MỤC TIÊUBiết khái niệm về tương giao của đồ thị hàm số bậc 34 trùng phươngKĩ năngTìm được giao điểm của đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương với trục hoành và đường thẳng bất kỳ của đồ thị hàm sốTìm được điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương giao với trục hoành và đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trướcThái độRèn luyện tính cẩn thận, chính xác. Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic và hệ thống.
Trang 1Ngày giảng:
Tiết 22, 23: SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I MỤC TIÊU
Kiến thức
− Biết khái niệm về tương giao của đồ thị hàm số bậc 34 trùng phương
Kĩ năng
− Tìm được giao điểm của đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương với trục hoành và đường thẳng bất kỳ của đồ thị hàm số
− Tìm được điều kiện của tham số để đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương giao với trục hoành và đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước
Thái độ
− Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác Tư duy các vấn đề toán học một cách lôgic và hệ thống
II CHUẨN BỊ
Giáo viên: Giáo án Hình vẽ minh hoạ.
Học sinh: SGK, vở ghi Ôn tập lại khái niệm giao điểm của 2 đồ thị
III HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC
1 Ổn định tổ chức: Kiểm tra sĩ số lớp.
2 Kiểm tra bài cũ: Lồng vào quá trình làm bài tập
3 Giảng bài mới
BÀI TOÁN 2: TƯƠNG GIAO CỦA HÀM SỐ BẬC 4
NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 4 TRÙNG PHƯƠNG: ax4+bx2+ =c 0 (1)
1 Nhẩm nghiệm:
- Nhẩm nghiệm: Giả sử x = x là một nghiệm của phương trình.0
- Khi đó ta phân tích: ( ) ( 2 2) ( ) ( ) 0
0
x = ±x
f x, m = x - x g x = 0
g x = 0
⇔
- Dựa vào giả thiết xử lý phương trình bậc haig x = 0( )
2 Ẩn phụ - tam thức bậc 2:
- Đặt t = x , t 02 ( ≥ ) Phương trình: 2
at + bt + c = 0 (2)
- Để (1) có đúng 1 nghiệm thì (2) có nghiệm t , t thỏa mãn: 1 2 1 2
t < 0 = t
t = t = 0
- Để (1) có đúng 2 nghiệm thì (2) có nghiệm t , t thỏa mãn: 1 2 1 2
t < 0 < t
0 < t = t
- Để (1) có đúng 3 nghiệm thì (2) có nghiệm t , t thỏa mãn: 1 2 0 t= <1 t2
- Để (1) có đúng 4 nghiệm thì (2) có nghiệm t , t thỏa mãn: 1 2 0 < t < t1 2
3 Bài toán: Tìm m để (C): y = ax + bx + c (1) cắt (Ox) tại 4 điểm có hoành độ lập thành cấp 4 2
số cộng
Trang 2- Đặt t = x , t 02 ( ≥ ) Phương trình: at + bt + c = 02 (2).
- Để (1) cắt (Ox) tại 4 điểm phân biệt thì (2) phải có 2 nghiệm dương t , t t < t thỏa mãn1 2( 1 2)
t =9t .
- Kết hợp t = 9t với định lý viét tìm được m.2 1
Câu 1: Tìm giao điểm của đồ thị 4 2
( ) :C y x= +2x −3 và trục hoành
HD:Phương trình hoành độ giao điểm:
2
2
1
3
x
=
= −
Vậy có hai giao điểm: A(−1;0 , 1;0 ) ( )B
Câu 2: Tìm m để phương trình x4−2x2− + =m 3 0 có bốn nghiệm phân biệt
HD:Phương trình: x4−2x2− + = ⇔m 3 0 x4−2x2+ =3 m 1( )
Phương trình ( )1 là phương trình hoành độ giao điểm của hai đường ( )C y x: = 4−2x2+3 và đường thẳng ( )d :y m= Số nghiệm của ( )1 bằng số giao điểm của ( )C và ( )d
Khảo sát và vẽ bảng biến thiên của hàm số 4 2
y x= − x + Tập xác định D R=
Đạo hàm 4 3 4 ; 0 4 3 4 0 0
1
x
x
=
′= − ′= ⇔ − = ⇔ = ±
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy ( )1 có bốn nghiệm phân biệt ⇔ < <2 m 3
Câu 3: Cho hàm số y x= 4−2(m+1) x2+m2−3m−2 ( )C m Định m để đồ thị (Cm) cắt đường thẳng
2
y= − tại bốn điểm phân biệt
HD:Phương trình hoành độ giao điểm của (C và m) ( )d :
x − m+ x +m − m− = − ⇔ x − m+ x +m − m= Đặt t x t= 2( ≥0)
Khi đó phương trình trở thành: t2−2(m+1)t m+ 2−3m=0 2( )
x–∞0+∞y′–0+0–0+y+∞2
3+∞
Trang 3(C và m) ( )d có bốn giao điểm ⇔( )1 có bốn nghiệm phân biệt ⇔( )2 có hai nghiệm dương phân
biệt
2
1
5 1 0
0
3
m m
m
m
> −
+ >
∆ >
⇔ > ⇔ − > ⇔ < > ⇔
> + > > − >
Vậy
1
0 5
3
m m
− < <
>
thỏa mãn
Câu 4: Cho hàm số y x= 4−(3m+2) x2+3m C( ) Tìm m để đường thẳng ( ) :d y= −1 cắt đồ thị
( )C tại bốn điểm phân biệt có hoành độ đều nhỏ hơn 2.
HD:Phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và ( )d : y= −1 là
x − m+ x + m= − ⇔x − m+ x + m+ =
Đặt t=x t2( ≥0), ta có phương trình: 2 ( ) 1
3 1
t
=
− + + + = ⇔ = + khi đó:
2
2
1
x
=
Yêu cầu bài toán 0 3 1 4 1 1
m
m m
< + <
⇔ ⇔ − < <
+ ≠
− < < và m≠0thỏa mãn
Câu 5: Cho hàm số y x= 4−(3m+4)x2+m2 có đồ thị là ( )C Tìm m để đồ thị m ( )C cắt trục m
hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng.
HD:Phương trình hoành độ giao điểm: x4−(3m+4)x2+m2 =0 ( )1
Đặt t=x2 (t≥0), phương trình ( )1 trở thành: t2−(3m+4)t m+ 2 =0 ( )2
( )C cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt m ⇔ ( )1 có bốn nghiệm phân biệt
⇔ ( )2 có 2 nghiệm dương pb ⇔
2
2
0
P m
∆ = + + >
= >
= + >
⇔
4 4
5 0
4 3
m m
< − ∨ > −
≠
> −
⇔
4 5 0
m m
> −
≠
(*)
Khi đó phương trình ( )2 có hai nghiệm0 t< <1 t2 Suy ra phương trình ( )1 có bốn nghiệm phân biệt
là x1= − t2 <x2 = − t1 < =x3 t1 <x4 = t2
Bốn nghiệm x x x x lập thành cấp số cộng 1, , ,2 3 4 ⇔ x2− = − = −x1 x3 x2 x4 x3 ⇔ − t1+ t2 =2 t1
⇔ t2 =3 t1 ⇔ =t2 9t1 (3)
Theo Viet ta có: 1 2 2
1 2
3 4 (4) (5)
Từ ( )3 và ( )4 ta suy ra được 1
2
10 9(3 4) 10
m t
m t
+
=
=
( )6
Trang 4Thay ( )6 vào ( )5 ta được: 9 ( )2 2
12
12
19
m
m
=
+ =
⇔
Câu 6: Cho hàm số y x= 4−3x2−1( )C Đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng y= −2 tại
A 1 điểm duy nhất B 2 điểm duy nhất C 3 điểm duy nhất D 4 điểm duy nhất HD:Phương trình hoành độ giao điểm:
2
2
3 5
0,38 2
3 5
2,61 2
x
x
Khi đó, phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt Chọn D.
Câu 7: Cho hàm số 4 ( ) 2 ( )
y x= − m+ x + m C Giá trị của m để (C) cắt trục hoành tại 4 điểm
phân biệt đều có hoành độ lớn hơn -4 là:
A m<16;m≠9 B m≥4;m≠9 C 0< ≤m 16;m≠9 D 0< <m 16;m≠9
HD:Trục hoành là đường thẳng có phương trình y=0
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường: 4 ( ) 2 ( )
Đặt 2( )
0
t=x t> , phương trình ( ) 2 ( ) 9
1 t m 9 t 9m 0 t
t m
=
⇔ − + + = ⇔ = Với t= ⇒ = ±9 x 3
Yêu cầu bài toán 9
m m
≠
⇔ < <
Câu 8: Cho hàm số y mx= 4+(m+1)x2+1( )C Giá trị của m để (C) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt là:
A − ≤ <1 m 0 B − < <1 m 0 C m>1 hoặc m< −1 D m= ∅
HD:Phương trình hoành độ giao điểm của (C) với trục hoành:
2
2
1
x
x m
= −
Phương trình có tối đa 2 nghiệm ⇒ = ∅m Chọn D
Câu 9: Cho hàm số 4 ( ) 2 ( )
1
y x= − m− x −m C Giá trị của m để (C) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt có
hoành độ x x thỏa mãn 1; 2 x1 + x2 =4 là:
HD:Phương trình hoành độ giao điểm của (C) với trục hoành:
2
1
= −
(C) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt ⇔ − > ⇔ <m 0 m 0 Khi đó x= ± −m
Trang 5Câu 10: Cho hàm số 4 2 ( )
y x= −mx +m C Tìm m để (C) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt x x x x 1; ; ;2 3 4
thỏa mãn 4 4 4 4
x + + +x x x = là:
HD:Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox: x4−mx2+ =m 0 1( )
Đặt 2( )
0
t=x t> , phương trình ( ) 2 ( )
1 ⇔ −t mt m+ =0 2 (C) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt x x x x1; ; ;2 3 4 ⇔ phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt
Theo định lý vi-ét ta có: 1 2
1 2
+ =
Yêu cầu bài toán
3
5
m
m
= −
So sánh với điều kiện (*), ta được m=5 Chọn B
Câu 11: Cho hàm số y x= 4−2x2+m C( )m Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m sao cho ( )C cắt trục tung tại điểm M thỏa mãn m OM =5
HD:Gọi M =( )C ∩Oy⇒x M = ⇒0 y M =m
Theo đề bài ta có OM = ⇔5 y M = ⇔5 m = ⇔ = ±5 m 5 Chọn D
Câu 12: Cho hàm số y x= 4−2mx2 +1( )C m Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho ( )C cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ m x x x x thỏa mãn 1; ; ;2 3 4 2 2 2 2
x + + +x x x =
HD:Phương trình hoành độ giao điểm của ( )C với Ox là m 4 2
Đặt t=x2 ≥0, có t2−2mt+ =1 0 *( ) Yêu cầu bài toán ⇔( )* có hai nghiệm dương phân biệt
1
m
⇔ >
Gọi t t là hai nghiệm của phương trình (*) ta có 1, 2 1 2 ( )
1 2
2 0 1
t t
+ =
Theo giả thiết: − t2,− t1, t1, t2 là bốn nghiệm của phương trình ban đầu nên 2(t1+t2) =8
⇔ = ⇔ = là giá trị cần tim Chọn A
( )
2
1 2
0
∆ = − >
⇔ + = > ⇔ >
= >
Trang 6Câu 13: Đồ thị ( )C của hàm số m y x= 4−2mx2 +1cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành
độ x x x x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng Biết rằng giá trị m thỏa mãn điều kiện trên có 1, , ,2 3 4
dạng a
b với ,a b>0 và a
b là phân số tối giản Tính giá trị của biểu thức
P a= + b
HD:Phương trình hoành độ giao điểm của (C) với Ox: x4+ax2+ =b 0
Đặt t=x2 ≥0 Ta có t2+ + =at b 0 *( )
Gọi t t là hai nghiệm của phương trình (*), ta có 1, 2 1 2 ( )
1 2
0
t t b
+ = −
< <
Theo giả thiết: − t2,− t1, t1, t2 tạo thành một cấp số cộng nên ta có t2 =3 t1 ⇒ =t2 9t1
1
2
2
9 10
10
a t
a t
= −
= −
Áp dụng vào bài toán trên, ta có
3 3
a a
b b
=
− = ⇔ = ± = ⇒ = ⇒ = + = Chọn B
Câu 14: Cho hàm số y x= 4−(3m+2)x2+3m+1( )C m Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao ( )C cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 m
2
m≠ − < <m B 1 1
2 m 2
3
m≠ − < <m D 1 1
3 m
− < <
HD:Phương trình hoành độ giao điểm của ( )C với Ox là: m
2
1
3 1
x
=
Yêu cầu bài toán ⇔x2 =3m+1 có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2 và khác 1
Hay
0
3 1 1;3 1 0
1
3
m
≠
+ ≠ + >
+ < − < <
là giá trị cần tìm Chọn C.
Câu 15: Cho hàm số y= − +x4 5x2−4 có đồ thị là (C) Tìm m để đường thẳng y m= cắt đồ thị (C)
tại bốn điểm phân biệt theo thứ tự A, B, C, D thỏa mãn AB BC CD= =
2
4
4
2
m=
HD:PTHĐGĐ (C) và y m=
0
t=x ≥
Để (C) cắt y m= tại 4 điểm phân biệt thì PT (1) phải có 2 nghiệm t dương phân biệt.
Trang 7( ) 1 25 4 4( ) 0 9
4
4
m
m m
∆ = − + >
+ >
Khi đó, PT(1) có 2 nghiệm 1 5 9 4 , 2 5 9 4
t = + − t = − − với
t >t Tương ứng với hoành độ
của 4 điểm A, B, C, D lần lượt là: x A = − t1, xB = − t x2, C = t x2, D= t1
Vì A, B, C, D cùng nằm trên đường thẳng nằm ngang y m= nên: AB BC CD= =
B A C B D C
Câu 16: Cho hàm số
4
3
x
y= − x + có đồ thị là (C) Cho điểm A thuộc đồ thị (C) có hoành độ là
1 Tiếp tuyến của (C) tại A cắt đồ thị (C) tại điểm B Tính độ dài đoạn thẳng AB
HD:y' 2= x3−6x⇒ Phương trình tiếp tuyến tại A: y= − +4x 4 PTHĐGĐ tiếp tuyến và
x
= → =
Câu 17: Cho hàm số 4 ( ) 2
y x= − m− x + m− có đồ thị là ( )C Tính giá trị của m để đồ thị m
( )C cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt A, B, C, D thỏa mãn m x A <x B <x C <x D và tam giác MAC có diện tích bằng 2 với M( )5;1
HD:PTHĐGĐ ( )C với trục hoành: m
x − m− x + m− = −t m− t+ m− = với 2 ( )
0 *
t=x ≥
Để ( )C cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt thì PT(*) phải có 2 nghiệm t dương phân biệt m
3 9 0
m
∆ = − − − >
− >
Khi đó ( ) 1 2
2 2
*
⇔
1 2
Hoành độ của A, B, C, D lần lượt là: − t1,− t2, t2, t1 ⇒x A = − t x1, C = t2
,
M C A
d M Ox AC
Trang 8Câu 18: Cho hàm số 4 2 ( )
1 1
y x= −mx + Gọi m là giá trị để đường thẳng :d y=2x+1 cắt đồ thị hàm số (1) tại 4 điểm phân biệt Biết m≤5, số các số nguyên m cần tìm là :
3
0
2 0 *
x
=
Để (1) cắt d tại 4 điểm phân biệt thì (*) phải có 3 nghiệm phân biệt, dễ thấy x=0 không là nghiệm của (*) nên ta có: x2 2 m
x
− = Số nghiệm phân biệt của (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số
x
= − với đường thẳng y m= , ở đây ta cần có 3 giao điểm phân biệt.
2
x
lim , lim
x f x x f x
→+∞ = →−∞ = +∞ và lim0 ( ) ; lim0 ( )
x + f x x − f x
Dựa vào bảng biến thiên của f x( ) ⇒ >m 3 Mà m≤5 nên có 2 giá trị m nguyên thỏa Chọn B
(2 1) 2
y x= − m− x + m có đồ thị ( )C Giá trị m để đường thẳng( )d : y=2
cắt đồ thị ( )C tại bốn điểm phân biệt đều có hoành độ lớn hơn 3 là:
A
3 2 11 1
2
m
m
≠
< <
B
3 2
m m
≠
< <
C 1 11
2
m
< < D Kết quả khác
HD:Phương trình hoành độ giao điểm của ( )C và đường thẳng ( )d :
2
2
1
2 2 (1)
x
=
Đường thẳng ( )d cắt ( )C tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 3 khi và chỉ khi phương trình
(1) có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 3
3
1
2
m m
m
m
≠
− ≠
< − <
Vậy chọn
3 2 11 1
2
m m
≠
< <
4.BÀI TẬP VỀ NHÀ
Câu 1: Tìm m để đồ thị (Cm) của hàm số y=x4−2x2− +m 2017có 3 giao điểm với trục hoành
A m≤ 2017 B m≥ 2017 C 2015 ≤ ≤m 2016 D m= 2017
Trang 9Câu 2: Cho hàm số y=x4+ax2+b có đồ thị (C) Tìm điều kiện của a và b để (C) cắt trục hoành tại
1 điểm
A b=0, a>0 B b=0, a<0 C b= 0 ∧ ≤a 0 D Một kết quả khác Câu 3: Cho đồ thị ( )C m :y x= 4+2(m−2)x2+m2−5m+5 Tìm m để ( )C m cắt Ox tại 4 điểm phân biệt ?
A 1 < <m 2 B 1 5 5
2
−
< <m C 5 5
2
+
>
2
− < <m
IV RÚT KINH NGHIỆM, BỔ SUNG