Không gian Pha và định lý Liuvin

Để biểu diễn sự biến đổi trạng thái vi mô của hệ nhiều hạt với thời gian người ta đưa vào một không gian quy ước gọi là không gian pha, đồng thời các tọa độ của không gian pha đó chính l

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài.

Cùng với sự phát triển của xã hội loài người, vật lí học đã trải quanhiều giai đoạn phát triển và đạt được nhiều thành tựu đáng kể như: Thế kỉXVIII cơ học cổ điển của Niutơn ra đời và trở thành môn khoa học cơ bản.Thế kỉ XIX lí thuyết điện từ trường của Mắcxoen - Faraday ra đời Đến thế kỉ

XX là thế kỉ của vật lí học hiện đại với khuynh hướng thâm nhập sâu vào cấutrúc vi mô của vật chất và người ta nhận thấy các quy luật tìm thấy không còngiống các quy luật tìm thấy trong thống kê cổ điển mà ở đây có sự xuất hiệncác quy luật mới gọi là quy luật thống kê

Ngày nay thế hệ trẻ chúng ta được thừa hưởng những thành tựu khoahọc tiên tiến là kết quả của lý thuyết vật lý hiện đại Nói về Vật lý học là một

đề tài rất rộng, ở đây tôi chỉ xin đề cập một khía cạnh đó là “không gian”.Chúng ta đã được biết về không gian hai chiều, không gian ba chiều trong Cơhọc, không gian bốn chiều Mincôpski trong Điện động lực học, hay khônggian Hilbert trong Cơ học lượng tử và khi học bộ môn Nhiệt động lực học vàvật lý thống kê chúng ta gặp một khái niệm mới “không gian pha” Vậykhông gian pha là gì? Để giúp các bạn trẻ nhất là các bạn sinh viên khoa vật

lý có cái nhìn rõ hơn về nó cũng như các vấn đề liên quan tới không gian pha,

hệ thống kiến thức, giải được các bài tập về không gian pha và định lý Liuvinlàm tiền đề cho việc học tập nghiên cứu các lí thuyết vật lí hiện đại, tôi đã tìmhiểu và hôm nay tôi chọn đề tài “Không gian pha và định lý Liuvin” làm đềtài khóa luận của mình

Với nội dung đề tài “Không gian pha và định lý Liuvin” tôi muốn đisâu tìm hiểu về không gian pha và định lý Liuvin - định lí về sự bảo toàn thểtích pha để từ đó rút ra phương trình chuyển động của tập hợp pha và tìm

1

được dạng tổng quát của hàm phân bố thống kê dừng đối với hệ nằm trong trạng thái cân bằng nhiệt động.

2 Đối tượng nghiên cứu.

- Không gian pha

- Định lí Liuvin trong thống kê cổ điển và thống kê lượng tử

3 Mục đích nghiên cứu.

- Biết cách biểu diễn hệ trong không gian pha

- Tìm được định lí Liuvin

- Áp dụng được không gian pha và định lí Liuvin vào giải bài tập

4 Nhiệm vụ nghiên cứu.

- Đưa ra được phương pháp cơ bản của vật lí thống kê

- Tìm được mật độ xác suất

- Phát biểu được định lí Liuvin, đưa ra phương trình Liuvin

- Đưa ra các dạng bài tập trong không gian pha

5 Phương pháp nghiên cứu.

- Tham khảo ý kiến đóng góp

- Tra cứu tài liệu

- Phương trình xác suất thống kê

- Phương trình vật lý – toán

NỘI DUNG

CHƯƠNG 1 KHÔNG GIAN PHA

1.1 Phương pháp cơ bản của vật lý thống kê.

Ta đã biết rằng, mọi thông số vĩ mô bất kì F đều là hàm của các thông

số vi mô, và vì vậy, trong trường hợp tổng quát, nó biến thiên liên tục với thờigian Tuy nhiên, trong bất kì một thí nghiệm vật lí nào, ta cũng đều đo khôngphải giá trị tức thời của các đại lượng vật lí, mà đo các giá trị trung bình theothời gian Thực vậy để tiến hành đo đạc một đại lượng nào đó như áp suấtchẳng hạn, ta cần một khoảng thời gian t nào đó và trị số đo được là giá trị

trung bình của F theo thời gian t.

0

Tức là trị trung bình của F được lấy theo các trạng thái vi mô khả hữu

của hệ Nhưng việc tìm trung bình theo thời gian như kiểu (1.1) trong trườnghợp tổng quát không thể tiến hành được, bởi vì, ta không thể biết được sự phụ

thuộc 6N thông số vi mô vào thời gian tức là không thể theo dõi tất cả các

biến đổi của trạng thái vi mô theo thời gian

Để giải quyết khó khăn trên Gipxơ đã đề xuất ra phương pháp nổi tiếng

gọi là phương pháp Gipxơ Cơ sở của phương pháp Gipxơ là thay việc khảo

sát biến đổi (vi mô) của hệ đã cho với thời gian bằng việc khảo sát một tập hợp nhiều hệ tương tự hệ đã cho Các hệ này có số lượng và loại hạt như nhau

và ở trong các điều kiện vĩ mô giống nhau và ở các trạng thái khả hữu khácnhau Đồng thời phải đảm bảo rằng một tập hợp thống kê sớm hay muộn sẽ điqua mọi biến đổi giành cho những hệ tương tự khác tức là sẽ lần lượt ở trong

t

t

các trạng thái vi mô dành cho mọi hệ tương tự trong tập hợp; đó là nội dung

của giả thuyết ecgodic

Tuy nhiên lí thuyết đã chứng minh rằng không thể có những hệ tuântheo đúng giả thuyết đó Song ta có thể thừa nhận một cách gần đúng mọi hệtrong tập hợp thống kê sẽ lần lượt ở trong trạng thái vi mô rất gần với trạngthái vi mô của các hệ khác; đó là giả thuyết chuẩn ecgodic và các hệ đó đượcgọi là các hệ chuẩn ecgodic

Giả thuyết chuẩn ecgodic được phát biểu như sau: “ Trị trung bình theo

thời gian của một đại lượng bằng trị trung bình theo tập hợp thống kê” Vấn

đề đặt ra ở đây là làm thế nào để tìm được trị trung bình theo tập hợp; muốnvậy, ta phải tìm được mật độ xác suất hay hàm thống kê của hệ Để giải quyếtvấn đề này Gipxơ đã đưa vào cách biểu diễn hệ trong không gian pha để đưavào mật độ xác suất

1.2 Biểu diễn hệ trong không gian pha.

1.2.1 Không gian pha.

Để biểu diễn sự biến đổi trạng thái vi mô của hệ nhiều hạt với thời gian

người ta đưa vào một không gian quy ước gọi là không gian pha, đồng thời

các tọa độ của không gian pha đó chính là các thông số độc lập xác định trạngthái vi mô của hệ (tức là tọa độ và xung lượng suy rộng của tất cả các hạt cấuthành hệ) Phương pháp đó phải coi là rất thuận tiện về mặt nguyên tắc, vìrằng, việc mô tả tính cách của hệ nhiều hạt trong không gian ba chiều gặp

phải khó khăn rất nhiều Mặt khác, đối với tất cả hệ vật lí thực, không gian

pha là không gian nhiều chiều Chẳng hạn như, không gian pha là không gian

của một phân tử khí lí tưởng đơn giản nhất là không gian sáu chiều; đối vớiphân tử hai nguyên tử có năm bậc tự do, không gian pha là mười chiều; còn

đối với một hệ phức tạp nói chung là 2fN chiều, với f là số bậc tự do của một hạt trong hệ, N là số hạt trong hệ Có thể nói việc đưa không gian pha nhiều

chiều vào vật lí thống kê đã làm cho lí thuyết mất hết nét cụ thể của nó, bởi vì,

ta không thể hình dung nổi một không gian nhiều chiều Thế nhưng, trái lại,chính việc áp dụng không gian đó vào vật lí thống kê lại rất phong phú và bổích để nghiên cứu các hệ nhiều hạt

Trong vật lý thống kê người ta thường xét hai loại không gian pha:

chẳng hạn

+ Không gian K là không gian của hệ nhiều hạt, thí dụ như một chất khí xét toàn bộ, và không gian pha đó có 2fN chiều.

1.2.2 Các yếu tố cơ bản của không gian pha

1.2.2.1 Cách biểu diễn không gian pha trong thống kê cổ điển.

Trạng thái của hệ được xác định bởi các giá trị của tất cả các tọa độ vàxung lượng suy rộng của các hạt cấu thành hệ và được biểu diễn trong không

gian pha bằng một điểm, gọi là điểm pha, và đó là yếu tố đơn giản nhất của

không gian pha Khi trạng thái của hệ biến đổi với thời gian, điểm pha sẽ

“chuyển động” và vạch một đường cong nào đó gọi là quỹ đạo pha, đồng thời

mỗi một điểm trên quỹ đạo sẽ tương ứng với một trạng thái tức thời xác địnhnào đó của hệ Chú ý rằng trong không gian pha, chắc chắn quỹ đạo phakhông có nét gì giống với quỹ đạo thực của hệ chuyển động mà chỉ là mộtquỹ đạo quy ước giống như không gian pha vậy

Bởi vì, phương trình Hamintơn luôn xác định một cách đơn trị tínhcách của hệ, nên từ đó suy ra rằng, các quỹ đạo pha của hệ không cắt nhautrong không gian pha, bởi vì, nếu như vậy thì ứng với mỗi giao điểm sẽ có hainghiệm của phương trình Hamintơn, thành thử đối với mỗi điểm của khônggian pha chỉ có một quỹ đạo pha đi qua

Nếu ta xét trong một hệ cô lập thì đối với hệ đó năng lượng toàn phần

là không đổi nghĩa là:

E = E(q 1 , q 2 ,…, p 1 , p 2 …) = const.

Điều kiện đó có thể xem như một phương trình liên hệ tất cả các thông

số vi mô của trạng thái và trong không gian pha nó là phương trình một mặt

nào đó Mặt đó được gọi là siêu diện năng lượng, hay vắn tắt hơn là mặt năng

lượng trong không gian pha Dễ dàng thấy rằng, mặt đó là mặt 2fN -1 chiều,

giống như trong không gian thực 3 chiều, một mặt bất kì là 2 chiều

Sau này, ta sẽ xét không phải một hệ mà là một tập hợp hệ (tập hợpthống kê) và sự phân bố của các điểm pha của chúng trong không gian pha

Vì vậy ta có lí do để đưa vào quan niệm về thể tích pha Để thuận tiện cho

việc nghiên cứu sự phân bố của các hệ, ta chia không gian pha ra thành các

thể tích nguyên tố, độ lớn của mỗi thể tích đó được biểu thị như sau:

dX=dq 1 , dq 2 ,…, dq fN , dp 1 , dp 2 ,… , dp fN

thái

1.2.2.1.1 Thí dụ về việc mô tả hệ trong không gian pha.

Ở một mức độ gần đúng nào đó, trạng thái vi mô của hệ vĩ mô có thể

mô tả bởi cơ học cổ điển Ta xét trường hợp đơn giản nhất là trường hợp mộthạt chuyển động một chiều và sẽ mở rộng cho trường hợp tổng quát hơn

Với khái niệm bậc tự do là số tọa độ cần thiết để xác định vị trí của mộthạt thì trường hợp đơn giản này hệ có một bậc tự do Ta biết rằng trong cơ

học cổ điển, trạng thái cơ học của một hạt được mô tả bởi tọa độ suy rộng q, động lượng suy rộng p, là nghiệm phương trình Hamintơn:

Như vậy có thể nói rằng trạng thái cơ học cổ điển của hạt tại mỗi thời

điểm t được biểu diễn bằng một điểm có tọa độ (q, p) được gọi là điểm pha

Từ đó tìm được

kiện ban đầu

U  m2

q 2

0 sin2 (t  )2

do đó phương trình quỹ đạo pha là:

Hệ có N hạt, vì mỗi hạt có 3 bậc tự do nên hệ có số bậc tự do f=3N Hệ

này tương ứng với không gian 6 chiều

2 chiều

1.2.2.2 Cách biểu diễn không gian pha trong thống kê lượng tử.

Để khảo sát hệ nhiều hạt, đầu tiên Bônxơman đã đề xuất phương phápnổi tiếng gọi là phương pháp các “ô” của Bônxơman

Nội dung của phương pháp đó là: chia không gian pha ra làm các “ô”tương ứng với các giá trị khác nhau của năng lượng và xét sự phân bố khácnhau của các hạt của hệ theo các ô đó, từ đó tìm ra số các trạng thái vi mô khảhữu của hệ tương thích với những điều kiện bên ngoài nhất định

Trong vật lý thống kê lượng tử, một trạng thái của hệ trong không gianpha tương ứng không phải một điểm pha mà là một thể tích cực tiểu nào đó

của không gian pha Đối với một hệ gồm N hạt, thể tích như vậy của không

h3

N

trạng thái lượng tử Mặt khác, ta biết rằng

trong vật lý thống kê lượng tử, do tính không thể phân biệt được của các hạt,các phép toán hoán vị bất kì của chúng sẽ không đưa đến trạng thái vi mô nào

.N! trạng thái Hơn nữa, bởi vì các trạng thái

lượng tử có thể khác biệt nhau ở sự định hướng của spin của các hạt, thế màspin lại không tham gia gì vào không gian pha, cho nên số các trạng thái

h 3N N !

trạng thái lượng tử Tương tự như trong trường

của vật lý thống kê cổ điển, người ta phân hai loại không gian pha: không

Như ví dụ phần 1.2.2.1.1 để đếm số trạng thái vi mô khả dĩ của hạt khitrạng thái cơ học của hạt được biểu diễn trong không gian pha ta chia đều các

 

trường hợp này là mặt phẳng được phân thành những ô chữ nhật nhỏ, mỗi ô

pha

min

10

1.3 Cách mô tả thống kê hệ nhiều hạt Xác suất trạng thái.

Ta biết rằng trong phương pháp Gipxơ thay cho việc khảo sát một hệthực nào đó ta khảo sát một tập hợp thống kê tức là một tập hợp các hệ tương

tự như nhau và ở trong các trạng thái vi mô khác nhau Trong không gian pha

K, trạng thái của mỗi hệ trong tập hợp thống kê được biểu diễn bằng một

điểm pha, điểm pha này được gọi là điểm biễu diễn pha của hệ đó, và trạng

thái của các tập hợp thống kê được biểu diễn bằng một tập hợp các điểm biểu

diễn pha riêng biệt, gọi là tập hợp pha thống kê hay gọi tắt là tập hợp pha.

Bởi vì, các hệ trong tập hợp thống kê biến đổi với thời gian, cho nêncác điểm biểu diễn pha của hệ đó chuyển động trong không gian pha và vạch

ra các quỹ đạo pha, đồng thời mỗi điểm dịch chuyển một cách độc lập đối với

sự tồn tại của điểm khác

Ta hãy xét một thể tích nguyên tố dX của không gian pha bao quanh một điểm pha nào đó (hình 1.3) ở thời điểm t đang xét có một số hệ trong tập

hợp thống kê có điểm biểu diễn pha của mình nằm trong thể tích nguyên tố

dX đó, đó là điểm biểu diễn pha mà các quỹ đạo pha của chúng gặp dX ở thời điểm t Dĩ nhiên là, một cách tổng quát ta có thể coi rằng: số lượng dn của các

hệ trong tập hợp thống kê có điểm biểu diễn pha của mình nằm trong thể tích

diễn pha ở trong một đơn vị thể tích pha.

Hình 1.3

Gọi n là số hệ trong tập hợp thống kê thì theo lí thuyết xác suất, xác

suất để một hệ nào đó trong tập hợp thống kê có điểm biểu diễn pha rơi vào

thể tích nguyên tố dX sẽ là:

và nó thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa:

( X )

(1.6)

Ta biết rằng trong tập hợp thống kê có một hệ là hệ thực mà ta muốn

khảo sát, nên xác suất để dW ở trên chính là xác suất để hệ thực mà ta khảo sát có điểm biểu diễn pha nằm trong thể tích nguyên tố dX Mặt khác, bởi vì

mỗi điểm biểu diễn pha biểu diễn một trạng thái vi mô khả hữu của hệ thực nên ta có thể kết luận rằng:

Xác suất để hệ thực mà ta xét ở trong một trạng thái vi mô nào đó, đặc trưng bằng một tập hợp các giá trị của biến số X nằm trong khoảng dX sẽ bằng

Như vậy mỗi trạng thái vi mô của hệ mà ta khảo sát được đặc trưng

bằng một xác suất dW Điều đó là hoàn toàn dĩ nhiên Thực vậy, khi hệ nằm

trong một trạng thái vi mô nào đó ta chỉ có thể biết được một số ít biến sốthôi, đó là các thông số vĩ mô đo được trong phòng thí nghiệm (như nhiệt độ,

áp suất chẳng hạn) chúng là hàm các thông số vi mô X:

F k = F k (X)

với k = 1, 2, 3,… , m với m << N.

Do đó cho dù tất cả các thông số vi mô ta cũng không thể xác địnhđược tất cả các biến số, có nghĩa là từ phép đo vĩ mô ta chỉ có thể dự đoán

được một cách thống kê (xác suất) về các giá trị của các biến số vi mô X tức

là về các trạng thái vi mô mà thôi

(trung bình theo tập hợp) của một đại lượng vật lí bất kì F(X) theo công thức:

Trong đó tích phân lấy theo toàn bộ khoảng biến thiên của các biến số

X (còn gọi là biến số pha) Ở đây và sau này ta luôn nhớ rằng các tích phân

thuộc loại (1.6) và (1.8) là tích phân nhiều lớp:

dX = dq 1 dq 2 dp 1 dp 2

đó là tích phân 2fN lớp với fN là số bậc tự do của hệ.

Khi viết công thức (1.8) cần lưu ý hai điểm sau: Một là,  (X, t)dX là

xác suất để điểm pha rơi vào yếu tố thể tích dX chứa điểm X trong không gian

pha Hai là, công thức (1.8) chỉ đúng trong trạng thái cân bằng nhiệt động.Trong trường hợp tổng quát hàm phụ thuộc tường minh vào thời gian và khi

đó giá trị trung bình của F sẽ phụ thuộc thời gian.

Qua những điều đã trình bày ở trên ta thấy việc xác định xác suất củatrạng thái vi mô (tức là xác định hàm phân bố

Khóa luận tốt nghiệp Không gian pha và định lý Liuvin

15

CHƯƠNG 2 ĐỊNH LÝ LIUVIN TRONG THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN

2.1 Định lý Liuvin.

Trong không gian pha, với thời gian, tập hợp các điểm biểu diễn pha chuyển từ một thể tích này sang thể tích khác Giả sử, ở một điểm nào đó, ta

hệ trong tập hợp thống kê Sau một khoảng thời gian nào đó, số các điểm biểudiễn pha đó chuyển sang thể tích

Ta hãy tưởng tượng tách ra trong chất lỏng chuyển động một nguyên tố

thể tích cố định có dạng hình hộp, với các cạnh là dx, dy, dz (hình 2.1) Giả sử

chất lỏng chảy vào thể tích này qua bề mặt gần gốc tọa độ và sau đó chảy raqua bề mặt khác Khi đó khối lượng chất lỏng chảy vào nguyên tố thể tích

khối lượng riêng của chất lỏng và nói chung nó là hàm của tọa độ và thời

lượng chất lỏng chảy qua bề mặt song song với bề mặt trước và theo hướng

trục y là:

 y y dy)dtdxdz

dz

dy x

Hình 2.1

dư một khối lượng chất lỏng bằng hiệu hai khối lượng nói trên

Nhưng khối lượng chất lỏng dư ra đó đúng bằng độ biến thiên của khối

lượng chất lỏng trong nguyên tố thể tích trong khoảng thời gian dt, nghĩa là

Trở lại không gian pha, ta có thể viết được một phương trình tương tự

vì có một sự tương tự hình thức giữa chuyển động của điểm biểu diễn pha với

chuyển động của chất lỏng thực Có nghĩa là đối với không gian pha K, ta có

thể lặp lại các lập luận giống như trên kia Muốn vậy, trong không gian pha tađưa vào khái niệm vận tốc pha, đó là một vectơ có các thành là

Đối với hệ thực có fN bậc tự do, ta được phương trình liên tục tổng quát

phân của tích trong dấu ngoặc ta được

 p  

Trong cơ học cổ điển một hệ cô lập có f bậc tự do được mô tả bởi f

điểm trạng thái của hệ được biểu diễn bởi một điểm pha trong không gian pha

Xét tập hợp thống kê của hệ cô lập này, số hệ cô lập có vị trí và động

dp1dp2 dp f

bởi:

) được tính

 (q1,q2 , qf , p1, p2 , pf )dq1dq2 dqf dp1dp2dpf

với  ( q1,q2, ,qf , p1, p2, , pf ) là mật độ số hệ trong không gian pha

Mỗi hệ của tập hợp thống kê chuyển động theo thời gian

Vì số hệ trong tập hợp thống kê được bảo toàn nên số đếm pha ra khỏi

một thể tích V tùy ý nào đó trong một đơn vị thời gian bằng tốc độ của số đếm

dS V

động của một điểm pha và

  t

v

Tích vô hướng của vectơ  và 

Hệ thức trên có ý nghĩa vật lý : “ Sự phân bố các hệ trên những trạngthái là không đổi theo thời gian”.

Tóm lại, định lý Liuvin cho biết rằng tập hợp thống kê tương ứng với

trạng thái khả dĩ là đồng xác suất Điều này hoàn toàn phù hợp với tiên đề cơbản của cơ học thống kê

Hai là, đẳng thức (2.7) chứng tỏ rằng, nếu ta dịch chuyển cùng với mộtđiểm biểu diễn pha của một hệ nào đó trong không gian pha thì mật độ phân

bố  sẽ luôn luôn giữ không đổi Và khi đó, đẳng thức (2.4) chỉ rõ rằng, tại

1  2 (2.14)

Kết quả cuối cùng này có thể phát biểu như nguyên lý về sự bảo toàn

thể tích nguyên tố pha, cụ thể là : Khi các hệ (tức là các điểm biểu diễn pha

của các hệ) chuyển động trong không gian pha có thể tích nguyên tố giữ nguyên không đổi về độ lớn mà chỉ có thể thay đổi về dạng Đó chính là định

lý Liuvin

Suy rộng các kết quả thu được, ta có thể nói rằng tập hợp pha chuyểnđộng trong không gian pha với mật độ phân bố không đổi nhưng có thể bịbiến dạng Gía trị căn bản của định lý Liuvin là: Nhờ nó ta chứng minh đượcgiả thiết đã nêu nói rằng số lượng dn của các hệ có điểm biểu diễn pha nằm

trong thể tích nguyên tố dX và tỷ lệ với dX

phương trình chuyển động của tập hợp pha thống kê, nó đóng vai trò chủ đạo

trong việc giải quyết các vấn đề của lý thuyết thống kê về các quá trình cânbằng (hay vật lý thống kê cân bằng) Người ta gọi phương trình (2.16) làphương trình Liuvin.

(k=1, 2…) đều xác định vị trí của một cơ hệ Vì vậy phép đổi từ các tọa độ

lượng suy rộng

q1,q2 , ,qs , p1, p2 , ,

bằng một điểm Điểm này được gọi là điểm pha Theo thời gian trạng thái của

cơ hệ thay đổi và do đó điểm pha vạch trong không gian một đường cong gọi

là quỹ đạo pha

định bởi s tọa độ suy rộng

rộng phép biến đổi tọa độ suy rộng (2.17) sang phép biến đổi các tọa độ suyrộng và xung lượng suy rộng như sau:

khi thực hiện phép biến đổi chính tắc

Mỗi một điểm trong không gian pha (q, p) xác định một trạng thái của

cơ hệ Khi cơ hệ chuyển động thì điểm pha vạch một đường cong nào đó

G0 G0

chuyển theo quỹ đạo pha và chiếm một miền G nào đó Khi đó thể tích pha của G sẽ là :

Ta hãy chứng minh rằng thể tích  là đại lượng bất biến đối với phép biến đổi chính tắc (2.20) nghĩa là khi thực hiện phép biến đối chính tắc

Để chứng minh định lý này của thể tích pha ta chú ý rằng, trong toán

ta có

m m m m

dD

trong suốt quá trình chuyển động của cơ hệ Hằng số này được xác định từ

Như vậy khi các điểm pha ở trong một miền nào đó của không gian pha

D

l k

a

i k

s