Điểm bất động chung đối với các ánh xạ dãn trong không gian b-metric và không gian b-metric nón

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN ĐỨC THẮNG ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ DÃN TRONG KHÔNG GIAN b-METRIC VÀ KHÔNG GIAN b-METRIC NÓN Ngành: Toán giải tích Mã s

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN ĐỨC THẮNG

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ DÃN TRONG KHÔNG GIAN b-METRIC VÀ KHÔNG GIAN b-METRIC NÓN

Ngành: Toán giải tích

Mã số: 8460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng

THÁI NGUYÊN - 2020

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng Các tài liệu trong luận văn là trung thực Các kết quả chính của luận văn chưa từng được công bố trong các luận văn Thạc sĩ của các tác giả khác

Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này

đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Tác giả

Nguyễn Đức Thắng

LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và

tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học

Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Tháng 04 năm 2020

Tác giả

Chương 2 ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ DÃN TRONG KHÔNG GIAN b METRIC VÀ KHÔNG GIAN b METRIC NÓN 16

2.1 Điểm bất động chung đối với ánh xạ dãn trong không gian

2.4 Điểm bất động đối với điều kiện T thác triển cho ánh xạ dãn

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Năm 1922, Banach đã chứng minh một định lý nổi tiếng về điểm bất động trong không gian metric, gọi là nguyên lý ánh xạ co Banach, từ đó đã thiết lập sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình toán tử Tx  Đã có xnhiều mở rộng của nguyên lý ánh xạ co Banach về điểm bất động Sự mở rộng được thiết lập cho nhiều loại ánh xạ khác nhau trên các không gian kiểu metric Năm 2007, Huang và Zhang đã giới thiệu không gian metric nón và chứng minh định lí điểm bất động đối với ánh xạ co trong không gian đó Năm 2012, Stanic, Cvetkovic, Simic và Dimitrijevic đã đạt được một số kết quả về điểm bất động chung dưới điều kiện co kiểu Ciric trên không gian metric nón, Tương tự, năm

1989, Bakhtin đã giới thiệu không gian b metric, là sự mở rộng khác của không gian metric Năm 1993, Czerwik đã mở rộng định lý điểm bất động Banach trong không gian b metric Không gian b metric nón là sự mở rộng của cả không gian metric nón và không gian b metric

Việc nghiên cứu về ánh xạ giãn cũng là lĩnh vực nghiên cứu rất thú vị trong lý thuyết điểm bất động Điều này đã được phát triển vào năm 1984 từ công trình của Wang, Li, Gao và Iseki bằng cách giới thiệu các khái niệm về ánh xạ dãn trong không gian metric đầy đủ Daffer và Kaneko sử dụng hai tự ánh xạ trong không gian metric đầy đủ, để tổng quát kết quả của Wang và các cộng sự Kể từ đó, các định lý điểm bất động và điểm bất động chung đã được nhiều tác giả chứng minh cho ánh xạ giãn trong các không gian khác nhau, chẳng hạn: không gian G-metric, không gian d metric, không gian b metric, không gian b metric riêng, không gian metric nón, không gian b metric nón, … Một số kết quả về không gian b metric nón sử dụng ánh xạ kiểu giãn

đã được thiết lập bởi Huang, Zhu và Xi-Wen vào năm 2012 Gần đây, năm

2016, P.K Verma đã thiết lập một số kết quả về điểm bất động chung đối với

các ánh xạ giãn trong không gian b metric nón.

Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi chọn đề tài: “Điểm bất động chung đối với các ánh xạ giãn trong không gian b metric và không gian b metric nón”

Ý nghĩa thời sự: Đề tài có ý nghĩa thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày một số kết quả về Điểm bất động chung đối với các ánh xạ giãn trong không gian b metric và không gian b metric nón

3 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp của giải tích hàm

4 Bố cục luận văn

Nội dung đề tài được viết dựa trên các tài liệu [8] và [9] gồm 37 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1: Trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của không gian b metric và không gian b metric nón

Chương 2: Là nội dung chính của đề tài, trình bày một số kết quả về điểm bất động chung đối với các ánh xạ giãn trong không gian b metric và không gian b metric nón.

Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian b metric

Định nghĩa 1.1.1 ChoE là một tập khác rỗng và k  là số thực cho trước 1Hàm số  :E E  [0, ) được gọi là một b metric nếu với mọi , ,

u v w E các điều kiện sau được thỏa mãn:

a ( , ) 0)  u v   u v ;

b ( , ))  u v  ( , )v u ;

c ( , ))  u v k u w( , )( , )w v 

Bộ ba ( , , )E k được gọi là không gian b metric với hệ số k  1

Ví dụ 1.1.2 Mỗi không gian metric là không gian b metric với k  , nhưng 1ngược lại không đúng Ví dụ lấy E   và : E E   là ánh xạ xác [0, )định bởi

Định nghĩa 1.1.4 Cho ( , )E  là không gian b metric, u E và { }u là nmột dãy trong E Khi đó

( )i { }u hội tụ đến n u khi và chỉ khi nlim ( , ) 0u un 

Kí hiệu nlimun u hoặc un u khi n  

( )ii { }u là dãy Cauchy khi và chỉ khi n n m,lim ( , ) 0 u un m 

( )iii ( , )E  là đầy đủ khi và chỉ khi mọi dãy Cauchy trong E đều hội tụ

Định nghĩa 1.1.5.Cho ( , )E  là không gian b metric và ánh xạ :T E  E

Ta nói rằng T liên tục tại u E0  nếu với mọi dãy { }u trong E , n un u0 khi

n   thì Tun  Tu0 khi n   Nếu T liên tục tại mỗi điểm u E0  thì

ta nói T liên tục trên E

Mệnh đề 1.1.6 Cho ( , , )E k là không gian b  metric, giả sử { } un và { } vn

là các dãy hội tụ đến u v E,  tương ứng Khi đó

1 ( , ) liminf ( , ) limsup ( , )2 n n n n n 2 ( , )

n

Đặc biệt, nếu u v thì nlim ( , ) 0 u vn n  Ngoài ra, với mỗi w E , ta có

1 ( , ) lim inf ( , ) lim sup ( , )n n n ( , )

với mọi n n Điều này mâu thuẫn với 0 ( , )u v    0

Bổ đề 1.1.8 Cho ( , , )E k là không gian b metric với hệ số k và

Vậy { }un là dãy Cauchy 

Năm 2016, Daheriya, Likhitker và Ughade ([2]) đã chứng minh định lý sau đây về điểm bất động đối với một ánh xạ với điều kiện kiểu giãn cho không gian b metric:

Định lý 1.1.10 ([2]) Cho ( , , )E k là một không gian b metric đầy đủ với hệ

số k  và T là ánh xạ liên tục thỏa mãn điều kiện: 1

Tu Tv,  ( , ) 1u Tu1 ( , )u v( , )v Tv  ( , )u v ,

với mọi u v E,  , u v ; trong đó ,   là các hằng số thực với 0

k   và k   Khi đó T có một điểm bất động trong E 1

Kết quả sau đây đã được chứng minh bởi Mohanta (Th.3.3 [5]) đối với ánh xạ liên tục trong không gian b metric:

Định lý 1.1.11 [5] Cho ( , , )E k là không gian b metric với hệ số k  và 1:

T E  là ánh xạ liên tục thỏa mãn điều kiện sau: E

   Khi đó T có một điểm bất động trong E 

Định nghĩa 1.1.12 Cho S và T là các ánh xạ từ không gian metric ( , )E  vàochính nó Cặp ánh xạ ( , )S T được gọi là tương thích nếu

limn(STu TSun, n) 0 , với mọi dãy { }un E sao cho

limnSun  limnTun t với t nào đó thuộc E

Định nghĩa 1.1.13 Cho S và T là các ánh xạ từ không gian metric ( , )E  vào chính nó Nếu v Su Tu  với u E thì u được gọi là điểm trùng của S và

T, v được gọi là giá trị trùng của S và T

Định nghĩa 1.1.14 Cho ( , )E  là không gian metric Cặp ánh xạ S T E, :  E

gọi là tương thích yếu nếu chúng giao hoán tại những điểm trùng, tức là nếu

Su Tu với u E thì STu TSu

Mệnh đề 1.1.15 Cho ( , )E  là không gian metric và S T E, : E là các ánh

xạ tương thích yếu Nếu S và T có một điểm trùng duy nhất, tức là

v Su Tu  thì v là điểm bất động chung duy nhất của S và T

1.2 Điều kiện T thác triển

Ozturk và Kaplan [6] đã chỉ ra rằng tồn tại ánh xạ S E:  E không thỏa mãn điều kiện co, nhưng nếu một ánh xạ T E:  E được chọn phù hợp thì nó xảy ra “điều kiện co”, còn được gọi là điều kiện T co Ở đây, lưu ý rằng S có một điểm bất động Điều này cho thấy sự quan trọng của điều kiện

T co trong lý thuyết điểm bất động Điều kiện T co được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.2.1 Cho ( , )E  là một không gian metric và :T E E  FKhi đó T được gọi là  co Banach nếu với ,u v E ,   (0,1) sao cho ( , )Tu Tv ( , )u v

Định nghĩa 1.2.2 Cho S và T là hai ánh xạ từ không gian metric ( , )E  vào chính nó Ánh xạ S được gọi là T co nếu tồn tại số k (0,1) sao cho

(TSu TSv, )k Tu Tv( , ), với mọi u v E, 

Ví dụ 1.2.3 Cho E   với metric cảm sinh trong  và [1, ]  : E E  

là hàm số xác định bởi ( , ) |u v  u v Lấy :| S E  là ánh xạ xác định Ebởi Su 8 / u, với mọi u E Khi đó S không thỏa mãn điều kiện  co

u  là điểm bất động chung duy nhất trong E

Lấy ý tưởng bởi Ozturk và Kaplan [6], chúng ta định nghĩa khái niệm T thác triển trong không gian b metric như sau:

Định nghĩa 1.2.3 Cho ( , , )E k là không gian b metric với hằng số k  và 1ánh xạ S E:  E Ánh xạ S được gọi là thỏa mãn T thác triển trong không gian b metric, đối với ánh xạ đơn ánh và liên tục T E:  E, nếu bất đẳng thức: ( , )Tu Tv (TSu TSv, ) thoả mãn với mọi u v E u v,  ,  , trong đó

k

 

Sau đây là ví dụ về ánh xạ T thác triển trong không gian b metric:

Ví dụ 1.2.4 Cho E   và : E E[1, )     là ánh xạ xác định bởi ( , ) |u v  u v u v E | , ,2 

Khi đó ( , , )E k là không gian b metric với hệ số k  Lấy ánh xạ 2

:

S E  E xác định bởi Su 2 /u Khi đó S là ánh xạ co Thật vậy, với

u v ta có

1.3 Không gian b  metric nón

Định nghĩa 1.3.1 Cho E là tập khác rỗng và  là quan hệ được xác định trong

nó Khi đó (E  được gọi là tập sắp thứ tự bộ phận nếu , )

i C đóng và C  {}, ở đó  là phần tử không của E

iii u  tức là v v u  với mọi C u v C, 

Nón C được gọi là chuẩn tắc, nếu   sao cho: K 0

)

Số thực dương bé nhất thỏa mãn iv gọi là hằng số chuẩn tắc của C )

Nón C gọi là chính qui nếu mỗi dãy tăng và bị chặn trên đều hội tụ Tương đương, nón C gọi là chính qui nếu mỗi dãy giảm và bị chặn dưới đều hội tụ Mỗi nón chính qui đều chuẩn tắc, nhưng tồn tại nón chuẩn tắc mà không chính qui

Định nghĩa 1.3.3 Cho E là tập khác rỗng và : E E   là ánh xạ Fthỏa mãn các điều kiện sau

Do đó ( , )E  không là không gian metric nón

Ví dụ 1.3.6 Cho E là tập hợp các hàm đo được Lebesgue trên [0,1] sao cho

( , ) (|u v  u v |, | u v |),

trong đó   là hằng số Khi đó( , )0 E  là một không gian metric nón

Ví dụ 1.3.8 Cho B { :e ii 1,2, , }n là cơ sở trực giao của n với tích trong (.,.) và p  Xét không gian 0

Khi đó ( , )E p là không gian metric nón với k 2p 1 Nếu p  thì 1 ( , )E p

là không gian b metric nón

Định nghĩa 1.3.9 Cho ( , )E  là không gian b metric nón, u E và { }u là nmột dãy trong E Khi đó

Bổ đề 1.3.10 Cho C là một nón và { }u là một dãy trong n E Nếu a intC

và  un   khi n  , thì N sao cho với mọi n N , ta có un  a

Bổ đề 1.3.11 Cho u v w E, ,  , nếu u v và v  , thì uw  w

Bổ đề 1.3.12 Cho C là một nón và    với u a a intC Khi đó u 

Bổ đề 1.3.13 Cho C là một nón Nếu u C và u u với một số 0   1nào đó, thì u 

Bổ đề 1.3.14 Cho C là một nón và a b c  với mỗi c intC Khi đó a b Định nghĩa 1.3.15 Cho ( , )E  là một không gian metric và T E E:   FKhi đó T được gọi là ánh xạ dãn nếu với mọi ,u v E , tồn tại   , sao cho 1 ( , )Tu Tv ( , )u v

Tương tự, trong không gian b metric ta có khái niệm T thác triển như sau:

Định nghĩa 1.3.16 Cho S E:  là tự ánh xạ của không gian b metric E

đối với ánh xạ đơn ánh liên tục T E:  , nếu bất đẳng thức sau thỏa mãn: E ( , )Tu Tv   (TSu TSv, ),

với mọi u v E u,  , v, ở đây   k

Ví dụ 1.3.17 Cho E  [0, ] với metric cảm sinh trong  ,  : E E  

là ánh xạ xác định bởi ( , ) |u v  u v| với mọi u v E,  và :S E  là E

4 ln 4 ln 4 1 | 4 ln 4 ln |

     1 ( , )2Tu Tv Suy ra ( , ) 2 (Tu Tv  TSu TSv, ) Do đó S là T thác triển với   Đồng 2thời u  là điểm bất động chung duy nhất trong E 2

Năm 2012, Huang và Wen [3], sử dụng điều kiện thác triển, đã chứng minh các định lí sau:

Định lí 1.3.18 Cho ( , )E  là không gian metric nón đầy đủ và T E:  là Etoàn ánh Giả sử rằng tồn tại   sao cho 1

( , )Tu Tv ( , )u v với mọi u v E, 

Khi đó T có một điểm bất động duy nhất

Định lí 1.3.19 Cho ( , )E  là không gian metric nón đầy đủ và T E:  là Etoàn ánh Giả sử rằng tồn tại     với 1, ,2 3 0 1    thỏa mãn điều 2 3 1kiện:

( , )Tu Tv  1 ( , )u v  2 ( , )u Tu  3 ( , )v Tv

với mọi u v E,  , u v Khi đó T có một điểm bất động duy nhất

Bây giờ, ta sẽ trình bày việc tổng quát hóa kết quả trên cho hai tự ánh xạ Trước tiên ta chứng minh Bổ đề sau sẽ sử dụng trong kết quả chính

Bổ đề 1.3.20 Cho ( , )E  là không gian b metric nón và { }u là một dãy ntrong E Nếu tồn tại số  (0,1/ )k , ở đó k  sao cho 1

(un1, )un ( ,un un1) với n 1,2, thì { }u là dãy Cauchy trong E n

Giả sử   đã cho, khi đó theo Bổ đề 1.3.10 tồn tại c m   sao cho 0

CHƯƠNG 2

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ DÃN TRONG KHÔNG GIAN b METRIC VÀ KHÔNG GIAN b METRIC NÓN

2.1 Điểm bất động chung đối với ánh xạ dãn trong không gian b metric

Trước tiên, trong không gian metric, Daffer và Kaneko [1] đã chứng minh kết quả về điểm bất động chung sau đây:

Định lý 2.1.1 [1] Cho ( , )E  là một không gian metric đầy đủ, :S E  là Eđơn ánh và T E:  là toàn ánh, đồng thời tồn tại một số E  1 sao cho

( , )Tu Tv ( , )Su Sv , với mỗi u v E,  Khi đó S và T có một điểm bất động chung duy nhất

Sử dụng khái niệm ánh xạ tương thích cho một cặp ánh xạ, Rhoades [7]

đã tổng quát hóa kết quả trên của Daffer và Kaneko, như sau:

Định lý 2.1.2 ([7]) Cho ( , )E  là một không gian metric đầy đủ, , :S T E  E

là các ánh xạ tương thích thỏa mãn điều kiện

Định lý 2.1.3 Cho ( , , )E k là một không gian b metric với hệ số k  và 1, :