Giải tích vectơ trong không gian En và ứng dụng

Cung định hướng và trường vectơ tiếp xúc đơn vị1,e2 ,e3,...,en là cơ sở trựcchuẩn của E.. Trường vectơ tiếp xúc đơn vị Định nghĩa Cho  là cung định hướng trong En xác định bởi tham số h

em trong suốt quá trình hoàn thành khoá luận này.

Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hơn nữathời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế, mặc dù đã rất cố gắngnhưng không thể tránh khỏi những thiếu sót Em kính mong nhận được sựđóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn để khoá luận của em được hoànthiện tốt hơn và có ứng dụng trong thực tế

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nộ, ngày 10 tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Đỗ Thị Ngọc

LỜI CAM ĐOAN

Khoá luận tốt nghiệp được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn của thầygiáo PGS-TS Nguyễn Năng Tâm, trong quá trình nghiên cứu tôi có sử dụngsách tham khảo của một số tác giả, các nhà nghiên cứu (đã nêu trong mụctài liệu tham khảo)

Tôi xin cam đoan khoá luận là kết quả của bản thân trong quá trìnhhọc tập ở bậc Đại học, kết quả đề tài bảo đảm chính xác, khách quan, trungthực

Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Đỗ Thị Ngọc

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

Chương I GIẢI TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN En 2

§1 Không gian vectơ Euclid n chiều 2

§2 Hàm vectơ 4

2.1 Định nghĩa 4

2.2 Phép toán trên các hàm vectơ 4

2.3 Giới hạn của hàm vectơ 7

2.4 Hàm vectơ liên tục 11

§3 Đạo hàm của hàm vectơ một biến số 12 3.1 Định nghĩa 12 3.2 Tính chất 12 3.3 Đạo hàm cấp cao 17 3.4 Đổi biến số 17 3.5 Nguyên hàm, tích phân của hàm vectơ 1 biến số 19 3.6 Nhận xét 20 Chương 2 ỨNG DỤNG 21

§1 Nghiên cứu đường trong En 21 1.1 Vectơ tiếp xúc 21

1.2 Cung tham số 22

1.3 Cung trong En 23

1.4 Cung chính quy 24

1.5 Cung định hướng và trường vectơ tiếp xúc đơn vị 27 1.6 Cung song chính quy 28

1.7 Công thức Frenet 29 §2: Nghiên cứu mặt trong E3 36 2.1 Mảnh tham số 36

2.2 Ánh xạ Weingarten 38 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47

đề này còn được trình bày một cách sơ lược chưa được phân loại và hệthống một cách chi tiết Xuất phát tư mong muốn và niềm đam mê tìm hiểu

sâu sắc hơn về vấn đề này em quyết định chọn đề tài “Giải tích vectơ trong không gian E n và Ứng dụng” làm khoá luận tốt nghiệp.

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của đề tài này là tìm hiểu và nâng cao kiến thức củagiải tích vectơ n chiều trong không gian En

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu

và ứng dụng của chúng

Kiến thức về hàm vectơ, bán kính hàm vectơ, đạo hàm của hàm vectơ

và ứng dụng trong không gian En .

3.2 Phạm vi nghiên cứu

Khái niệm cơ bản trong giải tích vectơ n chiều trong không gian En

4 Phương pháp nghiên cứu

Phân tích và tổng hợp tài liệu

Chương I GIẢI TÍCH VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN E n

§1 Không gian vectơ Euclid n chiều

Trong không gian Euclid n-chiều En

 n là không gian afin liên kết vớikhông gian Euclid n-chiều E  n

Lưu ý rằng: với mọi điểm MEn , mọi x E ta luôn tìm được duy nhất

điểm N của En sao cho MN  x Nếu MN  x thì viết: N  M  x

ịnh nghĩa 3 (xem [1.1], tr.5)

x2i i1

là cơ sở trực chuẩn của không gian Euclid

Cho X là hàm vectơ trên tập hợp U, X :

 n

U  En và (e 1, e2 , ,en ) là

một cơ sở của không gian vectơ E Khi đó ta có:

sao cho u  U :

xi : U  R , u  xi (u) i=1,2,…,n



1 

n X(u)  x (u).e1      x (u).en



gọi là các hàm toạ độ của hàm vectơ X

2.2 Phép toán trên các hàm vectơ (xem [1.3], tr.7)   

Cho tập hợp U trong En cho các hàm vectơ X, Y : U  V  E n vàhàm số : U  R Ta định nghĩa:

a Tổng của hai hàm vectơ được xác định bởi

 

n

X  Y : U  E

, u  (X  Y)(u)  X(u)  Y(u)

b Tích của một hàm số với với một hàm vectơ

Suy ra (X.Y)(u)  (x1.y1)(u)  (x2.y2 )(u)      (xn .yn )(u)

 x1(u).y1(u)  x2 (u).y2 (u)      xn (u).yn (u) (1)

Mặt khác:

X(u)  xi (u).ei suy ra X(u)  (x1(u), x2 (u), , xn (u))

i1

(X  Y)(u)  (x2.y3  x3.y2 )(u),(x3.y1  x1.y3 )(u),(x1.y2  x2.y1)(u)

 (x2 (u).y3 (u)  x3 (u).y2 (u), x3 (u).y1(u)  x1(u).y3 (u),

x1(u).y2 (u)  x2 (u).y1(u)) (3)

(u) y3 (u) y3 (u) y1(u) y1(u) y2 (u) 

 (x2 (u).y3 (u)  x3 (u).y2 (u), x3 (u).y1(u)  x1(u).y3 (u),

x1(u).y2 (u)  x2 (u).y1(u)) (4)

   

Từ (3) và (4) suy ra (X  Y)(u)  X(u)  Y(u)

2.3 Giới hạn của hàm vectơ

2.3.1 Định nghĩa của điểm giới hạn (xem [3.1], tr.9)

du0 , u   kéo theo | x (u)  ei | 

sao cho u  U ,

Do lim X(u)  e

uu 0

nên tồn tại số

  0 sao cho

 

u  U , d u0 , u   kéo theo || X(u)  e || 

Vì mỗi i=1,2,…,n các hàm số xi

(u) có giới hạn ei khi u dần tới u0 nên

tồn tại các số i  0 mà u  U , du , u   có | xi (u)  ei |



K.nchọn

2 lim (g.X)(u)  lim g(u) lim X(u)

lim (X  Y)(u)  lim x (u).ei  lim y (u).ei

uu0

lim (g.X)(u)  lim g(u) lim X(u)

(theo định nghĩa của giới hạn hàm vectơ)

(X.Y)(u)  (x1.y1)(u)  (x2.y2 )(u)      (xn.yn )(u)

 x1(u).y1(u)  x2 (u).y2 (u)      xn (u).yn (u)

Suy ra: lim || X || (u)

 lim || X(u) |||| lim X(u) ||

(theo định nghĩa giới hạn của hàm vectơ)

2.4 Hàm vectơ liên tục (xem [3.5], tr.12)

u0  U nếu có lim X(u)  X(u0 )

uu 0



Hàm vectơ X từ tập hợp U trong Em đến En gọi là liên tục nếu nó

liên tục tại mọi u  U

3

 

có hướng ) X.Y

  

có các hàm

số liên tục

trên UX.Y , || X

|| (n=3, E có hướng) X, Y, Z

§3 Đạo hàm của hàm vectơ một biến số 3.1 Định nghĩa (xem [3.5], tr.13)

Hàm vectơ X(t) từ khoảng J R đến En có các toạ độ x1, x2 , , xn

trong cơ sở (e 1, e2 , ,en

x2 (t  t)  x2 (t) 2

e     

Hay X '(t)  (x1)'(t).e1  (x2 ) '(t).e2      (xn ) '(t).en

(ta có điều phải chứng minh)

c)Đạo hàm của hàm vectơ

1 

n (X)(t)   (t).x (t).e1      (t).x (t).en

  

Suy ra: (X)'   '.X   X' (Ta có điều phải chúng minh)

33) Với n=3, E

 ((x2 ) '.y3  x2.(y3 ) ' (x3 ) '.y2  x3.(y2 ) ',

(x3 ) '.y1  x3.(y1)' (x1)'.y3  x1.(y3 ) ',

(2)

nếu nó có đạo hàm đến cấp k và đạo hàm cấp

k liên tục X(t) khả vi lớp C (hàm vectơ chẵn, hàm vectơ trơn) nếu nó cóđạo hàm mọi cấp

trong đó (i, j) là cơ sở trực chuẩn của E

c) Khai triển Taylor

giới hạn đối với mọi phân hoạch a= < < <…< =b của [a,b], với mọi

i [ti1, ti ] khi maxti  ti1   0

b Nhận xét

ds

; ; ; và cũng có kết quả ; tồn tại và liên tục thì

chúng bằng nhau

b

§1 Nghiên cứu đường trong E n

1.1 Vectơ tiếp xúc (xem [2.1], tr.11)

Nhắc lại rằng không gian Euclid En

 n là một không gian afin liên kết vớikhông gian vectơ Euclid E Hai điểm p,q của En xác định một vectơ

Ta gọi mỗi phần tử   (p,) T.En là một vectơ tiếp xúc của En tại

p TEn được gọi là tập các vectơ tiếp xúc của En

22các vectơ tiếp xúc của U Với pU , ta kí hiệu và gọi nó là không gian vec tơ tiếp xúc của U tại p.

1.2 Cung tham số (xem [2.4], tr.16)

Để nghiên cứu cung tham số người ta sử dụng hàm vectơ

(t) được gọi là bán kính vectơ của đối với gốc O

Nói là cung tham số khả vi nếu là hàm vectơ khả vi

Nếu hàm  có đạo hàm cấp k (k  1) tại t là (k)

 là cung tham số khả vi: (t)  a (t)  bt.

Cung tham số như trên gọi là cung đỉnh ốc tròn

Quan hệ vừa định nghĩa là quan hệ tương đương.

En , còn e1,e2 , ,en là cơ sở trực chuẩn của

E Hai cung tham số này tương đương với nhau vì có vi phôi

1.4 Cung chính quy (xem [1.2], tr.69)

a Điểm thuộc cung

độ Decartes vuông góc (x,y,z) của

cũng là đường thẳng qua O với vectơ chỉ phương n

đó không tương đương '(t)  0 với mọi t  R còn r '(u)  0

d Tiếp tuyến, pháp diện

Tiếp tuyến của cung  tại điểm chính quy t0

là đường thẳng đi qua

(t0 ) và có vectơ chỉ phương '(t0 ) E có hệ toạ độ (O,{ei}1

)

mà toạ độ

của điểm kí hiệu là (X1, X2 , , Xn )

Giả sử cung  xác định bởi:

Pháp diện của cung  tại từng điểm chính quy t0 là mặt phẳng (t0 )

và cắt vuông góc với tiếp tuyến của  tại t

0 Nếu (X1, X2 , , Xn ) là toạ độDescartes vuông góc thì phương trình pháp diện đó là:

1.5 Cung định hướng và trường vectơ tiếp xúc đơn vị

1,e2 ,e3, ,en là cơ sở trựcchuẩn của E Có vi phôi  :1, 2  1, 4

t  t 2

sao cho   r  

Ngoài ra còn có '(t)  2t  0 , t 1, 2

Vậy , r

là 2 cung tương đương định hướng

b Trường vectơ tiếp xúc đơn vị

Định nghĩa

Cho  là cung định hướng trong En xác định bởi tham số hoá:

a) Điểm t0  J mà tại đó '(t0 ),''(t 0 ) độc lập tuyến tính được gọi là một

điểm song chính quy

b) Một cung mà mọi điểm của nó đều là điểm song chính quy gọi là cungsong chính quy

b Mệnh đề

a) Mọi cung song chính quy đều là cung chính quy

b) Một cung chính quy là song chính quy khi và chỉ khi nó có độ cong khác

0 tại mọi điểm

ds DTds

Như vậy, với mọi t  R , '(t) 

và ''(t) là hai véctơ độc lập tuyến tính

trong E3 nên  là một cung song chính quy

d Trường vectơ pháp tuyến chính đơn vị

Giả sử T là trường vectơ pháp tiếp xúc đơn vị dọc với , trong tham số

 hoá tự nhiên s  r(s) của , T(s)  r '(s)

Xét trường vectơ DT

ds dọc cung song chính quy  trong En

, đặt

N  thì được trường vectơ N dọc  gọi là trường vectơ pháp

tuyến chính đơn vị dọc  Còn có thể viết đẳng thức xác định N đó dưới dạng DT  kN , k là hàm độ cong của 

ds

e Trường vectơ trùng pháp tuyến chính đơn vị

 là một cung song chính quy định hướng trong En thì ta có trường

vectơ tiếp xúc đơn vị T (xác định hướng) có tham số hoá tự nhiên s  r(s)

 

của , T(s)  r '(s) và trường vectơ pháp tuyến chính đơn vị N dọc ,

 trong tham số hoá tự nhiên s  r(s) của , T(s)  r '(s)

3

Khi n=3, khi đó E đã có hướng thì xác định được trường vectơ đơn vị

B  T  N dọc  gọi là trường vectơ trùng pháp tuyến đơn vị dọc 

(Rõ ràng phương của B tại mỗi điểm là phương của trùng pháp tuyến của

Có T là trường vec tơ tiếp xúc đơn vị dọc cung  Giả sử E2 đã có

hướng thì xác định được trường vec tơ dọc  sao cho {T,N} là trường mụctiêu trực chuẩn thuận dọc  gọi là trường mục tiêu trực chuẩn dọc  gọi làtrường mục tiêu Frenet dọc ; với N là trường vectơ pháp tuyến đơn vị dọc



*Nhận xét: Phương của N tại mỗi điểm là phương của pháp tuyến của  tạiđiểm đó

Công thức Frenet

Cho  là cung chính quy định hướng trong

tiêu Frenet dọc cung  Khi đó công thức Frenet

Gọi là công thức Frenet của , trong đó k là (hàm) độ cong của 

Ta đi chứng minh sự tồn tại của công thức trên

Giả sử cung  có tham số hóa tự nhiên s  r(s) Trường vectơ DT

dskhông phụ thuộc tham số hóa đó Mặt khác, do {T,N} là trường mục tiêutrực chuẩn thuận dọc  nên T.T=1, DT .T=0 nên ta có DT  kN , với k là

b Chú ý

Vì E2 có hướng , ta có thể nói đến độ cong của  trong E2

, nó có thểmang giá trị dương hoặc âm Vì vậy k còn được gọi là độ cong đại số của

, khi đổi hướng của  thì độ cong (đại số) đổi dấu

c Độ cong của cung chính quy định hướng trong E 2

*Công thức

Giả sử  là cung chính quy định hướng trong E2

xác định bởi tham số hóa : J  En , t  (t)

(có hướng) và được

Lấy một tham số hóa tự nhiên r : I  E2 , s  r(s) của  thì có phép đổitham số  : J  I để   r   (  >0).

Gọi {T,N} là trường mục tiêu dọc cung tham số r và coi độ cong k của

 là hàm số dọc r thì công thức Frenet cho:

(t)  (x(t), y(t)) .

Khi đó: T((t))  T(t)  1

x '2 (t)  y'2(t)

(y'(t), x '(t))

Và ''(t)  (x ''(t), y''(t))

3 2

x(t)  R cos t , x '(t)  R sin t , x ''(t)  R cos t ;

y(t)  R sin t , y'(t)  R cos t , y''(t)  R sin

t Thay vào công thức tính độ cong k ta có:

k(t)   R sin t.(cos t [(R sin t)  R sin t)  ( 2 R (R cos t) cos t).R 2 ]3

Vậy cung song chính quy định hướng  trong

E3 , có trường mục tiêutrực chuẩn thuộc {T, N, B} dọc  gọi là trường mục tiêu Frenet dọc 

ds DT

ds

DTds

b Độ cong, độ xoắn của cung song chính quy định hướng

Định nghĩa

Cho  là một cung song chính quy định hướng trong E3 .

Trường mục tiêu Frenet {T, N, B} dọc  ta có:

Vậy B'.T  x.1  y.0 Từ đó ta suy ra: x=B’.T

Lại có: B.T=0 Đạo hàm hai vế ta được B’.T+B.T’=0

Thay x=B’.T với T’=k.N vào ta được x+ B.k.N=0

Từ đó ta suy ra x=0

Do vậy B’=y.N

Giả sử B' 

.N

thì  được gọi là độ xoắn của cung  tại t Khi t thay

đổi ta có hàm độ xoắn của cung 

Công thức Frenet

{T, N, B} là trường mục tiêu Frenet dọc cung song chính quy định

hướng  trong E3 (có hướng) Ta đã có:

gọi là công thức Frenet.

*Nhận xét: Khi đổi hướng của một cung định hướng trong

thì T đổi hướng,N đổi hướng, B đổi hướng

E3 (có hướng)

Vì vậy độ cong k và độ xoắn  không đổi dấu (vì DB  N ).

ds

Công thức tính độ cong, độ xoắn

Cung  có tham số hóa: t  (t)

Độ cong của cung  là:

k(t)  ||  '(t)   ''(t)|| '(t) || || 3

Độ xoắn của cung  là:

k(t)  (  '(t)   ''(t)).|| '(t)  ''(t) ||  '''(t) 2

§2: Nghiên cứu mặt trong E 3

tuyến tính thì được gọi là một điểm chính quy (r là một dìm tại

Trái lại, điểm (u0 , v0 ) gọi là điểm kì dị

(u0 , v0 ) )

b) Mảnh tham số r mà mọi điểm của nó đều chính quy được gọi là mảnhtham số chính quy

Khi n  3 đường thẳng đi qua r(u0 , v0 ) và vuông góc với tiếp diện của

nó thì được gọi là pháp tuyến của mảnh tham số r tại điểm đó

2.1.3 Mảnh trong E n

a Hai mảnh tham số tương đương

Cho hai mảnh tham số trong En :

r : U  En

r :

U  E

n

nếu có vi phôi (vi phôi bảo toàn hướng):

 : U  U sao cho r  r

thì hai mảnh tham số đã cho gọi là hai mảnh tham số tương đương (tươngđương định hướng)

(u, v)

là một trường vectơ đơn vị hoàn toàn xác định là vectơ chỉ phương củapháp tuyến trên S.

2.2 Ánh xạ Weingarten

2.2.1 Cơ sở lí thuyết về ánh xạ Weingarten

1) Đa tạp 2-chiều (xem [2.2], tr.152)

với tham số hoá

S   u, v,f (u, v)E3 | (u, v)  U

Tập con không rỗng S của En

được gọi là đa tạp 2-chiều trong En nếuvới mỗi pS có lân cận mở (của p trong S) là một mảnh hình học.

Khi đó tham số hoá của mảnh hình học này được gọi là tham số hoá địaphương của đa tạp 2-chiều S.

2) Phép tính vi phân trên đa tạp 2-chiều

b Trường vectơ và trường vectơ tiếp xúc trên đa tạp

(xem [3.2], tr.159)

Định nghĩa 6

Cho S là đa tạp 2-chiều trong

E3 Với

 là một vectơ của không gian

vectơ chỉ phương của mặt phẳng tiếp xúc của S tại p

Ta định nghĩa TpS  p  (p, ) là không gian vectơ tiếp xúc của S tại

p Việc đặt tương ứng mỗi pS

một trường vectơ X trên S

với một vectơ X(p)  T E3 được gọi là

Trường vectơ X hoàn toàn được xác định bởi hàm vectơ trên S,

Một hướng trên đa tạp 2-chiều trong

E3 là việc đặt tương ứng mỗi điểm

pS một hướng của không gian vectơ thực 2 chiều sao cho mọi p

0 S tồntại một tham số hoá địa phương r : U  S, p0  r(u) và với mọi (u, v) U Ánh xạ tiếp xúc của r tại (u, v) biến hướng chính tắc của

R2 thànhhướng của không gian vectơ TpS với p  (u, v) Tức là hướng của TpSđược xác định bởi cơ sở {R(u), R(v)}

Nhận xét:

Một đa tạp 2-chiều S trong

một pháp tuyến khả vi trên S

E3 là định hướng được khi và chỉ khi tồn tại

Cụ thể trong tham số hoá địa phương r : U  S

hướng thì vectơ pháp tuyến đơn vị đó chính là

tương thích với định