VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN Tính chất 1 [ĐVH]: Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác trong các góc ABC và ACB cắt nhai tại I.. Khi đó x
Trang 1VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Tính chất 1 [ĐVH]:
Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác trong các góc ABC và ACB cắt nhai tại I Tính số đo góc BIC
Lời giải :
Ta có : BIC=1800−IBC−ICB
Mặt khác
1
1 2
2
IBC ICB ABC ACB
=
=
Do đó 1.900 450
2
IBC+ICB= =
Suy ra BIC=1800−IBC−ICB=1350
180
2
BIC= − a
•••• Tính chất 2: [ĐVH1]
Cho tam giác ABC cân tại A, điểm D là trung điểm của cạnh AC Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao
cho 1
2
CE = BC Chứng minh rằng tam giác BDE là tam giác cân
Lời giải : Cách 1 : Gọi F là trung điểm của cạnh AB Khi đó FD là
đường trung bình trong tam giác cân ABC nên
1
2
FD= BC=CE
Ta có : ∆FCD= ∆ECD c g c( ) nên FC=DC ( )1
Lại có: ∆ABD= ∆ACF (c g c ) nên BD=CF ( )2
Từ (1) và (2) suy ra BD=DE
Vậy tam giác BDE cân tại D
Cách 2: Gọi H là trung điểm của BC ta có: AH là đường trung
tuyến đồng thời là đường cao trong tam giác cân ABC khi đó 1
2
HD= AC=DC⇒∆DHC cân tại D suy
ra DHC=DCH Khi đó : DHB =DCB
Lại có : 1
2
HB=CE = BC⇒∆DHB= ∆DCE⇒DB=DE
Vậy tam giác BDE cân tại D
Tính chất 3 [ĐVH]:
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trên các cạnh AB và AC lấy các điểm D và E sao cho AD= AE Qua
D vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt BC tại K Qua A, vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt BC tại H
a) Gọi M là giao điểm của KD và AC Chứng minh rằng tam giác ABM vuông cân
Tài liệu bài giảng (Khóa Toán 10)
CÁC TÍNH CHẤT HÌNH PHẲNG OXY (P3)
Thầy Đặng Việt Hùng – www.facebook.com/Lyhung95
Trang 2Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !
Lời giải:
Do vậy tam giác ABM vuông cân tại A
b) Mặt khác tam giác ABC vuông cân tại A nên
AM =AC Do vậy AM =AC hay M là trung điểm của
MC Khi đó xét tam giác KMC có A là trung điểm của
CM, đường thẳng AH / /MK nên AH là đường trung
bình của tam giác KMC do vậy HK =HC (dpcm)
Tính chất 4 [ĐVH]:
Cho tam giác ABC vuông tại B có phân giác trong AD với D thuộc cạnh BC Gọi E, F là 2 điểm lần lượt
thuộc các cạnh AB và AC sao cho AE=AF Đường thẳng EF cắt BC tại K Chứng minh rằng:
b) Tam giác DEF là tam giác cân
Lời giải:
a) Gọi I là giao điểm của AD và EF Do tam giác AEF cân tại A
có phân giác AI nên: AI là phân giác đồng thời là đường cao và
trung tuyến
Ta có: KE AD E
AB KD
⊥
⇒
⊥
là trực tâm tam giác AKD do đó
ta có: DE⊥AK
giác DEF cân tại D ( do có trung tuyến đồng thời là đường cao )
Tính chất 5 [ĐVH]:
Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A, trung tuyến BM và AN cắt nhau tại G Đường thẳng qua A vuông
góc với BM cắt BC tại E Chứng minh rằng tam giác GNE vuông cân tại N
Lời giải:
Do tam giác ABC vuông cân tại A nên AN ⊥BC ( đường trung tuyến
đồng thời là đường cao )
Lại có AE⊥BM ⇒G= AN∩BM là trực tâm tam giác ABE khi đó
⇒ ⇒ = = ⇒∆ vuông cân tại N
Tính chất 6 [ĐVH]:
Cho tam giác ABC có I là giao điểm của các tia phân giác BE và CF của tam giác ABC Điểm M là trung
điểm của BC và K là trung điểm của IB Biết 0
90
BIM = và BI =2IM
a) Chưng minh rằng tam giác IKM vuông cân
b) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A
Trang 3c) Vẽ IH ⊥ AC Chứng minh rằng BK =KI =IE từ đó suy ra BA=3IH
Lời giải:
1
2
IM =IK = BI do vậy IKM vuông cân tại I
Do vậy IBC+ICB=1800−1350 =450
Mặt khác 1( ) 0 0
2
IBC+ICB= B C+ = ⇒B C+ =
Vậy tam giác ABC vuông tại A
Xét ∆CIE= ∆CIM g c g( ) suy ra IE=IM ⇒IE=IK=KB=IM
Do IH/ /AB nên theo định lý Ta let ta có: 1 3
3
EI IH
AB IH
EB = AB = ⇒ =
Tính chất 7 [ĐVH]:
Cho tam giác cân ABC, gọi H là trung điểm của BC và E là hình chiếu của H trên AC Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng HE Chứng minh AO vuông góc với BE
Lời giải
Gọi K là trung điểm của EC Ta có : HK là đường trung bình của
△BEC nên HK // EB (1)
Trong △EHC ta cũng có OK là đường trung bình nên OK //
HC.(2)
Mà AH ⊥HC (giả thiết ) (3)
Từ (2) và (3) ta có OK ⊥AH (*)
Lại có HE⊥ AC (vì E là hình chiếu của H trên AC) (**)
Từ (*) , (**) suy ra O là trực tâm của △AHK ⇒AO⊥HK ( )4
Từ (1) và (4) suy ra AO⊥BE (điều phải chứng minh)
Chứng minh tương tự cho các bài sau:
Mở rộng 1: Cho tam giác đều ABC, gọi H là trung điểm của BC và E là hình chiếu của H trên AC Gọi O
là trung điểm của đoạn thẳng HE Chứng minh AO vuông góc với BE
Mở rộng 2: Cho tam giác vuông cân ABC tại A Gọi H là trung điểm của BC và E là hình chiếu của H trên AC Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng HE Chứng minh AO vuông góc với BE
Mở rộng 3: Cho tam giác vuông AHC có vuông tại H Đường cao HE Gọi O , K lần lượt là trung điểm của EH và EC Chứng minh AO vuông góc với HK
Tính chất 8 [ĐVH]:
Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH cắt phân giác trong BD tại K, đường thẳng qua K song song với AC cắt cạnh huyền BC tại E Chứng minh rằng:
a) BK vuông góc với AE
Trang 4Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !
Lời giải:
⊥
⊥
Do đó K là trực tâm tam giác ABE do vậy
BK ⊥ AE tại I
Khi đó I là trung điểm của cạnh AE ( phân giác đồng thời là đường cao
trong tam giác cân ABE)
ADK = − B BKH = − B⇒ADK =BKH
Khi đó:
=
do đó tam giác AKD cân tại A
Hay AK =AD Mặt khác AE⊥KD tại I trong tam giác cân KAD nên
AI là phân giác của góc KAD
Tính chất 9 [ĐVH]:
C tam giác ABC cân tại A , trên cạnh AB lấy điểm E và trên tia đối tia CA lấy điểm F sao cho BE=CF
Chứng minh rằng trung điểm của EF thuộc BC
Lời giải:
Gọi K là trung điểm của EF
Kẻ EN/ /AC (với N∈BC) dễ thấy EN / /CF
EN BE CF
nên tứ giác ENFC là
hình bình hành suy ra K là trung điểm của EF đồng thời là trung điểm của
CN
Tính chất 10 [ĐVH]:
Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn
(C) tâm I Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, D là
trung điểm AB, K là trọng tâm tam giác ADC
Khi đó ta có I là trực tâm của tam giác DKG
Lời giải:
………
………
………
………
Trang 5BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Câu 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh D(7; –3) và cạnh BC = 2AB Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC Tìm tọa độ đỉnh C biết phương trình MN là x + 3y – 16 = 0
Lời giải:
Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của D trên AC và
MN Gọi I =MN∩CD Ta có: DK: 3x− −y 24=0
Khi đó: 44 12;
5 5
Dễ thấy AMIC là hình bình hành do vậy CI =AM
DK = DI = ⇒= − 41 3;
5 5
Suy ra phương trình AC qua H và AC/ /MN là:
3 10 0
x+ y− =
( ) (2 )2
;
= ⇒
= ⇒
Vậy ( ) 32 6
10; 0 ; ;
5 5
là các điểm cần tìm
Câu 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại B có BC = 2AB Điểm M(2; -2) là trung
điểm của cạnh AC Gọi N là điểm trên cạnh BC sao cho BC = 4BN Điểm 4 8;
5 5
H
là giao điểm AN và
BM Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết N thuộc đường thẳng x + 2y – 6 = 0
Lời giải:
Gọi E là trung điểm của BC và F =AN∩ME
= = ⇒ = = ⇒= −
( )
0; 4
B
B
x
B y
= − −
− = − −
Gọi N(6 2 ;− t t)⇒E(12 4 ; 2− t t−4) Lại có: EM EB =0
(12 4 )(10 4 ) (2 8 2)( 2) 0 172 ( )4; 08 14
;
E t
=
Với E( )4; 0 ⇒C(8; 4− )⇒ A(−4; 0)
Trang 6Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !
Với 8 14; 16 8; 36; 28
E− C− A −
Câu 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC Gọi H là hình chiếu của A
lên đường thẳng BD E, F lần lượt là trung điểm đoạn CD và BH Biết A(1;1), phương trình đường thẳng
EF là 3x – y – 10 = 0 và điểm E có tung độ âm Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D
Lời giải:
Gọi K là trung điểm của AB khi đó AKED là hình
vuông, gọi I là tâm hình vuông
Khi đó KF/ /AH ⇒KF ⊥DF do vậy 5 điểm
A,K,F,E,D cùng thuộc đường tròn đường kính KD
Suy ra AF ⊥EF ⇒AF x: +3y− =4 0
;
⇒ ⇒ =
∆ ∼∆ ⇒ = =
= ⇒ −
− ⇒ = ⇔ − + − = ⇔
= ⇒
Khi đó: AE x: + − =y 2 0;I( )2; 0 ⇒KD x: − − =y 2 0 Gọi D d d( ; −2) ta có:
1 1; 1
D d
=
Vì D và F nằm khác phía so với AE nên ta có D(1; 1− )⇒C(5; 1 ;− ) ( )B 1;5
Vậy B( ) (1;5 ;C 5; 1 ;− ) (D 1; 1− )
Câu 4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD có đáy lớn CD và AB ( CD=3AB=3 10), tọa độ ( 3; 3)C − − , trung điểm của AD là M(3;1) Tìm tọa độ đỉnh B biết diện tích tam giác BCD bằng 18
và D có hoành độ nguyên dương
Lời giải:
Ta có: S BCD =S ACD =2S MCD ⇒S MCD =9
Lại có: MC: 2x−3y− =3 0 và MC=2 13 Gọi D a b( );
Khi đó: 1 ( ) 2 3 3
DCM
( )
2a 3b 3 9 1
⇔ − − = Mặt khác CD=3 10 do vậy:
( ) (2 )2 ( )
a+ + +b =
Từ (1) và (2) ta có: ( ) (2 )2
⇔
− − =
12; 6 6; 0
120 132 42 54
= − = − ∨ = =
= − = − ∨ = =
Trang 7
Vì D hoành độ nguyên dương nên D( )6; 0 ⇒A( )0; 2
9 3 0
3 3 2
B B
x
y
Vậy B(−3;1)
Câu 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại A và D, diện tích hình thang bằng 6;
CD = 2AB và B(0; 4) Biết điểm (3; 1), I − K(2; 2) lần lượt nằm trên đường thẳng AD và DC Viết phương trình đường thẳng AD biết AD không song song với các trục tọa độ
Lời giải
Đường thẳng AD qua I(3; 1− ) nên ta gọi đường
thẳng AD a x: ( − +3) (b y+ =1) 0
Đường thẳng CD qua K( )2; 2 và vuông góc với
AD nên CD b x: ( − −2) (a y−2)=0
Ta có AD d B CD( , ) 2a2 2b2
+
+
( , ) 3a2 5b2 2 3a2 5b2
1
2
ABCD
+
1 2 2 : 1 2 2 2 6 2 0
5 3 0 : 3 5 14 0
a b AD x y
Vậy có 4 đường thẳng AD thỏa mãn
Câu 6 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có x+ − =y 5 0 là phương trình đường chéo
AC Trên tia đối của tia CB lấy điểm M và trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho DN = BM Đường
thẳng song song với AN kẻ từ M và đường thẳng song song với AM kẻ từ N cắt nhau ở F(0; 3)− Xác định
tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết điểm M nằm trên trục hoành
Lời giải
Trang 8Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !
Ta có
,
⇒∆ = ∆
=
NAD MAB
⇒ = và AM = AN
Mà MAB+MAD =900 ⇒NAD+MAD =900
⇒ ⊥ ⇒ là hình vuông
Ta có NFM = NCM =900 ⇒ NCMF là tứ giác nội
45
Ta có FAM =FCM =450 ⇒FMCA nội tiếp
90
Đường thẳng FC qua F(0; 3− ) và vuông góc với
AC nên đường thẳng FC x: − − =y 3 0
Ta có C =FC∩AC⇒C( )4;1
Đường thẳng CM qua C( )4;1 nên ta gọi đường thẳng AC a x: ( − +4) (b y− =1) 0
2 2
0 1
0 2
2
b
=
Với a=0⇒CM :y− =1 0 (loại do M nằm trên trục hoành)
Với b=0⇒CM x: − =4 0 Ta có M =Ox∩CM ⇒M( )4; 0
Đường thẳng AM qua M( )4; 0 và vuông góc với MF nên đường thẳng AM : 4x+3y−16=0
Ta có A= AM ∩AC⇒ A( )1; 4 Gọi I là trung điểm của 5 5;
2 2
AC I
⇒
Đường thẳng BD qua 5 5;
2 2
I
và vuông góc với AC nên đường thẳng BD x: − =y 0
Ta có B=BD∩CM ⇒B( )4; 4 ⇒D( )1;1
Vậy A( ) ( ) ( ) ( )1; 4 ,B 4; 4 ,C 4;1 ,D 1;1
Câu 8 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( ) :C x2+y2 =2x , tam giác ABC vuông tai A có AC
là tiếp tuyến của (C) trong đó A là tiếp điểm, chân đường cao kẻ từ A là H(2; 0) Tìm tọa độ đỉnh B của
tam giác ABC biết B có tung độ dương và diện tích tam giác ABC bằng 2
3
Lời giải:
Trang 9Đường tròn ( )C tâm I( )0; 0 và bán kính R=1
Ta có AC là tiếp tuyến của ( )C nên AB đi qua I Mặt khác
( )
H∈ C nên IA=IH và tam giác ABH vuông tại H nên ( )C
là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH
Khi đó AB=2R=2.Lại có: 1 2 2
S = AB AC= ⇒AC =
Suy ra 4
3
BC= Lại có: 1 1
2
ABC
S = AH BC⇒AH =
Do vậy BH = AB2−AH2 = 3 Gọi B x y( ); ta có:
2 2
2 2
2 2
⇒ >
2 2
B
Câu 9 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A( 2; 0)− , C nằm trên đường thẳng có phương trình x+ − =y 3 0, đường thẳng MN, với M là trung điểm cạnh BC, N là điểm nằm trên cạnh AD sao cho AN = 2ND, có phương trình 7 x−5y− =6 0. Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D
Lời giải:
Gọi K =MN∩AC, ( ) 7 6
;3 ; ;
5
t
C u u K t −
Khi đó theo Đ/L Ta lét:
2
3
2
AD
BC
= = = ⇒= −
( )
4
6
; 0 3
7 7
K t
= − − =
Do vậy AC y: =0⇒ tâm của hình vuông là 1; 0 : 1
I BD x
Gọi 1; 7; 49 5 6 5 1 5; 1; 5
Vậy ( ) 1 5 1 5
3; 0 ; ; ; ;
2 2 2 2
Câu 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD biết điểm A có tung độ dương, đường thẳng
AB có phương trình 3 x+4y−18=0, điểm 21
; 1 4
−
thuộc cạnh BC, đường thẳng AM cắt đường thẳng
CD tại N thỏa mãn BM DN =25 Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD
Trang 10Tham gia khóa học TOÁN 10 tại MOON.VN: Tự tin hướng đến kì thi THPT Quốc gia !
Lời giải:
Ta có: BC: 4x−3y−24=0
Khi đó B=BC∩AB⇒B( )6; 0
Ta có: ∆ABM ∼∆NDA g( −g)
Suy ra AB BM AB2 BM DN
2
Gọi 18 3 2 ( )2 3 18 2 10 ( ( )10; 3) ( )
2
t
−
=
4
BM = BC= ⇒BC= BM⇒C − ⇒D − −
Vậy A( ) ( ) (2;3 ;B 6; 0 ;C 3; 4 ;− ) (D − −1; 1)
Câu 11 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có ( 2;1) B − và (8;1)C Đường tròn nội tiếp tam giác ABC có bán kinh r=3 5 5− Tìm tọa độ tâm I của đường tròn nội tiếp tam giác ABC,
biết tung độ điểm I là số dương
Lời giải:
Ta có phương trình :BC y: =1
Khi đó:d I BC( ; )= ⇔r y I − =1 3 5−5
Do y I >0⇒ y I =3 5−4⇒I t( ;3 5−4)
Lại có: 1( ) 0 0
2
IBC+ICB= B C+ = ⇒BIC=
2S IAB =IA IB sin135 =IH BC =10 3 5−5
cos135 sin135 10 5 3 5
IA IB=IA IB = −IA IB = −
2;5 3 5 ; 8 ;5 3 5 2 8 5 3 5 10 5 3 5
3 5
t
t
= −
= +
Vậy I(3− 5;3 5−4) hoặc I(3+ 5;3 5−4)
Câu 12 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong góc A là
3 0
x+ − =y Hình chiếu của tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC lên AC là E(1; 4) BC có hệ số góc
âm và tạo với đường thẳng AC góc 450 Đườg thẳng AB tiếp xúc với ( ) : (C x+2)2+y2 =5 Tìm phương trình các cạnh của tam giác ABC
Lời giải:
Trang 11Gọi K là điểm đối xứng của E qua AI
Ta có: EK x: − + =y 3 0⇒ trung điểm của EK
có toạ độ là: ( )0;3 ⇒K(−1; 2)
Do K∈( )C ⇒AB tiếp xúc với ( )C tại K
Đường tròn ( )C tâm J(−2; 0) Khi đó AB qua
K và vuông góc với JK
Do vậy: AB x: +2y− =3 0
Giả sử: ( ) ( ) ( 2 2 )
AC a x− +b y− = a +b > Ta có: cos(AC AI; )=cos(AB AI; )
2 2
3
10 2
a b
a b
+
Với 2a=b⇒nAC( )1; 2 / /AB loai( )
3 3
AC
Gọi BC y: = +kx l (k>0) Ta có: ( ) ( 2 ) ( )2
2
2
1 5
k
k
−
+ ( )
3
1
3
k
BC x y l
=
= −
Mặt khác d I AC( ; ) (=d I BC; )⇒
13
10 3
3 5 10
l
− +
=
10 2 3 13
l
= − + − +− + =
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn