nguyên ham,tích phân hàm lượng giác 4

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC I... Cách làm: biến đổi tích sang tổng.. Sau đó dùng đồng nhất thức... Tính các tích phân sau a... Tính các tích phân sau a... Tính các tích p

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC

I KIẾN THỨC

Công thức cơ bản

tên hàm số Công thức đạo hàm Đạo hàm của hàm số hợp

Các hàm số

thường gặp

 C =0 (C là hằng số) 

  x =1 (kx)’=k (k là hằng số )

 n 

x =n.xn-1 (nN, n2)  n

u 

=n.un-1.u/

2



   

 

  (x0)



 

 

 

 

/ 2

u u (u 0) 

 )

( x =

x

2

1

 u/ u

2 u (u 0) 

Hàm số

lượng giác

/

/

2

2

1

1 tan cos

1

sin

x

x



 

    

2

2

sin cos

1

cos 1

sin

u

u



 



 

Hàm lũy

thừa

(xα)/= α x α -1 (uα)/= α u α -1u/

Hàm số mũ (ex )’ = ex

(ax)’ = ax

lna

( eu)’ = u’ eu

( au)’ = u’ au

.lna

Hàm logarít

(lnx )’ = 1

x (x>0)

(ln /x/ )’ = 1

x (x≠0)

( loga x)’ = 1

ln

x a (x>0, 0<a1)

(loga x )’ = 1

ln

x a (x>0, 0<a1)

( lnu)’ = u'

u (u>0)

( ln /u/ )’ = u'

u (u≠0)

( loga u)’ = '

ln

u

u a(u>0, 0<a≠0)

( loga u )’ = '

ln

u

u a(u>0, 0<a≠0)

3 Bảng nguyên hàm các hàm số đơn giản

u là hàm số theo biến x, tức là uu x( )

*Trường hợp đặc biệt u  ax b a  ,  0

*Nguyên hàm của các hàm số đơn giản

dx x C

k dxk x C

 , k là hằng số k du k u C 

1 1

x





















1

ax b

a















1

ln

dx x C

(ax b)dx a ax b C





2dx x C

x

  

u u

dx  C



1

2

dx x C

a





*Nguyên hàm của hàm số mũ

C

e dxe 

a



C

e dx e 

, 0 1

ln C a

x

a

x

a dx

a  



u a u

a du

a



m

mx n a

mx n



*Nguyên hàm của hàm số lượng giác

cos x dxsinxC

cos(ax b dx) sin(ax b) C

a



sin x dx cosx C

sin(ax b dx) cos(ax b) C

a



1

tan 2

cos

x

2 cos u

du u C

2 cos ( )

a

ax b





1

cot 2

sin

x

2 sin

u

2 sin ( )

a

ax b





Một số ví dụ trong trường hợp đặc biệt

*Trường hợp đặc biệt u  ax b  Ví dụ

1 cos sin

k

kx dx kx C

2

1 cos 2 x dx sin 2x C k



1 sin cos

k

kx dx  kx C

 sin 2 x dx 12cos 2x C

1

C k

e dx e 

1

1 ( )

1

ax b

a















2 1

.(

1 (2 1) (2x 1) dx x C 2x 1) C











ln (ax b)dxa ax b C



3x 1dx x C





.2

a



3x 5du x C  x C





1

ax b ax b

a

1

m

mx n a

mx n

2

2 1 1

2 1

ln 5

x

x dx  C



1 cos(ax b dx) sin(ax b) C

a

 cos(2x1)dx21sin(2x 1) C

1 sin(ax b dx) cos(ax b) C

a

 sin(3x1)dx 13cos(3x 1) C

tan( ) 2

cos ( )

a

ax b



2 cos (2 1)

x





cot( ) 2

sin ( )

a

ax b



2 sin (3 1)

x





Chú ý:

sin ax+b dx cos ax+b

a









 

sin ax+b

ln os ax+b

os ax+b dx c

c









 



os ax+b sin ax+b

a











os ax+b

ln sin ax+b sin ax+b

c

dx













Dạng 1 : 





nxdx mx

Cách làm: biến đổi tích sang tổng

Dạng 2 : 



dx x x

I sinm cosn

Cách làm :

Nếu m, n chẵn Đặt ttanx

Nếu m chẵn n lẻ Đặt tsinx (trường hợp còn lại thì ngược lại)

 a x b x c

dx I

cos sin

Cách làm :

Đặt :



























2 2 2

1

1 cos

1

2 sin

2 tan

t

t x t

t x x

Dạng 4 :  



dx x d x c

x b x a

cos sin

cos sin

Cách làm :

Đặt :

x d x c

x d x c B A x d x c

x b x a

cos sin

) sin cos ( cos

sin

cos sin













Sau đó dùng đồng nhất thức

Dạng 5:   



dx n x d x c

m x b x a

cos sin

cos sin

Cách làm :

Đặt :

n x d x c

C n

x d x c

x d x c B A n x d x

c

m x b x

a

























cos sin cos

sin

) sin cos ( cos

sin

cos sin

Sau đó dùng đồng nhất thức

Ví dụ 1 Tính các tích phân sau :

a ĐH, CĐ Khối A – 2005 2  

0 1 3cos

sin 2 sin



dx x

x x

I

b ĐH, CĐ Khối B – 2005 dx

x

x x

I2 

cos 2 sin



a 2 2   

2 cos 1 s inx sin 2 sin

1

x





Đặt :

2

osx= ;s

1 3cos

2





Khi đó :

2

3

1

2

2

1

t

t

t

   

Đặt :

 2

dt=-sinxdx, x=0 t=2;x= 1

2

1 osx

t

t







Do đó :

1 2

2

2

1 2

t



Ví dụ 2 Tính các tích phân sau

a ĐH- CĐ Khối A – 2006

2

0

sin 2x

cos x 4sin x







3

b CĐ Bến Tre – 2005 2 

3 cos



dx x

x

a

2

0

sin 2x

cos x 4sin x







 Đặt : t cos2x4sin2 x t2 cos2x4sin2x

2 2sin cos 8sin cos 3sin 2 sin 2

3

2







Vậy :

2

2

( )

1

tdt

t



b 2 

3

cos



dx x

x

os3x=4cos 3cos 4cos 3 osx= 4-4sin 3 osx= 1-4sin osx

1 4sin os3x

1+sinx 1 s inx

x c



dt=cosxdx,x=0 t=1;x= 2

2

1 s inx

t t

t









2

2 3

1

t



Ví dụ 3 Tính các tích phân sau

a CĐ Sư Phạm Hải Dương – 2006

2

3 0

cos2x

sin x cosx 3





32

b CĐ KTKT Đông Du – 2006

4 0

cos2x

1 2sin 2x







4

a

2

3 0

cos2x

sin x cosx 3





cos 2xcos xsin x cosx+sinx cosx-sinx

Cho nên :

osx-sinx os2x

sinx-cosx+3 sinx-cosx+3

c c

Đặt :

2

s inx-cosx+3

t

t







Vậy :

4 2

4

2



b

4

0

cos2x

1 2sin 2x







1

4 cos 2 os2xdx=

4

1 2sin 2

4





Vậy :





3

Ví dụ 4.Tính tích phân :

a) 2 

0

4 1

) 1 (sin

cos



x

xdx

0

5



xdx

0

6



xdx I

Bài làm :

a) Đặt : tsinx1  dtcosxdx

Đổi cận :





















2 2

1 0

t x

t x



Vậy :

24

7 3

1 )

1 (sin

1 3 2

1 4 2

0

4



 x xdx t dt t

I



b) Đặt : tsinx  dtcosxdx

Đổi cận :





















1 2

0 0

t x

t x



Vậy :

15

8 3

2 5

2 1

1 cos

1

0

1

0 3 5

1

0

1

0

2 4 2

2 2

0

5 2





































t t t

dt t t dt

t xdx

I



c) Đặt : ttanx  dt(tan2x1)dx

Đổi cận :





















1 4

0 0

t x

t x



Vậy :

4 15

13 3

5

1

1 1 1

tan

4

0 1

0

3 5

1

0

1

0

2 2

4 2

6 4

0

6 3































































du t

t t

dt t

t t t

dt t xdx I

Ví dụ 5.Tính các tích phân sau :

0

1

5 cos 3 sin

4

1



dx x x

0 2

5 cos 3 sin 4

6 cos 7 sin



dx x x

x x

I

Bài làm :

a) Đặt :

1

2 1

2

tan 2























t

dt dx

dx

x dt

x t

Đổi cận :





















1 2

0 0

t x

t x



6

1 2 1

1 5

1

1 3 1

2 4

1 2

1

0

1

0

2 1

0

2 2 2

2 1

























t

t

dt dt

t

t t

t

t I

b)Đặt :

5 cos 3 sin 4 5 cos 3 sin 4

sin 3 cos 4 5

cos 3 sin

4

6 cos 7 sin

























x x

C x

x

x x

B A x

x

x x

Dùng đồng nhất thức ta được: A1, B1, C1

Vậy :

6

1 8

9 ln 2 5

cos 3 sin 4 ln

5 cos 3 sin 4

1 5

cos 3 sin 4

sin 3 cos 4 1 5

cos 3 sin 4

6 cos 7 sin

1 2 0

2

0 2

0

2





























































I x

x x

dx x

x x

x

x x

dx x x

x x

I

Ví dụ 6 Tính các tích phân sau

a I =

2

3

sin x sin x

cot gx dx sin x







2

4



 

 

 

c I =

2

4 0

sin x dx



 d I = cos 2 x ( si n4x cos4x ) dx

2

0







giải:

a I =

3

1

s inx 1

3

2

1

1 cot xdx cot x cot xdx

sin x

cosx-sinx

cosx+sinx

4



2

2

cosx+sinx

2















c I =

2

4

2

0

0









d I = cos 2 x ( si n4x cos4x ) dx

2

0







sin os 1 sin 2

2

Cho nên :

1 sin 2 os2xdx= os2xdx- sin 2 cos 2 sin 2 2 sin 2 2 0

Ví dụ 7 Tính các tích phân sau

a

3

4

4

tan xdx





 (Y-HN-2000) b

4

0

os2x sinx+cosx+2

c

dx



6 2 4 4

os sin

dx x





d

2 4 6 0

sin os

x dx



 ( GTVT-2000) e

2

2 0

sin 2

4 os

x dx





2 4

0

1 2sin

1 sin 2

x dx x







Giải

a

3

4

4

tan xdx



2 4

4

1 os

x



4

dx





3

4

x





* Chú ý : Ta còn có cách phân tích khác :

3

4





b

4

0

os2x

sinx+cosx+2

c

dx



Ta có :

os sin osx-sinx osx+sinx os2x

( )

sinx+cosx+9 sinx+cosx+9 sinx+cosx+9

c

3

osx+sinx

sinx+cosx+2

c

Đặt :

cosx+sinx=t-2.x=0 t=3;x= 2 2,

4

s inx+cosx+2

t t

t







Vậy :

2 2

3

2





               





sinsin ost+9ost  sin ost   sinsin ost+9ost   os sin t ( )

c

6

2

4

4

os

sin

dx

x









2

1 sin

x

2

1 os2x



3

4







2

1 tan

           

2

2

7 os2x

ln 7 os2x 2 ln

1 os2x

2

c

1 sin 2

ln 1 sin 2 4 ln 2

0

Ví dụ 8 Tính các tích phân sau :

a

2

0

sin xcos xdx



2

0

sin 3

1 2 os3x

x dx c







c

5



Giải

sin xcos xdx 1 cos x cos s inxdxx cos x cos x d cosx

0



1 2 cos 3

ln 1 2 cos 3 2 ln 3

0



c Ta có :

sin

s inx+ osx

3

c

x c





Do :

2

tan

2 6

x d



   

  

Vậy :

6

0

tan

2 6

2 6

x d

x I

x







   

sin 3 os sin 3 os sin 3 os

3

s inx+ 3 osx s inx+ 3 osx



0

3 s inx- 3 osx osx- 3 s inx 6 1 3

0

I

I J



ln 3

sint+ 3 ost

os t+3 3 sin t+3

c c





III MỘT SỐ CHÚ Ý QUAN TRỌNG Trong phương pháp đổi biến số dạng 2

* Sử dụng công thức :

f x dx f bx dx

Chứng minh :

 Đặt : b-x=t , suy ra x=b-t và dx=-dt , 0

0

  



    



 Do đó :

0

b

f x dx f b t dt  f b t dt  f bx dx

vào biến số

Ví dụ : Tính các tích phân sau

a/

2

3 0

4sin

s inx+cosx

xdx



2

3 0

5cos 4sin

s inx+cosx

dx







0

log 1 t anx dx





6 2

0

sin sin os

x dx







e/ 1  

0

m

x x dx

4 2

0

sin cos sin os

dx







giải: a/

2

3 0

4sin

s inx+cosx

xdx I



 (1) Đặt :

 

4sin

4 cos 2

cost+sint

t

t







       

 Nhưng tích phân không phụ thuộc vào biến số , cho nên :

3 0

2

4 osx

sinx+cosx

c





Lấy (1) +(2) vế với vế ta có :  

2

2 0

1

4

4

x



b/

2

3 0

5cos 4sin

s inx+cosx





 Tương tự như ví dụ a/ ta có kết quả sau :

       

0

2

2

c



Vậy :

2

2

4

x



0

log 1 t anx dx





( ) log 1 t anx log 1 tan

4







t



Vậy :

2

4

0

 





d/

6 2

0

sin

x







 

6

2

sin

os 2

os sin

t









Cộng (1) và (2) ta có :

os sin

0





e/ 1  

0

m

x x dx

 Đặt : t=1-x suy ra x=1-t Khi x=0,t=1;x=1,t=0; dt=-dx

1 m n( ) n(1 )m n(1 )m

I  t t dt t t dtx x dx

Ví dụ Tính các tích phân sau :

a

2

0

s inx-cosx+1

s inx+2cosx+3dx



4

0

osx+2sinx

4 cos 3sin

c

dx





c

2

0

s inx+7cosx+6

4sinx 3cosx 5dx



0

4 cos x 3sin x 1

dx

4 sin x 3cos x 5





Giải

a

2

0

s inx-cosx+1

s inx+2cosx+3dx



s inx+2cosx+3 s inx+2cosx+3 s inx+2cosx+3

Quy đồng mẫu số và đồng nhất hệ số hai tử số :

1 5

4 5

A

A C

C

  



Thay vào (1)

s inx+2cosx+3

ln s inx+2cosx+3 2

0

d

 

 

 

3 4 4

10 5 5 5

I     J

- Tính tích phân J :

Đặt :

2

1

2 0

1

os

2 2

tan

( )

dx

x c

f x dx











Tính (3) : Đặt :

2

2 2

2

( )

os

du













Vậy : 2    

1

u

2

2 tan

u

u

u





0

3cos 4sin







Giống như phàn a Ta có : 2; 1

A B  ;C=0

0

3cos 4sin

0







Bài tập tự luyện:

dx x x

x



 2

6

4 5

) sin 4 3

(

sin

cos









 8

0

4 4

6

cos sin

4 sin 5 8 sin 3

dx x x

x x







 4

0 7

2 cos 1

2 sin 3 3

dx x

x I

dx x

x







 6

3

1

) 4 (

cos

2 cos

dx x

x

x



 2

6

2

) 4 sin(

sin

cot

dx x x

x

x



 2

4

3 3

2 3

) cos (sin

sin

cos







 3

4

3 4

sin cos x x dx I











 2

0

8

2 sin 3 2 cos

2

) 3

cos(

dx x x

x

x

x





 2

0

3 9

cos 1

sin 4







 2

6

2 10

3 sin

sin

dx x

x













 4

0

11

1 cos sin

2 sin

) 4

sin(

dx x x

x

x I







 2

4

12

2 sin

5

cos sin

dx x

x x







 2

0 13

3 2 cos sin

4

2 sin

dx x x

x







 4

0 14

) 4 sin(

cosx x

dx





 4

0

2 15

) cos 3 sin 2

dx







 6

0

16

) cos (sin

dx I







 3

4

17

cos sin x x

dx





 4

0 27

cos ) sin cos 4 (

tan

dx x x x

x I







 4

0

3 3

2 18

) cos 3 sin 2

(

cos

sin

dx x x

x

x

I 











 2

0

2 28

cos sin

5 7

) 2

3 sin(

dx x x

x I







 2

0

3 19

) cos (sin

sin

dx x x

x

I 











 4

0 29

) 4 sin(

2 2 sin 1

2 cos

dx x

x

x I





 4

8

6 6

20

cos

dx

I 



 3

4

2

3 30

cos 1 cos

tan

dx x x

x I





12

16

21

8 cot 4

tan

6 cos 2

cos

dx x x

x x

I 





 4

0

6 6

31

cos sin

4 sin

dx x x

x I









 2

0

22

cos 3

1

sin 2

sin

dx x

x x

I 





 2

0

2

3 32

cos 1

sin

dx x

x I







 2

0

23

cos

1

cos

2

sin

dx x

x x

I 







 4

0

3 33

) 2 cos (sin

2 cos

dx x

x

x I







 2sin2x 2cosx dx

I 



 6 tan4 x dx I





 3

25

sin 3 cos

sin

dx x x

x

I 









 2

35

) 4 ( sin

cos 3 sin 5

dx x

x x

I







 4

0

2 26

) cos sin

2

dx

I 





 2

36

sin 4 cos

2 sin

dx x x

x I







 4

4

2 4

2 37

) 5 tan 2 (tan cos

sin

dx x

x x

x I







 3

6

6 46

cos sinx x

dx I











0

2 38

2 ) 4 sin(

2 cos 2

1

dx x

x I









 6

0

3 47

2 sin 3 6 sin 4 sin 3

sin

dx x x

x

x I









 8

3

8

2

39

2 2 cos 2

sin

) 8 ( cos

dx x

x

x I









 2

6

48

cos sin

2 cos 2 sin 1

dx x x

x x

I













 2

0

2 40

cos sin

5

7

) 2

3 sin(

dx x x

x I







 2

0

2

3 49

cos 1

cos sin

dx x

x x I









 2

3

3

sin

sin sin

xdx x

x x I









 2

2 6 2 50

cos

sin

dx x

x I





 6

0

3

42

2

cos

tan

dx x

x

I







 3

0

43

2 cot tan

4 sin 3

sin

dx x x

x x

I







 2

0

5

44

sin

1

cos

dx x x

I



 2

3

2 3

45

1 sin cos

2 sin

dx x x

x I

Một số bài tích phân trong các đề thi

1

2

3 3

sin s inx cot

sin

dx x







2

0

3 os 4sin 3sin 4 cos

dx









0

os sin





2

2 6

1 sin 2 sin sin

dx x









5

4

0

s inx-cosx

1 sin 2x dx





2

4

2

15sin 3 cos 3x xdx







0

s inxcosx

, 0

dx a b







3 6 0

tan xdx





9 3  

2

6

ln s inx

os dx



0

2

os4x.cos2x.sin2xdx

c





11

4

6

0

tan

os2x

x

dx

c



4

0

sin

4 sin 2 2 1 s inx+cosx

x

dx x

13 2 

0

os 1 os





0

sin osx

dx





15

3

2

0

1 sin

os

dx





2

0

sin 2

os 4sin

x

dx





17

2

3

2 0

sin

sin 2 cos

dx



2004 2

0

sin

x dx





19

3 6

0

sin 3 sin

1 os3x

dx c







3

s inxsin x+

dx

