Điểm bất động của ánh xạ đa trị trong không gian metric nón

Các tác giá đã gióithi¾u các khái ni¾m ve sn h®i tu cna dãy, tính đay đn cna không gian.Đong thòi các tác giá đã giói thi¾u ket quá ve điem bat đ®ng cho lóp ánh xa đơn tr% trong các khôn

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

NGUYEN ĐÌNH THIEN

ĐIEM BAT Đ®NG CÚA ÁNH XA ĐA TR±

TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN

LU¾N VĂN THAC SY TOÁN HOC

HÀ N®I, 2013

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2

NGUYEN ĐÌNH THIEN

ĐIEM BAT Đ®NG CÚA ÁNH XA ĐA TR±

TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN

LU¾N VĂN THAC SY TOÁN

LèI CÁM ƠN

Lu¾n văn đưoc hoàn thành tai trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2 dưói

sn hưóng dan cna T.S Hà Đúc Vưong

Tác giá xin bày tó lòng biet ơn sâu sac nhat tói T.S Hà Đúc Vưong,ngưòi đã đ%nh hưóng chon đe tài và t¾n tình hưóng dan đe tác giá hoànthành lu¾n văn này

Tác giá xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói Phòng Sau đai hoc, cácthay cô giáo day cao hoc chuyên ngành Toán Giái tích, trưòng Đai hoc Sưpham Hà N®i 2 đã giúp đõ tác giá trong suot quá trình hoc t¾p và hoànthành lu¾n văn tot nghi¾p

Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói gia đình, ban bè, ngưòithân đã luôn đ®ng viên, co vũ, tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tác giátrong quá trình hoc t¾p và hoàn thành lu¾n văn

Hà N®i, tháng 10 năm 2013

Tác giá

Nguyen Đình Thien

LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna T.S Hà Đúc Vưong, lu¾n vănThac sy chuyên ngành Toán Giái tích vói đe tài “Điem bat đ®ng cna ánh

xa đa tr% trong không gian metric nón” do tôi tn làm Các ket quá và tàili¾u trích dan đưoc chí rõ nguon goc

Trong quá trình nghiên cúu thnc hi¾n lu¾n văn, tôi đã ke thùa nhungthành tnu cna các nhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn

Hà N®i, tháng 10 năm 2013

Tác giá

Nguyen Đình Thien

Mnc lnc

Má

1.1 Không gian metric 6

1.2 Không gian metric Hausdorff 14

1.3 Không gian compact 20

1.4 Không gian đ%nh c huan 23

1.5 Không gian Banach 27

2 KHÔNG GIAN METRIC NÓN 32 2.1 Đ%nh nghĩa và ví du 32

2.2 h®iSn tu trong không gian metric nón 38

3 ĐIEM BAT Đ®NG CÚA ÁNH XA ĐA TR± TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN 48 3.1 kháiCác ni¾m 48

3.2 đ%nhCác lý điem bat đ®ng 52

5

Ket lu¾n 64

Tài

5

Má đau

1 Lý do chon đe tài

Cho X là m®t t¾p hop bat kì, ánh xa T : X → 2 X là m®t ánh xa đa

tr% đi tù t¾p X vào ho các t¾p con cna nó Điem x ∈ X thóa mãn x ∈

Tx đưoc goi là điem bat đ®ng cna ánh xa đa tr% T trên t¾p X Vi¾c

nghiên cúu van đe này đã góp phan giái quyet đac lnc hàng loat các bàitoán quan trong Các ket quá cna vi¾c nghiên cúu lĩnh vnc này đã hìnhthành nên “Lý thuyet điem bat đ®ng” (fixed point theory) và gan lien vóitên tuoi cna các nhà toán hoc lón như Banach, Brouwer, Shauder,Tikhonov, Sadovski, Kyfan,

Năm 2007, Huang Long Guang và Zhang Xian đã giói thi¾u khái ni¾mkhông gian metric nón bang cách thay t¾p so thnc trong đ%nh nghĩa metricbói m®t nón đ%nh hưóng trong không gian Banch thnc Các tác giá đã gióithi¾u các khái ni¾m ve sn h®i tu cna dãy, tính đay đn cna không gian.Đong thòi các tác giá đã giói thi¾u ket quá ve điem bat đ®ng cho lóp ánh

xa đơn tr% trong các không gian này

Sau đó nhieu nhà toán hoc đã quan tâm và các ket quá ve điem bat

đ®ng trong không gian metric nón đã đưoc công bo.

Năm 2009, Sh Rezapour and R H Haghi đã công bo ket quá ve điembat đ®ng trong lóp không gian này cho các ánh xa đa tr% qua bài báo

“fixed point of multifunction on cone metric spaces”.

Vói mong muon tìm hieu sâu hơn ve điem bat đ®ng cna ánh xa đa tr%trong không gian metric nón, đưoc sn giúp đõ và hưóng dan t¾n tình cna

TS Hà Đúc Vưong, tôi manh dan chon đe tài nghiên cúu:

“Điem bat đ®ng cúa ánh xa đa tr% trong không gian metric nón”

2 Mnc đích nghiên cNu

Tong hop các ket quá ve điem bat đ®ng cna ánh xa đa tr% trong khônggian metric nón

3 Nhi¾m vn nghiên cNu

Nghiên cúu ve điem bat đ®ng cna ánh xa đa tr% trong không gian metricnón

4 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

Nghiên cúu ve “ Không gian metric nón và điem bat đ®ng cna ánh xa

đa tr% trong lóp không gian metric nón” qua hai bài báo:

- Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings(2007) cna Huang Long Guang, Zhang Xian.

- Fixed point of multifunctions on cone metric spaces (2009) cna Sh.Rezapour and R H Haghi

5 Phương pháp nghiên cNu

- D%ch, đoc và nghiên cúu tài li¾u

-Tong hop, phân tích, v¾n dung kien thúc cho muc đích nghiên cúu

6 DN kien đóng góp

Đây là m®t bài tong quan ve điem bat đ®ng cna ánh xa đa tr% trongkhông gian metric nón Lu¾n văn giúp ngưòi đoc hieu sâu hơn ve khônggian metric, không gian metric nón và điem bat đ®ng cna ánh xa đa tr%trong không gian metric nón

Lu¾n văn đưoc trình bày gom ba chương

Chương 1 trình bày các khái ni¾m cơ bán ve không gian metric, khônggian metric Hausdorff, không gian compact, không gian đ%nh chuan, khônggian Banach

Chương 2 trình bày khái ni¾m ve nón, metric nón, không gian metricnón và sn h®i tu trong không gian metric nón

Chương 3 trình bày m®t so ket quá ve điem bat đ®ng cna ánh xa đa tr%trong không gian metric nón.

Chương 1

KIEN THÚC CHUAN B±

Trong chương này chúng tôi trình bày m®t so khái ni¾m cơ bán ve khônggian metric, không gian metric Hausdorff, không gian compact, không gianđ%nh chuan và cuoi cùng là không gian Banach Sau moi khái ni¾m là các

(X, d).

Ví dn 1.1.2 Cho C [a, b] là không gian các hàm so nh¾n giá tr% thnc

xác đ%nh và liên tuc trên đoan [a, b] , (−∞ < a < b < +∞) Vói hai hàm so bat kỳ x = x (t) , y = y (t) thu®c C [a, b] ta đ¾t:

d (x, y) = max |x (t) − y (t)|.

a≤t≤b

Khi đó (C [a, b] , d) là m®t không gian metric

Th¾t v¾y, vì các hàm so x (t) , y (t) liên tuc trên đoan [a, b] nên hàm

so

|x (t) − y (t)| cũng liên tuc trên đoan [a, b].

Do đó, hàm so này đat giá tr% lón nhat trên đoan [a, b] Suy ra h¾ thúc cna

d (x, y) xác đ%nh m®t ánh xa tù C [a, b] × C [a, b] vào t¾p so

V¾y (C [a, b] , d) là m®t không gian metric.

Đ%nh nghĩa 1.1.3[1] Cho không gian metric (X, d) , điem x0 thu®c X

Đ%nh nghĩa 1.1.4[1] Cho không gian metric (X, d), lân c¾n cna điem

x0 ∈ X là moi hình cau mó tâm x0 bán kính r > 0.

Đ%nh nghĩa 1.1.5[1] Cho không gian metric (X, d), m®t t¾p hop G ⊂ X

và điem x0 ∈ X.

Điem x0 ∈ X đưoc goi là m®t điem trong cna t¾p G neu ton tai m®t lân c¾n cna nó nam tron trong t¾p G, túc là lân c¾n đó chí chúa toàn nhung điem cna G.

Điem x0 ∈ X đưoc goi là m®t điem ngoài cna t¾p G neu ton tai m®t lân c¾n cna nó nam tron ngoài t¾p G, túc là lân c¾n đó hoàn toàn không chúa điem nào cna t¾p G.

Đ%nh nghĩa 1.1.6[1] Cho không gian metric (X, d), m®t t¾p hop G ⊂

X.

T¾p G đưoc goi là t¾p mó trong không gian X neu moi điem thu®c G đeu

là điem trong cna G.

T¾p G đưoc goi là t¾p đóng trong không gian X neu moi điem không

thu®c

G đeu là điem ngoài cna G.

Ví dn 1.1.7 Không gian metric (X, d) vói X = R và metric d là

khoáng cách thông thưòng, d (x, y) = |x − y| Khi đó

a (−1; 1) là m®t lân c¾n cna điem 0.

b (−1; 1) là m®t t¾p mó cna R.

c [−1; 1] là m®t t¾p đóng cna R.

Đ%nh lí 1.1.8[1] Cho không gian metric (X, d), T là ho tat cá các t¾p

mó trong X thì T là m®t tôpô trên X.

)

Đ¾t r = min {r1, r2, , r m } > 0 ta có lân c¾n S (y, r) thóa mãn

S (y, r) ⊂ Tm

j= 1

G j = F

Do đó F là t¾p mó.

Đ%nh nghĩa 1.1.9[1] Ho T tat cá các t¾p mó trong không gian metric (X, d) đưoc goi là tôpô sinh bói metric d.

Ví dn 1.1.10 Cho X = R vói metric thông thưòng d (x, y) = |x − y| Khi đó, ho các khoáng trên R là m®t tôpô trên R và đưoc goi là

tôpô tn nhiên trên R

Chúng minh Th¾t v¾y,

∅ là t¾p con cna moi t¾p hop nên ∅ ∈ T

R = (−∞; +∞) nên R ∈ T

Hop các khoáng là m®t khoáng và giao huu han các khoáng là m®t

khoáng Do đó ho T các khoáng trên R là m®t tôpô trên R.

Đ%nh nghĩa 1.1.11[1] Dãy {x n } trong không gian metric (X, d) đưoc

goi

là h®i tu đen x0 X, neu lim

n→∞ d (x n , x0) = 0

∈

Khi đó, viet lim

n→∞ x n = x0 ho¾c x n → x0 khi n → ∞ ; điem x0 đưoc goi là

giói han cna dãy {x n }.

Nh¾n xét 1.1.12 Dãy h®i tu trong không gian metric

có giói han duy nhat

) ≤ d(a, x n ) + d(x n , y n ) + d(y n ,

b)

Ta có đieu phái chúng minh.

1.2 Không gian metric Hausdorff

Đ%nh nghĩa 1.2.1 [10] Cho (X, d) là m®t không gian metric CB(X)

là ho các t¾p con khác rong, đóng, b% ch¾n cna X Khi đó:

1 Khoáng cách tù m®t điem đen m®t t¾p hop đưoc xác đ%nh bói

d (x, A) = inf {d (x, y) : y ∈ A}.

2 Khoáng cách tù t¾p hop A đen t¾p hop B trong X đưoc xác đ%nh bói

H A (B) = sup {d (x, B) : x ∈ A}.

3 Khoáng cách Hausdorff giua t¾p A và t¾p hop B trong X đưoc xác đ%nh

bói:

H (A, B) = max {H A (B), H B (A)}

= max sup inf d (x, y) , sup inf d (x, y)

x∈A y∈B y∈B x∈A

Đ%nh lý 1.2.2 [10] Cho (X, d) là m®t không gian metric,

d (x, B) = inf d (x, y), d (x, C) = inf d (x, z).

Hay d (a, B) ≤ d (a, c) + sup d (c, B).

c∈C

Suy ra d (a, B) ≤ d (a, c) + H C (B).

Do c là tùy ý trong C nên ta có

d (a, B) ≤ d (a, C) + H C (B).

Tương tn, do a lay tùy ý trong A nên ta có

H A (B) ≤ H A (C) + H C (B).

Đ%nh lý 1.2.3 [10] Cho (X, d) là m®t không gian metric, CB(X) là

ho các t¾p con khác rong, đóng, b% ch¾n cna X.

Khi đó (CB(X), H) là m®t không gian metric.

Chúng minh Ta đi kiem tra H là m®t metric

Túc là A ⊂ B và B ⊂ A Hay A = B.

2 Hien nhiên ta có

H (A, B) = H (B, A), ∀A, B ∈ CB(X).

3 Bây giò ta chúng minh bat đang thúc tam giác đoi vói H Giá sú A, B, C ∈ CB(X).

H (A, B) ≤ H (A, C) + H (B, C).

V¾y H là m®t metric trên CB(X) Ta goi là metric Hausdorff.

Do đó (CB(X), H) là m®t không gian metric, đưoc goi là không

gian metric Hausdorff

Đ%nh lý đưoc chúng minh

Nh¾n xét 1.2.1 Metric Hausdorff phu thu®c vào d nên tù tính đay đn

cna không gian metric (X, d) ta nh¾n đưoc tính đay đn cna không

1.3 Không gian compact

Đ%nh nghĩa 1.3.1 [1] Cho không gian metric (X, d) T¾p K ⊂ X goi

là t¾p compact neu moi dãy vô han các phan tú thu®c K đeu chúa dãy con h®i tu tói phan tú thu®c t¾p K T¾p K goi là t¾p compact tương đoi neu moi dãy vô han các phan tú thu®c K đeu chúa dãy con h®i tu tói phan tú thu®c X.

Đ%nh nghĩa 1.3.2 [1] Cho không gian metric (X, d) Không gian (X,

d)

goi là không gian compact, neu t¾p X là t¾p compact.

Ví dn 1.3.3 Moi dãy vô han nhung phan tú cna t¾p b% ch¾n {x n } trong

R phái chúa moi dãy con {x n k } h®i tu Vì the trong không gian metric

R m®t đoan bat kỳ là t¾p compact, m®t khoáng bat kỳ là t¾p compacttương đoi

Ví dn 1.3.4 Không gian metric C [a,b] là không gian không compact, vì

dãy hàm so x n (t) = n trên đoan [a, b] vói n = 1, 2, không chúa dãy

con nào h®i tu

Đ%nh nghĩa 1.3.5 [1] Cho không gian metric (X, d) T¾p A ⊂ X Ho {G α } α∈I gom các t¾p mó trong (X, d) (I là t¾p chí so) goi là m®t phnmó

không gian metric (X, d) và ho {G α } α∈I là m®t phn

mó nào đó cna K nhưng không chúa m®t phn mó con huu han nào cna K.

Vì K là compact, nên có the phn K bang m®t ho huu

han hình cau bánkính 1, trong so đó phái có ít nhat m®t hình cau, ký

hi¾u S1, sao cho t¾p K1 = K ∩ S1 không the phnđưoc bang m®t ho con huu han cna ho

{G α } α∈I Tương tn, có the phn K bang m®t ho huu

han hình cau bán1

kính

2, trong so đó phái có ít nhat m®t hình cau, ký

hi¾u S2, sao cho

t¾p K2 = K1 ∩ S2 không the phn đưoc bang m®t ho con huu han cna ho

{G α } α∈I

Tiep tuc quá trình như v¾y ta nh¾n đưoc m®t dãy hình

cau S n vói bán1

vói moi n = 1, 2, Vì K là t¾p compact nên dãy {x n } chúa dãy

con

{x n k } h®i tu tói phan tú x0 ∈ K, do đó x0 phái thu®c m®t t¾p nào

đó G α0 ∈ {G α } α∈I Theo giá thiet G α0 là t¾p mó, nên ton tai m®t hình

cau S tâm x0, bán kính r > 0 sao cho S ⊂ G α0 Chon k0 đn lón sao cho

Do đó K n k ⊂ S ⊂ G α0 Đieu này mâu thuan vói tính chat cna t¾p K n k0

Mâu thuan đó chúng tó moi phn mó cna t¾p compact K đeu chúa m®t phn mó con huu han cna K.

Ngưoc lai, giá sú K ⊂ X thóa mãn đieu ki¾n: moi phn mó cna K đeu chúa m®t phn mó con huu han cna K, nhưng ton tai m®t dãy vô han {x n } ⊂ K không chúa m®t dãy con nào h®i tu Tù đó suy ra, đoi vói moi điem z ∈ K ton tai m®t hình cau mó S z tâm z và bán kính nào đay

không chúa điem nào cna dãy {x n }, có the trù chính điem z ta nh¾n

đưoc m®t ho các t¾p mó (Sz )z∈K là m®t phn mó cna K Theo giá thiet phn mó đó cna K phái chúa m®t phn mó con huu han cna K, ký hi¾u S z1 , S z2 , , S z m , do

0

S z j , ( j = 1, 2, , m) chúa không quá m®t phan tú cna dãy {x n },

nghĩa

là dãy {x n } chí có m®t so huu han phan tú, trái vói tính chat vô han cna

dãy {x n } Mâu thuan đó chúng tó dãy {x n } phái chúa ít nhat m®t dãy con h®i tu Suy ra t¾p K là t¾p compact tương đoi Tiep theo ta chúng minh K chúa moi điem giói han cna K Giá sú ton tai m®t điem giói han

y0 cna K không thu®c K L¾p các hình cau đóng S r tâm y0, bán kính1

Đ%nh nghĩa 1.4.1 [1] M®t không gian đ%nh chuan (hay không gian

tuyen tính đ%nh chuan) là không gian tuyen tính X trên trưòng K (K =

R ho¾c K = C) cùng vói m®t ánh xa "." : X → R đưoc goi là m®t

chuan neu thóa mãn các đieu ki¾n sau:

Đ%nh lý 1.4.2[1] Moi không gian đ%nh chuan đeu là không gian metric.

V¾y d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y), ∀x, y, z ∈ X.

Khi đó (X, d) là m®t không gian metric

Ví dn 1.4.3 Cho không gian vectơ n chieu En, trong đó

En = {x = (x1, , x n ) : x k ∈ R ∨ x k ∈ C} Đoi vói vectơ bat kỳ

Khi đó En là không gian đ%nh chuan

Chúng minh Ta kiem tra các đieu ki¾n cna Đ%nh nghĩa.

"x k "2 “ 0, ∀x ∈ E n

‚ n

2 Vói moi x ∈ E n , ∀λ ∈ K, ta có

‚ n

"λx" = "λx k "

k=1

‚ n

"y k "

= "x" + "y".

Suy ra " · " là m®t chuan trên E n

V¾y (En , " · ") là m®t không gian đ%nh chuan.

Đ%nh nghĩa 1.4.4[1] Dãy điem {x n } cna không gian đ%nh chuan X goi

là h®i tu đen điem x X, neu lim

1.5 Không gian Banach

Đ%nh nghĩa 1.5.1 [1] Không gian đ%nh

chuan X goi là không gian Ba- nach, neu moi

dãy Cauchy đeu h®i tu đen m®t điem thu®c

X (Hay không gian đ

%nh chuan đay đn làkhông gian Banach)

Ví dn 1.5.2 Không gian l2 gom tat cá nhung dãy so phúc x = {x n }

|x n |2 là không gian Banach

Chúng minh Lay dãy {a n } là m®t dãy Cauchy trong l2 Giá sú {a n } = {α n,1, α n,2, }.

Vói ε > 0 tùy ý, ton tai so N0 thóa mãn:

Nghĩa là vói moi k ∈ N dãy {α n,k } là m®t dãy Cauchy trong C và vì

v¾y nó h®i tu

Ký hi¾u:

α k = lim

n→∞ α n,k , vói moi k = 1, 2, ; a = {α k }.

Ta se chúng minh a là m®t phan tú cna l2 và dãy {a n } h®i tu tói a.

Th¾t v¾y, tù (1.5.1) cho m → ∞ ta đưoc: