 PSP-nhóm 30

K ẾT LUẬN 33

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 34

B ẢNG KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN

Ký hi ệu Ý nghĩa

H ≤G H là nhóm con c ủa G

H <G H là nhóm con th ực sự của G

H G H là nhóm con chu ẩn tắc của G

[G H: ] Chỉ số của nhóm con H trong G

G Cấp, lực lượng, số phần tử của G

L ỜI MỞ ĐẦU

Như đã biết, tính chất chuẩn tắc của nhóm con trong một nhóm là không có tính

bắc cầu Nhóm nhị diện D8 là một ví dụ điển hình Từ đó nảy sinh ra một câu hỏi rất thú vị là: khi nào tính chuẩn tắc của nhóm con trong một nhóm có tính chất bắc cầu? Các nhóm đó có những tính chất gì? Người ta gọi những nhóm như vậy là T-nhóm Các T-nhóm có nhiều tính chất thú vị và thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều nhà toán học như D J S Robinson, Gaschutz, T A Peng, …

Chính vì vậy, tôi quyết định chọn đề tài “T-nhóm hữu hạn” làm đề tài luận văn

thạc sĩ của mình Nội dung chính của luận văn dựa trên kết quả của bài báo On finite

T-groups của hai tác giả A Ballester-Bolinches và R Esteban-Romero

Luận văn được trình bày trong hai chương:

Chương 1 là những kiến thức chuẩn bị về lý thuyết nhóm nhằm phục vụ cho chương sau

Chương 2 là tổng hợp các kết quả về T-nhóm hữu hạn và các tính chất của chúng, đặc biệt đưa ra mối liên hệ giữa các nhóm con chuẩn tắc, chuẩn tắc yếu, á chuẩn tắc, nhóm con pronormal, H-nhóm con và sử dụng chúng để mô tả T-nhóm hữu

hạn giải được Ngoài ra phần cuối của chương 2 trình bày về các nhóm hữu hạn mà các nhóm con của nó tựa chuẩn tắc hoặc tự tựa chuẩn tắc, gọi là PSP-nhóm

Do hạn chế về khả năng và thời gian thực hiện, luận văn chắc chắn không tránh

khỏi những thiếu sót nhất định Rất mong sự đóng góp của quý thầy cô và những ai quan tâm đến vấn đề này

TP.HCM, ngày 12 tháng 8 năm 2014

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Nhóm con Nhóm con chu ẩn tắc

1.1.1 Các tiêu chu ẩn nhóm con

Được suy ra từ tiêu chuẩn 1 nhưng bỏ đi đòi hỏi e∈A (vì đòi hỏi này chỉ là hệ

quả của hai đòi hỏi còn lại)

Một nhóm con A của nhóm G được gọi là nhóm con chuẩn tắc của G (kí hiệu

AG) nếu A thỏa thêm điều kiện:

H g ọi là nhóm con tối đại của G nếu không tồn tại N ≤G sao cho H <N <G

H g ọi là nhóm con tối tiểu của G nếu H ≠ và không t1 ồn tại K ≤G sao cho

Một nhân tử cơ bản của nhóm G là nhóm thương H K với H K, G và H K

là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G K

1.3 Nhóm con trung tâm Nhóm con chu ẩn hóa

1.3.1 Nhóm con trung tâm

Cho G là một nhóm và ∅ ≠ H ⊂G Khi đó C G( ) {H = g∈G hg| =gh,∀ ∈h H}≤ và được gọi là nhóm con trung G tâm c ủa H trong G

1.3.2 Nhóm con chu ẩn hóa

Cho G là một nhóm và ∅ ≠ H ⊂G Khi đó N G( )H ={g∈G H| g =H} và được gọi là nhóm con chuẩn hóa của H trong

G

Nh ận xét :

(1) Cho p là s ố nguyên tố Một nhóm hữu hạn được gọi là p-nhóm nếu cấp của nó

là một lũy thừa của p

(2) Cho G là một nhóm hữu hạn cấp a

p m với (p m, )= và p là số nguyên tố 1

Một nhóm con của nhóm G có cấp là a

p được gọi là p-nhóm con Sylow

(3) Cho A, B là hai nhóm con c ủa nhóm G A được gọi là liên hợp với B

g G A B

1.4.2 Định lý Sylow

Cho G là m ột nhóm hữu hạn cấp n và p là ước nguyên tố của n Khi đó:

(1) M ọi p-nhóm con của G đều nằm trong một p-nhóm con Sylow nào đó của G (2) T ất cả các p-nhóm con Sylow của G đều liên hợp với nhau

(3) N ếu n là số p-nhóm con Sylow của G thì p n là ước của n và p

1.4.4 Định lý

Cho P là m ột p-nhóm Sylow của G

(1) N ếu N G( )P ≤H ≤ thì G H = N G( )H (2) N ếu NG thì P∩N là m ột p-nhóm con Sylow của N và PN N là một p- nhóm con Sylow c ủa G N

1.4.5 Định nghĩa

Nhóm con sinh bởi tất cả các p-nhóm con chuẩn tắc của G là một nhóm Đây là

p-nhóm con chu ẩn tắc tối đại duy nhất của G Kí hiệu là O G p( )

1.4.6 Định lý

Cho G là m ột nhóm, p là số nguyên tố Khi đó O G là giao của tất cả các p- p( )

nhóm con Sylow c ủa G

1.5 p’-nhóm p-ph ần bù p-perfect nhóm

1.5.1 p’-nhóm

Cho p là s ố nguyên tố Một nhóm hữu hạn được gọi là p’-nhóm nếu cấp của nó

nguyên tố cùng nhau với p

Nhóm con sinh bởi tất cả các p’-nhóm con chuẩn tắc của G là một nhóm Đây là

p’-nhóm con chu ẩn tắc tối đại duy nhất của G Kí hiệu là O p'( )G

1.5.3 Định lý Burnside về phần bù chuẩn tắc

Cho G là nhóm h ữu hạn, P là p-nhóm con Sylow của G thỏa P≤Z N( G( )P ) Khi đó tồn tại KG sao cho G =PK và P ∩ = K 1

1.5.4 p-perfect nhóm

Cho p là s ố nguyên tố, G được gọi là p-perfect nhóm nếu nó không có p-nhóm

thương không tầm thường

G được gọi là perfect nhóm nếu nó không có nhân tử không tầm thường là

p’-nhóm hay nói cách khác, mọi nhân tử là p’-nhóm của G đều tầm thường

Nhận xét : p-nhóm con là p’-perfect nhóm con

Thật vậy: Giả sử H là p-nhóm con, thì ta có m

1=G G   G n =G thỏa điều kiện G i+1 G i là nhóm aben ∀i

Một nhóm G được gọi là nhóm giải được nếu nó có một dãy aben

1.6.2 Các tính ch ất của nhóm giải được

Cho nhóm G, N là nhóm con của G Ta có các khẳng định sau:

(1) Nếu Ggiải được thì N giải được

(2) Nếu G giải được, N G thì G N giải được

(3) Nếu NG, N và G N giải được thì G giải được

(4) Tích hai nhóm con chuẩn tắc giải được là giải được

1.7 Nhóm siêu gi ải được

Chú ý rằng nhóm siêu giải được thì giải được

1.7.2 Các tính ch ất của nhóm siêu giải được

1.7.2.1 M ệnh đề

Cho G là nhóm siêu gi ải được H ≤G N, G Khi đó : (1) H là nhóm siêu gi ải được

(2) G N là nhóm siêu gi ải được

(3) N ếu A A1, 2, ,A n là nhóm siêu gi ải được thì A1× × ×A2 A n là nhóm siêu

(2) N ếu p là ước nguyên tố lớn nhất của G thì G có một p-nhóm con Sylow chu ẩn tắc S và S có phần bù T trong G

1.7.3 Nhóm p-siêu giải được

Nhóm hữu hạn G được gọi là p-siêu giải được nếu các p-nhân tử cơ bản của nó

1.9.2 Các tính ch ất của nhóm con chuẩn tắc yếu

(1) Nếu H ≤K ≤G và H chu ẩn tắc yếu trong G thì H chuẩn tắc yếu trong K

(2) Nếu N chuẩn tắc trong G, P là p-nhóm con chuẩn tắc yếu của G và

( N p, )= thì PN là chuẩn tắc yếu trong G và 1 PN N là chuẩn tắc yếu trong G N

Vì N G và P chu ẩn tắc yếu trong G nên PN là chuẩn tắc yếu trong GN =G

Chứng minh PN N là chuẩn tắc yếu trong G N

Giả sử (PN N)gN ≤N G N(PN N)(g∈G gN, ∈G N) hay ( )g ( )

G

PN ≤N PN

Ta cần chứng minh g∈N G( )PN

Vì N G và ( N ,P)= nên P là p-nhóm con Sylow c1 ủa PN

(2) Nếu H là nhóm con tối đại, không chuẩn tắc trong G thì H abnormal trong G

(2) N ếu hai nhóm con trung gian liên hiệp với nhau thì chúng trùng nhau

Chú ý: Nếu H abnormal trong G và H ≤K ≤G thì K abnormal trong G [1, Định lý 5.3]

1.11 Nhóm con pronormal

1.11.1 Định nghĩa

Nhóm con H c ủa nhóm G được gọi là pronormal trong G nếu với mỗi g∈G, tồn

tại u∈ H H, g sao cho H g =H u

Ví d ụ:

(1) Mọi nhóm con chuẩn tắc đều pronormal

(2) Mọi nhóm con Sylow của nhóm hữu hạn đều pronormal

(3) Mọi nhóm con abnormal đều pronormal

1.12 Điều kiện á chuẩn hóa

Nhóm con H c ủa G được gọi là thỏa điều kiện á chuẩn hóa trong G nếu với mọi nhóm con K c ủa G sao cho H K thì ta luôn có N G( )K ≤N G( )H

Nhận xét: Nếu H thỏa điều kiện á chuẩn hóa trong nhóm G thì H thỏa điều kiện á

chuẩn hóa trong mọi nhóm con của G chứa H

(2) N ếu H ≤ N và G =N G( )H N thì H là H-nhóm con c ủa N kéo theo H là H-nhóm con c ủa G [5, Bổ đề 2]

Nhận thấy S ch3 ỉ có sáu nhóm con là 1, 12 , 13 , 23 ,( ) ( ) ( ) A S 3, 3

Chứng tỏ ( )12 không là nhóm con á chuẩn tắc của S 3

Thật vậy, vì ( )( ) 13 ( ) ( )( ) ( ) ( )1

12 = 13 − 12 13 = 23 ∉ 12 ; nên ( )12 không là nhóm con chuẩn tắc của S 3

Mà V4 ={1, 12 34 , 13 2 4 , 14 23( )( ) ( )( ) ( )( ) } Suy ra D≤ VV4 ậy DV Do V4( [ 4:D]=2)

Từ đó ta có D V 4 A4 Do đó D là một nhóm con á chuẩn tắc của S4 S 4

Mặt khác ( )( )( ) 2 3 ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )

12 34 = 23 12 34 23 = 13 2 4 ∉ 12 34

Vậy D không là nhóm con chuẩn tắc của S 4

Do đó S không là T-nhóm 4

2.1.3 M ệnh đề

Cho G là m ột nhóm Khi đó G là một T-nhóm nếu và chỉ nếu với H  K G ta

có H G , v ới mọi H, K là các nhóm con của G

Ta chứng minh H G bằng phương pháp qui nạp theo n

Với n≤2, điều phải chứng minh là hiển nhiên

Giả sử điều phải chứng minh đúng với n= ≥ k 2Xét trường hợp n= +k 1, nghĩa là ta có H =H0 H1  H k+1 =G Khi đó

H − H H + =G Theo giả thiết H k−1 G

Nên từ dãy trên ta viết lại được dãy H =H0H1  H k−1 G

Theo giả thiết qui nạp ta có H G Vậy H là nhóm con chuẩn tắc của G với mọi

H là nhóm con á chu ẩn tắc của G

Vậy H là nhóm con chuẩn tắc yếu của G

Chú ý: Điều ngược lại là không đúng Ta xét ví dụ sau:

Xét G=S4 và H = (1 2 3 4)

Ta có N G( ) (H = 1 2 3 4 , 1 3) ( )

Với g =(1 2 3 ,) H g = (1 4 2 3) thì ta có H g∩N G( ) ( )( )H = 1 2 3 4 không

phải là nhóm con của H

Do đó H không phải là H-nhóm con của G

Nhưng N G( )H có duy nhất một nhóm con cyclic cấp 4

Bởi vậy nếu g ( )

H là nhóm con pronormal c ủa G nên với mỗi g∈ ∃ ∈G, u H H, g sao cho

Suy ra g∈N G( )H Vậy H là nhóm con chuẩn tắc yếu của G

Chú ý : Chiều ngược lại của Mệnh đề 2.1.7 là không đúng

Do A pronormal trong G nên ∃ ∈u A A, g ≤ N G( )J :A g = A u Suy ra: A g ≤J u = J

Do B pronormal trong G nên ∃ ∈v B B, g ≤ N G( )J :B g =B v Suy ra : B g ≤J v = J

Do đó J g = A B g, g ≤ J J, = ⇒J J g = J

Suy ra g∈N G( )J Vậy J là nhóm con chuẩn tắc yếu của G

2.1.9 B ổ đề

(1) N ếu G là nhóm và H là nhóm con chuẩn tắc yếu của G thì H thỏa điều kiện

á chu ẩn hóa trong G

(2) N ếu H là nhóm con á chuẩn tắc của K ≤G và H th ỏa điều kiện á chuẩn hóa trong G thì H là nhóm con chu ẩn tắc của K

Do H chu ẩn tắc yếu trong G nên suy ra g∈N G( )H Do đó N G( )K ≤N G( )H

Vậy H thỏa điều kiện á chuẩn hóa trong G

(2) Giả sử H thỏa điều kiện á chuẩn hóa trong G và H là nhóm con á chuẩn tắc

của K ≤G Khi đó tồn tại dãy nhóm con của K : H =H0 H1  H n =K

Ta chứng minh H K  bằng phương pháp qui nạp theo n

Với n=1, điều phải chứng minh là hiển nhiên

Giả sử điều phải chứng minh đúng với n= ≥ k 1Xét trường hợp n= +k 1, nghĩa là ta có H =H0H1  H k H k+1=K Theo giả thiết qui nạp ta có H H k  K

Vì H k K ⇒K ≤N G( )H k

Do H thỏa điều kiện á chuẩn hóa trong G nên H H k ⇒ N G( )H k ≤N G( )H

Suy ra K ≤N G( )H k ≤N G( )H

Do đó H là nhóm con chuẩn tắc của K

2.1.10 B ổ đề

Cho H là p-nhóm con c ủa nhóm G Các tính chất sau đây là tương đương

(1) H là nhóm con pronormal c ủa G

(2) H là nhóm con chu ẩn tắc yếu của G

(3) H th ỏa điều kiện á chuẩn hóa trong G

(4) H N G( )X v ới mọi p-nhóm con X sao cho H X≤ (5) H N G( )S v ới mọi p-nhóm con Sylow S của G sao cho H ≤S

Theo Bổ đề 2.1.9: H N G( )X

( ) ( )4 ⇒ 5 : hiển nhiên

( ) ( )5 ⇒ 1 :

Lấy bất kì g∈G và đặt J = H H, g

Vì H là p-nhóm con c ủa G nên tồn tại một p-nhóm con Sylow P của J sao cho

H ≤ và tP ồn tại một p-nhóm con Sylow S của G sao cho H ≤P≤S

Rõ ràng P g cũng là p-nhóm con Sylow của J

Do đó tồn tại x∈J sao cho P x =P g Đặc biệt g x

(i) T là l p ớp các nhóm giải được G trong đó mọi p’-perfect nhóm con á chuẩn

tắc của G là chuẩn tắc

(ii) P là l p ớp các nhóm G sao cho nếu S là p-nhóm con Sylow của G thì N G( )S

chuẩn hóa mọi nhóm con của S

(iii) R là l p ớp các nhóm G trong đó mọi p-nhóm con của G là pronormal trong

(iii) S là l p ớp các nhóm G sao cho mọi p-nhóm con của G thỏa điều kiện á

chuẩn hóa trong G

(iv) S là l p ớp các nhóm G trong đó mọi p’-perfect nhóm con của G thỏa điều

kiện á chuẩn hóa trong G

2.1.13 Định lý

p p

K ≠ R và lấy G là nhóm có cấp nhỏ nhất thuộc R p \K p

Khi đó, tồn tại một p’-perfect nhóm con H của G không chuẩn tắc yếu, tức là

Mà H g, ∉K p nên ta có H g, ∈R p \K p Từ tính tối tiểu của G ta suy ra được

,

G= H g

Gọi H là p-nhóm con Sylow c p ủa H, thì H là pronormal trong G p

Do đó, tồn tại x∈ H p,H p g sao cho x g

H =H

Vì H p ≤H ≤N G( )H ,H g p ≤H g ≤N G( )H nên H p,H p g ⊂ N G( )H , suy ra x∈N G( )H

p

H ⊂H =H Điều này có nghĩa là g

p

H là p-nhóm con Sylow c ủa H với

mọi H là p-nhóm con Sylow c p ủa H

Vì H là p’-perfect nhóm, H H H p là p’-nhóm nên H H H p tầm thường Do đó

Bởi vậy, H là nhóm con chuẩn tắc của G (mâu thuẫn, vì nhóm con chuẩn tắc thì

chuẩn tắc yếu)

G∈S thì theo Bổ đề 2.1.10 và do p-nhóm con là p’-perfect nhóm con suy

ra mọi p-nhóm con của G là pronormal trong G

N ếu N là nhóm con chuẩn tắc của G, N ≤H ≤G và H N là nhóm con chuẩn

t ắc yếu của G N thì H là nhóm con chuẩn tắc yếu của G

Giả sử g ( )

G

H ≤N H với g∈G thì ta có

G G

(2) M ọi nhóm con của G là chuẩn tắc yếu trong G

(3) M ọi nhóm con của G đều thỏa điều kiện á chuẩn hóa

( ) ( )1 ⇒ 2

Giả sử tồn tại một T-nhóm giải được mà nó có một nhóm con không chuẩn tắc

yếu

Gọi G là nhóm có cấp nhỏ nhất thỏa mãn điều này và H là nhóm con không

chuẩn tắc yếu của G

Khi đó tồn tại g∈G sao cho g ( )

G

H ≤ N H mà g∉N G( )H Đặt S = H g, ≤ thì S là T-nhóm (theo Định lí 2.1.4) G