Điểm bất động chung trong không gian metric mờ

Từ đó khái niệm "không gian metric mờ" được hình thành và kếtquả về điểm bất động của ánh xạ trong lớp không gian này được nghiêncứu và ứng dụng.. Năm 2009, Aage và Salunke là hai nhà to

Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban Giám hiệu trườngĐại học sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trongnhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích

đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên

và tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 6 năm 2012

Tác giả

Nguyễn Thị Lan Anh

Tôi xin cam đoan luận văn là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dưới

sự hướng dẫn của Tiến Sĩ Hà Đức Vượng

Quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng và kế thừa thành quả của cácnhà Khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2012

Tác giả

Nguyễn Thị Lan Anh

Mục lục

1.1 Không gian metric 31.2 Không gian metric đầy đủ 61.3 Định lý điểm bất động Banach 12

2.1 Tập mờ 162.2 Không gian metric mờ 192.3 Không gian metric mờ đầy đủ 25

Chương 3 Điểm bất động chung trong không gian metric

3.1 Ánh xạ tương thích 313.2 Định lý điểm bất động chung trong không gian metric mờ 35

1 Lý do chọn đề tài

Nhiều bài toán khác nhau của khoa học kỹ thuật đã dẫn đến việcnghiên cứu vấn đề sau:

Với M là một tập hợp khác rỗng nào đó, ta xét ánh xạ T : M → M Điểm x ∈ M thỏa mãn phương trình T x = x được gọi là điểm bất độngcủa ánh xạ T trên tập M Việc nghiên cứu vấn đề trên đã góp phầnđắc lực cho việc giải quyết các bài toán quan trọng trong Toán học nóiriêng, trong Khoa học kỹ thuật nói chung Lĩnh vực nghiên cứu này đãthu hút nhiều nhà toán học quan tâm và các kết quả về lĩnh vực này đãhình thành nên: "Lý thuyết điểm bất động"

Năm 1965, Zadeh đã đưa ra khái niệm "tập mờ", đó là các ánh

xạ đi từ tập X vào đoạn [0; 1] Sau đó rất nhiều nhà toán học quantâm nghiên cứu vấn đề này như: George, Rhoades, Deng, Erceg, Kaleva,Seikala,

Từ đó khái niệm "không gian metric mờ" được hình thành và kếtquả về điểm bất động của ánh xạ trong lớp không gian này được nghiêncứu và ứng dụng

Năm 2009, Aage và Salunke là hai nhà toán học Ấn Độ, đã công

bố một số kết quả về điểm bất động và điểm bất động chung cho cácánh xạ trong không gian metric mờ trong bài báo: "On Fixed PointTheorem in Fuzzy Metric Spaces"

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về điểm bất động, điểm bất độngchung trong không gian metric mờ, được sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tìnhcủa TS Hà Đức Vượng, tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu:

"Điểm bất động chung trong không gian metric mờ"

2 Mục đích nghiên cứu

Tổng hợp các kết quả về điểm bất động, điểm bất động chungtrong không gian metric mờ Công trình nghiên cứu được dựa trên kếtquả của C T Aage và J N Salunke trong bài báo "On Fixed PointTheorem in Fuzzy Metric Spaces "

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về điểm bất động, điểm bất động chung trong khônggian metric mờ

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về: "Điểm bất động chung trong không gianmetric mờ"

5 Phương pháp nghiên cứu

- Dịch, đọc nghiên cứu tài liệu

- Tổng hợp, phân tích, vận dụng kiến thức cho mục đích nghiêncứu

6 Những đóng góp của đề tài

Đây là bài tổng quan về điểm bất động chung trong không gianmetric mờ Qua đề tài này giúp người đọc thấy được mối quan hệ giữakhông gian metric và không gian metric mờ, kết quả về điểm bất độngchung trong không gian metric mờ

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản vềkhông gian metric, không gian metric đầy đủ, định lý điểm bất độngBanach và các ví dụ minh họa

1.1 Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1 [3] Không gian metric là một cặp (X, d) trong đó X

là một tập hợp khác rỗng, d là một hàm số xác định trên X × X thỏamãn các điều kiện sau:

Định nghĩa 1.1.2 [1] Cho không gian metric (X, d) Một tập con bất

kỳ M 6= ∅ của tập X cùng với metric d lập thành một không gian metric.Không gian metric (M, d) gọi là không gian metric con của không gianmetric đã cho

Ví dụ 1.1.1 Với hai vectơ bất kỳ x = (x1, x2, , xk), y = (y1, y2, , yk)thuộc không gian vectơ thực k chiều Rk (k là số nguyên dương nào đó)

Ta đặt:

d(x, y) =

vuut

≤

vuut

vuut

Do đó, hệ thức (1.1) xác định một metric trên Rk

Vậy (Rk, d) là một không gian metric

Nhận xét 1.1.1 Trên cùng một tập hợp có thể xác định những metrickhác nhau Ví dụ trên cùng tập Rk, ngoài metric Euclide, ta có thể xácđịnh những metric sau đây: Với hai phần tử

Dễ dàng ta kiểm tra được d1, d2 đều là metric trên Rk

1.2 Không gian metric đầy đủ

Định nghĩa 1.2.1 [1] Dãy {xn} trong không gian metric (X, d) đượcgọi là hội tụ đến x0 ∈ X, nếu lim

n→∞d(xn, x0) = 0

Khi đó, ta viết lim

n→∞xn = x0 hay xn → x0 khi n → ∞, x0 được gọi là giớihạn của dãy {xn}

Định nghĩa 1.2.2 [3] Cho không gian metric (X, d) Dãy {xn} ⊂ Xđược gọi là dãy Cauchy, nếu

lim

m,n→∞d(xm, xn) = 0

Tức là

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗, ∀m, n ≥ n0 : d(xm, xn) < ε

Ví dụ 1.2.2 Cho không gian X = (0; 1) thì dãy  1

n



là dãy Cauchy.Thật vậy

= 0

Định nghĩa 1.2.3 [3] Không gian metric (X, d) gọi là đầy đủ, nếu mọidãy Cauchy trong X đều hội tụ tới một điểm thuộc X

Ví dụ 1.2.3 Không gian `2 là không gian đầy đủ

Chứng minh Giả sử x(n) = (x(n)1 , x(n)2 , , x(n)k , ), n = 1, 2, là dãyCauchy trong không gian `2

Theo định nghĩa dãy Cauchy với ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗, ∀m, n ≥ n0

d(x(n), x(m)) =

vuut

∞

X

k=1

p

X

k=1

x(n)k − x(m)k

2

< ε, ∀m, n ≥ n0, ∀p = 1, 2, (1.3)

x(n1 ) k

x(n1 )

k − xk

x(n1 ) k

x(n1 ) k

... (x1, x2, , xk, ) = (xk) Vì bất đẳng thức (1.3) khơng phụthuộc vào p, nên cho qua giới hạn bất đẳng thức nàykhi m → ∞ ta

vuut

p... x(m)k 

< ε, ∀m, n ≥ n0, ∀k = 1, 2, (1.4)Các bất đẳng thức (1.4) chứng tỏ với k cố định dãy (x(n)k ) dãyCauchy, nên phải