Tính ổn định của các G-khung

Gan đây có m®t so các khái ni¾m tong quát hóa khái ni¾m khungđưoc đưa ra, ví du như các khung cna các không gian con [1], [2]Frames of subspaces, các khung nghiêng [4] Oblique frames, cá

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

NGUYEN NGOC MAI

TÍNH ON бNH CÚA CÁC G-KHUNG

Chuyên ngành : Toán giái tích

Mã so : 60 46 01 02

LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC

Ngưài hưáng dan khoa hoc:

TS NGUYEN QUỲNH NGA

Lài cám ơn

Tôi xin đưoc bày tó lòng biet ơn chân thành tói cô giáo TS NguyenQuỳnh Nga đã t¾n tâm truyen thu kien thúc và hưóng dan tôi hoànthành lu¾n văn này

Tôi cũng xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói Phòng Sau đai hoc,các thay cô giáo giáng day chuyên ngành Toán giái tích, trưòng Đai hoc

Sư pham Hà N®i 2 đã giúp đõ tôi trong suot quá trình hoc t¾p taitrưòng

Hà N®i, tháng 11 năm 2016

Tác giá

Nguyen Ngoc Mai

Lài cam đoan

Tôi xin cam đoan lu¾n văn là công trình nghiên cúu cna riêng tôi dưói

sn chí báo và hưóng dan cna TS Nguyen Quỳnh Nga

Trong quá trình nghiên cúu và hoàn thành lu¾n văn, tôi đã ke thùanhung ket quá cna các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn

Hà N®i, tháng 11 năm 2016

Tác giá

Nguyen Ngoc Mai

Mnc lnc

Má

đau 1

1 Kien thNc chuan b% 3 1.1 Toán tú tuyen tính b% ch¾n trên không gian Hilbert 3

1.2 Khung trong không gian Hilbert 6

1.3 G-khu ng trong không gian Hilbert 15

2 Tính on đ%nh cúa các g-khung 32 2.1 Tính on đ%nh cna các khung 32

2.2 Tính on đ%nh cna các g-khung 45

2.3 Tính on đ%nh cna các khung đoi ngau 51

2.4 Tính on đ%nh cna các g-khung đoi ngau 54

Ket lu¾n 57

Tài li¾u tham kháo 58

Má đau

1 Lí do chon đe tài

Khung đưoc R J Duffin và A C Schaeffer [6] đưa ra vào năm 1952.Tuy nhiên phái đen năm 1986, sau bài báo [5] cna I Daubechies, A.Grossmann và Y Meyer thì khung mói đưoc các nhà khoa hoc quantâm r®ng rãi Khung đưoc sú dung nhieu trong lĩnh vnc xú lý tín hi¾u,

xú lý hình ánh, nén du li¾u, lý thuyet mau, lý thuyet m¾t mã, lý thuyetlưong tú

Gan đây có m®t so các khái ni¾m tong quát hóa khái ni¾m khungđưoc đưa ra, ví du như các khung cna các không gian con [1], [2](Frames of subspaces), các khung nghiêng [4] (Oblique frames), cácgiá khung [9] (Pseudoframes) Tat cá các khái ni¾m này đeu đã đưocchúng minh là huu ích trong nhieu úng dung và có the xem như cáctrưòng hop đ¾c bi¾t cna g-khung, m®t khái ni¾m đưoc đưa ra bói W.Sun [10] năm 2006 Nhieu tính chat cơ bán cna khung van còn đúngcho g-khung

Tính on đ%nh cna các khung có ý nghĩa quan trong trong úng dung, do

đó đã đưoc nghiên cúu r®ng rãi bói nhieu tác giá Gan đây, W Sun [11]

và Y Zhu [12] cũng đã nghiên cúu tính on đ%nh cna các g-khung trongkhông gian Hilbert

Vói mong muon hieu biet sâu sac hơn ve các g-khung và tính on đ%nhcna chúng, nhò sn giúp đõ, hưóng dan t¾n tình cna cô giáo, TS Nguyen

1

Quỳnh Nga, tôi đã manh dan chon nghiên cúu đe tài "Tính on đ%nh cna các g-khung" đe thnc hi¾n lu¾n văn tot nghi¾p.

2 Mnc đích nghiên cNu

Đe tài nham nghiên cúu, trình bày ve các g-khung và tính on đ%nh cna chúng trong không gian Hilbert

3 Nhi¾m vn nghiên cNu

Tìm hieu ve: Tính on đ%nh cna các khung, tính on đ%nh cna các g-khung

và tính on đ%nh cna các g-khung đoi ngau

4 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

Đoi tưong nghiên cúu: Nghiên cúu ve khung, g-khung trong không gianHilbert, tính on đ%nh cna các khung, g-khung và g-khung đoi ngau.Pham vi nghiên cúu: Các tài li¾u, các bài báo trong và ngoài nưóc liên quan đen g-khung và tính on đ%nh cna g-khung trong không gian Hilbert

5 Phương pháp nghiên cNu

Sú dung các kien thúc cna giái tích hàm đe nghiên cúu van đe

6 Đóng góp mái cúa lu¾n văn

Lu¾n văn trình bày tong quan ve g-khung và tính on đ%nh cna g-khungtrong không gian Hilbert

2

Chương 1

Kien thNc chuan b%

gian Hilbert

Trong muc này chúng tôi se trình bày các khái ni¾m và các tính chat

cơ bán cna các toán tú tuyen tính b% ch¾n trên không gian Hilbert đechuan b% cho các muc tiep theo N®i dung cna muc này đưoc trích dan

tù tài li¾u tham kháo [8]

Toán tú tuyen tính T tù không gian Hilbert H vào không gian

Hilbert K là liên tuc khi và chí khi nó b% ch¾n, nghĩa là, ton tai

hang so c > 0 sao cho

"T x" ≤ c "x" , vói moi x ∈ H. (1.1)

Ký hi¾u L(H, K) là t¾p tat cá các toán tú tuyen tính b% ch¾n tù H

vào K Khi H = K thì L(H, K) đưoc ký hi¾u đơn gián là L(H)

Chuan cna T ∈ L(H, K) đưoc đ%nh nghĩa là hang so c nhó nhat thóa

mãn (1.1) Nói m®t cách tương đương,

neu (T x, x) ≥ 0 vói moi x ∈ H T, K ∈ L(H), T ≥ K neu T −

K ≥ 0 T đưoc goi là xác đ%nh dương neu ton tai M > 0 sao cho (T x, x) ≥

M¾nh đe 1.1.3 Giá sú T ∈ L(H) Khi đó

(i) T là tn liên hop neu và chs neu (T x, x) là thnc vói moi x ∈ H Đ¾c bi¾t, toán tú dương là tn liên hop.

"

(ii) T là unita neu và chs neu T là ánh xa báo toàn chuan (hay tương đương là báo toàn tích vô hưóng) tù H lên H.

M¾nh đe 1.1.4 Neu U ∈ L(H) là toán tú tn liên hop thì "U" =

Bo đe 1.1.1 Cho H, K là các không gian Hilbert, và giá sú rang U :

K → H là m®t toán tú b% ch¾n vói mien giá tr% đóng R U Khi đó ton tai m®t toán tú b% ch¾n U † : H → K mà

UU † f = f, ∀f ∈ R U Toán tú U † đưoc xây dnng trong Bo đe 1.1.1 đưoc goi là giá ngh%ch đáo cna U Trong các tài li¾u ta thưòng thay giá ngh%ch đáo cna m®t toán tú U vói mien giá tr% đóng R U đưoc đ%nh nghĩa là toán tú duy nhatthóa mãn

N U † = R ⊥ , R U † =

N ⊥

và UU † f = f , ∀f ∈ R U

Đ%nh nghĩa này tương đương vói vi¾c xây dnng trên Bo đe sau cho ta

m®t so tính chat cna U † và moi quan h¾ cna nó vói U

Bo đe 1.1.2 Cho U : K → H là m®t toán tú b% ch¾n vói mien giá tr% đóng Khi đó

i) Phép chieu trnc giao cúa H lên R U đưoc cho bói UU †

ii) Phép chieu trnc giao cúa K lên R U † đưoc cho bói U † U.

iii) U ∗ có mien giá tr% đóng, và (U ∗)† = (U †)∗

iv) Trên R U , toán tú U † đưoc cho bói

U † = U ∗ (UU ∗)−1

1.2 Khung trong không gian Hilbert

Trong nghiên cúu không gian vectơ, m®t trong nhung khái ni¾m quantrong nhat là cơ só, cho phép bieu dien moi phan tú ó trong không giannhư m®t to hop tuyen tính cna các thành phan trong cơ só Tuy nhiênđieu ki¾n là cơ só rat han che - không cho phép sn phu thu®c tuyen tínhgiua các thành phan và đôi khi chúng ta yêu cau các thành phan trncgiao tương úng vói m®t tích vô hưóng Đieu này làm cho khó tìm ho¾cth¾m chí không the tìm thay cơ só đáp úng đieu ki¾n bo sung và đây là

lý do ngưòi ta muon tìm m®t công cu linh hoat hơn

Khung là công cu như v¾y M®t khung cho m®t không gian vectơ đưoctrang b% m®t tích vô hưóng cũng cho phép moi phan tú trong không gianđưoc viet như là m®t to hop tuyen tính cna các phan tú trong khung,nhưng tính đ®c l¾p tuyen tính giua các phan tú cna khung là không canthiet

Muc này trình bày m®t so khái ni¾m và ket quá cơ bán trong lý thuyetkhung Các ket quá ó muc này có the tham kháo ó các tài li¾u [3], [5],[6]

Cho H là m®t không gian Hilbert khá ly, vói tích vô hưóng (·, ·) tuyentính theo thành phan thú nhat, tuyen tính liên hop theo thành phanthú hai

Đ%nh nghĩa 1.2.1 Dãy {f i } ∞ trong H đưoc goi là dãy Bessel neu

2

2

i= 1

Đ%nh nghĩa 1.2.2 M®t dãy {f i } ∞ trong H đưoc goi là m®t khung neu ton tai hai hang so 0 < A ≤ B < ∞ sao cho

|(f, f i )| ≤ B

"f"2

, ∀f ∈ H. (1.3)

Các so A, B đưoc goi là các c¾n cna khung Chúng không là duy

nhat C¾n khung dưói toi ưu là superemum trên tat cá các c¾n khungdưói và c¾n khung trên toi ưu là infimum trên tat cá các c¾n khungtrên Chú ý rang, các c¾n khung toi ưu là các c¾n khung thnc sn

Khung {fi } ∞ đưoc goi là ch¾t neu A = B và đưoc goi là khung

Parseval

neu A = B = 1.

M¾nh đe 1.2.1 Cho m®t dãy {f j m trong không gian Hilbert huu han

chieu V Khi đó {f j } j=1 là m®t khung cho span {f j } j=1 .

ChNng minh Ta có the giá sú rang không phái tat cá các f i đeubang không Như v¾y ta thay, đieu ki¾n khung trên là thóa mãn vóim

i= 1

}

j=1

H¾ quá 1.2.1 M®t ho các phan tú {f j m trong không gian Hilbert huu han chieu V là m®t khung cúa V khi và chs khi span {f j

m

= V

H¾ quá trên chí ra m®t khung có the có so phan tú nhieu hơn so phan

tú can thiet đe là cơ só Đ¾c bi¾t, neu {f j k là m®t khung cna V và

=

2"x"

Ví dn 1.2.2 Giá sú {e k } ∞ là m®t cơ só trnc chuan cna H Khi đó

(i) {e k } ∞ là khung Parseval

(ii) Bang cách l¾p moi phan tú trong dãy {e k } ∞ hai lan ta thu đưoc

k=

1

k= 1

k=

|(f, f k )|

= 2

∞

k= 1

đó {f k } ∞ là khung vói c¾n A = 1, B = 2 Th¾t v¾y, ta có

|(f, e k )| .∞

≥

k= 1

nghĩa là {fk } ∞ là dãy mà moi véc

k vói moi f ∈ H

k= 1

k= 1

Đ%nh nghĩa 1.2.3 Dãy {f k } ∞ đưoc goi là đay đú trong H neu span {f k } ∞ = H.

Bo đe 1.2.1 Neu {f k } ∞ là m®t khung cúa H thì {f k } ∞ là m®t dãy đay đú trong H.

ChNng minh Ta se chúng minh bang phán chúng Giá sú g ƒ=

|(f, f k )| , vói moi f ∈ H Cho f = g ta đưoc

ChNng minh Trưóc het, giá thiet {f k } ∞ là dãy Bessel vói c¾n Bessel

B Giá sú {c k } ∞ ∈ l2(N) Ta phái chí ra T {c k } ∞ là hoàn toàn xácđ%nh, túc

là

.∞

k= 1

c k f k là h®i tu Xét m, n ∈ N, n > m Khi đó

k=

k= 1

k= 1

k=

là dãy Cauchy trong C.

Tính toán trên chí ra rang

c k f k

k=1

n= 1

là m®t dãy Cauchy trong H

k=

1

tính toán tương tn như trên chí ra T b% ch¾n và "T " ≤ √B.

Đe chúng minh đieu ngưoc lai, giá sú T : l2 (N) → H đưoc xác đ%nh bói

(1.4) là hoàn toàn xác đ%nh và "T " ≤ √B Goi T∗ : H → l2 (N) là toán

tú liên hop cna T Goi {e j } ∞ là cơ só trnc chuan chính tac cna l2 (N),túc là h¾ gom các véctơ e j , bang 1 ó v% trí thú j, bang 0 ó các v% trí còn lai Tù (1.4) ta suy ra T (e k ) = f k Khi đó

k= 1

j= 1

k= 1

k= 1

k= 1

k=

k= 1

"

c k f k h®i

tn không đieu ki¾n vói moi {c k } ∞ k= ∈ l2(N).

1

H¾ quá 1.2.4 Dãy {f k } ∞ là Bessel vói c¾n B khi và chs khi vói moi {c k } ∈ l2(N) ta

b% ch¾n bói Đ%nh lý 1.2.1 T đưoc goi là toán tú tong hop.

Goi T ∗ : H → l2(N) là toán tú liên hop cna T và {e j } ∞ là cơ só trnc

chuan chính tac cna l2 (N)

Theo đ%nh nghĩa cna toán tú liên hop thì vói moi j ta có

k= 1

k= 1

j= 1

j= 1

k= 1

k= 1

k=

k= 1

ChNng minh (i) S b% ch¾n như m®t sn hop thành cna hai toán tú b%

Do S ∗ = (T T ∗)∗ = T T ∗ = S, toán tú S là tn liên hop Bat đang

k=1

S −1 f, f

2

k= 1

∞

Đieu này chí ra rang toán tú khung cna S −1 f k.∞ bang S −1 Toán

tú S −1 giao hoán vói cá S và I Vì the ta có the nhân bat đang thúc

AI ≤ S ≤ BI vói S −1, đieu này cho ta:

B −1 I ≤ S −1 ≤ A −1 I.

k= 1

Vì v¾y, .S −1 f k.∞ là m®t khung vói các c¾n khung B −1 , A −1.

Đe chúng minh tính toi ưu cna các c¾n (trong trưòng hop A, B là các

c¾n toi ưu cna {fk } ∞ ), giá sú A là c¾n dưói toi ưu cna {f k } ∞

thiet rang c¾n trên toi ưu cna S −1 f k.∞ là C < A.

Bang cách áp dung đieu ta vùa chúng minh cho khung S −1 f k.∞ có

toán tú khung S −1, ta thu đưoc {f k } ∞

Khung S −1 f k đưoc goi là khung đoi ngau chính tac cna {fk }.

Khai trien khung dưói đây là m®t trong nhung ket quá ve khung quantrong nhat Nó chí ra rang neu {f k } là m®t khung cna H thì moi phan

tú trong H có the bieu dien như m®t to hop tuyen tính vô han cna cácphan tú khung Do đó ta có the xem khung như m®t dang cơ só suyr®ng

Đ%nh lý 1.2.2 Giá sú {f k } ∞ là m®t khung vói toán tú khung là S Khi

k=

k= 1

k= 1

k= 1

k= 1

k= 1

ChNng minh Giá sú f ∈ H Sú dung các tính chat cna toán tú khung

trong M¾nh đe 1.2.2 ta có

1.3 G-khung trong không gian Hilbert

Năm 2006, W.Sun [10] đưa ra khái ni¾m g-khung trong không gianHilbert Các g-khung là các khung suy r®ng, bao gom các khung thôngthưòng, các toán tú tuyen tính b% ch¾n khá ngh%ch cũng như các giákhung(Pseudo-frames), các khung cna các không gian con (Frames ofsubspaces) G-khung là khái ni¾m tong quát hóa tn nhiên cna khung, nócho nhieu lna chon hơn cho các hàm phân tích tù các h¾ so khai trienkhung G-khung có nhieu tính chat huu ích như khung và huu ích trongnhieu úng dung N®i dung cna muc này đưoc trình bày dna trên các tàili¾u tham kháo [1], [2], [4], [9]-[12]

Tù nay ve sau ta se giá thiet U và V là hai không gian Hilbert phúc

và {Vj } j∈J là m®t dãy các không gian con cna V , trong đó J là t¾p hop

con cna Z L (U, Vj ) ký hi¾u là t¾p hop tat cá các toán tú tuyen tính b

k=

1

k= 1

Do đó chuoi .j∈J (a j , b j ) h®i tu trong C.

Bây giò ta đ%nh nghĩa không gian l2 V

j∈J

bói

{ j

}

= (a j , b j ).

j∈J

Khi đó l2 V

j∈J là m®t không gian Hilbert phúc

Cho n là m®t so nguyên dương và J = {1, 2, , n} , V j = C, vói moi

j ∈ J Khi đó l2 .{V j } = Cn

Đ%nh nghĩa 1.3.1 M®t dãy {Λ j } j∈J vói Λ j ∈ L (U, V j ) đưoc goi là m®t khung tong quát, ho¾c đơn gián là m®t g-khung, cúa U đoi vói {V j } j∈J

neu ton tai các hang so A, B > 0 sao cho

Ví dn 1.3.1 Cho H là m®t không gian Hilbert khá ly và {f j } j∈J là m®tkhung (dãy Bessel, cơ só trnc chuan) cna H Cho Λf j (·) = (·, f j ) , j ∈

∈J là m®t g-khung (dãy g-Bessel, g-cơ só trnc chuan) cna

Chú ý rang neu f i ƒ= f j thì Λf i ƒ= Λ f j Do đó neu ta đong nhat f j

vói

phiem hàm Λf j sinh bói f j như trên thì ta suy ra khung (dãy Bessel,

có só trnc chuan) là m®t g-khung (dãy g-Bessel, g-cơ só trnc chuan)

Ví dn 1.3.2 Giá sú rang H là m®t không gian Hilbert khá ly và {f j } j∈J

là m®t khung cna H vói các c¾n A và B Cho Λ j , Γ j : H → C n xác đ%nhbói

Tương tn, do "Γj f

2

nên {Γ j } , j ∈ J là m®t g-khung vói

các c¾n A, B cna H đoi vói C n

Đ%nh nghĩa 1.3.3 Cho H0 là m®t không gian con đóng cúa H và {f j } j∈J ⊂ H là m®t dãy Bessel trong H0 túc là ton tai B > 0 sao cho

"

∈J là m®t g-khung cna H0 đoi vói C.

Tù phân tích trên neu đong nhat f j vói phiem hàm Λf j sinh bói f j thì

ta suy ra giá khung là m®t g-khung

Đ%nh nghĩa 1.3.4 Cho {W j } j∈J là m®t dãy các không gian con đóng cúa H và PWj là phép chieu trnc giao tù H lên Wj {W j } j∈J đưoc goi

là khung cúa các không gian con (Frame of subspaces) neu ton tai các hang so 0 < A ≤ B < ∞ sao cho

A"f" ≤ . W 2 ≤ B"f" , ∀f ∈ H. (1.11)Goi

Ví dn 1.3.3 Moi toán tú tuyen tính b% ch¾n khá ngh%ch Q : H → H

l¾p thành m®t g-khung cna H đoi vói H Th¾t v¾y, ta có

Do đó t¾p gom m®t phan tú Q là m®t g-khung cna H đoi vói H.

Tiep theo chúng ta se nghiên cúu các toán tú g-khung và g-khung đoingau chính tac

Cho {Λj } j∈J là g-khung vói các c¾n A, B cna U đoi vói {V j } j∈J Ta đ%nh

nghĩa toán tú g-khung S g như sau

S g (f ) := Λj ∗Λj f, ∀f ∈ U (1.14)

j∈J

trong đó Λj ∗ là toán tú liên hop cna Λj

Trưóc tiên ta kiem tra S g hoàn toàn xác đ%nh trên U Th¾t v¾y giá sú

1/2 2

2

j