biểu diễn nhóm hữu hạn 4

lý thuyết biểu diễn được nghiên cứu qua các tiên đề của đại số trừu tượng. nó được bắt nguồn từ việc nghiên cứu nhóm hoán vị và đại số các ma trận

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN 4

Chương I

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN

Có một câu hỏi thế này, thế nào là “biết”, là “mô tả” một nhóm? Việc kiểm tra được rằng G cùng với phép toán hai ngôi lập thành một nhóm đương nhiên chưa có nghĩa là “biết” về nhóm G Ta đã biết rằng mọi nhóm có thể được mô tả bằng một tập (các phần tử) sinh và các quan hệ (giữa chúng) Ở đó, ta cũng thấy cách mô tả như thế

là không duy nhất Hơn nữa, rất khó biết hai nhóm được cho dưới dạng tập sinh và các

quan hệ có đẳng cấu với nhau hay không

Mặt khác, nhiều nhóm đã cho được biết như là nhóm con của một nhóm các ghép biến đổi trên một tập nào đó và bảo toàn một “cấu trúc” nào đó của tập này Cấu trúc thường được người ta sử dụng trong trường hợp này là không gian véctơ Nói cách khác, người ta cố gắng “so sánh” mỗi nhóm với nhóm con của nhóm các ma trận khả nghịch

§1 KHÁI NIỆM VỀ BIỂU DIỄN NHÓM

1.1 ĐỊNH NGHĨA Cho G là nhóm hữu han va E một là không gian véctơ hữu hạn chiều trên trường K Một biểu diễn (tuyến tính) của G trong E là một đồng cấu nhóm (

từ G vào nhóm GL(E ) các tự đẳng cấu tuyến tính của E

E được gọi là không gian biểu diễn của G (hay đơn giản là G- không gian)

Số chiều của E trên K được gọi là cấp của biểu diễn Nếu K = Q,R hoặc C thì ta nói @ lần lượt là biểu diễn hữu tỉ, thực hoặc phức

Kí hiệu @(s) bởi ọ,, Vse G Ta có

0„=0,0,

Ọ, — lá, ,

0= (0);

với s,/ eŒ,elà phần tử đơn vị của Œ

Biểu diễn ọ: G—>GL(E) được gọi là trung thành nếu nó là một đơn cấu nhóm; được gọi là tâm thường nếu ọ, = ld,,VseŒ và được gọi là 1-biểu diễn nếu E = K và ọ,=ld, VseG.

CAC KHAINIEM CO BAN VỀ BIẾU DIỄN NHÓM HỮU HẠN 5

2.1 CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: Biểu diễn của nhóm hoán vi Giả sử G = Sạ là nhóm đối xứng bậc n, và E =

Kv, + Kv) + + Kv, 1a khong gian véctơ n chiều trên trường K Với mỗi s c%,,

@,e End, (E) được xác định bởi

Khi d6, Vs,teS,

Pu (¥)= Yue =o

= PV) =PP,V; » với l<i<n Vi {vj} 1a K co sé cia Enén

Pu = PD, - Suy ra ø là đồng cấu nhóm Mà

0.0 =0 „ =0, =ld, nên ọ, là một đẳng cấu hay ọ,eGL(E), VseG Vậy ø là một biểu diễn của G.M

Ví dụ 2 : Biểu diễn chính quy Giả sử G = {xị, X;, , Xa} là nhóm hữu hạn cấp n va E

là không gian véctơ n chiều trên K có cơ sở {v, vạ, ,vạ} Vớixe G ta nhận thấy ứng với mỗil< ¡ <ø, tổn tại duy nhất 1< j <n, sao cho xx; = x; Bay giờ ta xác định

0, End, ( E) như sau

0,V,=V,, trong đó mối quan hệ giữa ¡ và j được xác định như trên Khi đó, œ là một đồng cấu đi

từ G vào GL(E) Thật vậy, với x, y bất kỳ thuộc G, giả sử : yx, = xX, VA XX, =X, x,,x,„ Œ Khi đó

„VY, =V, 0,0,Y, = 0,V, =Y,

Suy ra, ,, =9,9,-

Ngoài ra, VxeŒ ta thấy ø,e Enđ, (E) và ø, là một toàn cấu (vì xG=G) nên ø, là một đẳng cấu hay ø,GL(E) Vậy ø là biểu diễn M

Ví dụ 3 : Biểu diễn cấp 1 Mỗi biểu diễn cấp 1 của G là một đồng cấu

@:G->K”=K\{0

Thật vậy xét E là không gian véctơ 1 chiều trên K có cơ sở là {w} Giả sử :

@:G->GL(E)

là một biểu diễn Khi đó, với mois e G, we Eta có

p,w=k,w=(k,id,)(w), với &, nào đó thuộc K”, suy ra p, =k,id, Dong nhat k,id, v6i k,ta cé anh xa

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẴN VE BIEU DIEN NHÓM HỮU HẠN 6

@':G-> K”

SsE>k,

là một đồng cấu Thật vậy, vì ø là một đồng cấu nhóm nên ø„=ø,Ø,, do đó, k„=k &, hay ø'(s/)=@ (s)@ (7) Bây giờ ta đồng nhất @ với @', khi đó có thể xem ø:G — K

là đồng cấu.M

Chú ý rằng với n = |Ớ|, khi đó, s” = e nên @;=l trong K” Vì vậy ø, là một

căn bậc n của đơn vị trong K” với mọi s thuộc G Từ đây ta thấy các biểu diễn phức là phong phú hơn các biểu diễn thực vì trong CÌ có đúng n căn bậc n của 1 ,trong khi đó IR” chứa nhiêu nhất là 2 căn bậc n của 1 (tùy theo n chấn hay lẻ)

Chúng ta cũng thấy mỗi đồng cấu đi từ C vào K” cũng cho ta một biểu diễn cấp 1 của K”

§2 BIỂU DIỄN NHÓM THEO THUAT NGU MODULE

2.1 ĐỊNH NGHĨA (biểu diễn đại số) Giả sứ A là một đại số hữu hạn chiều trên

— trường K và E là không gian véctơ hữu hạn chiều trên K Một biểu diễn của A với không gian biểu diễn E là đồng cấu đại số @:A-—> End, (E), nghĩa là ánh xạ ọ thỏa

p(a+b)=o@(a)+œ(),

0(ab)=ø(a)ø(0)

p(2a)=^o(4)

0(e)=1d,, với a,be 4,ÄeK, e là phần tử đơn vị của A

Giả sử K là trường, G là nhóm, ta thành lập đại số nhóm KG gồm tất cả các tổ hợp tuyến tính hình thức

Sơ

de

với các hệ tử z cK mà hầu hết trong chúng bằng 0 thỏa

5 ao=3.b,ơ ©a,=b,.VơeG

Tổng và tích được định nghĩa một cách tự nhiên

> 4,0+ >) b,0 =>) (a, +5, )o,

[S.s.ø |S5r]=E«ker

Giả sử E là không gian véctơ trên trường K Mỗi đồng cấu đại số

KG — Bnd, (E)

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ BIEU DIỄN NHÓM HỮU HẠN 7

cảm sinh một đồng cấu

G—>GL(E)

Như vậy, mỗi biểu diễn của đại số nhóm KG của E cảm sinh một biểu diễn của nhóm

G

Đảo lại, nếu đã cho biểu diễn của nhóm G, chẳng hạn @:G-> GL(E) thì bằng

cách sau đây ta có thể mở rộng ọ tới biểu diễn của đại số KG Giả sử ,a =5 ad, và

Ø

yeE Đặt

0„v=3_a,0„v

Rõ ràng điều này đã xác định cái mở rộng ø tới đồng cấu vành từ KG vào Endx(E).n Nhận xét : @ !à biểu diễn trung thành trên G nhưng cái mở rộng của ọ trên KG có thể không trung thành

Thật vậy, chọn đ={e,ơ.ø” Ì là nhóm cyclic sinh bởi ơ và @:G->Œ” được xác định như sau

ebl

oho ơ”>ø”

với œ là một căn nguyên thủy bậc 3 của 1 Khi đó, œ là biểu diễn một chiều trung

thành Nhưng khi @ được mở rộng lên KG thì

0(œø)=œø(ø)=œ? =0[(Ø°),

mà œơ #ơ” Vậy cái mở rộng của ø trên KG không trung thành

2.2 MENH DE Gid sit E la một K-không gian vécto Khi đó È là một G- không gian nếu và chỉ nếu E là một KG-module

CHỨNG MINH Giả sử E là G-không gian, nghĩa là có biểu diễn ọ : G->GL(#)

Khi đó, ta xác định phép nhân ngoài từ KG lên E như sau

Dễ dàng kiểm tra phép toán này trang bị cho E một cấu trúc KG-module

Ngược lại, giả sử E là một KG-module Xét ánh xạ

po: G>GL(E)

thỏa

Khi đó,

Ø„(y)=(ơr)v=ơ (rv)=0„@,v

Ngoài ra ta còn có

ol (av)=(o"'o v=ev=v,

CAC KHAI NIEM CO BAN VỀ BIEU DIỄN NHÓM HỮU HẠN 8

nghia 1a

P19, =1d;;

Do đó

2, eGL(E)

Vay ø là một biểu diễn ™

Chú ý Khi làm việc với một biểu diễn cố định từ nhóm G lên E, ta thường viết

ov thay cho 0V

2.3 ĐỊNH NGHĨA Cho E, F là các GŒ- không gian, ta gọi G- đông cấu là ánh xa K- tuyến tính ƒ:E->F' sao cho ƒ(øy)=ø/ƒ(v).VveE,ơceG

Hai G- không gian Evà F duoc goi la dang cấu (còn gọi là tương đương) nếu các KG-module E và F là đẳng cấu

Nhận xét : Một G- đồng cấu chính là một đồng cấu KG-module từ E vào F

Nhận xét : Cho E, F là hai Œ- không gian và ƒ:E-—> F là một G- đông cấu Khi đó, có thể xây dựng K-không gian thương F / / (E ) thành một Œ- không gian duy nhất sao cho ánh xạ chính tắc F>F/f(E) là một G- đông cấu

Thật vậy, xét tương ứng

yw :G>GL(F/f(E)) ohy(oc): F/ f(E)>F/f(E)

vE>ơy + f(E)

Dé dang kiém chiing y 1a mét biéu dién và ánh xạ chinh tic h: F>F/f(£)1a một G-đồng cấu

Biểu diễn ø mà ta vừa thành lập là duy nhất Thật vậy, giả sử ự' là biểu diễn bất kỳ

của G với không gian biểu diễn #'/ƒ(E) sao cho ánh xạ chính tắc h: F>F/f(E) là G-đồng cấu Ta cần chứng minh :

Với ơ cố định thuộc G và v bất kỳ thuộc F ta có

ự„h(v)=h(ơy)=w,h(v)

suy ra

nên

Vay

yay

Ta có điều phải chứng minh §

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN 9

Từ các khái niém module con, module bat kha quy (hay module don), tong truc tiếp, và tích tenxơ các module .ta có các khái niệm tương ứng được định nghĩa cụ thể như sau :

Giả sử :G>GL(E) là một biểu diễn của G

Biểu diễn con : Không gian E'C E được gọi là một G- không gian cơn hay không gian con ổn định dưới tác động của ọ nếu 0„v eE',VơceŒ,VveE"' Khi đó, hạn chế của @ trên E' xác định biểu diễn Pip iG ->GL(E') được gọi là biểu diễn con của @ hay E' là G- module con của E

Nhận xét : Hạt nhân của G- đồng cấu ƒ:E->F là G- module con của E

Thật vậy, ta có : E“= ker ƒ là không gian con của E và Vxe #',Vơ cŒ, thì

ƒ(øx)=ơ ƒ(x)=ơ0=0>ơxeF',

nên #'=ker ƒ là KG-module con của E hay ker ƒ là G-không gian con của E

Biểu diễn bất khả quy : Biểu diễn @:G —>GL(E) được gọi là biểu diễn bất khả quy nếu E không có G-không gian con nào khác ngoài E và 0 Nói cách khác, ọ là bất khả quy nếu và chỉ nếu E là một KG-module đơn Trong trường hợp ngược lại được gọi

là biếu diễn khả quy Một biểu diễn ọ được gọi là hoàn toàn khả quy nếu mỗi G - module F ton tai G-module con F'sao cho E=F @ F'

Tổng trực tiếp và tích tenxở của các biểu diễn : Cho hai biểu diễn

ọ:G—GL(E)và ự:G-»GL(F)

của nhóm Œ Khi đó tổng trực tiếp o®w :G->GL(E ® F) và tich tenxo gp®y:G —>GL(E & F) của chúng được định nghĩa như sau

(p®ự)„ (v.w)=(0„v.w„w)

(9 Sy), (vOw) =9, (v) By (»),

với o€G,VEE,weF

Nhấn mạnh rằng ® chỉ tích tenxơ trên trường K chứ không phải trên KG Để chứng tỏ

@ ®ự và p ®ự là các biểu diễn ta nhận xét rằng tổng trực tiếp của hai đẳng cấu tuyến tính là đẳng cấu tuyến tính và tích tenxơ trên trường K của hai đẳng cấu tuyến tính là

đẳng cấu tuyến tính

2.4 ĐỊNH LÝ (Định lý Maschke) Cho p:G—>GL(E) là biểu diễn của nhóm hữu hạn

G, trong đó E là không gian véctơ trên trường K có đặc trưng p Giả sử p | |G|.Khi do,

@ hoàn toàn khả quy

CHỨNG MINH (Định lý này được chứng minh ở Mệnh đề 1, chương II)