có đáy ABC là tam giác vuông tại C , hai mặt phẳng SAB và SAC cùng vuông góc với đáy.. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SCvà SB.. Cho khối chóp S.ABCD có
Trang 1VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
CÁC VÍ DỤ MẪU THAM KHẢO (Phần video bài giảng hệ thống ví dụ khác nhé các em !)
Ví dụ 1: [Tham khảo] Cho khối chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C , hai mặt
phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy Gọi D và E lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SCvà SB Chứng minh rằng:
a) (SAC) (⊥ SBC)
b) (SAB) (⊥ ADE)
Lời giải:
a) Do ( ) ( )
SAB ABC
SA ABC SA BC SAC ABC
⊥
⊥
Lại có: AC⊥BCsuy ra BC⊥(SAC) (⇒ SAC) (⊥ SBC)
b) Do BC⊥(SAC)⇒BC ⊥AD , lại có AD⊥SC
do vậy AD⊥(SBC)⇒AD⊥SB , mặt khác SB⊥AE nên
suy ra SB⊥(ADE) do vậy (SAB) (⊥ ADE) (dpcm)
Ví dụ 2: [Tham khảo] Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O Hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt phẳng đáy (ABCD) là trọng tâm tam giác ABD Gọi E là hình chiếu của điểm
B trên cạnh SA Chứng minh rằng:
a) (SAC) (⊥ SBD)
b) (SAC) (⊥ BDE)
Lời giải
03 HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
Trang 2a) Do ABCD là hình vuông nên ta có: BD⊥ AC
Do H là trọng tâm tam giác ABD nên H thuộc đường
chéo AC khi đó BD⊥SH do vậy BD⊥(SAC)
Suy ra (SAC) (⊥ SBD)
b) Ta có: BD⊥(SAC)⇒SA⊥BD
Lại có BE⊥SA⇒SA⊥(BDE)
Do vậy (SAC) (⊥ BDE) (dpcm)
Ví dụ 3: [Tham khảo] Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cân tại C, gọi M là trung điểm của AB, hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng đáy (ABC) là trung điểm của CM và N là hình chiếu vuông góc của M trên A’C Chứng minh rằng:
a) (A ABB' ') (⊥ A MC' )
b) (A ACC' ') (⊥ A NB' )
Lời giải a) Ta có M là trung điểm của AB nên ta có:
CM ⊥ AB, lại có AB⊥A H' ⇒AB⊥(A MC' )
Do vậy (A ABB' ') (⊥ A MC' )
b) Do vậyAB⊥(A MC' )⇒ AB⊥ A C'
Lại có: A C' ⊥MN⇒A C' ⊥(ANB)
Do vậy (A ACC' ') (⊥ A NB' ) (dpcm)
Ví dụ 4: [Tham khảo] Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật, SAB là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với đáy
a) Chứng minh rằng (SAD) (⊥ SAB) (, SBC) (⊥ SAB)
b) Gọi I là trung điểm của SB Chứng minh rằng (ACI) (⊥ SBC)
c) Xác định J trên cạnh SA sao cho (BJD) (⊥ SAD)
Lời giải :
Trang 3a) Gọi H là trung điễm của AB⇒SH ⊥ AB
Ta có (SAB) (ABCD) ( )
SH ABCD
SH AB
⊥
⊥
Ta có AD AB AD (SAB)
AD SH
⊥
⊥
mà AD⊂(SAD) (⇒ SAD) (⊥ SAB)
Ta có BC AB BC (SAB)
BC SH
⊥
⊥
mà BC⊂(SBC) (⇒ SBC) (⊥ SAB)
b) SAB∆ đều⇒ AI ⊥SB ( )1
BC ⊥ SAB ⇒BC ⊥ AI
Từ ( ) ( )1 , 2 ⇒ AI ⊥(SBC)
mà AI ⊂(ACI) (⇒ ACI) (⊥ SBC)
c) Ta có AD⊥(SAB)⇒ AD⊥BJ
⇒ Để (BJD) (⊥ SAD) thì BJ ⊥SA⇒J là trung điễm của SA
Ví dụ 5: [Tham khảo] Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, BAC =600, 6
2
a
SA= và vuông góc với mặt phẳng đáy Chứng minh rằng:
a) (SDB) (⊥ SDC)
b) (SBC) (⊥ SAD)
Lời giải :
a) Gọi O là giao điễm của AC và BD
Kẻ OH ⊥SD AE, ⊥SD
BC SAD BC SD
BC SA
⊥
⊥
Mà SD⊥OH ⇒SD⊥(BHC)⇒ BH ⊥SD ( )1
Trong tam giác vuông SAD ta có
2
6 3
3 3 2
SAD
a a
S SA AD
SD SA AD a
a
a
OH AE BC BHC
( )2
Từ ( ) ( )1 , 2 ⇒BH ⊥(SCD) (⇒ SBD) (⊥ SCD)
b) Ta có BC AD BC (SAD) (SBC) (SAD)
BC SA
⊥
⊥
Ví dụ 6: [Tham khảo] Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang vuông
A= =D AB= AD= CD SA vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M là trung điểm của AB
Trang 4c) Gọi AD giao BC tại E Tìm K trên SE sao cho (AKC) (⊥ SEB)
Lời giải :
a) Ta có CM / /AD⇒CM ⊥ AB
Ta có : CM AB CM (SAB)
CM SA
⊥
⊥
Mà CM ⊂(SCM) (⇒ SCM) (⊥ SAB)
b) AMCD là hình vuông⇒ DM ⊥ AC
DM SAC
DM SA
⊥
⊥
Mà DM ⊂(SDM) (⇒ SDM) (⊥ SAC)
Ví dụ 7: [Tham khảo] Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SAC là tam giác đều
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC) Gọi I là trung điểm của SC
a) Chứng minh (SBC) ⊥ (SAC)
b) Chứng minh (ABI) ⊥ (SBC)
Lời giải:
a) Kẻ SH ⊥ AC⇒SH ⊥(ABC)⇒SH ⊥BC Kết hợp BC⊥AC⇒BC⊥(SAC) (⇒ SBC) (⊥ SAC) b) Theo câu a, BC⊥(SAC),AI∈(SAC)⇒BC⊥ AI
Tam giác SAC đều, AI là trung tuyến nên AI ⊥SC⇒AI ⊥(SBC) (⇒ ABI) (⊥ SBC)
Ví dụ 8: [Tham khảo] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Biết SA ⊥ (ABCD)
Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên BC và DC sao cho ; 3
MB DN Chứng minh rằng (SAM) ⊥
(SMN)
Lời giải:
Trang 5Ta có
5
5
a a
AM AB BM a
a a
AN AD DN a
a a a
MN MC NC
= + = + =
Dẫn đến AN2 =AM2+MN2 ⇒AM ⊥MN Mà SA⊥(ABCD)⇒SA⊥MN
Kết hợp thu được MN ⊥(SAM) (⇒ SMN) (⊥ SAM)
Ví dụ 9: [Tham khảo] Cho chóp S.ABCD có đáy là thang vuông tại A,D, có AB=2a, AD=DC=a,
(SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy, SA=a. Gọi E là trung điểm SA, M là điểm thuộc AD sao cho
AM =x (α) là mặt phẳng qua EM và vuông góc với (SAB)
a) Chứng minh SA⊥(ABCD)
b) Xác định (α)
Lời giải:
a) Ta có : (SAB) (∩ SAD)=SA
Mặt khác: ( ) ( )
SAB ABCD
SA ABCD SAD ABCD
⊥
⊥
b) Do AD AB AD (SAB)
AD SA
⊥
⊥
Điểm M thuộc AD do vậy MA⊥(SAB)
Khi đó: (EMA) (⊥ SAB)
Hay ( ) ( α ≡ EMA)
Trang 6Ví dụ 10: [Tham khảo] Cho chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh SA vuông góc với đáy (α)
là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC ( ) α ∩SC=I
a) Xác định K =SO∩( ) α
b) Chứng minh (SBD) (⊥ SAC)
c) Chứng minh BD ( ) α
d) Xác định giao tuyến d của (SBD) và ( ) α Tìm thiết diện chóp và ( ) α
Lời giải:
Dựng AI ⊥SC , AI cắt SO tại K, từ K kẻ đường thẳng
song song với BD cắt SB va SD lần lượt tại M và N
Ta có: MN/ /BD⇒MN ⊥AC
Mặt khác MN/ /BD⊥SA⇒MN ⊥(SAC)⇒MN⊥SC
Lại có: AI ⊥SC⇒(AMIN)⊥SC
a) Điểm K = AI∩SO
b) Do BD AC BD (SAC) (SAC) (SBD)
BD SA
⊥
⊥
c) Do BD/ /MN ⇒BD/ /( ) α
d) (SBD) ( )∩ α =MN và thiết diện là tứ giác AMIN.
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn