Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC... Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác ABC, biết A không trùng với gốc tọa độ.. Lời giải: Gọi K là trung điểm của CD khi đó ABCD nội tiếp đường
Trang 1VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Ví dụ 1 [ĐVH]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có hai đường cao xuất phát từ B
và C cắt nhau tại điểm H( 1; 0)− , điểm A thuộc đường thẳng d: 3x+ − =y 3 0 Đường tròn đường kính
BC có phương trình ( ) (2 )2
x− + y+ = Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
Lời giải:
Gọi D là điểm đối xứng của A qua tâm I , M là trung điểm của BC
Dễ thấy HBDC là hình bình hành do: / /
/ /
⊥
⊥
Khi đó M cũng là trung điểm của HD hay IM là đường trung bình
của tam giác AHD ⇒AH =2IM.Lại có: M(2; 1 ;− ) MB=4
Gọi A t( ;3 3− t) ta có 2 5 ; 3 1
AH IM I + − +
Lại có: IA2 =IB2 =IM2+MB2
16
⇔ + = + +
Do đó: A(−1; 6 ;) (B 6; 1 ;− ) (C − −2; 1) hoặc A(−1; 6 ;) (B − −2; 1 ;) (C 6; 1− )
Ví dụ 2 [ĐVH]: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H(2; 2− ), phương trình cạnh BC
là y+ =5 0 Biết đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đi qua hai điểm M(7; 3 ,− ) (N 4; 8− ).Tìm tọa độ
điểm A,B,C của tam giác ABC
Lời giải:
Phương trình đường cao AH đi qua H(2; 2− ) và vuông góc
với BC là: x = 2
Gọi D là điểm đối xứng của A qua I , J là trung điểm của BC
Ta có: BH / /CD⊥AC, tương tự BH/ /CD do vậy BHCD là
hình bình hành khi đó IJ là đường trung bình của tam giác
AHD Gọi J t( ; 5− ∈) BC, A( )2;u
2
I
I
= −
( 3; 5)
, phương trình trung trực của MN
Tài liệu bài giảng (Khóa Toán 10)
CÁC TÍNH CHẤT HÌNH PHẲNG OXY (P4)
Thầy Đặng Việt Hùng – www.facebook.com/Lyhung95
Trang 2là: 3x+5y+ =11 0
2
u
= ⇔ − + = − +
⇔ 30 = 10 t + 5 u ⇔ + = 2 t u 6 2 ( )
Vậy A( ) (2; 0 ;B 7; 5 ;− ) (C − −1; 5) hoặc A( ) (2; 0 ;B − −1; 5 ;) (C 7; 5− )
Ví dụ 3 [ĐVH]: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tam giác ABC cân tại A và C(2; 3 − ) Biết 5; 2
−
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và 7 1;
3 3
là trọng tâm tam giác ACM, với M là trung điểm
của AB Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác ABC, biết A không trùng với gốc tọa độ.
Đ /s: A( )0;1 và B(4; 1 − )
Hướng dẫn giải:
- Gọi N là trung điểm AM, suy ra 1;1
2
- CM vuông góc KI nên CM x: − =2 0⇒M( )2;t →N A(0;1−t)
1
t
t
=
⊥ ⇒ =
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
đường cao AK của tam giác ABC đi qua điểm E( )2; 4 Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC biết trọng tâm tam giác ABC là 4 11;
3 3
và điểm A có tung độ dương
Lời giải:
Gọi H là trực tâm tam giác ABC
Theo tính chất Ơ-le ta có: HG=2GI ( các bạn có thể dựa vào hình
bên để chứng minh lại tính chất này )
Trong đó I( )1; 2 , 4 11;
3 3
2
2; 7
2
H
H
x
H y
−
− =
⇒
−
Do vậy phương trình đường thẳng AH x: =2
Ta có: A=AH∩( )C ⇒A( ) (2;5 do y A>0)
Khi đó gọi M là trung điểm của BC ta có: AM =3GM do vậy
( )
4
2 3
3
11
5 3
3
− = −
Trang 3Khi đó toạ độ B,C là nghiệm của hệ PT:
( ) (2 )2 ( ) ( ( ) ( ) )
2;3 ; 4;3
=
⇒
−
M− N
lần lượt là trung điểm của BD, BC Gọi I là giao điểm AC và
BD, J là giao điểm của AD và BC Tìm tọa độ các đỉnh A và B, biết đường thẳng IJ có phương trình là
3x− + =y 3 0
Lời giải:
Ta có: BE IE IA AB
DF = IF = IC =CD (định lý Talet)
Lại có : BE JB AB
CF = JC =CD (Ta let)
Do vậy CF =DF, tương tự ta cũng có EA=EB
Khi đó NE/ /AC⊥MN⇒NE: 3x+ − =y 6 0
1 9
2 2
2 2
∈
Do vậy CD x: −3y− =7 0⇒F(− −2; 3) Do NMFC là hình bình hành nên C(1; 2− )
Do đó AC: 3x+ − =y 1 0⇒A(−1; 4)⇒B( )2;5
Vậy A(−1; 4 ;) ( )B 2;5
là hình chiếu vuông góc của D lên đường chéo AC Đỉnh D( 1;1)− , và điểm 7 9
;
5 5
là trung điểm EC,
đỉnh B thuộc đường thẳng x− + =y 2 0 Tìm toa độ các đỉnh A, B, C
Lời giải:
Gọi K là trung điểm của CD khi đó ABCD nội tiếp đường
tròn đường kính AB và AK Do NK/ /DE⇒NK ⊥ AN do
vậy AKN nội tiếp đường tròn đường kính AK Do đó 5
điểm A,B,N,K,D thuộc đường tròn đường kính BD
Do vậy BDN∆ vuông tại N
Khi đó: BN: 3x+ − =y 6 0⇒B( )1;3
Lại có: AC∩BD=F 1 1
FB
FD = ⇒= −
1
1 7 2
2
− = − − −
Trang 4Khi đó 1 13 ( )
5 5
− + = ⇒ ⇒
Lại có: DC=2AB⇒A(−1;3)
thẳng AC là E(5; 0), trung điểm của AE và CD lần lượt là F(0; 2), 3 3
;
2 2
I −
Viết phương trình đường
thẳng CD
Lời giải:
Kẻ FK/ /AB/ /CD K( ∈BE) khi đó KF là đường trung bình của
tam giác AEB ta có: / / 1
2
KF = AB=CI nên KCIF là hình bình
hành
Dễ thấy FK BC CK/ /FI BF
⊥
⊥
Phương trình đường thẳng BF qua F và vuông góc với FI là
: 3 7 14 0
BF x− y+ = Lại có F là trung điểm của AE nên A(−5; 4)
Phương trình đường thẳng BE qua E và vuông góc với AC là:5x−2y−25=0⇒B=BE∩BF⇒B( )7;5
2
CD
B và vuông góc với đường chéo AC có phương trình 7 x− −y 14=0, đường thẳng đi qua đỉnh A và trung
điểm của cạnh BC có phương trình x+2y− =7 0 Tìm tọa độ điểm D của hình chữ nhật ABCD, biết điểm
A có hoành độ âm
Lời giải
Gọi H là hình chiếu của B trên AC , M là trung điểm
BC
Do M ∈ +x 2y− =7 0⇒M(7−2 ;t t)
(7 2 ; )
M − t t là trung điểm của BC⇒C(12−4 ; 2t t)
Đường thẳng AC qua C(12−4 ; 2t t) và vuông góc với
BH nên đường thẳng AC x: +7y−10t−12=0
Ta có A= AM ∩AC⇒ A(5−4 ; 2t t+1)
Do AB⊥ BC⇒ AB BC =0
Mà AB=(4t− − −3; 2t 1) , BC=(10−4 ; 2t t)
1; 4 , 6;3 2
= ⇒ −
Gọi I là trung điểm của 5 7;
2 2
, mà I là trung điểm của BD⇒D( )3; 7
Trang 5Vậy D( )3; 7
3
EC = , điểm 14 17;
3 3
thuộc đường thẳng BE Biết đường thẳng AC có phương
trình x - 5y + 3 =0 và các điểm A, B có hoành độ nguyên dương Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D của hình
chữ nhật
Lời giải
Ta có AC =AB+BC và BE=BC+CE
2
⇒ = ⇒ ⊥
3 3
và vuôn góc với AC
nên đường thẳng BE: 5x+ −y 29=0
Gọi H là giao điểm của BE với 71 22;
13 13
Do B∈BE: 5x+ −y 29=0⇒B t( ; 29−5t) Xét ABC∆ ta có 12 12 12 13 2 72
( )
2
;
⇒ − + − = ⇔ − + = ⇔
= ⇒
Do A∈AC x: −5y+ =3 0⇒ A(5a−3;a)
( )
;
= ⇒
Đường thẳng BC qua B( )5; 4 và vuông góc với AB nên đường thẳng BC x: + − =y 9 0
Gọi M là giao điểm của AC và 9 3;
2 2
, mà M là trung điểm của BD⇒D(4; 1− ) Vậy A( ) ( ) ( ) (2;1 ,B 5; 4 ,C 7; 2 ,D 4; 1− )
4x+3y− =7 0, đường phân giác trong góc A cắt cạnh BC tại D , cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
tại 13 7
;
2 4
M −
, đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD có tâm
63 8
;
22 11
Tìm tọa độ điểm B biết hoành
độ điểm B là số nguyên
Lời giải
Trang 6Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm 63; 8
22 11
−
và đi qua điểm 13; 7
−
nên đường tròn ngoại tiếp
ABC
∆ là
:
Do B∈4x+3y− =7 0⇒B(1 3 ;1 4+ t − t)
∈ ⇒ − + − = +
2
; 4
125
; 2
= ⇒ −
= − ⇒
Vậy 19; 4
4
−
hoặc
1
; 2 4
2
là trung điểm của cạnh AD
Đường thẳng EK có phương trình 19x – 8y – 18 = 0 với điểm E là trung điểm của cạnh AB, K thuộc cạnh
CD và KD = 3KC Tìm tọa độ đỉnh C của hình vuông ABCD biết điểm E có hoành độ nhỏ hơn 3
Lời giải
Giả sử AB=BC =CA= AD=4a
Ta có EF = AE2 + AF2 = 4a2 +4a2 =2a 2
EK = EH +HK = a +a =a
FK = FD +DK = a + a =a
cos
FEK
EF EK
2
nên ta gọi đường thẳng EF
2
Ta có ()
2 2 2 2
EF EK
−
2 2
34
5 17
−
+ =
Với 71a+97b=0 chọn 97, 71 : 97 71 641 0
2
Trang 7Ta có 1286; 8687
573 1146
Với 7a+ =b 0 chọn 1, 7 : 7 31 0
2
a = b= − ⇒EF x− y+ =
2
Gọi I là giao điểm của AC với EF ⇒ là trung điểm của I 15 11;
4 4
4 4
và vuông góc với EF nên đường thẳng AC: 7x+ −y 29=0
Do C∈AC: 7x+ −y 29=0⇒C t( ; 29−7t) , mà 3 5 1 ;7 6
3 3
Ta có
( )
= ⇒
Vậy C( )3;8 hoặc 9; 5
−
điểm F nằm trên đường thẳng BC Hình chiếu vuông góc của điêm D trên đường thẳng AF là điểm
14 3
;
5 5
Biết điểm
1
; 0 2
M−
là trung điểm của cạnh AD và đường thẳng BC có hệ số góc là một số
nguyên Tìm tọa độ của hình chữ nhật ABCD
Lời giải:
Ta có: MA=MD=MH ( tính chất trung tuyến trong tam giác
vuông ) Khi đó: AD=2MH =3 5
Lại có: S ABCD =AD AB =30⇒ AB=2 5
AB
n = a b a +b >
ta có: d M BC( ; )=AB=2 5
Trong đó: BC a x: ( − +3) (b y− =3) 0 2 2
2 2
7 3 2
+
31
loai
=
⇔
=
Với a=2b⇒BC: 2x+ − =y 9 0⇒AD: 2x+ + =y 1 0
Gọi A t( ; 2− −t 1) ta có: 2 1 2 ( )2 45 1
2
t
t
=
= + + + = ⇔ = − Với t=1⇒ A(1; 3 ;− ) (D −2;3)⇒AB x: −2y− =7 0⇒B=AB∩BC⇒B(5; 1− )
Khi đó: CD x: −2y+ =8 0⇒C( )2;5
Với t= −2 tương tự
2
EB= AB và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho DF =3AF Các đường thẳng CE, CF tương ứng có
Trang 8phương trình là 4x−3y−20=0 và 2x+11y− =10 0 Biết điểm M( 2; 4)− nằm trên đường thẳng AD, tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD
Lời giải:
Ta có: C=CE∩CF⇒C( )5; 0 Đặt AB=4a ta có:
2 2
DF = a CF = DF +CD = a Do vậy cos 3
5
DF DFC
CF
= =
AD
n = a b a +b >
ta có:
cos ;
5 5 5
AD CF
+
+
2
41
a
=
=
2
AD
Khi đó: CD x: −2y− =5 0⇒D(1; 2− ) Lại có DF=3AF ⇒A(−1; 2)⇒I( )2;1 ⇒B( )3; 4
41
a= − b
các bạn từ làm nhé ( tương tự ☺))
điểm của cạnh AB, đường thẳng CM cắt đường tròn (C) tại (0; 2) E Biết 10 1;
3 3
là trọng tâm của tam
giác ABC, điểm F(2; 4)− nằm trên đường tròn (C) và đểm B có hoành độ dương Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD
Lời giải:
Gọi I là tâm của hình chữ nhật và cũng là tâm đường tròn ( )C Khi
đó điểm I thuộc trung trực của EF hay I thuộc : d x−3y− =4 0
Do đó I(3a+4;a).Lại có: BG=2GI⇒B(2 6 ;1 2− a − a)
2
3 8
1 2
a
a
=
B
> ⇒ ⇒ −
Khi đó M thuộc GE có PT: GE x: +2y− =4 0⇒M(4 2 ;− t t)
= ⇒
= ⇔ − + + + − = ⇔ − − = ⇔ −
Do M nằm giữa G và E nên ta có: M( )2;1
Từ đó suy ra A(−1;3 ;) (D 0; 3 ;− ) (C 6; 4− )
Trang 9Câu 12 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm I và bán kinh R= 10, gọi M là một
điểm trên đường thẳng : 2d x− − =y 6 0 sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến MA, MB đến (C) (A, B là hai tiếp điểm) Biết rằng phương trình đường AB là x− =y 0 và khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d
bằng 2 5 Viết phương trình đường tròn (C)
Lời giải:
+) Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên d , IH cắt
AB tại K, IM cắt AB tại E
Ta có IH =2 2, Mặt khác
( có thể chứng minh IE IM =IK IH (phương tích) vì tứ
giác EMHK là tứ giác nội tiếp)
2 5
do đó K là trung điểm của IH
5
t
( )
6 5
t
⇔ − = ⇒
= ⇒
trung điểm của cạnh BC Đường cao kẻ từ B của tam giác ABC đi qua điểm E( )1;1 Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C biết D( )6; 2 và điểm C thuộc đường thẳng x−2y− =1 0
Lời giải
Gọi H là trực tâm tam giác ABC ta có: CH/ /BD⊥AB và
/ /
BH CD do vậy BHCD là hình bình hành suy ra M là trung điểm
của BC đồng thời là trung điểm của HD
Khi đó H( )4; 4 suy ra PT đường cao BH là: x− =y 0
Gọi C(2u+1;u) ( );B v v; ta có: 2 1 10 3
6
u v
+ + =
⇔ = =
+ =
Do vậy C( ) ( )7;3 ;B 3;3
Khi đó AH x: =4;AC x: + − =y 10 0⇒ A( )4; 6
Vậy A( ) ( ) ( )4; 6 ;B 3;3 ;C 7;3