Luận văn tính ổn định của các khung và cơ sở riesz

Khung có nhiều tính chất mong ước của các cơ sở nhưng lại khác cơ sở ở một khía cạnh rất quan trọng: chúng có thể phụ thuộc tuyến tính và do đó tính duy nhất của biểu diễn của các cơ sở

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Quỳnh Nga Tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đối với cô, người

đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới các Thầy, Cô trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2, Viện Toán học Hà Nội, đã trang bị kiến thức và phương pháp nghiên cứu để tôi hoàn thành khóa học

Và cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, tập thể lớp Toán giải tích K17 (đợt l)-trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2 đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 7 năm 2015

T ác g iả

N g u y ễ n H o à n g T h ả o

Tôi xin cam đoan, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với

đề tài " T ín h ổn đ ịn h c ủ a các k h u n g v à cơ sở R iesz" được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Quỳnh Nga và bản thân tác giả

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng nhất

Hà Nội, tháng 1 năm 2015

T ác g iả

N g u y ễ n H o à n g T h ả o

M ở đ ầ u

C h ư ơ n g 1

1.1

K iế n th ứ c c h u ẩ n bịPhép biến đổi Fourier

Khung trong không gian Hilbert

P h é p biến đổi Fourier tro n g khô n g gian L 2 (K d)

Tính ổn định của các khung và cơ sở Riesz hàm số mu

Tính ổn định của các khung và cơ sở Riesz sóng nhỏ

44

4 5

614192731314958

1

T ài liệu th a m k h ả o

r o71

1 Lý d o ch ọ n đ ề tà i

Cơ sở trực giao cho phép biểu diễn mỗi phần tử của không gian Hilbert thành một chuỗi vô hạn Đó là cách dễ nhất để biểu diễn một véc tơ phức tạp qua các véc tơ đơn giản hơn Đây là bài toán thường xuyên xuất hiện trong nhiều lĩnh vực của toán học, vật lý và kỹ th u ật như giải tích điều hoà, phương trình vi phân, cơ lượng tử, xử lý tín hiệu và hình ảnh Mặc dù về lý thuyết dễ thực hiện nhưng khai triển theo chuỗi trực giao đôi khi gặp rắc rối Ví dụ như không phải luôn luôn dễ dàng tìm một cơ sở trực giao và có những trường hợp khi khai triển theo chuỗi trực giao hay thậm chí theo chuỗi sinh ra bởi các cơ sở tổng quát hơn vẫn không phải là một phương pháp biểu diễn thích hợp

Khung có nhiều tính chất mong ước của các cơ sở nhưng lại khác cơ sở

ở một khía cạnh rất quan trọng: chúng có thể phụ thuộc tuyến tính và

do đó tính duy nhất của biểu diễn của các cơ sở bị m ất đi Chính tính thừa này của khung có những ứng dụng quan trọng, ví dụ như trong xử

lý tín hiệu và hình ảnh bởi vì nó đảm bảo tính bền vững: chất lượng của tín hiệu bị ảnh hưởng ít bởi tiếng ồn và tín hiệu có thể khôi phục lại từ mẫu có độ chính xác tương đối thấp

Khung được đưa ra bởi Duffin và Schaeffer [5] vào năm 1952 khi họ nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hoà Tuy nhiên phải đến năm 1986 sau bài báo của Daubechies, Grossmann và Meyer [4] thì khung mới nhận được sự quan tâm rộng rãi của cộng đồng các nhà khoa học

Cho H là một không gian Hilbert khả ly Một dãy { f n } n € N trong H được

1

gọi là một khung nếu tồn tại các hằng số A,B > 0 hữu hạn sao cho với

{fk } Ta cần tìm các điều kiện để đảm bảo rằng {gk} cũng là một khung

hay cơ sở Riesz

Với mong muốn hiểu biết sâu sắc hơn về bài toán ổn định trên, nhờ sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của Cô giáo, TS Nguyễn Quỳnh Nga, tôi

đã mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài “T í n h ổ n đ ịn h c ủ a các k h u n g

v à cơ s ở R i e s z ” để thực hiện luận văn tốt nghiệp chương trình đào

tạo thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích

2 M ụ c đ íc h n g h iê n cứ u

Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày về tính ổn định của các khung tổng quát, tính ổn định của các khung và cơ sở hàm số mũ, tính ổn định của các khung và cơ sở sóng nhỏ

ổn định của các khung và cơ sở hàm số mũ, tính ổn định của các khung

và cơ sở sóng nhỏ

- Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liên quan đến tính ổn định của các khung và cơ sở Riesz

5 P h ư ơ n g p h á p n g h iê n cứ u

- Sử dụng các kiến thức của giải tích hàm để nghiên cứu vấn đề

- Thu thập tài liệu các bài báo về tính ổn định của các khung và cơ

K iến thứ c chuẩn bi

Trong chương này chúng ta sẽ trình bày các khái niệm cơ bản chuẩn

bị cho chương sau Nội dung của chương này được trích dẫn từ các tài liệu tham khảo[l]-[3],[8]

1.1 P h ép b iến đổi Fourier

Ta sử dụng các kí hiệu sau trong luận văn

L°° (Rd) := { / : C |/ đo được và 3C , I/ (x)| < c h.k.n }

L°° (Rd) là không gian Banach với chuẩn là

l l / l l i -(R-) : = esssup|/(rc)|

1.1.1 P h é p b iế n đ ổ i F o u rie r tr o n g k h ô n g g ia n L l (Mrf)

Đ ịn h n g h ĩa 1.1.1 Phép biến đổi Fourier của một hàm f € L 1 (Rrf)

đuợc cho bởi công thức

d trong đó (х,ш) = x kUk, X = {хи х 2, ,x d), и = (wi,cư2, -,U d ) ■

Đ ịn h lí 1.1.4 Cho / ẽ i 1 (Rd) C\L2 (Rd) Khỉ đó phép biến đổi Fourier

của f là / € L 2 (Má) và thỏa mãn đồng nhất thức Parseral f

Có thể kiểm tra được rằng {/ỉv j là dãy Cauchy trong L 2 (Mrf) Do

tính đầy đủ của L 2 (Má) ta có thể tìm được /oo G L 2 (Rrf) sao cho

lim Ỉ N - h

L 2( Rd) = 0

Đ ịn h n g h ĩa 1.1.5 Phép biến đổi Fourier / của hàm f € L 2 (Rá) được

định nghĩa ỉà giới hạn /oo của | / / v | .

C h ú ý 1.1.1 Định nghĩa f của hàm f G L 2 (Rá) là độc lập với sụ lụa

chọn của f N G L1 (Rá) n L 2 (Rd) Nói cách khác, bất kỳ dãy Cauchy nào

ỉ

1.2 K hung tro n g không gian H ilb ert

Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản trong lý thuyết

khung cần đến cho Chương 2 Các kết quả ở mục này có thể tham khảo

ở tài liệu [1], [3]

Cho % là một không gian Hilbert khả ly, với tích vô hướng

tuyến tính theo thành phần thứ nhất, tuyến tính liên hợp theo thành phần thứ hai.

Đ ịn h n g h ĩa 1.2.1 Dãy { ỉ i } ^ trong "K được gọi là dãy Bessel nếu

00

3 B > 0 : £ l ơ , /i>|2 < B\\f\\2, V f £ H ,

i= 1

B được gọi là cận Bessel của { /1}°°!

Một dãy Bessel {fi}°°=1 là một khung nếu

00

3A > 0 : A\\f\\2 < K/, / f>I2, V / Ễ «

i= 1

Vậy ta có định nghĩa khung như sau:

Đ ịn h n g h ĩa 1.2.2 Một dãy trong H là một khung nếu tồn tại

h a i h ằ n g S Ố O < Ẩ < 5 < 0 0 s a o c h o

00

^ll/ll2 < E !</■ /i)l2 <-Bll/ll2, v/e«.

i= 1

Các số A, B được gọi là các cận khung Chúng không là duy nhất

Cận khung dưới tối ưu là supremum trên tấ t cả các cận khung dưới và cận khung trên tối ưu là iníimum trên tấ t cả các cận khung trên Chú ý rằng các cận khung tối ưu là các cận khung thực sự

Khung được gọi là chặt nếu A = B và được gọi là khung Parseval nếu A = B = 1.

M ệ n h đ ề 1.2.3 Cho một dãy trong không gian Hilbert hữu hạn chiều V Khi đó { f j } m=1 là một khung cho span

C h ứ n g m in h Ta có thể giả sử rằng không phải tấ t cả các f j đều bằng

không Như vậy ta thấy, điều kiện khung trên là thỏa mãn với

m

B = E i i a i i

2-3=1

Bây giờ ta đặt w := span { f j } m=1 và xem xét ánh xạ liên tục

m

Ỉ > : W ^ R , ĩ>(/) := |</, f i ) \ 2.

Mặt cầu đơn vị trong w là compact, vì vậy ta có thể tìm g E w với

= 1 sao cho

H ệ q u ả 1.2.4 Một họ các phần tử trong V ỉà một khung của

V khi và chỉ khi span = V

Hệ quả trên chỉ ra một khung có thể có số phần tử nhiều hơn số phần

tử cần thiết để là cơ sở Đặc biệt, nếu { f j } k=1 là một khung của V và

{9j}m=i là một tập hữu hạn tùy ý các véc tơ trong V thì { f j } k=1 u {gj}m=1

X) \{x,ej)\2 = X 2 2 + ( j ị x i + 1^2) + ( j ị x i - 1^2)

= I (x i2 + X 2 2)

= § |z |2

V í d ụ 2 Giả sử {efc}^°=1 là một cơ sở trực chuẩn của H.

(i) {efc}^°=1 là khung Parseval

(ii) Bằng cách lặp mỗi phần tử trong dãy {efc}^°=1 hai lần ta thu được

Nếu chỉ ei được lặp lại ta thu được = {ei, ei, 02, ез, } khi

đó {/fc là khung với cận A = 1 ,B = 2 T hật vậy, ta có

00 00 2

11/112

Vì thế {fk } là một khung chặt của n với cận khung A = 1.

V í d ụ 3 Cho K = L 2(T ) trong đó T là đường tròn đơn vị với độ

đo Lebesgue chuẩn hóa Khi đó ị e ins : n ẽ Z Ị là một cơ sở trực chuẩn tiêu chuẩn cho K = L 2(T) Nếu E c T là tập đo được bất kỳ thì

{eins\E : n G z j là một k h u n g Parseval cho L 2(E).

T hật vậy, trước tiên ta chứng minh bổ đề sau:

B ổ đ ề 1.2.5 Cho ĩ i là không gian Hiỉbert và X là không gian con đóng

của H Gọi p là phép chiếu trực giao từ H lên X và {ei}ÍỄ/ là một cơ

sở trực chuẩn của H Khi đó { P e i } i € l ỉà một khung Parsevaỉ của X

C h ứ n g m in h Gọi / là một phần tử thuộc X bất kỳ Khi đó P f = /

Ta có

Bây giờ ta se chứng minh {eins\E} z là một khung Parseval cho

£ \ự, Pei )\2 = E I e<>|2 = E l</’ e'>|2 =

L 2{E).

Cho / € L 2{E) Đặt f{ t) = < f ( t ) nếu t E E

0 nếu t e T \ E

Khi đó f ( t ) e L 2(E) Do đó bằng cách đồng nhất / và / ta có thể coi L 2( E ) là một không gian con đóng của L 2(T) Gọi p là phép chiếu

trực giao từ Z/2(T) lên L 2{E) Khi đó p ( e ins) = eins\E- Do {eins} z là

cơ sở trực chuẩn của L 2(T ) nên, theo Bổ đề 1.2.5 {eins|£:} z là khung Parseval cho L 2(E).

Đ ịn h lí 1.2.6 Giả sử {fk}kLi ỉà một dãy trong ĩ i Khi đó là một dãy Bessel với cận Bessel B khi và chỉ khi

C h ứ n g m in h Trước hết, giả t h i ế t {fk}kLi là dãy Bessel với cận Bessel

B Giả sử {c*;}^ e /2(N) Ta phải chỉ ra T{ch}™=l là hoàn toàn xác

tụ không điều kiện với mọi {Cýfc}^°=1 € Z2(N).

Do một khung {fk}kLi là một dãy Bessel nên toán tử

00

T : i ! ( N ) ^ J Í , T K £ = E l‘ / ‘

k= 1

bị chặn bởi Định lí 1.2.6 T được gọi là toán tử tổng hợp.

Gọi T* •,'H —»• Z2(N) là toán tử liên hợp của T.

Theo định nghĩa của toán tử liên hợp thì với mọi j ta có

( T Ị , Êj) = ( /, Teị) = i f , Ị ị )

Từ đó T*/ = { (/, T* được gọi là toán tử phân tích Hợp thành

của T và T* được gọi là toán tử khung

00

= T T ' f = ỵ 2 (/, h ) Д.

k = 1

M ệ n h đ ề 1.2.9 Giả sử {fk}kLi là một khung với toán tử khung s và

cận khung A, B Khi đó ta có các khẳng định sau:

(i) s bị chặn, khả nghịch, tự liên hợp và là toán tử dương.

(ii) { £ 1 là khung với cắc cận в г, А 1 Nếu А, в là các cận tối ưu của thì cấc cận -B-1 , A ~x là tối ưu của { s -1 fk}™=1- Toán

tử khung của {<S'_1/fc}^°_1 là (S'-1

Khung { s ~ 1fk } được gọi là khung đối ngẫu của {/fc}.

Khai triển khung dưới đây là một trong những kết quả về khung quan

trọng nhất Nó chỉ ra rằng nếu {/fc} là một khung của n thì mọi phần

chuỗi hội tụ không điều kiện với mọi f € H.

C h ứ n g m in h Giả sử / G ĩ i Sử dụng các tính chất của toán tử khung

trong Bổ đề 1.2.9 ta có

/ = 5 S - 1/ = Y /<)/< = E < /’ 5 " ‘л ) л V / Ễ H.

Do { } fcL 1 là một dãy Bessel và {(/, s 1fk)}™=1 £ theo Hệ quả

là ánh xạ hoàn toàn xác định tuyến tính liên tục từ Z2(N) lên H.

Đ ịn h n g h ĩa 1 2.1 2 Cho {fk}^=1 là một dãy trong Tí Ta gọi {fk}kL\

là một dãy đầy đủ nếu span {fk}kLi = %■

1.3 Cơ sở R iesz

Đ ịn h n g h ĩa 1.3.1 Một cơ sở Rỉesz trong H là một họ có dạngịưek}kL\Ị

trong đó {efc} ^ 1 là một cơ sở trực chuẩn của H và

u

là một toán tử tuyến tính song ánh bị chặn.

Đ ịn h lí 1.3.2 Nếu { f k ỉà một cơ sở Riesz của H thì tồn tại duy nhất một dãy {gk}™=1 trong U sao cho

Ta gọi {gk}^Li là cơ sở Riesz đối ngẫu của

{fk}kLị-M ệ n h đ ề 1.3.3 Nếu {fk}™=1 = {ƯZk}Ịk=i là một cơ sở Riesz của H,

thì tồn tại cấc hằng số А, в > 0 sao cho

Đ ặt h = (ư*)~l g hay g — u*h.

Khi đó g Ỷ 0 tương đương với h Ỷ O-

Đ ịn h lí 1.3.4 Cho một dãy trong 'H, các điều kiện sau là tương đương:

(i) {fk}kLi là một cơ sở Riesz của H.

(ti) {fk}k=i đầy đủ trong H, và tồn tại các hằng số A, B > 0 sao cho với mỗi dẫy hữu hạn {cfc} ta có:

(1.2)

(Hi) ỉà dãy Bessel đầy đủ và nó có dãy song trực giao đầy đủ

{ỡ/fc}fcLi cũng ỉà một dãy Besseỉ.

M ệ n h đ ề 1.3.5 { /ị} ^ ! là cơ sở Riesz khi và chỉ khi là một khung và nếu Ỵ2 C ị f i = 0, với {C i}^ € Z2(N) thì Cị = 0, Vỉ.

% — 1

C h ứ n g m in h (=ỉ>) Giả sử {/*}“ 1 là cơ sở Riesz của không gian Hilbert

l í , nghĩa là fị = Tej,Vz, trong đó T là toán tử tuyến tính bị chặn khả

Ci = 0, với mọi %.

Gọi là cơ sở trực chuẩn chuẩn tắc của /2(N) Do là một

khung nên theo Định lí 1.2.11 toán tử tổng hợp T là tuyến tính, liên tục,

C h ứ n g m in h Theo Mệnh đề 1.3.3, một cơ sở Riesz {fk}^Li của H cũng

là một khung của và các cận của cơ sở Riesz trùng với các cận khung

Theo Định lí 1.3.2, tồn tại duy nhất một dãy {gk}kLi trong H sao cho

1.4 K hung hàm số mũ

Các hàm mũ phức ị -^=eikx f tạo thành một cơ sở trực chuẩn của

v U2TT J k€ Z ■

L 2 (—7T, 7r) Do đó, z là một khung của L 2 ( —7T,7r) với các cận

A = B — 27T Tổng quát hơn, cho trước một khoảng I c R và một dãy

số thực {Afc}fceZ, một khung trong L 2 (/) có dạng z được gọi làkhung của các hàm mũ, hoặc khung Fourier Chú ý rằng các hàm mũ làkhông bình phương khả tích trên một khoảng không bị chặn, nên ta cầnphải có |/ | < 00 Một khai triển f (x) = ^2 ckeiXkX trong L 2 (/) được gọi

là chuỗi Fourier không điều hòa Đây là khung được định nghĩa từ banđầu được Duffin và Schaeffer nghiên cứu

Cho trước dãy A = {Ak}k€Z-> bán kính khung được xác định bởi

R (A) = sup { R : z là khung trong L 2 ( - R , R )} .

Nếu {eiXkX} k z là một khung trong L 2 (—R ,R ) với R > 0, nó luôn là một khung trong L 2 ( - R ' , R') với mọi R' G (0, R] Ta viết:

R+ = (0, R (A)) u {R (A)} u (R ( A) , 00)

Do đó, ta có

• z là một khung trong L 2 ( - R , R ) với bất cứ R € (0, R ( A) )

• {eiXkX} k z không là khung trong L 2 ( - R , R ) nếu R e (R ( A) , o o ) Trường hợp R = R (A) bản thân nó là trường hợp tới hạn: có

trường hợp trong đó { eiXkX} k z là khung trong L 2 ( - R (A ) , R (A)) và có

trường hợp thì không

Đ ịn h n g h ĩa 1.4.1 Cho I là tập chỉ số đếm được và {Afc}fce/ ỉà một dãy

trong Md Ta nói rằng

i) Một điểm \ e R d là một điểm tụ của {Afc}A;eJ nếu mỗi hình cầu mở

trong Rd có tâm tại X chứa vô hạn các x k;

ii) ỉà tách được nếu '\ữĩ.jỶk \ Xj — Afc| > 0; một hằng số ô > 0 sao

cho |Aj — Afc| > ố với mọi j Ỷ k được gọi là một hằng số tách;

iii) { A J lỄ/ là tách được tương đối nếu nó là hợp hữu hạn của những

dãy tách được.

Một dãy tách được tương đối có thể lặp lại cùng một điểm N lần với một N € N nhưng nó không thể có điểm tụ.

V í d ụ 4

i) Dãy { | } fceZ\{0} có điểm không là điểm tụ

nó là tách được tương đối

Đặc trưng quan trọng nhất của dãy tách được tương đối được thể hiện qua m ật độ Beurling trên Ta kí hiệu dãy A = {Ak ) k € Z ' Vãi X e

và /ỉ > 0 ta kí hiệu Q h ( x ) là hình lập phương nửa mở trong Rd có tâm tại X và chiều dài cạnh là h , nghĩa là

trong đó X = (rcx, , x d)

Chú ý rằng {Qh { h n ) } n&zd là một phủ rời nhau của với bất kì

h > 0 Kí hiệu Ư+ (h) và u~ (h ) là những số lớn nhất và nhỏ nhất của

những điểm của A mà nằm trong hình lập phương Q h ( x ) ì nghĩa là,

không có điểm tụ và không tách được Tuy nhiên,

1/+ (h) = sup # (A n Qh (rc)), V (tì) = inf # ( A n Qầ (rc)).

ĨẼK-Í

Mật độ Beurling trên và dưới của Л được xác định bởi:

B ổ đ ề 1.4.2 Cho Л = {Ằk}k€Z là một dãy trong M Khi đó các mệnh

đề sau tương đương:

i) D + (Л) < oo;

а) Л là tách được tương đối;

iii) Với một (và do đó với mọi) h > 0, tìm được số tự nhiên N h sao cho mỗi hình lập phương Qh (h n ) , n G z d; chứa nhiều nhất N h điểm từ

Đ ịn h lí 1.4.3 Giả sử rằng {Xk}k€z là một dãy tách được với mật độ

đều d > 0 Khi đó, có bán kính khung ít nhất là ltd.

Định lí 1.4.3 có thể xem như một kết quả nhiễu T hật vậy, nếu ta xét

một d > 0 cố định thì ị eikx/d} k z là một khung trong L 2 ( - R , R ) với bất

kỳ R G (0, ltd]. Rõ ràng là ta không thể kì vọng {e*Afeæ}fc z là một khung trong L 2 ( - R , R ) với R > Tĩd; nó cũng có thể không đúng khi R = Tĩd.

Mục đích của chúng ta là tìm các điều kiện trên dãy {Ak}k€z và một khoảng I sao cho {eiXkX} k z là một khung trong L 2 (/) Chúng ta bắt

đầu với điều kiện Bessel Bổ đề sau khẳng định rằng điều kiện Bessel là độc lập với khoảng hữu hạn được xét

B ổ đ ề 1.4.4 Cho I và J là hai khoảng bị chặn bất kì trong K và {Afc}fceZ

là một dãy số thực Khi đó, {eiXhX} k z là một dãy Bessel trong L 2 (/) khi và chỉ khi nó là dãy Bessel trong L 2 (J)

B ổ đ ề 1.4.5 Cho {Xk)k€i là một dãy thực Khi đó, cấc điều sau là

tương đương:

(i) tà tách được tương đối.

(ii) {Ằk}keĩi ỉà một dãy Besseỉ trong L 2 (—7T,7r)

(Ui) là một dãy Bessel trong L 2 (/) với bất kì khoảng bị chặn

và dãy tách được tương đối {Àfc}yfceZự .

Nếu (ii) đúng thì {eÍAfca:}fc z ỉà một khung của L 2 (/) với bất kì khoảng

I thỏa mãn Ị/Ị < 2iĩdi.

C h ứ n g m in h

Giả sử rằng {eiXkX} k z là một khung của L 2 (/) với một khoảng nào đó I Khi đó, {Ak\k€Z là tách được tương đối theo Bổ đề 1.4.5; Với mỗi số nguyên N € N ta có thể tìm được một số hữu hạn CN sao cho

mỗi khoảng có dạng [kN, (k + 1) N ) , k G 7L chứa nhiều nhất Cjv phần

tử của {Afc}fceZ Bằng cách chọn hệ số N đủ lớn, ta có thể chắc chắn rằng mỗi khoảng [kN, (k + 1) N ) , k € z chứa ít nhất một phần tử của

fceZ'

T hật vậy, giả sử ngược lại, tức là, với mỗi N e N ta có thể tìm một khoảng [£N, (£ + 1) N ) , £ G z mà không chứa bất kì phần tử nào của {Ajfc}fceZ Kí hiệu

Bây giờ xét một khoảng [n,n + 1) , n E z. Nếu Ajfc e [n,n + 1) với

k e z bất kì thì đẳng thức tam giác ngược chỉ ra rằng

Sử dụng kí hiệu trên, nhiều nhất Ci phần tử của {Afc}ifcỄZ thuộc vào khoảng [n,n + 1) Hơn nữa, nếu N > 4 và In — (£ + 1/2) N \ < Ỵ, khoảng

[n,n + 1) được chứa trong [£N, (£ + 1) N ) và do đó [n,n + 1) theo giả

thiết không chứa phần tử nào từ {Ak}k€z trong trường hợp này Từ đó

ta thu được với N > 4

I (ỈN,e

n e Z {fc: AfcỄ[n,n+l)}

4

| A , - ự + l / 2 ) J V | 2

Như vậy với N > 8,

Từ IIMI = л/\1\ với mọi N G N, ta suy ra rằng điều kiện khung dưới

bị vi phạm Tuy nhiên, điều này mâu thuẫn với giả thuyết z

là một khung của L 2 (/) Điều này chứng minh khẳng định rằng với N được chọn đủ lớn, mỗi khoảng [kN, (k + 1) N ) , к E z chứa ít nhất một

phần tử từ {Afc}fciEZ

Dựa trên điều này, bây giờ chúng ta có thể chọn ra một dãy con

{Ak}k€z có m ật độ đều.

T hật vậy, chọn N đủ lớn, vổi mỗi khoảng có dạng [2kN, 2 (k + 1) N ) ,

к G z ta có thể chọn ra một phần tử từ {Ak\k€i thuộc vào khoảng này,

t h e o cách này t a thu được d ã y { ß k } k e Z = trong đ ó c á c phần t ử

được tách bởi N và

Cuối cùng ta phải chứng minh rằng dãy còn lại {Afc}fceZ\{/ifc}fceZ

là tách được tương đối Một cách để ta thu được một dãy con tách được

từ {Afc}fceZ\{)Ufc}fceZ với к G z , là, chọn ra một phần tử từ dãy thuộc vào mỗi khoảng [2kN, 2 (k + 1) N ) (nếu có phần tử như thế); một dãy con

\ịxk - 2 kN \ < N ,\/k e z.

tách được khác thu được bởi việc chọn ra một phần tử từ mỗi khoảng

[2 (k + 1) N , (2k + 2) N ) , k e z Sau đó lặp lại hai cách trên nhiều nhất

Ợiv lần, không còn phần tử từ {Afc}fceZ\{^*:}fcez; là còn lại Điều này chứng minh rằng {Aýk}A;eZ\{AíA;}fceZ là tách được tương đối

Để chứng minh (ii) => (ỉ ) ta giả sử rằng có một phân hoạch z = li u Ỉ 2

sao cho có m ật độ đều d\ > 0 và {Afc}fceJ là tách được tương đối.

Từ Định lí 1.4.3 dãy {eiXkX} k 1 là một khung cho L 2 (—R , R ) nếu R E

(0 ,7rdi] và từ Bổ đề 1.4.4 {eÍAfca:}fc I là một dãy Bessel Do đó, {eiXkX} k z

là một khung cho L 2 ( - R , R ) khi R € (0,7rcỉi) Từ đó, {eiXhX} k z là một khung trong L 2 ự ) với bất kì khoảng I sao cho |/ | < 2Tĩd\ □

Đ ịn h lí 1.4.7 Dể {eiXkX} k z là một khung của L 2 (—7T,7r) điều kiện cần

là {Afcj-J.^2 là tách được tương đối và D~ ({Afc}fceZ) > 1 và điều kiện đủ

là {Ằk}k€Z là tách được tương đối và D~ ({Afc}fceZ) > 1.

Seip cũng chứng minh rằng nếu {Afc}fceZ là tách được và D~ ({Afc}fceZ) >

1 thì {eiXkX} k z chứa một cơ sở Riesz.

Định lí 1.4.7 là tối ưu theo nghĩa là nếu D~ ({A*;}*.^) = 1 thì ta không

thể kết luận.Ví dụ, Seip chứng minh rằng dãy {Afc} = ^1 —

có m ật độ 1 và {eÍAfe:r} là một khung trong L 2 (—7T, 7r) Một m ặt khác, một ví dụ nổi tiếng của Kadec, cụ thể là dãy {Afc}fceZ cho bởi

dãy Bessel Điều này có nghĩa là, điều kiện dưới đủ để đảm bảo rằng

{éiXkX} k z là một cơ sở Riesz cho bao tuyến tính đóng của nó.

Đ ịn h lí 1.4.8 Giả sử dãy {Xk}k€z bao gồm các điểm phân biệt và tồn

tại một hằng số A > 0 sao cho:

ta suy ra rằng với mỗi X e (—7T,7r):

1.5 K hung sóng nhỏ

Đ ịn h n g h ĩa 1.5.1 Cho aữ > l ,6o > 0,-0 e L2(R) Khung có dạng

{ ^ ,n } mnỄZ = {a0~m - nbo)}mn€Z được gọi ỉà một khung sóng nhỏ của L 2(R).

Định lí 1.5.2 Nếu {^m,n}mneZ = { a < r ^ ( a o “m -ro&o)}mneZ là một

khung của L2(M) với các cận khung A, B thì

( 1 + | s | ) _ ( 1+e) với б > 0 thì tồn tại b0 > 0 sao cho {Фтп} eZ là khung

với mọi bữ < Òq Nếu bo < bo thì {-фт n} eZ có các cận khung là

Ệ _

k — — oo,kj^O

k= — oo,k^O

4 ĩ ‘M -S ‘

Các điều kiện cho /3 và (1.9) được thỏa mãn nếu ví dụ:

m ) \ < C'ICI^CI + ICI) 7 với a > о, 7 > a +

với bất kì ữo > 1, ỉ>0 > 0, ta định nghĩa

í +(£) = (ln a0) _1/2

0 nếu £ < l hoặc £ > a\l

l < £ < ữQỈ

sin Icos

T ính ổn định của các khung và cơ

sở R iesz

Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày tính ổn định của các khung

và cơ sở Riesz tổng quát cũng như tính ổn định của các khung và cơ

sở Riesz có cấu trúc đặc biệt là hàm số mũ và sóng nhỏ Nội dung của chương này được tham khảo trong các tài liệu [1], [6]-[8]

2.1 T ín h ổn định của các khung và cơ sở R iesz tổ n g

quát

Trong toàn bộ phần này ta giả sử {fk}kLi là khung của không gian

Hilbert Bài toán ổn định của các khung được đặt ra như sau: Cho một dãy theo một nghĩa nào đó gần với khung {fk}kLi- Ta cần tìm các điều kiện để đảm bảo rằng {gk}kL\ cũng là một khung.

Ta ký hiệu các toán tử tổng hợp cho {fk}kLi và là T và u được

xác định bởi

T, u : (2(N) -> H, r{c* } “ 1 = = E c*9‘

Ta chú ý rằng T hoàn toàn xác định bởi giả thiết {fk}kLi là một khung;

toán tử u hoàn toàn xác định trên các dãy hữu hạn, nhưng ta đã chứng minh {ổfc}^°=1 là một dãy Bessel khi và chỉ khi u hoàn toàn xác định, tuyến tính, bị chặn trên /2(N) như ở Định lí 1.2.6

Sau đây là một phiên bản của Định lí Paley-Wiener về khung do Chris­tensen đưa ra

31

Đ ịn h lí 2.1.1 Cho {fk}kLi là một khung trong ĩ í với các cận là A, B.

Cho ỉà một dãy trong H và giả sử rằng tồn tại các hằng số

A, ịi > 0 sao cho: A + ự= < 1 và

II £<=*(/* - s*)ll < A|| £ ct f t \\ + \ct Ỹ ý (2.1)

với mọi dãy vô hướng hữu hạn {Cf c} Khi đó { g k } k L i là một khung trong

% với các cận là A( 1 — (A + ụ=))2', B ( 1 + A +

Hơn nữa, nếu {fk}kLi là một cơ sở Riesz thì {gk}^Li cũng ỉà cơ sở Riesz.

C h ứ n g m in h Do {fk}kLi là một khung, theo Định lí 1.2.6 toán tử tổng hợp T bị chặn và ||T|| < ự B Từ điều kiện (2.1) suy ra với mọi dãy hữu

Do {cfc}fc°=i € ^2(N) và Y , ckfk hội tụ nên {X )L i ск9к}п=1 là dãy Cauchy

trong H nên hội tụ Do đó, toán tử tổng hợp Ư hoàn toàn xác định trên