Hàm Zeta-Riemann và định lý số nguyên tố

Dưói m®t dang chính xác hơn, giá thuyet đưoc phát bieubói Gauss qua công thúc trong đó πx là so các so nguyên to không vưot quá x.. Đưoc sn đ%nh hưóng cna ngưòi hưóng dan, em chon đe tà

Lài cám ơn

Nhân d%p lu¾n văn đưoc hoàn thành tác giá xin bày tó lòng biet ơn chân

thành, sâu sac tói TS Nguyen Văn Hào đã t¾n tình hưóng dan tác

giá trong quá trình thnc hi¾n lu¾n văn

Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành Ban giám hi¾u trưòng Đaihoc sư pham Hà N®i 2, phòng Sau đai hoc, các thay cô giáo trong nhàtrưòng và các thay cô giáo day cao hoc chuyên ngành Toán giái tích đãtao đieu ki¾n thu¾n loi trong quá trình tác giá hoc t¾p và nghiên cúu.Tác giá xin bày tó lòng biet ơn tói gia đình, ngưòi thân đã đ®ng viên vàtao moi đieu ki¾n đe tác giá có the hoàn thành bán lu¾n văn này

Hà N®i, tháng 07 năm 2012

Tác giá

Trương Nguyen Minh

Lài cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Văn Hào, lu¾n văn “Hàm Zeta-Riemann và Đ%nh lý so nguyên to” đưoc hoàn

thành, không trùng vói bat kỳ lu¾n văn nào khác

Trong quá trình làm lu¾n văn, tôi đã ke thùa nhung thành tnu cna cácnhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn

Hà N®i, tháng 07 năm 2012

Tác giá

Trương Nguyen Minh

Mnc lnc

Má

đau 3

Chương 1 M®T SO KIEN THÚC CHUAN B± 7

1.1 Hàm c hính hình 7

1.2 Tíc h phân cna hàm b ien phúc 9

1.3 Khai trien c h uoi luy thùa cna hàm c hính hình 17

1.4 Khai trien c h uoi luy thùa cna m®t so hàm sơ cap 19

Chương 2 KHÔN G ĐIEM CÚ A HÀ M ZE T A-RIEMAN N 20 2.1 Hàm Zeta-Riemann 20

2.2 Moi liên quan khác cna c hu oi Dirichlet v ói hàm ζ ( s ) 25

2.3 Các ton g liên quan đen σ a ( n ) 30

2.4 Đ¾c trưng giái tích cna hàm ζ ( s ) và phương trình hàm 33

2.4.1 Thác tr ie n giái tích v à phương trình hàm 33

2.4.2 Không điem v à công thúc nhân tú 40

Chương 3 бNH L Ý SO NGUYÊN TO 44

3.1 Giói thi¾u 44

3.2 M®t so b o đe 50

3.3 Đ%n h l ý T au b erian 55

3.4 Đ%nh lý so nguyên to 61

3.5 Công thúc ti¾m c¾n Selberg 63

Má đau

1 Lí do chon đe tài

M®t trong nhung nhà toán hoc đ¾t nen móng cho vi¾c nghiên cúu hàm

zeta ζ(s) là Leonhard Euler, nhưng ve m¾t cơ bán ông mói chí

nghiên cúu nó dưói dang hàm vói bien so thnc M®t trong nhung ketquá quan trong cna ông đó là công thúc tích vô han (goi là tích Euler)

lay trên tat cá các so nguyên to Tích này h®i tu khi phan thnc cna s lón

hơn 1 Đây là m®t phiên bán giái tích cho đ%nh lý cơ bán cna so hoc,rang moi so nguyên có the phân tích m®t cách duy nhat thành cácthùa so nguyên to Euler đã dùng tích này đe chúng minh rang tong ngh

%ch đáo cna các so nguyên to là không b% ch¾n

Công thúc tích Euler đã thu hút sn quan tâm cna Riemann tói hàm zeta,đieu đó đưoc the hi¾n qua vi¾c ông co gang chúng minh m®t giá thuyetcna Legendre Dưói m®t dang chính xác hơn, giá thuyet đưoc phát bieubói Gauss qua công thúc

)

trong đó π(x) là so các so nguyên to không vưot quá x Riemann

đã tao ra m®t bưóc tien lón tói giá thuyet cna Gauss Ông nh¾n ra rang

sn phân bo các so nguyên to phu thu®c vào sn phân bo các không điemcna hàm zeta Công thúc tích Euler chúng tó không có không điem nào

cna ζ(s) có phan thnc lón hơn 1 Bang vi¾c chúng minh rang ζ(s)

thóa mãn

m®t phương trình hàm mà dang đoi xúng cna nó là

ζ (s) = ζ (1 − s) ,

.1

đưoc thóa mãn neu x không phái là lũy thùa cna m®t so nguyên to,

trong đó hàm hàm Von Mangoldt Λ(n) = log p neu n = p k vói p là

so nguyên to; k là m®t so nguyên nào đó và Λ(n) = 0 trong các trưòng hop còn lai Do đó phái có nhieu vô han các không điem ρ é

đây tong tính

trên ρ vói so b®i và đưoc hieu là

lim

Chú ý rang |x| ρ = |x| β ; do

T →∞ |ρ|≤T

đó can chí ra β < 1 đe chúng minh rang Λ(n) ∼ x, đây là m®t

cách

n≤x

phát bieu khác giá thuyet cna Gauss

Cũng tù phương trình hàm nêu trên chí ra rang các không điem phúc

1phái đoi xúng qua đưòng thang Re(s)

=

Riemann đã chúng tó rang2

so các không điem N (t) vói phan áo nam giua 0 và T , là

p

N (T )

=

T

log

2π

T

2π e

7

+ + S (T ) + O

8

1

T

Thêm nua, Riemann cũng chúng minh rang S (T ) = O (log T ) và

đã tien gan đen vi¾c chúng minh giá thuyet cna Gauss Bưóc cuoi cùngđưoc hoàn tat bói Hadamard và De la Vallée Poussin, hai ngưòi đã chúng

minh đ®c l¾p nhau trong năm 1896 rang ζ(s) khác không khi phan thnc cna s bang 1, và tù đó dan tói ket lu¾n khang đ%nh cho giá thuyet cna

Gauss, bây giò đưoc goi là Đ%nh lý so nguyên to

Nhung công trình cna Riemann mó ra nhung ngành nghiên cúu mói kethop giua giái tích và hình hoc, bao gom lý thuyet hình hoc Riemann,hình hoc đai so và lý thuyet ve đa tap phúc Ông đã giói thi¾u hàm Zeta-Riemann và thiet l¾p các ket quá quan trong cna nó trong vi¾c hieu đưoc

sn phân bo cna so nguyên to Đưoc sn đ%nh hưóng cna ngưòi hưóng dan,

em chon đe tài: “Hàm Zeta-Riemann và Đ%nh lý so nguyên to”

vói mong muon đưoc tìm hieu ve sn phân bo các không điem cna hàmZeta-Riemann và moi liên quan tói Đ%nh lý so nguyên to đe hoàn thànhlu¾n văn khóa đào tao Thac sĩ chuyên ngành Toán giái tích

2 Mnc đích nghiên cNu

Tìm hieu ve tính chat các không điem hàm Zeta-Riemann;

Áp dung tính chat các không điem đe nghiên cúu sn phân bo so nguyênto;

Trình bày phép chúng Đ%nh lý so nguyên to cna H.L Keng [7]

3 Nhi¾m vn nghiên cNu

Đoc tài li¾u, tìm hieu hieu ve hàm so Zeta-Riemann và các kien thúcliên quan

4 Đoi tưang nghiên cNu

Nghiên cúu m®t so tính chat căn bán cna hàm ζ, khái ni¾m không điem

và moi liên quan đen đ%nh lý so nguyên to;

Chúng minh đ%nh lý so nguyên to

5 Phương pháp nghiên cNu

Tong hop, phân tích tù tài li¾u;

Sú dung các tính chat không điem hàm ζ và đ%nh lý so nguyên to.

6 DN kien đóng góp cúa lu¾n văn

Trình bày m®t cách h¾ thong ve các tính chat căn bán cna hàm Riemann;

Zeta-Nêu hai phương pháp chúng minh đ%nh lý so nguyên to

Chương 1 M®T SO KIEN THÚC CHUAN B±

1.1 Hàm chính hình

Đ%nh nghĩa 1.1 Cho D là t¾p con mó trong m¾t phang phúc C và f

là m®t hàm nh¾n giá tr% phúc trên D Giá sú h ∈ C và h ƒ= 0 sao cho z0 + h ∈ D Neu ton tai giói han

f (z0 + h) − f (z0)

thì giói han đó đưoc goi là đao hàm phúc cna hàm f tai điem z0 và

đưoc ký hi¾u bói f r (z0) Bieu thúc

f (z0 + h) − f (z0)

h đưoc goi là thương vi phân cna hàm f tai điem z0

Đ%nh nghĩa 1.2 Hàm f đưoc goi là chính hình tai điem z0 neu nó khá

vi phúc trong m®t lân c¾n cna điem đó nam trong D Hàm f đưoc goi

là chính hình trên D neu nó chính hình tai moi điem z ∈ D Neu M là t¾p con đóng cna m¾t phang phúc C, ta nói rang f chính hình trên M neu f chính hình trên m®t t¾p con mó nào đó chúa M

Ví dn 1.1 Hàm f (z) = z chính hình trên t¾p con mó bat kỳ trong

= lim

h→0 ( z + h ) − z

h

= 1.

Ví dn 1.2 Hàm f (z) = z¯ không chính hình Bói vì,

f ( z + h ) − f ( z )

Rõ ràng, hàm f chính hình tai z0 ∈ D neu và chí neu ton tai so phúc a

M¾nh đe 1.1 Neu hàm f chính hình tai z0 thì liên tnc tai điem đó.

L¾p lu¾n như trong hàm bien thnc chúng ta de dàng chúng minh đưoc các phép tính dưói đây đoi vói các hàm chính hình

M¾nh đe 1.2 Neu f và g là các hàm chính hình trên D thì

(g ◦ f ) r (z) = g r (f (z)) f r (z).

−

Tù ví du 1.2 cho ta thay khái ni¾m khá vi phúc khác vói khái ni¾m

khá vi thông thưòng cna hàm hai bien thnc Thnc v¾y, hàm f (z) = z¯ tương

úng như ánh xa cna m®t hàm hai bien thnc F : (x, y) ›→ (x, −y).

Hàm

này khá vi theo nghĩa cna hàm hai bien thnc, đao hàm cna nó tai m®tđiem là ánh xa tuyen tính đưoc cho bói đ%nh thúc Jacobian cna nó, matr¾n 2 × 2 các đao hàm riêng cna các hàm toa đ® Tuy nhiên, ta

thay đieu ki¾n ton tai các đao hàm thnc không đám báo tính khá vi

phúc Đe hàm f khá vi phúc, ngoài đieu ki¾n khá vi cna hàm hai bien

thnc chúng ta can đen đieu ki¾n (C - R) đưoc cho bói đ%nh lý dưóiđây mà chúng minh cna nó có the tìm trong [1]

Đ%nh lý 1.1 (Đieu ki¾n Cauchy-Riemann [1]) Đieu ki¾n can và đú

đe hàm phúc f (z) = u(x, y) + iv(x, y) khá vi tai điem z = x + iy

là tai điem đó ton tai các đao hàm riêng cúa các hàm u(x, y) và v(x, y), đong thòi các đao hàm đó thoá mãn đieu ki¾n Cauchy-Riemann

1.2 Tích phân cúa hàm bien phNc

M®t trong nhung công cu quan trong đe nghiên cúu các hàm chính hình

là tích phân cna hàm doc theo đưòng cong Trưóc khi đưa ra ket quáchính, chúng ta trình bày m®t so khái ni¾m ve đưòng cong và mien

Đưòng cong tham so trong C là m®t hàm liên tuc z(t) = x(t) + iy(t)

ánh xa đoan [a, b] ⊂ R vào m¾t phang phúc, trong đó các hàm x(t)

và y(t) là các hàm thnc liên tuc Đưòng cong đưoc goi là trơn neu

ton tai đao hàm z r (t) liên tuc trên [a, b] và z r (t) ƒ= 0 vói moi t ∈ [a, b].

Đưòng cong tham so đưoc goi là trơn tùng khúc neu z(t) liên tuc

trên đoan [a, b] và ton tai các điem

a = a0 < a1 < · · · < a n = b sao cho z(t) là trơn trên moi đoan [a k , a k+1]

Hai đưòng cong tham so

z : [a, b] → C và z¯ : [c, d] → C

đưoc goi là tương đương neu ton tai song ánh khá vi liên tuc s ›→ t(s) tù [c, d] vào [a, b] sao cho t r (s) > 0 và z¯(s) = z (t(s)) Đieu ki¾n t r (s) > 0 đám báo rang hưóng cna đưòng cong đưoc đ%nh khi s chay tù c đen d thì t chay tù a đen b Ho tat cá các đưòng cong tham

so tương đương vói z(t) xác đ%nh m®t đưòng cong trơn γ ⊂ C đưoc

goi là ánh cna đoan [a, b] qua z vói hưóng cho bói z khi t chay tù a đen b Chúng ta có the xác đ%nh đưòng cong γ − thu đưoc tù đưòng

cong γ bang vi¾c đoi ngưoc hưóng Như m®t dang tham so hoá đ¾c bi¾t đoi vói γ − , chúng ta có the lay z − : [a, b] → R2 xác đ%nh bói

z − (t) = z(b + a − t).

Các điem z(a) và z(b) đưoc goi là các điem đau mút cna đưòng cong Bói vì γ đưoc đ%nh hưóng bói phương trình tham so z : [a, b] →

C vói t chay tù a đen b, nên m®t cách tn nhiên goi z(a) là điem đau

và z(b) là điem cuoi cna đưòng cong.

M®t đưòng cong trơn ho¾c trơn tùng khúc đưoc goi là đóng neu z(a) = z(b) vói tham so hoá bat kỳ cna nó.

Đưòng cong trơn ho¾c trơn tùng khúc đưoc goi là đơn neu nó không có

điem tn cat, nghĩa là z(s) ƒ= z(t) khi s ƒ= t ngoai trù s = a và t

= b.

Đưòng cong đơn và đóng goi là chu tuyen

T¾p D ⊂ C đưoc goi là m®t mien neu thóa mãn hai đieu ki¾n sau đây (i) D là t¾p mó;

(ii) Vói moi a, b ∈ D ton tai đưòng cong L ⊂ D noi a và b.

Mien giói han bói chu tuyen γ đưoc ký hi¾u là D γ Mien D đưoc goi

là đơn liên neu vói moi chu tuyen γ ⊂ D thì ta đeu có D γ ⊂ D Mien

thu

đưoc tù mien đơn liên D sau khi bó đi n-mien D γ1 , D γ2 , ., D γ n không giao nhau nam trong D đưoc goi là mien (n + 1)-liên (khi

không can phân bi¾t rõ, chúng ta goi chung là mien đa liên)

Quy ưác Goi chieu dương cna biên cna mien D là chieu đi doc theo

biên thì mien đưoc xét nam ve bên tay trái, chieu có hưóng ngưoc lai là

chieu âm Đoi vói mien D đưoc xét ngưòi ta thưòng ký hi¾u ∂D là biên cna nó lay theo chieu dương, ∂D − là biên lay theo hưóng âm

Đ%nh nghĩa 1.3 Cho đưòng cong trơn γ trong C đưoc tham so hoá

bói phương trình z : [a, b] → C và hàm f liên tuc trên γ Tích phân cna hàm f doc theo γ đưoc cho bói công thúc

Neu γ là đưòng cong trơn tùng khúc, thì tích phân cna hàm f trên γ

là tong các tích phân cna hàm f trên các phan trơn cna γ Do đó neu z(t)

là phương trình tham so hoá trơn tùng khúc γ như trên thì

a k+1

f (z)dz = .

a k

f (z(t))z r (t)dt.

Neu viet f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) thì

v(x, y)dx + u(x, y)dy.

Tù công thúc trên đây cho ta thay tích phân cna hàm bien phúc trên

đưòng cong γ đưoc hieu như tong cna hai tích phân đưòng Tù tính chat

cna tích phân đưòng, chúng ta de dàng nh¾n đưoc các tính chat sau cnatích phân hàm bien phúc

M¾nh đe 1.3 Tích phân cúa hàm liên tnc trên đưòng cong có các tính

γ γ

vói moi α, β ∈ C.

¸

f (z) + β

γ

g(z)dz;

(ii) Tính chat phn thu®c hưóng cúa đưòng cong Neu γ − là đưòng cong γ vói hưóng ngưoc lai thì

Ví dn 1.4 Giá sú γ là đưòng cong trơn tuỳ ý có phương trình tham so

z = z(t); t ∈ [a, b] vói các điem đau mút z(a) và z(b) Khi đó

Đ%nh lý 1.2 (Cauchy-Goursat, [1]) Giá sú D là m®t mien n- liên trong

C vói biên ∂D gom các chu tuyen đóng trơn tùng khúc và f là hàm chính hình trên D liên tnc trên D = D ∪ ∂D Khi đó, ta có

(udx − vdy) + i(vdx + udy).

Theo đ%nh lý Green đoi vói tích phân đưòng

F =

−

dF

Neu F = udx − vdy, thì theo đieu ki¾n Cauchy - Riemann chúng ta có

Đ%nh lý 1.3 (Công thúc tích phân Cauchy) Neu f là hàm chính hình

trong m®t mien D và z0 ∈ D Khi đó, vói moi chu tuyen đóng bat

ξ − z dξ.

ChNng minh Giá sú γ là chu tuyen tùy ý vây quanh điem z0 sao

cho D γ ⊂ D Chon ρ đn bé sao cho đĩa đóng S(z0, ρ) tâm z0 bán kính

ρ chúa trong D γ Ký hi¾u C ρ là biên cna đĩa S(z0, ρ) và D γ, ρ =

ng

ta suyra

¸

γ+C ρ −

f (ξ) ξ − z0

dξ = 0.

¸

f (ξ)

ξ −

z0

dξ.

Thnc hi¾n phép đoi bien đoi vói tích phân ó ve phái ξ − z0 =

ρ→0

C ρ

f (ξ)

ξ −

z0

dξ.

Trưòng hop f liên tuc trên D thì ta có the thay ∂D cho γ trong chúng

minh trên và nh¾n đưoc ket quá mong muon

Đ%nh lý 1.4 (Công thúc tích phân Cauchy đoi vói đao hàm) Neu f là

hàm chính hình trong m®t mien D, thì f khá vi vô han lan trong D Hơn nua, neu γ là chu tuyen đóng bat kỳ nam trong D, thì

dz; vói moi z0 ∈ D γ

ChNng minh Ta chúng minh công thúc bang phép quy nap theo n.

Trưòng hop n = 0, ta nh¾n đưoc tù công thúc tích phân Cauchy Giá

sú

công thúc đúng cho trưòng hop n − 1, túc là

f (n−1) (z0) =

h (ξ − z0 − h) n

(ξ − z0)n−1 2πi γ (z − z0)n+1Đ%nh lý đưoc chúng minh.

1.3 Khai trien chuoi luy thNa cúa hàm chính hình

Đ%nh nghĩa 1.4 Giá sú hàm f khá vi vô han lan tai điem z0 Khi đó,

chuoi h®i tu đeu vói moi ξ ∈ C ρ Đieu đó cho phép ta lay tích phân tùng

≥

0

=

so hang cna chuoi và thu đưoc

1.4 Khai trien chuoi luy thNa cúa m®t so hàm sơ

Chương 2 KHÔNG ĐIEM CÚA HÀM

Trong cá hai đ%nh nghĩa trên s là bien so phúc s = σ + it Khi đó

chuoi Dirichlet (2.1) là h®i tu vói σ > 1, h®i tu đeu trong mien σ ≥ 1 + δ, vói δ > 0 Do đó chuoi xác đ%nh m®t hàm giái tích, đeu vói σ >

trien các nhân tú chúa p theo lũy thùa cna p −s ta nh¾n đưoc

Y 1 + 1

p s

1+

M®t phép chúng minh ch¾t che đưoc xây dnng de dàng bang vi¾ctrưóc het lay m®t so huu han các nhân tú Tù vi¾c có the lay tích m®t

so huu han các chuoi h®i tu tuy¾t đoi, ta nh¾n đưoc

Y 1 + 1

p s p≤P

1+

p 2s

+ ·

· ·

.1

ó đó n1, n2, là nhung so nguyên mà các thùa so nguyên to cna

chúng không vưot quá P

Bói vì tat cá các so nguyên đen P đeu có dang này, ta suy ra rang neu ζ(s) đưoc xác đ%nh bói (2.1) thì

Bieu thúc cuoi cùng tien đen 0 khi P → ∞ neu σ > 1 và do đó ta nh¾nđưoc (2.2)

Nguyên goc cna đong nhat thúc này thu®c ve Euler và đưoc goi là tíchEuler The nhưng Euler chí xem xét nó vói các giá tr% đ¾c bi¾t cna bien

s và Riemann là ngưòi đau tiên nghiên cúu ζ(s) như là hàm giái tích

cna m®t bien phúc

Bói vì tích vô han h®i tu cna các nhân tú khác 0 là khác 0, ta suy

ra rang ζ(s) không có không điem khi σ > 1 Đieu này có the đưoc chúng minh trnc tiep như sau Vói σ > 1, ta có

ó đó m1, m2, là tat cá các so nguyên mà thùa so nguyên to cna

chúng không vưot quá P Do đó

2)σ

− · · · > 0,

neu P đn lón Như v¾y, ta có |ζ(s)| > 0.

Tam quan trong cna hàm ζ(s) trong lý thuyet cna các so nguyên

to nam trong sn ki¾n ket hop giua hai bieu thúc, m®t trong hai bieuthúc chúa các so nguyên to và bieu thúc còn lai thì không liên quan

gì đen yeu to này Lý thuyet cna các so nguyên to có moi liên quan rat

phong phú đen hàm π(x), đưoc xác đ%nh bói so các so nguyên to không vưot quá x Chúng ta có the bien đoi công thúc (2.2) đe có moi

quan h¾ giua ζ(s) và π(x) Bói vì neu σ > 1, thì

n=2

log

1

1)

Sn sap xep lai cna chuoi đưoc chúng minh vì π(n) ≤ n và

và thnc hi¾n phép nhân chúng ta nh¾n đưoc

và µ(n) = 0 neu n chúa bat kỳ nhân tú nào có lũy thùa cao hơn

thùa so đau tiên Quá trình de dàng đưoc thiet l¾p như trong trưòng

q s q=1

∞

∞

∞