Những ứng dụng của các định lý sylow trong lý thuyết nhóm hữu hạn

Lý do chọn đề tài Trong lý thuyết nhóm hữu hạn, một định lý quan trọng và nổi tiếng là Định lý Lagrange: “ Với một nhóm hữu hạn cấp , mọi nhóm con của đều có cấp là ước của ”.. Các Định

Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm – ĐHĐN

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU

Phản biện 1:

……… Phản biện 2:

………

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp tại Trường Đại học Sư phạm – ĐHĐN vào ngày 1 tháng 9s năm 2018

Có thể tìm hiểu luận văn tại

- Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong lý thuyết nhóm hữu hạn, một định lý quan trọng và nổi tiếng là Định lý Lagrange: “ Với một nhóm hữu hạn cấp , mọi nhóm con của đều có cấp là ước của ” Ngược lại, nếu là một ước nguyên dương của cấp của một nhóm hữu hạn , có luôn tồn tại một nhóm con cấp d của

nhóm hay không? Trả lời cho câu hỏi này là không, chẳng hạn nhóm thay phiên có cấp 12, nhưng không có nhóm con cấp 6 nào Tuy nhiên, nếu d

là một lũy thừa của một số nguyên tố , thì Định lý Sylow khẳng định sự

tồn tại của những nhóm con cấp d Các Định lý Sylow cùng với các -nhóm

con Sylow có nhiều ứng dụng sâu sắc và hiệu quả trong lý thuyết nhóm, chẳng hạn: xác định và phân loại đẳng cấu nhóm hữu hạn, khảo sát một số tính chất của nhóm như tính giao hoán, tính đơn, tính giải được,…

Nhằm tìm hiểu những ứng dụng của Định lý Sylow, tôi chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình là: “ Những ứng dụng của các Định lý Sylow trong lý thuyết nhóm hữu hạn ”

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cấu trúc nhóm và p- nhóm hữu hạn

- Tìm hiểu p- nhóm con Sylow và các Định lý Sylow

- Các ứng dụng của các Định lý Sylow trong nhóm hữu hạn

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Nhóm và p- nhóm hữu hạn

- Các ứng dụng của các Định lý Sylow trong nhóm hữu hạn

4 Phương pháp nghiên cứu

- Thu thập và hệ thống các tài liệu về lý thuyết nhóm có liên quan đến nội dung đề tài Đặc biệt là các tài liệu về Định lý Sylow và các ứng dụng của chúng

- Phân tích, khảo sát các tài liệu thu thập được

- Trao đổi với người hướng dẫn và các chuyên gia để thực hiện đề tài

5 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, nội

dung của khóa luận được chia thành 2 chương:

Chương 1: Cấu trúc nhóm và các định lý Sylow

Để làm cơ sở cho chương sau, chương này nhắc lại những khái niệm, kết quả về cấu trúc nhóm, đặc biệt là các Định lý Sylow và các hệ quả liên

quan

Chương 2: Những ứng dụng của các Định lý Sylow

Chương này là phần chính của luận văn, trình bày một số ứng dụng của các Định lý Sylow trong nhóm hữu hạn

CHƯƠNG 1 CẤU TRÚC NHÓM VÀ CÁC ĐỊNH LÝ SYLOW

Để làm cơ sở cho chương sau, chương này nhắc lại những khái niệm, kết quả về cấu trúc nhóm, đặc biệt là các Định lý Sylow và các hệ quả liên quan

1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CỦA CẤU TRÚC NHÓM 1.1.1 Một số kết quả của cấu trúc nhóm

Mệnh đề 1.1.1.1

Cho một nhóm , kí hiệu

( ) * + khi đó ( ) là một nhóm con giao hoán và chuẩn tắc của

Nhóm ( ) được gọi là nhóm con tâm của

Mệnh đề 1.1.1.2

Cho là một nhóm và là một nhóm con của Khi đó hai tập con

( ) * | + ( ) * | +

là hai nhóm con của

Hệ quả 1.1.1.5

(i) Mọi nhóm xyclic đều là nhóm giao hoán

(ii) Với mỗi số nguyên dương thì có duy nhất một nhóm xyclic cấp

(iii) Hai nhóm xyclic có cùng bậc thì đẳng cấu với nhau

Mệnh đề 1.1.1.6

Nếu là một nhóm giao hoán hữu hạn và là số nguyên tố chia hết cấp của thì có một phần tử cấp

Mệnh đề 1.1.1.7

Nếu là một nhóm hữu hạn, là một -nhóm con Sylow của

và là một - nhóm con của Khi đó, ( )

Định nghĩa 1.1.1.10

Giả sử là một nhóm con của nhóm Lực lượng của tập gồm các lớp kề trái của trong , được gọi là chỉ số của nhóm con trong nhóm , và được kí hiệu là , -

Định nghĩa 1.1.1.11

Nếu là một nhóm con chỉ số 2 của một nhóm , thì là nhóm con chuẩn tắc của

Định nghĩa 1.1.1.12

Giả sử là một số nguyên tố

(i) Nhóm được gọi là một - nhóm nếu cấp của nó là một lũy thừa của

(ii) Nhóm được gọi là một -nhóm con của nhóm nếu vừa

là một nhóm con của vừa là một - nhóm

(iii) Nhóm được gọi là một - nhóm con Sylow của nhóm hữu hạn nếu là một - nhóm con của và | | là lũy thừa cao nhất của chia hết | |

trong đó mỗi là nhóm con chuẩn tắc của và nhóm thương

là giao hoán, với mọi

1.1.2 Một số nhóm quen thuộc

Định nghĩa 1.1.2.1

Xét đa giác đều cạnh với Gọi là phép quay mặt phẳng xung quanh tâm của một góc (có hướng) bằng ⁄ , còn là phép đối xứng qua một đường thẳng đi qua tâm của và một đỉnh của nó Khi đó, tất cả các phép đối xứng của (tức là các biến đối đẳng cự của mặt phẳng biến thành chính nó) được liệt kê như sau:

Chúng lập thành một nhóm không giao hoán cấp , kí hiệu , và được gọi là nhóm nhị diện Nhóm còn được biểu thị qua các phần

tử sinh và các quan hệ như sau:

〈 | ( ) 〉

Định nghĩa 1.1.2.2

Giả sử là một tập hợp nào đó Khi ấy, dễ dàng kiểm tra lại rằng tập hợp ( ) tất cả các song ánh trên cùng với phép hợp thành các ánh xạ lập nên một nhóm

Đặc biệt, nếu * + thì nhóm ( ) được kí hiệu đơn giản là và gọi là nhóm đối xứng trên phần tử Nhóm là một nhóm hữu hạn cấp

Nhóm có cấp , được gọi là nhóm thay phiên trên phần tử

Mệnh đề 1.1.2.5

Cho hai ma trận / và /, với

và là một căn bậc ba của đơn vị Khi đó nhóm con sinh bởi hai phần tử là một nhóm không giao hoán cấp 12 của nhóm ( ), ký hiệu ( )

Các phần tử của nhóm ( ) thỏa mãn các hệ thức sau:

1.2 CÁC ĐỊNH LÝ SYLOW VÀ KẾT QUẢ LIÊN QUAN

Bổ đề 1.2.3

Cho là nhóm hữu hạn, là tập con khác rỗng của , và

là nhóm con của Khi đó, số các - liên hợp phân biệt của bằng chỉ

số của ( ) trong , tức là , ( )-

Mệnh đề 1.2.4

Giả sử 𝒜 là một tập các tập con của nhóm và Trên

𝒜 ta định nghĩa một quan hệ hai ngôi như sau: với và thuộc 𝒜,

nếu là - liên hợp của Khi đó, là một quan hệ tương đương

trên 𝒜

Bổ đề 1.2.5

Giả sử 𝒜 là một tập hợp khác rỗng các tập con của

nhóm , Giả sử rằng với mỗi 𝒜 và với mỗi

𝒜 Kí hiệu là một quan hệ tương đương trên 𝒜, được định

nghĩa như sau: 𝒜 nếu B là một - liên hợp của Gọi ℛ

là, tập hợp tất cả đại diện của các lớp tương đương Khi đó

|𝒜| ∑, ( ℛ

)-Hệ quả 1.2.6

Cho là một tập con khác rỗng của nhóm Đặt

𝒜 * +; ℛ , , và được xác định như trong Bổ đề 1.2.5

Khi đó

|𝒜| ∑, ( ) ℛ

, ( ) -

Hệ quả 1.2.7

Cho 𝒜 * | | +, là một quan hệ tương

đương trên 𝒜 được định nghĩa như Bổ đề 1.2.5, với và ℛ là, tập

hợp các phần tử đại diện của các lớp tương đương Đặt

Hệ quả 1.2.11

Giả sử là một nhóm có cấp , khi đó:

(i) là nhóm giải được

(ii) là nhóm đơn khi và chỉ khi

Định lý 1.2.12 ( Định lý Sylow thứ nhất )

Giả sử là một nhóm hữu hạn, là một số nguyên tố và

là lũy thừa cao nhất của chia hết cấp của Khi đó, tồn tại một nhóm con của có cấp là

Định lý 1.2.13 ( Định lý Sylow thứ hai )

Giả sử là một nhóm con của nhóm hữu hạn , và là một

- nhóm con Sylow của Nếu là một - nhóm thì được chứa trong một - liên hợp của

Định lý 1.2.14 ( Định lý Sylow thứ ba )

(i) Hai - nhóm con Sylow bất kì của một nhóm hữu hạn đều là

- liên hợp với nhau

(ii) Gọi là số các - nhóm con Sylow phân biệt của Khi đó (mod )

Định lý 1.3.2

Nếu là một nhóm với hai nhóm con và sao cho

* +, mọi phần tử của giao hoán với mọi phần tử của

Cho là nhóm hữu hạn với hai nhóm con chuẩn tắc

và | | | | | | Khi đó , nếu * + hoặc thì

Định nghĩa 1.3.6

Cho là một nhóm và là các nhóm con chuẩn tắc của Nhóm được gọi là tích trực tiếp trong của và nếu:

(i)

(ii) * +

Mệnh đề 1.3.7

Giả sử và lần lượt là nhóm xyclic cấp và Khi đó

là nhóm xyclic khi và chỉ khi và nguyên tố cùng nhau

Mệnh đề 1.3.8

Ta có:

CHƯƠNG 2: NHỮNG ỨNG DỤNG CỦA CÁC ĐỊNH LÝ SYLOW

Chương này là phần chính của luận văn, trình bày một số ứng dụng của các Định lý Sylow trong nhóm hữu hạn

2.1 KHẢO SÁT TÍNH CHẤT CỦA MỘT SỐ LỚP NHÓM HỮU HẠN 2.1.1 Nhóm hữu hạn bất kì

Mệnh đề 2.1.1.1

là - nhóm con Sylow duy nhất của một nhóm hữu hạn nếu và chỉ nếu là nhóm con chuẩn tắc của

Chứng minh:

Theo Định lý 1.2.14, là - nhóm con Sylow duy nhất của tương

đương với: Điều này có nghĩa là

Mệnh đề 2.1.1.1 trên và Định lý 1.3.3 cho ta ba hệ quả sau

Hệ quả 2.1.1.2

Giả sử là một nhóm cấp sao cho với mỗi ước nguyên tố của , có duy nhất một - nhóm con Sylow Khi đó là tích trực tiếp của các nhóm con Sylow của nó

Hệ quả 2.1.1.3

Nếu là một nhóm giao hoán hữu hạn, thì là tích trực tiếp

của các nhóm con Sylow của nó

Hệ quả 2.1.1.4

Giả sử là một số nguyên tố, và là một nhóm hữu hạn có

duy nhất một - nhóm con Sylow Khi đó không phải nhóm đơn

2.1.2 Nhóm có cấp , với là hai số nguyên tố

Mệnh đề 2.1.2.1

Giả sử là một nhóm cấp , với là hai số nguyên tố,

Khi đó có duy nhất một - nhóm con Sylow

Chứng minh:

Theo Định lý 1.2.14, , và | Vì nên

, nghĩa là có duy nhất một - nhóm con Sylow

Hệ quả 2.1.2.2

Giả sử là một nhóm cấp , với là hai số nguyên tố

Khi đó là nhóm giải được và không phải là nhóm đơn

Mệnh đề 2.1.2.3

Nếu là nhóm có cấp , với nguyên tố lẻ, thì có duy

nhất một nhóm con cấp Hơn nữa, có đúng một nhóm con cấp 2 hoặc

có nhóm con cấp 2

Chứng minh:

Gọi là - nhóm con Sylow của Khi đó | | Theo

Mệnh đề 2.1.2.1, có duy nhất một nhóm con cấp

Gọi là 2- nhóm con Sylow của , khi đó | | Theo

Định lý 1.2.14, ta có ( mod 2 ) và || | Suy ra hoặc

Vậy, có đúng một nhóm con cấp 2 hoặc có nhóm con cấp 2

2.1.3 Nhóm có cấp , với là hai số nguyên tố

Tổng quát Mệnh đề trên ta có Mệnh đề sau

Mệnh đề 2.1.3.3

Giả sử là một nhóm có cấp , với là hai số nguyên

tố phân biệt, khi đó hoặc có một - nhóm con Sylow chuẩn tắc, hoặc có một - nhóm con Sylow chuẩn tắc

 Trường hợp:

Nếu , là nhóm con chuẩn tắc trong

Nếu thì với là một số nguyên dương

chia hết cho nên hoặc

Giả sử là một nhóm cấp , với là hai số nguyên tố,

và Khi đó có duy nhất một - nhóm con Sylow

Chứng minh:

Theo Định lý 1.2.14, , và | Vì , nên hoặc

Nếu , thì | Do ( )( )

và là số nguyên tố nên |( ) hoặc |( ), điều này không xảy

ra vì giả thiết và Vậy , nghĩa là có duy nhất một - nhóm con Sylow

Hệ quả 2.1.4.2

Giả sử là một nhóm cấp , với là hai số nguyên tố,

và Khi đó là nhóm giải được và không phải nhóm đơn

2.2 XÁC ĐỊNH VÀ PHÂN LOẠI ĐẲNG CẤU MỘT SỐ LỚP NHÓM HỮU HẠN

2.2.1 Nhóm có cấp , với là hai số nguyên tố và

Định lý 2.2.1.1

Sai khác một đẳng cấu có đúng hai nhóm cấp , với là số

nguyên tố lẻ, đó là nhóm xyclic cấp và nhóm nhị diện

Chứng minh:

Giả sử là một nhóm có cấp , với là một số nguyên tố lẻ Theo

Mệnh đề 2.1.2.3, có và hoặc , hoặc

 Trường hợp 1:

Gọi là - nhóm con Sylow, là 2- nhóm con Sylow của

Theo Mệnh đề 2.1.1.1, và Hơn nữa: * +,

Gọi là một phần tử của , , thì Khi đó:

và chứa phần tử phân biệt là:

Mặt khác, với * + và mọi phần tử

thuộc đều có cấp 2 nên: ( ) ( )( ) Từ đó suy ra ( ) ( ) (vì nên và )

Gọi ̅ là nhóm cấp bất kì

- Nếu ̅ có , lập luận tương tự như trên, ̅ là nhóm xyclic cấp Theo Hệ quả 2.1.1.5 thì mọi nhóm xyclic cùng cấp đều đẳng cấu với nhau Do đó, mọi nhóm cấp và có duy nhất một nhóm con cấp 2 thì đẳng cấu với nhau, và đẳng cấu với nhóm xyclic cấp

- Nếu ̅ có nhóm con cấp 2, tương tự, ̅ có nhóm con ̅ 〈 ̅〉 với ( ̅) và một phần tử ̅ có cấp 2 sao cho:

 Nếu thì Suy ra ̅ ̅ , do đó ̅ ̅ ̅ ̅ hay ( ) ( )

Vậy, mọi nhóm cấp , với là số nguyên tố lẻ, và có nhóm con

cấp 2 thì đẳng cấu với nhau

Hơn nữa phép chứng minh cho thấy sai khác nhau một đẳng cấu thì

có nhiều nhất là 2 nhóm cấp , với là số nguyên tố lẻ Đồng thời theo

Hệ quả 1.1.1.5, mọi số nguyên dương đều tồn tại một nhóm xyclic cấp Mặt khác nhóm nhị diện có cấp và không phải là xyclic với

mọi

Do đó, có thể kết luận rằng sai khác nhau một đẳng cấu có đúng 2

nhóm cấp , với là số nguyên tố lẻ, đó là nhóm xyclic cấp và

nhóm nhị diện

Định lý đã được chứng minh

Định lý 2.2.1.2

Giả sử là hai số nguyên tố, và , với là một

số nguyên dương Mọi nhóm có cấp đều là nhóm xyclic

Chứng minh:

Theo Mệnh đề 2.1.2.1, có duy nhất một - nhóm con Sylow chuẩn

tắc cấp

Theo Định lý 1.2.14 và giả thiết thì Do đó có

duy nhất một - nhóm con Sylow chuẩn tắc cấp

Vì và là hai số nguyên tố nên là nhóm xyclic, và

* +

Đặt * + * +

Theo Định lý 1.1.1.8, có cấp là hoặc

- Nếu ( ) , thì nhóm xyclic sinh bởi trùng với Khi

đó, với ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅, suy ra Vậy, Khi đó,

hay (mâu thuẫn)

- Nếu ( ) thì nhóm xyclic sinh bởi trùng với Khi

đó, với ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅, suy ra Vậy, Khi đó, hay (mâu thuẫn)

- Nếu ( ) thì , suy ra Do đó (mâu thuẫn)

Vậy ( ) , nghĩa là là nhóm xyclic có cấp

Tương tự | Theo giả thiết không chia hết nên , do đó có duy nhất một - nhóm con Sylow chuẩn tắc cấp

Ta có là hai nhóm con chuẩn tắc, giao hoán của , và

* + Do đó theo Định lý 1.3.5, và là một nhóm

giao hoán

Định lý đã được chứng minh

Hệ quả 2.2.2.2

Cho là hai số nguyên tố, và (mod ) Khi

đó sai khác nhau một đẳng cấu có hai nhóm cấp là và

Định lý 2.2.2.3

Mọi nhóm có cấp , với là hai số nguyên tố,

và (mod ), đều là nhóm giao hoán

Chứng minh:

Giả sử là một nhóm có cấp , với là hai số nguyên tố,

và (mod )

Theo Định lý 1.2.14 và điều kiện (mod ), ta có Do

đó có duy nhất một -nhóm con Sylow chuẩn tắc cấp Vì và

theo chứng minh Mệnh đề 2.1.3.5, ta có Nghĩa là chứa duy nhất một - nhóm con Sylow chuẩn tắc cấp

Ta có là hai nhóm con chuẩn tắc, giao hoán của và

* + Do đó theo Định lý 1.3.5, và là một nhóm

giao hoán

Định lý đã được chứng minh

Hệ quả 2.2.2.4

Cho là hai số nguyên tố, và (mod ) Khi

đó sai khác nhau một đẳng cấu có hai nhóm cấp là: và

Áp dụng Định lý 1.2.14, ta có: | và (mod 2), suy ra hoặc Tương tự, hoặc Như vậy có 4