Điểm bất động caristi trong không gian metric mờ và không gian metric xác suất

ành lþ iºm b§t ëng Caristi trong khæng gian metric.. ành lþ iºm b§t ëng Caristi trong khæng gian metric mí 39 Ch÷ìng 3.. ành lþ iºm b§t ëng Caristi trong khæng gian metric x¡c su§t... Tr

Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i tr÷íng ¤i håc s÷ ph¤m H  Nëi 2d÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS H  ùc V÷ñng.

T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh tîi TS H  ùc V÷ñng,ng÷íi th¦y ¢ h÷îng d¨n v  truy·n cho t¡c gi£ nhúng kinh nghi»m qu½b¡u trong håc tªp v  nghi¶n cùu khoa håc Th¦y luæn quan t¥m, ëngvi¶n, kh½ch l» v  tªn t¼nh h÷îng d¨n º t¡c gi£ v÷ìn l¶n trong håc tªp

v  v÷ñt qua nhúng khâ kh«n trong qu¡ tr¼nh ho n th nh luªn v«n T¡cgi£ xin b y tä láng k½nh trång, láng bi¸t ìn ch¥n th nh v  s¥u s­c nh§t

¸n th¦y

T¡c gi£ xin ÷ñc gûi líi c£m ìn ch¥n th nh ¸n Ban Gi¡m hi»utr÷íng ¤i håc s÷ ph¤m H  Nëi 2, pháng Sau ¤i håc, c¡c th¦y cæ gi¡otrong nh  tr÷íng v  c¡c th¦y cæ gi¡o d¤y cao håc chuy¶n ng nh To¡nGi£i t½ch ¢ t¤o i·u ki»n thuªn lñi trong qu¡ tr¼nh t¡c gi£ håc tªp v nghi¶n cùu

T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn tîi gia ¼nh, ng÷íi th¥n ¢ ëngvi¶n v  t¤o måi i·u ki»n º t¡c gi£ câ thº ho n th nh b£n luªn v«n n y

H  Nëi, ng y 10 th¡ng 4 n«m 2011

T¡c gi£

Nguy¹n Ngåc Quang

i

Tæi xin cam oan luªn v«n l  cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa ri¶ng tæid÷îi sü h÷îng d¨n cõa Ti¸n s¾ H  ùc V÷ñng.

Trong qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu v  ho n th nh luªn v«n, tæi ¢ k¸ thøanhúng th nh qu£ khoa håc cõa c¡c nh  khoa håc vîi sü tr¥n trång v bi¸t ìn

H  Nëi, ng y 10 th¡ng 4 n«m 2011

T¡c gi£

Nguy¹n Ngåc Quang

ii

Mð ¦u 1

1.1 Khæng gian metric 4

1.2 ành lþ iºm b§t ëng Caristi trong khæng gian metric 16 Ch÷ìng 2 Khæng gian metric mí v  iºm b§t ëng 21 2.1 Khæng gian metric mí 21

2.2 ành lþ iºm b§t ëng Caristi trong khæng gian metric mí 39 Ch÷ìng 3 Khæng gian metric x¡c su§t v  iºm b§t ëng 50 3.1 Khæng gian metric x¡c su§t 50

3.1.1 H m ph¥n bè 50

3.1.2 Chu©n tam gi¡c 52

3.1.3 Mët sè chu©n tam gi¡c cì b£n 52

3.1.4 Khæng gian metric x¡c su§t 53

3.2 ành lþ iºm b§t ëng Caristi trong khæng gian metric x¡c su§t 62

λα(x, y) iºm mót b¶n tr¡i o¤n bªc α cõa d(x, y)

ρα(x, y) iºm mót b¶n ph£i o¤n bªc α cõa d(x, y)

1 Lþ do chån · t i

Nhi·u b i to¡n kh¡c nhau cõa khoa håc v  kÿ thuªt ¢ d¨n ¸nvi»c nghi¶n cùu v§n · sau:

Cho X l  mët khæng gian, ¡nh x¤ T : M −→ M l  ¡nh x¤ i tø tªpcon M cõa khæng gian X v o ch½nh nâ Ph÷ìng tr¼nh T x = x(x ∈ M),d÷îi c¡c i·u ki»n cö thº, kh¯ng ành sü tçn t¤i nghi»m cõa nâ iºm

x ∈ M thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh T x = x ÷ñc gåi l  iºm b§t ëng cõa

¡nh x¤ T tr¶n tªp M

Vi»c nghi¶n cùu v§n · tr¶n ¢ gâp ph¦n ­c lüc cho vi»c gi£iquy¸t h ng lo¤t b i to¡n quan trång trong To¡n håc nâi ri¶ng, trongKhoa håc kÿ thuªt nâi chung i·u n y d¨n ¸n mët h÷îng nghi¶n cùumîi thu hót nhi·u nh  to¡n håc quan t¥m v  c¡c k¸t qu£ v· l¾nh vüc

n y ¢ h¼nh th nh n¶n:"Lþ thuy¸t iºm b§t ëng" Trong â câ k¸t qu£quan trång v· iºm b§t ëng l  ành lþ iºm b§t ëng Caristi

N«m 1965, Zadeh ¢ ÷a ra kh¡i ni»m "tªp mí", â l  c¡c ¡nh x¤

i tø tªp X v o o¤n [0; 1] Sau â ¢ câ r§t nhi·u nh  to¡n håc quant¥m nghi¶n cùu v¥n · n y nh÷: Deng, Erceg, Kaleva, Seikala, ¢ ÷a

ra kh¡i ni»m "khæng gian metric mí"

N«m 1994, Olga Hadzi
c v  Zoran Ovcin ¢ mð rëng k¸t qu£ v·

iºm b§t ëng cõa Caristi sang khæng gian n y

N«m 1942, Menger ¢ ÷a ra kh¡i ni»m "metric x¡c su§t" â l 

sü mð rëng "x¡c su§t" cõa kh¡i ni»m metric thæng th÷íng: thay cho vi»cx²t kho£ng c¡ch d(x, y), ng÷íi ta x²t h m ph¥n bè Fx,y(t) biºu di¹n x¡csu§t º cho d(x, y)(t) < t , vîi t l  mët sè thüc Kh¡i ni»m n y ¢ thuhót sü quan t¥m cõa nhi·u nh  to¡n håc, °c bi»t l  Schweizer v  Sklar

¢ x¥y düng th nh lþ thuy¸t v· khæng gian metric x¡c su§t, vi¸t th nhs¡ch chuy¶n kh£o xu§t b£n n«m 1983

Công ch½nh bði Olga Hadzi
c v  Zoran Ovcin ¢ mð rëng k¸t qu£v· iºm b§t ëng cõa Caristi sang khæng gian metric x¡c su§t

Vîi mong muèn t¼m hiºu s¥u hìn v· ành lþ iºm b§t ëng Caristitrong c¡c khæng gian metric mí v  khæng gian metric x¡c su§t, ÷ñc sügióp ï, h÷îng d¨n tªn t¼nh cõa TS H  ùc V÷ñng, tæi m¤nh d¤n chån

· t i nghi¶n cùu:

"iºm b§t ëng Caristi trong khæng gian metric mí v khæng gian metric x¡c su§t"

2 Möc ½ch nghi¶n cùu

Möc ½ch nghi¶n cùu cõa · t i n y l  x¥y düng mët b i têng quanv· ành lþ iºm b§t ëng Caristi trong khæng gian metric mí v  mð rëngk¸t qu£ n y sang khæng gian metric x¡c su§t Cæng tr¼nh nghi¶n cùu düatr¶n c¡c k¸t qu£ cõa hai t¡c gi£ Olga Hadzi
c v  Zoran Ovcin trong b ib¡o: " Fixed point theorems in fuzzy metric and probabilisticmetric spaces"

3 Nhi»m vö nghi¶n cùu

Nghi¶n cùu, h» thèng c¡c k¸t qu£ ¢ ¤t ÷ñc v· iºm b§t ëngCaristi trong khæng gian metric mí v  sang khæng gian metric x¡c su§t

4 èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n cùu

Nghi¶n cùu v·: "iºm b§t ëng Caristi trong khæng gianmetric mí v  khæng gian metric x¡c su§t"

5 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu

- Dàch, åc, nghi¶n cùu t i li»u

- Têng hñp ki¸n thùc, vªn döng cho möc ½ch nghi¶n cùu

6 âng gâp mîi

¥y l  mët b i têng quan v· iºm b§t ëng Caristi trong khænggian metric, khæng metric gian mí v  khæng gian metric x¡c su§t Qua

· t i n y gióp ng÷íi åc th§y ÷ñc mèi quan h» giúa khæng gian metricvîi khæng gian metric mí, khæng gian metric x¡c su§t; k¸t qu£ v· iºmb§t ëng Caristi trong khæng gian metric, khæng gian metric mí v khæng gian metric x¡c su§t

Khæng gian metric ÷ñc kþ hi»u l  (X, d).

V½ dö 1.1.1 Vîi hai vectì b§t ký x = (x1, x2, , xk), y = (y1, y2, , yk)thuëc khæng gian vectì thüc k chi·u Rk (k l  sè nguy¶n d÷ìng n o â),

°t:

d(x, y) =

vuut

CHÙNG MINH.

Ta câ:

vuut

≤

vuut

Tø â suy ra

≤

vuut

ành c¡c metric sau ¥y: vîi hai ph¦n tû b§t ký

Khi â, ta vi¸t lim

n→∞xn = x0 hay xn → x0 khi n → ∞; x0 ÷ñc gåi l  giîih¤n cõa d¢y {xn}

ành ngh¾a 1.1.3 [3]Cho khæng gian metric (X, d) D¢y {xn} ⊂ X

÷ñc gåi l  d¢y Cauchy, n¸u

ành ngh¾a 1.1.4 [3] Khæng gian metric (X, d) gåi l  ¦y õ, n¸u måid¢y Cauchy trong X ·u hëi tö tîi mët iºm thuëc X.

V½ dö 1.1.2 Cho `2 l  khæng gian c¡c d¢y kh£ têng bªc 2 Khi â `2

l  khæng gian metric ¦y õ

Theo ành ngh¾a d¢y Cauchy, vîi ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗, ∀m, n ≥ n0 :

∞

X

k=1

x(n)k − x(m)k

x(n1 )

k − xk

x(n1 ) k

x(n1 ) k

x(n1 ) k