Bài toán chebyshev trong không gian Banach và ứng dụng

Ta đã có một tập lồi đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert là một tập Chebyshev và tập các hàm hữu tỉ Chebyshev là không lồi, câu trả lời là không ít nhất trong L2.. Do đó đã xuất hiệ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BÙI THU HƯƠNG

BÀI TOÁN CHEBYSHEV TRONG KHÔNG GIAN BANACH VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BÙI THU HƯƠNG

BÀI TOÁN CHEBYSHEV TRONG KHÔNG GIAN BANACH VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌCPGS.TS NGUYỄN NĂNG TÂM

HÀ NỘI, 2017

thành luận văn này.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới phòng Sau đại học; các thầy, côgiáo giảng dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2 đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận

Lời cam đoan

Dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Năng Tâm, luận văn thạc sỹchuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Bài toán Chebyshev trong không gian

Banach và ứng dụng” được hoàn thành bởi sự nhận thức của bản thân, không

trùng lặp với bất cứ luận văn nào khác

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhàkhoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 8 năm 2017

Bùi Thu Hương

∂A Biên của A

k · k Chuẩn trong không gian

SX := x ∈ X : kxk = 1 Mặt cầu đơn vị trong X

X∗ Không gian đối ngẫu của X

Lp Không gian hàm đo được có lũy thừa bậc p

`p Không gian các dãy số mà tổng lũy thừa cấp p

k · k∞ Chuẩn max(X, k · k) Không gian Banach với chuẩn k · k(X, h·, ·i) Không gian có tích vô hướng

PK(x) Hình chiếu của x lên tập Kd(x, K) Khoảng cách từ x đến KB[x, r] Hình cầu tâm x bán kính r

Tx Toán tử tuyến tính liên tục

K Tập Chebyshev

H Không gian HilbertC(K) Không gian các phiếm hàm liên tục

SC(K) Hàm số liên tục

Mục lục

Lời cảm ơn i

Lời cam đoan ii

DANH MỤC KÍ HIỆU iii

Lời mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Không gian Banach và không gian Hilbert 4

1.1.1 Không gian Banach 4

1.1.2 Không gian Hilbert 5

1.2 Phép chiếu metric 6

1.3 Không gian đối ngẫu 7

1.4 Tôpô yếu và tôpô yếu∗ 7

Chương 2 Tập Chebyshev và ứng dụng 9

2.1 Các định nghĩa và ví dụ 9

2.2 Điều kiện cần cho tập xấp xỉ được hoặc tập Chebyshev 10

2.3 Điều kiện đủ cho tập xấp xỉ được hoặc tập Chebyshev 12

2.4 Tính lồi của tập Chebyshev 21

2.5 Tính liên tục của phép chiếu metric 26

2.6 Tập Chebyshev không lồi 27

2.6.1 Các định nghĩa 27

2.6.2 Tính trơn và điểm gần duy nhất 33

2.6.3 Bước quy nạp 38

2.6.4 Tập Chebyshev không lồi 41

2.7 Ứng dụng nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân 42

2.7.1 Định nghĩa 42

2.7.2 Một số định lý tồn tại nghiệm 43

Kết luận 46

Tài liệu tham khảo 47

Lời mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Kết quả nổi tiếng trong lý thuyết xấp xỉ, của Chebyshev [2] nói rằng nếu(C [0, 1] , k.k∞) không gian Banach gồm tất cả hàm liên tục trên đoạn [0,1]

và Pn là không gian con của C[0, 1] bao gồm tất cả các đa thức bậc không lớn

hơn n với n ∈ N, thì với mọi phần tử của C[0, 1] có xấp xỉ tốt nhất trong Pn

Từ đó, tập con K của không gian metric (X, d) được gọi là tập hợp shev nếu mọi điểm trong X tồn tại điểm gần nhất trong K Chúng ta sẽ giới

Cheby-hạn nghiên cứu trong không gian Banach

Khi nghiên cứu lý thuyết xấp xỉ, Stechkin đã hỏi rằng: liệu tập hàm hữu

tỉ có tạo thành một tập Chebyshev trong Lp với p > 1 Ta đã có một tập lồi

đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert là một tập Chebyshev và tập các

hàm hữu tỉ Chebyshev là không lồi, câu trả lời là không (ít nhất trong L2) Do

đó đã xuất hiện bài toán tập Chebyshev nổi tiếng: tập Chebyshev trong không

gian Hilbert có lồi không?

Motzkin là người giải bài toán đầu tiên [2], ông đã chứng minh rằng bất kìtập Chebyshev nào trong R2 (được trang bị định chuẩn Euclide) đều phải là

lồi Tiếc rằng, phương pháp của ông không khái quát hóa được đến số chiều

cao hơn và vì thế nó đã bác bỏ bởi Bunt [2] và Kritikos [2] Họ làm việc một

cách độc lập, để đưa ra chứng minh đầu tiên rằng một tập Chebyshev trong

Rn (được trang bị định chuẩn Euclide) là lồi ∀n ∈ N Các chứng minh này

cũng được đưa ra bởi Jensen [2] và Busemann [2] Kết quả này đã được mở

rộng đến không gian hữu hạn chiều trơn tùy ý

Người ta nhanh chóng nhận ra rằng tính liên tục của phép chiếu metricđóng vai trò cốt yếu để xác định tính lồi của tập Chebyshev Trong khi những

người khác, Klee [2] Asplund [2] và Vlasov [2] vẫn giả sử về tính liên tục của

phép chiếu metric và đã thu được nhiều kết quả quan trọng bao gồm định lý

Vlasov (định lý đã cung cấp một vài điều kiện tổng quát nhất để khẳng định

tập Chebyshev là lồi) Đi theo hướng đó Balaganskii [2] đã chứng minh rằng,

trong không gian Hilbert, nếu phép chiếu metric của một tập không liên tục

là đếm được thì tập Chebyshev là lồi Frerking và Westphal [2], đã sử dụng

các lý thuyết toán tử đơn điệu, khái quát kết quả tới tính chất liên thông của

tập không liên tục phép chiếu metric

Ficken [2] và Efimov và Stechkin [2], bằng cách sử dụng phép đảo trongmặt cầu để nhận ra bài toán theo thuật ngữ điểm xa nhất và đã chứng minh

rằng mọi tập Chebyshev compact trong không gian Hilbert là nhất thiết phải

lồi Trong [2], Johnson đã đưa ra một ví dụ về tập Chebyshev không lồi trong

không gian có tích vô hướng, không đủ Cho đến nay, mọi nỗ lực xây dựng

khái quát ví dụ đó không gian Hilbert vẫn chưa thành công Mặc dù các kết

quả đều đúng cả, nhưng bài toán phân loại không gian Banach trơn có tính

lồi của tập Chebyshev vẫn mở cho đến nay

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về bài toán tập Chebyshev trong không gian Banach

Ứng dụng của chúng: sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biếnphân

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu nội dung bài toán tập Chebyshev , lịch sử hình thành bài toán

Những nội dung đã được nghiên cứu: điều kiện cần và đủ của tập xấp xỉđược hoặc tập Chebyshev

Ứng dụng của chúng: sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Bài toán tập Chebyshev cùng ứng dụng trong không gian Banach

5 Phương pháp nghiên cứu

Thu thập các tài liệu liên quan tới bài toán tập Chebyshev và ứng dụng

Phân tích, tổng hợp và hệ thống các kiến thức liên quan tới mục đíchnghiên cứu

6 Đóng góp cho luận văn

Trình bày được một cách đầy đủ và có hệ thống về bài toán tập Chebyshevcùng một số ứng dụng quan trọng của chúng

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này dùng để trình bày một số khái niệm và kiến thức cơ bản củagiải tích hàm sẽ được sử dụng ở các chương sau

1.1 Không gian Banach và không gian Hilbert

1.1.1 Không gian Banach

Định nghĩa 1.1 (Xem [1]) Không gian Banach thực được định nghĩa là

không gian vectơ định chuẩn đầy đủ Nghĩa là một không gian Banach là

một không gian vectơ V trên trường số thực với một chuẩn k · k sao cho mọi

dãy Cauchy (tương ứng với metric d(x, y) = kx − yk) có giới hạn trong V

Ví dụ: K là ký hiệu trường số thực R

Không gian Euclide quen thuộc R, với chuẩn Euclide của x = (x1, , xn)

được cho bởi kxk =

là các không gian Banach

Không gian của tất cả các hàm liên tục f : [a, b] → R định nghĩa trên một

đoạn đóng [a, b] trở thành một không gian Banach nếu ta định nghĩa chuẩn

của hàm số như là kf k = sup{|f (x)| : x ∈ [a, b]} Đây là một chuẩn bởi vì

các hàm liên tục xác định trên đoạn đóng thì bị chặn Không gian này là đầy

đủ dưới chuẩn Theo định nghĩa nó là một không gian Banach, được ký hiệu

là C[a, b]

Nếu X và Y là hai không gian Banach trên một trường R thì chúng ta có thể

xây dựng tổng trực tiếp X ⊕ Y Nó cũng là không gian Banach theo chuẩn

được xác định chẳng hạn như k(x, y) = k = kxk + kyk Cách xây dựng này

có thể tổng quát hóa thành tổng trực tiếp của một số bất kỳ các không gian

Banach

1.1.2 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.2 (Xem [1]) Cho không gian vectơ X trên trường R Một ánh

xạ từ X × X vào R, (x, y) 7→ hx, yi được gọi là một tích vô hướng trên X

nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

(a) hx, xi ≥ 0, ∀x ∈ X

hx, xi = 0 ⇔ x = θ

(b) hy, xi = hx, yi , ∀x, y ∈ X(c) hx + x0, yi = hx, yi + hx0, yi , ∀x, x0, y ∈ X(d) hλx, yi = λ hx, yi , ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ R

Từ các tính chất (a) - (d) ta cũng có

hx, y + y0i = hx, yi + hx, y0i , hx, λyi = λ hx, yiNếu h·, ·i là một tích vô hướng trên X thì ánh xạ x → phx, xi là một chuẩn

trên X gọi là chuẩn sinh bởi tích vô hướng

Nếu h·, ·i là một tích vô hướng trên X thì cặp (X, h·, ·i) gọi là một không gian

tiền Hilbert (không gian Unita) Sự hội tụ, khái niệm tập mở, trong (X, h·, ·i)

luôn được gắn với chuẩn sinh bởi h·, ·i Nếu không gian định chuẩn tương ứng

đầy đủ thì ta nói (X, h·, ·i) là không gian Hilbert

Các tính chất

Bất đẳng thức Cauchy - Schwartz:

| hx, yi | ≤ kxk.kykĐẳng thức hình bình hành

kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2)

Ví dụ:

Trong C[a, b] các hàm thực liên tục trên [a, b] thì ánh xạ

(x, y) 7→ hx, yi =

Z b a

x(t)y(t)dt

là một tích vô hướng Không gian (C[a, b], h·, ·i) không là không gian Hilbert

Trong `2, với x = {λk}, y = {αk}, ta định nghĩa

thì h·, ·i là tích vô hướng, (`2, h·, ·i) là không gian Hilbert

Mối quan hệ giữa không gian Banach và không gian Hilbert

Mọi không gian Hilbert là không gian Banach Điều ngược lại không đúng

Một điều kiện cần và đủ cho một không gian Banach V có liên quan đến một

tích vô hướng là hàng đẳng thức hình bình hành

ku + vk2 − ku − vk2 = 2(kuk2 + kvk2)

∀u, v ∈ V , mà k · k là chuẩn trên V Nếu chuẩn của một không gian Banach

thỏa mãn hằng đẳng thức này, tích vô hướng liên quan sẽ làm nó trở thành

một không gian Hilbert thông qua hằng đẳng thức phân cực Nếu V là một

không gian Banach thực, thì hằng đẳng thức phân cực là

Định nghĩa 1.3 (Xem [2]) Cho (X, k · k) là không gian Banach và K là tập

con khác rỗng trong X Với bất kỳ x ∈ X chúng ta xác định d(x, K) :=

infy∈Kkx − yk, và gọi đó là khoảng cách từ x đến K Ta gọi ánh xạ

x 7→ d(x, K)

là hàm khoảng cách của K

Định nghĩa 1.4 (Xem [2]) Cho (X, k · k) là không gian Banach và K là một

tập con rỗng của X Ánh xạ đa trị PK : X → P(X) được định nghĩa bởi:

PK(x) := {y ∈ K : kx − yk = d(x, K)},

và gọi các phần tử của PK(x) là những xấp xỉ tốt nhất (điểm gần nhất) từ

x trong K Ta nói K là tập xấp xỉ được nếu PK(x) là khác rỗng với mọi

x ∈ X và K là tập Chebyshev nếu PK(x) duy nhất với mọi x ∈ X Với tập

Chebyshev ta định nghĩa ánh xạ pK := X → X là ánh xạ mà x ∈ X là phần

tử duy nhất của PK(x) Ta gọi cả PK và pK là phép chiếu metric (của K)

1.3 Không gian đối ngẫu

Định nghĩa 1.5 (Xem [1]) Khi X là một không gian Banach thì tập các

phiếm hàm tuyến tính liên tục f : X → R gọi là không gian liên hợp (hay

đối ngẫu) của X được ký hiệu là X∗ Đó là một không gian với phép toán tự

nhiên

(f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x), (αf1)(x) = αf1(x)

1.4 Tôpô yếu và tôpô yếu∗

Giả sử X là không gian Banach với không gian đối ngẫu là X∗ Với mỗi

hệ hữu hạn u1, u2, , un ∈ X∗ và ε > 0 ta đặt

W (u1, u2, , un; ε) = {x ∈ X : max

1≤i≤n|ui(x)| ≤ ε}

Dễ thấy W (u1, u2, , un; ε) là tập lồi, cân, hút trong X và do đó chúng là cơ

sở các O - lân cận của một tôpô lồi địa phương σ(X, X∗) trên X Ta có định

nghĩa sau:

Định nghĩa 1.6 (Xem [1]) Tôpô lồi địa phương σ(X, X∗) trên X xác định

như trên là tôpô yếu của X

Định nghĩa 1.7 (Xem [1]) Tôpô lồi địa phương σ(X, X∗) trên X∗gọi là tôpô

yếu của X∗

Mệnh đề 2.1 (Xem [2]) Cho K là tập con khác rỗng trong không gian

Ba-nach (X, k · k) Khi đó khoảng cách tới K là không giãn (do đó liên tục).

Chứng minh.Đặt x, y ∈ X và k ∈ K Bằng bất đẳng thức tam giác

d(x, K) ≤ kx − kk ≤ kx − yk + ky − kk

Biến đổi ta có

d(x, K) − kx − yk ≤ ky − kkvới mọi k ∈ K tùy ý và vế trái của biểu thức trên là một giá trị xác định, ta

Khái niệm chủ yếu liên quan tập xấp xỉ được và tập Chebyshev là sự tồntại điểm gần nhất.

Bây giờ tôi sẽ trình bày một vài ví dụ

Ví dụ 2.1.1 Xét K := R2 \ B(0, 1) ⊆ R2 trang bị định chuẩn Euclide Nó

khá dễ dàng để kiểm tra với mọi x ∈ B(0, 1) \ {0}, PK(x) =

n

x kxk

o Trongkhi

PK(0) = {y ∈ R2 : kyk = 1}

do đó K là xấp xỉ được nhưng không phải là một tập Chebyshev

Ví dụ 2.1.2 Cho n ∈ N Xét K = B(0, 1) ⊆ R2 trang bị định chuẩn Euclide

Chọn x ∈ Rn với kxk = 1 Một cách rõ ràng d(x, K) = 0, nhưng khi

x /∈ K, PK(x) = ∅ do đó K không xấp xỉ

2.2 Điều kiện cần cho tập xấp xỉ được hoặc tập Chebyshev

Phần chính của luận văn liên quan đến việc tìm điều kiện cần và đủ chomột tập là tập xấp xỉ được hoặc tập Chebyshev Điều kiện cần đầu tiên như

gợi ý ở ví dụ 2.1.2 là tập xấp xỉ được phải là tập đóng

Mệnh đề 2.2 (Xem [2]) Cho K là tập xấp xỉ được trong không gian Banach

(X, k · k) Khi đó K là tập đóng.

Chứng minh.Giả sử, trái với giả thiết K không đóng Ta tìm được dãy (xn)∞n=1

trong K sao cho lim

n→∞xn = x với x ∈ X \ K Với mỗi n ∈ N, d(x, K) ≤

kx − xnk và do đó d(x, K) = 0 Tuy nhiên 0 < kx − yk với bất kỳ y ∈ K

nên x /∈ K Do đó PK(x) là rỗng, mâu thuẫn với sự xấp xỉ được của K 

Định nghĩa 2.1 (Xem [2]) Cho X là một không gian vectơ và C là một tập

con của X Ta nói C là lồi nếu, với mọi a, b ∈ C và với mọi 0 ≤ λ ≤ 1, ta có

λa + (1 − λ)b ∈ C

Ta nói C là điểm cực biên khi và chỉ khi với bất kỳ a, b ∈ C, ta có a+b2 ∈ C

Nhìn vào Ví dụ 2.1.1 ta kết luận rằng tính lồi là điều kiện cần để một tập

là tập Chebyshev

Ví dụ sau đây sẽ mô tả không phải lúc nào tập Chebyshev cũng lồi Từ đó ta

tìm ra điều kiện đủ để tập Chebyshev là lồi

Ví dụ 2.2.1 Cho hàm số f : R → R xác định bởi:

f (x) = 1

2d(x, 4Z)với mọi x ∈ R Khi đó, K := đồ thị (f ), được xem như là tập con của

(R2, k·k1) là một tập Chebyshev (không lồi) Thật vậy, với bất kỳ z = (a, b) ∈

R2, pK(z) = (a, f (a)),

Mệnh đề sau đây kết hợp với Mệnh đề 2.2 nói rằng khi xét sự lồi của tậpxấp xỉ được ta chỉ cần kiểm tra xem nó có điểm cực biên hay không

Mệnh đề 2.3 (Xem [2]) Một tập con đóng trong không gian Banach (X, k·k)

là lồi khi và chỉ khi nó có điểm cực biên.

Chứng minh. Rõ ràng một tập lồi thì sẽ có điểm cực biên nên giả sử C ⊆ X

là tập lồi theo trung điểm Cho x, y ∈ C Bằng phép quy nạp, ta thấy

x + t

2k(y − x) ∈ Cvới bất kỳ k ∈ N ∪ {0} và t ∈ {0, 1, , 2k} Hiển nhiên

Tập này trong [0, 1] là trù mật trong [0, 1] Nên C là đóng khi x+λ(y−x) ∈ C

với mọi λ ∈ [0, 1] Do đó C là lồi 

Lưu ý: Sự đóng trong giả thuyết của Mệnh đề 2.3 là cần thiết Để thấy điều

đó, ta nhận ra Q ⊆ R là điểm cực biên nhưng không lồi

2.3 Điều kiện đủ cho tập xấp xỉ được hoặc tập Chebyshev

Sau đây ta tìm điều kiện đủ để tập con trong không gian Banach là tập xấp

xỉ được hoặc tập chebyshev

Định nghĩa 2.2 (Xem [2]) Không gian Banach (X, k.k) gọi là lồi chặt nếu

với bất kì x, y ∈ X, từ

kxk = kyk = x + y

2 = 1suy ra x = y

Ví dụ 2.3.1 Cho K là compact trong không gian Hausdorff có ít nhất hai

điểm Khi đó (C (K) , k.k∞) không là lồi chặt (Trong đó C(K) là tập của

Chứng minh: Xem chứng minh ([2], p10)

Mệnh đề 2.4 (Xem [2]) Không gian Banach (X, k · k) là lồi chặt khi và chỉ

khi với bất kì x, y ∈ X\ {0} nếu kx + yk = kxk + kyk thì x = αy với mỗi

α > 0

Chứng minh.Giả sử (X, k · k) có tính chất như trên Cho x, y ∈ X với

kxk = kyk = x + y

2 = 1nên kx + yk = 2 = kxk + kyk, vì vậy x = αy với mỗi α > 0 Từ kxk =

kyk = 1, α = 1 và vì vậy x = y Do đó (X, k · k) là lồi chặt

Ngược lại, giả sử (X, k · k) là lồi chặt và x, y ∈ X\ {0} sao cho kx + yk =kxk + kyk Từ x 6= −y và kx − (−y)k = kxk + kyk ta có

B [x, kxk] ∩ B [−y, kyk] =



kykkxk + kyk



x −

kxkkxk + kyk

y

.Tuy nhiên, dễ thấy rằng

0 ∈ B [x, kxk] ∩ B [−y, kyk]

Do đó

kykkxk + kyk



x −

kxkkxk + kyk



y = 0

Vì thế

x = kxkkyky.



Định nghĩa 2.3 (Xem [2]) Cho (X, k · k) và (Y, k · k0) là không gian Banach

và U là tập con mở của X Ta nói hàm f : U → Y là khả vi Gateaux tại

x ∈ U nếu tồn tồn tại một toán tử tuyến tính bị chặn Tx : X → Y sao cho

lim

t→0

f (x + th) − f (x)

t = Txhvới mọi h ∈ X Toán tử Tx gọi là đạo hàm Gateaux của f tại x Ta nói f là

khả vi Gateaux nếu nó khả vi Gateaux tại mọi điểm trong U

Một khái niệm liên quan là tính trơn Ta giới thiệu khái niệm này ở đây bởi

vì nó có mối quan hệ với tính lồi chặt

Định nghĩa 2.4 (Xem [2]) Ta nói không gian Banach (X, k · k) là trơn nếu

với mỗi x ∈ SX luôn tồn tại duy nhất f ∈ SX ∗ sao cho f (x) = 1

Chú ý: Sự tồn tại của một hàm f được đảm bảo theo định lý Hahn –Banach Rõ ràng tính trơn tương đương với khả vi Gateaux trong X\ {0}

Ví dụ 2.3.2 Cho K là một tập compact trong không gian Hausdorff có chứa

ít nhất hai điểm Khi đó, (C (K) , k.k∞) không trơn

Thật vậy, rõ ràng có thể kiểm tra được rằng với bất kì z ∈ K hàm δz :

C (K) → R được cho bởi

δz(h) := h (z)với mọi h ∈ C(K) trong SC(K) Cho x và y là phân biệt trong K và có

f, g ∈ SC(K) như là Ví dụ 2.3.1 Từ đó

δx(f ) = 1 6= 0 = δy (f ) ,

ta thấy rằng δx 6= δy Tuy nhiên,

δx(g) = 1 = δy(g) ,

vì vậy (C (K) , k.k∞) không trơn

Mệnh đề sau đây khẳng định rõ ràng mối quan hệ giữa tính trơn và tính lồichặt

Mệnh đề 2.5 (Xem [2]) Cho (X, k · k) là không gian Banach Nếu X∗, k.k0

(trong đó k.k0 là chuẩn trong không gian đối ngẫu) là lồi chặt, do đó (X, k.k)

là trơn Nếu X∗, k.k0
là trơn thì (X, k.k) là lồi chặt.

Chứng minh. Giả sử (X, k.k) là không trơn Vì vậy, với mỗi x ∈ SX tồn tại

0

= kf k0 = kgk0 = 1,

và vì vậy X∗, k.k0
không là lồi chặt.

Ngược lại, giả sử rằng (X, k·k) không lồi chặt Do đó, tồn tại x, y ∈ X saocho kxk = kyk = x+y2 = 1 Theo định lý Hahn – Banach, tồn tại f ∈ SX ∗

b

x (f ) = by (f ) = kf k0.Trong đó bx,y phân biệt thuộc Sb X ∗∗ Nên X∗, k.k0
là không trơn 

Hệ quả sau đây cho thấy khi không gian là đối xứng, lồi chặt và trơn đều

có hai thuộc tính trên

Hệ quả 2.1 (Xem [2]) Cho (X, k · k) là không gian Banach đối xứng Do đó

(X, k · k) là lồi chặt (trơn) khi và chỉ khi X∗, k.k0
là trơn (tương ứng, lồi

chặt).

Chứng minh. Ta đã có một chiều chứng minh từ Mệnh đề 2.5 Nếu (X, k.k)lồi chặt thì bX = X∗∗ Sử dụng Mệnh đề 2.5 lần nữa, X∗, k.k0
là trơn Nếu

X là trơn thì bX = X∗∗ Vì vậy mà X∗ là lồi chặt 

Theo như chú ý trước đó, lồi chặt là điểm quan trọng xác định khi tập concủa không gian Banach thừa nhận rằng không có nhiều hơn một điểm xấp xỉ

tốt nhất trong không gian

Mệnh đề 2.6 (Xem [2]) Cho K là tập con khác rỗng, lồi trong không gian

Banach lồi chặt (X, k · k) Với mỗi x ∈ X, thì PK(x) chứa nhiều nhất một

Định nghĩa 2.5 (Xem [2]) Không gian Banach (X, k · k) được gọi là lồi đều

nếu với bất kì ε > 0 tồn tại một δ > 0 sao cho kx − yk < ε với x, y ∈ Bxvà

x + y

2 > 1 − δ.

Mệnh đề sau đây cho ta kết quả đầu tiên về không gian lồi đều

Mệnh đề 2.7 (Xem [2]) Mọi không gian có tích vô hướng là lồi đều.

Chứng minh. Cho (X, h., i) là không gian có tích vô hướng và ε > 0 Giả

với x+y2 ≤ 1 − δ và vì thế (X, h., i) là lồi đều 

Hai kết quả trên cho ta mệnh đề sau:

Mệnh đề 2.8 (Xem [2]) Không gian Banach (X, k.k) là lồi đều khi và chỉ

khi với mọi cặp dãy (xn)∞n=1, (yn)∞n=1 trong BX nếu lim

Chứng minh.Rõ ràng với nhận định trên nếu (X, k · k) là lồi đều Ngược lại,giả sử (X, k · k) không lồi đều Khi đó, tồn tại ε > 0 và dãy (xn)∞n=1, (yn)∞n=1

trong BX sao cho kxn − ynk ≥ ε với mọi n ∈ N và

Mệnh đề 2.9 (Xem [2]) Mọi không gian lồi đều là lồi chặt Mọi không gian

lồi chặt hữu hạn chiều là lồi đều.

Chứng minh: Xem ([2],p16)

Định lý 2.1 (Milman- Pettis [2]) Mỗi không gian Banach lồi đều là phản xạ.

Chúng ta tìm ta điều kiện trong không gian Banach (X, k · k) và tập con

Tiếp theo ta có kết quả sau:

Định lý 2.2 (Xem [2]) Quả cầu đóng Bx trong không gian Banach phản xạ

là compact với việc nó là topo yếu trong X Do đó mọi dãy bị chặn trong X

đều có điểm tụ yếu.

Chứng minh.Ánh xạ x 7→ x từ Bb x, yếu
tới Bx, yếu∗
là phép đồng phôi

Do (X, k · k) là phản xạ, BX ∗∗ = B

b

X Theo định lý Banach – Alaoglu, BX ∗∗

là compact với thừa nhận là topo yếu Vậy nên BX là compact yếu 

Mệnh đề 2.10 (Xem [2]) Cho K là tập con đóng, khác rỗng trong không

gian phản xạ (X, k · k) Khi đó K là tập xấp xỉ được.

Chứng minh. Cho x ∈ X Từ đó K là đóng yếu theo Bổ đề 2.2 và với mọi

n ∈ N, Bx, d (x, K) + 1n là compact yếu theo Định lý 2.2 do đó

k

\

n=1

B

Với mọi k ∈ N Bằng tính chất giao hữu hạn của tập compact,

∞

\

n=1

B

Định lý 2.3 (Xem [2]) Mọi tập con khác rỗng, đóng, lồi của không gian

Banach phản xạ, lồi chặt (X, k · k) là tập Chebyshev.

Chứng minh.Theo Mệnh đề 2.6 và Mệnh đề 2.10, bất kì tập con khác rỗng,đóng, lồi của X là tập Chebyshev 

Hệ quả 2.3 (Xem [2]) Mọi tập con khác rỗng, đóng, lồi của không gian

Banach lồi đều là tập Chebyshev.

Bổ đề 2.3 (Bất đẳng thức Clarkson’s [6]) Cho 1 < p < ∞ Với bất kì f, g ∈

Chứng minh: Xem chứng minh, [7]

Chú ý: cho p = 2 ở bất đẳng thức trên ta thấy được quy tắc hình bình hành

Mệnh đề 2.11 (Clarkson [6]) Cho 1 < p < ∞ Khi đóLp(µ) , k.kplà lồi

Sử dụng bất đẳng thức đầu tiên của Clarkson, ta có

kf + gkpp ≤ 2p−1kf kpp+ kgkpp− kf − gkpp

≤ 2p− kf − gkpp

≤ 2p− εp

= 2p(1 − δ)p.Nếu 1 < p ≤ 2 thì

σ := 1 − q

r

1 −

ε2

Trong trường hợp này chúng ta có f +q2

p ≤ 1 − δ và vì thế không gian là lồi

Hệ quả 2.4 (Xem [2]) Mọi tập con khác rỗng, đóng, lồi trong không gian

Hilbert hoặc trong không gian Lp(µ) được trang bị p− chuẩn với 1 < p < ∞,

Chứng minh: Xem chứng minh, [7]

Hệ quả 2.5 (Xem [2]) Với bất kì 1 < p < ∞, Lp(µ), được trang bị với p−

chuẩn là trơn.