Luận văn thạc sĩ Tính ổn định của các khung và cơ sở riesz

Lời cam đoanTôi xin cam đoan, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Tính ổn định của các khung và cơ sở Riesz" được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS.. Bài toán ổn đ

NGUYỄN HOÀNG THẢO

TÍNH ON ĐỊNH CUA CÀC

KHUNG VÀ Cơ SỞ RIESZ

LUẬN VẰN THẠC sĩ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học

TS Nguyễn Quỳnh Nga

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Quỳnh Nga Tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đối với cô, người đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới các Thầy, Cô trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Viện Toán học Hà Nội, đã trang bị kiến thức và phương pháp nghiên cứu để tôi hoàn thành khóa học

Và cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, tập thể lớp Toán giải tích K17 (đợt l)-trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 7 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Hoàng Thảo

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài

"Tính ổn định của các khung và cơ sở Riesz" được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Quỳnh Nga và bản thân tác giả

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng nhất

Hà Nội, tháng 7 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Hoàng Thảo

Mục lục

Mở đầu

Chương 1

1.1.

Kiến thức chuẩn bị Phép biến đổi Fourier

1.1.1.

1 1 2

1 2

1.3

1.4

1.5

Phép biến đổi Fourier trong không gian L 1 (R d )

Phép biến đổi Fourier trong không gian L 2 (R d )

Khung trong không gian Hilbert

Cơ sở Riesz

Khung hàm số mũ

Khung sóng nhỏ

Chương

2. Tính ổn định của các khung và cơ sở Riesz

2 1 Tính ổn định của các khung và cơ sở Riesz tổng quát

2 2

2.3

Tính ổn định của các khung và cơ sở Riesz hàm số mũ

Tính ổn định của các khung và cơ sở Riesz sóng nhỏ

Kết luận

Tài liệu tham khảo

4

4

4 5

6

14 19 27

31

31 49 58

70 71

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Cơ sở trực giao cho phép biểu diễn mỗi phần tử của không gian Hilbert thành một chuỗi vô hạn Đó là cách dễ nhất để biểu diễn một véc tơ phức tạp qua các véc tơ đơn giản hơn Đây là bài toán thường xuyên xuất hiện trong nhiều lĩnh vực của toán học, vật lý và kỹ thuật như giải tích điều hoà, phương trình vi phân, cơ lượng tử, xử lý tín hiệu và hình ảnh Mặc dù về lý thuyết dễ thực hiện nhưng khai triển theo chuỗi trực giao đôi khi gặp rắc rối Ví dụ như không phải luôn luôn dễ dàng tìm một cơ sở trực giao và có những trường hợp khi khai triển theo chuỗi trực giao hay thậm chí theo chuỗi sinh ra bởi các cơ sở tổng quát hơn vẫn không phải là một phương pháp biểu diễn thích hợp

Khung có nhiều tính chất mong ước của các cơ sở nhưng lại khác cơ sở ở một khía cạnh rất quan trọng: chúng có thể phụ thuộc tuyến tính và do đó tính duy nhất của biểu diễn của các cơ sở bị mất đi Chính tính thừa này của khung có những ứng dụng quan trọng, ví dụ như trong xử lý tín hiệu và hình ảnh bởi vì

nó đảm bảo tính bền vững: chất lượng của tín hiệu bị ảnh hưởng ít bởi tiếng ồn

và tín hiệu có thể khôi phục lại từ mẫu có độ chính xác tương đối thấp

Khung được đưa ra bởi Duffin và Schaeffer [5] vào năm 1952 khi họ nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hoà Tuy nhiên phải đến năm 1986 sau bài báo của Daubechies, Grossmann và Meyer [4] thì khung mới nhận được sự quan tâm rộng rãi của cộng đồng các nhà khoa học

Cho H là một không gian Hilbert khả ly Một dãy {/n}nejv trong H được gọi là

một khung nếu tồn tại các hằng số A,B > 0 hữu hạn sao cho với mọi / € H ta có

A||/||2<^K/,/„>|2<B||/||2

H ỄJ V

Một khung được gọi là một cơ sở Riesz nếu sau khi bỏ đi một phần tử bất kỳ của dãy thì nó không còn là khung nữa

Bài toán ổn định của các khung và cơ sở Riesz được đặt ra như sau: Cho một

dãy theo một nghĩa nào đó gần với khung hay cơ sở Riesz {fk } Ta cần tìm các điều kiện để đảm bảo rằng {g k} cũng là một khung hay cơ sở Riesz

Với mong muốn hiểu biết sâu sắc hơn về bài toán ổn định trên, nhờ sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của Cô giáo, TS Nguyễn Quỳnh Nga, tôi đã mạnh dạn chọn

nghiên cứu đề tài “Tính ổn định của các khung và cơ sở Riesz ” để thực

hiện luận văn tốt nghiệp chương trình đào tạo thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài này nhằm nghiên cứu, trình bày về tính ổn định của các khung tổng quát, tính ổn định của các khung và cơ sở hàm số mũ, tính ổn định của các khung và cơ sở sóng nhỏ

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tìm hiểu về tính ổn định của các khung và cơ sở Riesz

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức cơ sở cần thiết: Một số khái niệm và kết quả về khung trong không gian Hilbert, cơ sở Riesz, khung hàm số mũ, khung sóng nhỏ.Tính ổn định của các khung tổng quát, tính

Ổn định của các khung và cơ sở hàm số mũ, tính ổn định của các khung và cơ

sở sóng nhỏ

- Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liên quan đến tính ổn định của các khung và cơ sở Riesz

- Phương pháp nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo trong và ngoài nước liên quan đến tính ổn định của các khung và cơ sở Riesz 5

- Sử dụng các kiến thức của giải tích hàm để nghiên cứu vấn đề

- Thu thập tài liệu các bài báo về tính ổn định của các khung và cơ sở Riesz

- Tổng hợp, phân tích, hệ thống các khái niệm, tính chất

6 Đóng góp mới của luận văn

Trình bày một cách tổng quan về tính ổn định của các khung và cơ sở Riesz

ư (Md) :

=

1

p

4

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng ta sẽ trình bày các khái niệm cơ bản chuẩn bị cho chương sau Nội dung của chương này được trích dẫn từ các tài liệu tham khảo[1]-[3],[8]

1.1 Phép biến đổi Fourier

Ta sử dụng các kí hiệu sau trong luận văn

/ : Md —> C|/ đo được và f \f (x)\ p dx < 00

trong đó 1 < p < 00

L

p (Md) là không gian Banach với chuẩn là

L°° (Md) := {/ : Md —> C|/ đo được và 3 C , I/ (a;)| < c h.k.n } L°°

(Md) là không gian Banach với chuẩn là

ll/L-(H<) : = esssup I/ (s)|

= inf{ơ| I/ (s)| < c h.k.n }

1.1.1 Phép biến đối Fourier trong không gian L1 (Md)

Định nghĩa 1.1.1 Phép biến đổi Fourier của một hàm f € L l (M d ) được cho bởi công thức

ỉ(u) = ựf)(u):= Ị

JR d

<11/1 1

5

d

trong đó ( x , ư ) = x kU k , X = i x i , x 2 , - , x d ) , cư = (cưi,cư 2 , -,Wd) ■

fc=i Một số tính chất cơ bản của / (cư) với / G Í /1 (Md) được cho trong hai định

lý sau

Định lí 1.1.2 Cho f e L 1 (Md) Khi đó

ị ) f e L°° ( Rd) , v à /

' \ ) J L°°(Rd)

ii) Ị liên tục đều trên M d ;

Ui) Ị ( CƯ ) —> 0 khi CƯ —>

±00.

Định lí 1.1.3 Nếu fjgeL 1 (Md) và (3 ,7 € c, a, b, C Ư € Kd, OL G zị thì i) F w + 7ỡ} = /3-T7 {/} ± 7-T7 {9 }

F {T a f} (cư) = e~ 27ri{a ' u} f (cư)

Ui) T (E b f ) (cư) = / (cư - 6)

ỉ v ) { D a f ) A

( CƯ ) = (27 ĨZCƯ )° / ( CƯ )

trong đó T a f (í) := f (t - a), E b f (í) := e 2 ™ (M) / (í)

ơ đây ta đã sử dung ký hiêu CƯ Q = JT cư 7 -% D a = / Q ■■ ” trong

đó a = {a u a 2 , ,a d ) và cư = (cưi,cư2, ,cưd)

1.1.2 Phép biến đối Fourier trong không gian L2 (Md)

Định lí 1.1.4 Cho / G L1 (M d ) ni2 (M d ) ẢTiĩ đó phép biến đổi Fourier của f

là f e L 2 (M d ) ưà thỏa mãn đồng nhất thức Parseraỉ f =

L 2 (M d )

L 2 (M d ) ■

Từ định lý này ta thấy phép biển đổi Fourier T : L 1 (Md) ni2 (Md) —> L 2

(Md) là toán tử tuyến tính bị chặn

Do L 1 (Md) nL2 (Md) là trù mật trong L 2 (Md) nên T có thể thác triển lên toàn

bộ L 2 (Md) mà vẫn bảo toàn chuẩn Cụ thể hơn, nếu / € L 2 (Md)

Ỉ N

{ x ) :=

f(x)

0

nếu |x I < N nếu |xI > N, N = 1,2,

L 2 ( R d )

f\Ì2 = ỉ

2

6

nằm trong L l ( Md) n L 2 ( Md) Do đó /J V G L 2 ( Md)

Có thể kiểm tra đ ư ợ c rằng {/jv j là dãy Cauchy trong L 2 (Md) Do tính đầy

đủ của L 2 ( M d ) ta có thể tìm đ ư ợ c /oo G L 2 ( M d ) sao cho

Định nghĩa 1.1.5 Phép biến đổi Fourier f của hàm f G L 2 (M d ) được định nghĩa là giới hạn /oo của |/jv| ■

Chú ý 1.1.1 Định nghĩa f của hàm f G L 2 (M d ) là độc lập với sự lựa chọn của f N G

L 1 (Md) n L 2(Md) Nói cách khác, bất kỳ dãy Cauchy nào khác trong L 1 (M d )

n L 2 (M d ) mà xấp xỉ f trong L 2 (M d ) có thể sử dụng để định nghĩa f.

Định lí 1.1.6 (Định lý Plancherel)

Cho f,ge L 2 (M d ) Khi đó

(f,g) = Ọ > 9 )

Dặc biệt

1.2 Khung trong không gian Hilbert

Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản trong lý thuyết khung cần đến cho Chương 2 Các kết quả ở mục này có thể tham khảo ở tài liệu [1], [3]

Cho Tỉ là một không gian Hilbert khả ly, với tích vô hướng < >

tuyến tính theo thành phần thứ nhất, tuyến tính liên hợp theo thành phần thứ hai

Định nghĩa 1.2.1 Dãy {/1}^! trong !K được gọi là dãy Bessel nếu

00

3B>0-.ỵ^l(f, fi)\ 2 <B\\f\\ 2 , V/ € H, i= 1

B được gọi là cận Bessel của {/i}“r

Một dãy Bessel là một khung nếu

00

3A>0-.A\\f\\ 2 <ỵ2\ự, /OI 2 , v/s H.

Vậy ta có định nghĩa khung như sau:

Định nghĩa 1.2.2 Một dãy {/ị}^ trong Ti là một khung nếu tồn tại

hai hằng SỐO<A<5<00 sao cho

00

A\\f\\ 2 <ỵ2\ự, /,}|2 < BII/II2, V/€H.

Các số A, B đ ư ợ c gọi là các cận khung Chúng không là duy nhất Cận khung d ư ớ i tối ư u là supremum trên tất cả các cận khung d ư ớ i và cận khung trên tối ư u là intimum trên tất cả các cận khung trên Chú ý rằng các cận khung tối ư u là các cận khung thực sự

Khung {/ị}“1 được gọi là chặt nếu A = B và được gọi là khung Parseval nếu

A = B = 1.

Mệnh đề 1.2.3 Cho một dãy {fj} m

=ì trong không gian Hilbert hữu hạn chiều V Khi

đó {fj} m

=ì là một khung cho span {fj} m

=ì ■ Chứng minh Ta có thể giả sử rằng không phải tất cả các fj đều bằng không.

Như vậy ta thấy, điều kiện khung trên là thỏa mãn với

m

B = Ẻ ll/ill2

-j = l

l/ll2> All/ll2.

□

5

8

2

Bây giờ ta đặt w := span {fj} m = 1 và xem xét ánh xạ liên tục

m

j=l

Mặt cầu đơn vị trong w là compact, vì vậy ta có thể tìm g € w với ll^ll = 1 sao cho

¿ : = E l < 9 ’ ư = i n f E i ư / ¡ > 1 “ : / ^ , 1 1 / 1 1 = 1

Rõ ràng là A > 0 Bây giờ ta lấy / € w, Ị Ỷ 0) ta có

¿ l ơ , f í )l ^ = ¿ (iiTiĩ /í)

Mệnh đ ề đ ư ợ c chứng minh

Hệ quả 1.2.4 Một họ các phần tử {fj} m

=1 trong V

ỉà một khung của V khi và chỉ khi span {fj} m

=1 = V.

Hệ quả trên chỉ ra một khung có thể có số phần tử nhiều hơn số phần tử cần

thiết để là cơ sở Đặc biệt, nếu {fj} k = ì là một khung của V và { g j }m

= 1 là một

tập hữu hạn tùy ý các véc tơ trong V thì {fj} k = i u{gj} m = 1 cũng là một khung của V

Ví dụ 1 Lấy

« = «2,e = (0 lf, e2 = (^, ịr, e3 = (^, -\) T

{ei, e2, 63} là một khung chặt với cận khung là -

2

Thật vậy, với X = (xi, X 2Y G T-t bất kì, ta có

= \ {x l 2 +x 2 2 )

_ 3 I |2

= „\x\

2 I I

Ví dụ 2 Giả sử {efc}“=1 là một cơ sở trực chuẩn của H.

(i) {efc}^°=1 là khung Parseval

(ii) Bằng cách lặp mỗi phần tử trong dãy {efc}^°=1 hai lần ta thu được {AKLi = {eiĩ e u e 2, e2, } khi đó {/fc}“=1 là khung chặt với cận khung Ả = 2.

00 00

Thật vậy, ta có lơ, /fc)|2 = 2 E lơ, efc)|2 = 2II/I|2, V/ € n.

Nếu chỉ d được lặp lại ta thu được = {ei, ei, e 2 , es, } khi

đó {/fc}“=1 là khung với cận Ả = 1, B = 2 Thật vậy, ta có 00 00

Ẽlơ, /fc)|2 =lơ> ei)|2 + E lơ, e*>|2

< E lơ, efc)l2+ E lơ, efc)l2

00

= 2 E lơ, efc)l2

k=1

= 2||/n2- 00

00 Mặt khác lơ, ei)|2 + E lơ, efc)|2 > E lơ, efc)|2 = ll/ll2- Do đó

00

l l / l |2< £ l ơ , / 0 I2< 2 | | / I |2, V f e n

k = 1

Vì vậy {fk}^ = ì là một khung với một cận khung dưới là 1 và một cận khung trên là 2

-Cho / e L 2 (E) Đặt /(í) =

(iii) Già sử {ftit.i '■= {ei, 7^62, ựý 2 ' ụỉ z ' ựf 3 ' V3' 7^3,

1

nghĩa là {fkj^i là dãy mà mỗi véc tơ —I=e k được lặp lại k lần Khi đó

fk)\2 = J2k \f> ựkGk)

Vì thế {fk } là một khung chặt của PL với cận

khung A = 1.

Ví dụ 3 Cho K = L 2 (T ) trong đó T là đường tròn đơn vị với độ đo Lebesgue chuẩn hóa Khi đó ịe i n s : n G là một cơ sở trực chuẩn tiêu chuẩn cho K = L

2 (T) Nếu E c T là tập đo được bất kỳ thì {e i n s \ E : n € z} là một khung Parseval cho L 2 (E).

Thật vậy, trước tiên ta chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề 1.2.5 Cho PL là không gian Hilbert và X là không gian con đóng của PL Gọi p là phép chiếu trực giao từ PL lên X và {eị} i€l là một cơ sở trực chuẩn của

PL Khi đó {Pei} i&1 là một khung Parseval của X.

Chứng minh Gọi / là một phần tử thuộc X bất kỳ Khi đó Pf = f Ta có

£lơ, Pe<) I2 = £ I(Pf, eí)|2 = £ lơ, e.)| 2 = ll/ll2

Do đó {Peị} i € l là một khung Parseval của X □

Bây giờ ta se chứng minh ịe i n s \ „ là môt khung Parseval cho

V * J TL G L\E).

f(t) nếu t G E 0 nếu t £ T\E.

n m

C k ỉ k C k ỉ k

k = 1 f c = l

= sup

M=1

Khi đó f(t ) G L 2 (E) D o đó bằng cách đồng nhất / và / ta có thể coi L 2 (E )

là một không gian con đóng của L 2 (T) Gọi p là phép chiếu trực giao từ L 2 (T) lên L 2 (E) Khi đó p{e i n s ) = e i n s \ E Do {e i n s } z là cơ sở trực chuẩn của L 2 (T ) nên, theo Bổ đề 1.2.5 {e i n s \ E } z là khung Parseval cho L 2 {E).

Định lí 1.2.6 Giả sử { f k } k L \ là một dẫy trong Pi Khi đó { f k } k L i là

một dẫy Bessel với cận Bessel B khi và chỉ khi

00

T '■ {Ckìti Y^Ckỉk

k =1

là toán tử hoàn toàn xác định, tuyến tính, bị chặn từ l 2 (N) vào Pi và ||T|| < Ự B

Chứng minh Trước hết, giả thiết là dãy Bessel với cận Bessel

B Giả sử {c k }Zi G /2(N) Ta phải chỉ ra T{ck}^ = 1 là hoàn toàn xác

00

định, tức là c kf k là hội tụ Xét m,n G N, n > m Khi đó:

fc=i

c k f k

k = m + 1

( C k f k , 9 ỵ

\ f c = m + l /

< sup Ề ịckựk, g)\