Phân phối xã suất và hàm đặc trưng

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN -LÊ NAM TRUNG PHÂN PHOI XÁC SUAT VÀ HÀM Đ¾C TRƯNG LU¤N VĂN THAC SY KHOA HOC Hà N®i, 2015... Mé ĐAUHàm phân phoi xác suat và hàm

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I

TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

-LÊ NAM TRUNG

PHÂN PHOI XÁC

SUAT VÀ HÀM Đ¾C

TRƯNG

LU¤N VĂN THAC SY KHOA

HOC

Hà N®i, 2015

2 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I

TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN

-LÊ NAM TRUNG

PHÂN PHOI XÁC SUAT VÀ HÀM Đ¾C

TRƯNG

Chuyên ngành: LÝ THUYET XÁC SUAT VÀ THONG KÊ TOÁN HOC

LU¤N VĂN THAC SY KHOA HOC

NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: PGS TS PHAN VIET THƯ

Hà N®i, 2015

Lài cám ơn

Tác giá xin bày tó lòng biet ơn chân thành và sâu sac tói PGS.TS Phan Viet Thư, ngưòi thay đã t¾n tình giúp đõ, chí báo, đ%nh hưóng nghiên cúu

cho tôi đe hoàn thành lu¾n văn này Qua đây, tôi cũng xin chân thành cám

ơn sn giúp đõ cna các thay giáo, cô giáo trong Khoa Toán - Cơ - Tin hoc, B® môn Xác suat thong kê trưòng Đai hoc Khoa hoc tn nhiên - Đai hoc quoc gia Hà N®i, nhung ngưòi đã giúp đõ, giáng day và truyen đat kien thúc cho tác giá trong suot quá trình hoc t¾p và nghiên cúu tai trưòng

M¾c dù đã có nhieu co gang, do han che ve thòi gian thnc hi¾n nên lu¾n văn không the tránh khói nhung thieu sót Tác giá kính mong nh¾n đưoc ý kien đóng góp quý báu cna quý thay cô và các ban đe lu¾n văn đưoc hoàn thi¾n hơn

Xin trân trong cám ơn!

Hà N®i,tháng 06 năm 2015

Lê Nam Trung

Mnc lnc

Mé ĐAU 4

1 TONG QUAN VÀ NHUNG KHÁI NIfiM Mé ĐAU 5 1.1 BIEN NGAU NHIÊN 6

1.2 PHÂN PHOI XÁ C SU AT 7

1.2.1 Quan h¾ giua phan tú ngau nhiên và phân phoi xác suat 7 1.2.2 Phân phoi ròi rac và phân phoi liên tuc 11

2 HÀM PHÂN PHOI 14 2.1 CAU TRÚC HÀM PHÂN PHOI 14

2.2 H®I TU CÚA DÃY HÀM PHÂN PHOI 17

2.2.1 Đ%nh nghĩa và tính compact 17

2.2.2 Khoáng cách Levy 22

2.2.3 H®i tu cna dãy tích phân 27

2.3 ÚNG DUNG HÀM PHÂN PHOI VÀO NGHIÊN CÚU BÀI TOÁN RÚI RO BÁO HIEM 32

2.3.1 Đ¾t van đe 32

2.3.2 Các giá thiet cna đ%nh lý Cramer - Lundberg 36

2.3.3 Phát bieu đ%nh lý Cramer - Lundberg 37

2.3.4 Chú ý 37

3 HÀM Đ¾C TRƯNG 40 3.1 CÁC HÀM QUAN TRONG 40

3.2 HÀM Đ¾C TRƯNG 43

3.2.1 Đ%nh nghĩa và tính chat 43

3.2.2 Tính chính quy, khai trien hàm đ¾c trưng 47

4 QUAN Hfi GIUA HÀM Đ¾C TRƯNG VÀ HÀM PHÂN PHOI 55 4.1 TÍNH QUY LU¾T 55

4.2 TÍCH CH¾P CÁC HÀM PHÂN PHOI VÀ PHÉP NHÂN CÁC HÀM Đ¾C TRƯNG 59

Mé ĐAU

Hàm phân phoi xác suat và hàm đ¾c trưng là nhung khái ni¾m nhat cna

lý thuyet xác suat và thong kê toán hoc Vói sn ra đòi cna tác pham "Nhung khái ni¾m cơ bán cna lý thuyet xác suat"(Kolmogorov, 1933) thì nhung nen móng vung chac cho hai khái ni¾m trên đưoc hình thành Cho đen nay nhieu ket quá liên quan đã thu đưoc và m®t lý thuyet hi¾n đai ve XSTK đã đưoc xây dnng và phát trien Ý nghĩa cna các khái ni¾m trên se đưoc trình bày trong phan Tong quan cna chương I Lu¾n văn đưoc trình bày gom 4 chương:

Chương I: Giói thi¾u tong quan và nhung khái ni¾m cơ bán ve bien ngau nhiên và hàm phân phoi, trong đó có đe c¾p đen m®t khang đ%nh quan trong cna Kolmogorov ve phân phoi huu han chieu

Chương II: Trình bày ve lý thuyet hàm phân phoi; cau trúc và sn h®i tu, khoáng cách Levy và úng dung nghiên cúu bài toán rni ro báo hiem

Chương III: Nói ve hàm đ¾c trưng, đ%nh nghĩa, tính chat, tính chính quy

và khai trien hàm đ¾c trưng

Chương IV: Trình bày moi liên quan giua hàm phân phoi và hàm đ¾c trưng, nêu tính quy lu¾t, quan h¾ giua tích ch¾p cna hàm phân phoi và phép nhân cna hàm đ¾c trưng

Chương 1

TONG QUAN VÀ NHUNG KHÁI

Trong chương này trình bày vài nét tong quan ve nhung van đe can nghiên cúu và nhung khái ni¾m mó đau can dùng cho các chương sau.

Khác vói the giói tat đ%nh, trong pham trù ngau nhiên ngưòi ta làm vi¾c vói các đai lưong lay nhung giá tr% ngau nhiên Ta không the coi nhung giá tr% ngau nhiên đó như giá tr% cna m®t tham so tat đ%nh bien đoi tùy ý đưoc Đoi vói m®t bien ngau nhiên, ngưòi ta can biet cái lu¾t phân phoi cna nó Đoi vói nhung bien ngau nhiên ròi rac, ta can biet nó có the lay nhung giá tr% nào và nó lay moi giá tr% đó vói xác suat bao nhiêu; đoi vói nhung bien ngau nhiên liên tuc, ta can biet nó lay giá tr% trong m®t khoáng nào đó vói xác suat bao nhiêu? Nhung xác suat đó the hi¾n lu¾t phân phoi cna các bien ngau nhiên Lu¾t phân phoi lai đưoc bieu dien qua hàm phân phoi Biet hàm phân phoi cu the cna m®t bien ngau nhiên cu the là coi như

ta xác đ%nh đưoc bien ngau nhiên đó

Ta lai có m®t cách khác đe the hi¾n lu¾t phân phoi cna bien ngau nhiên

đó là dna trên hàm đ¾c trưng Biet đưoc hàm đ¾c trưng, ta biet bien ngau nhiên đó là bien ngau nhiên gì V¾y van đe đ¾t ra là hàm phân phoi và hàm đ¾c trưng liên quan đen nhau như the nào? Ve m¾t toán hoc, thnc ra hàm đ¾c trưng là m®t bien đoi Fourier cna hàm phân phoi Ngưoc lai neu biet hàm đ¾c trưng thì ta tính đưoc hàm phân phoi nhò đ%nh lý đáo cna bien đoi Fourier Trong nhieu bài toán thnc te, sú dung hàm đ¾c trưng thì thu¾n loi hơn hàm phân phoi Đóng góp vào vi¾c xây dnng các đ%nh lý đáo có các công trình cna Levy, Gurland, Gil

- Palaez, Shiely

V¾y trong lu¾n văn này sau khi nêu các khái ni¾m mó đau chúng tôi se trình bày 3 van đe:

1 Hàm phân phoi

2 Hàm đ¾c trưng

3 Quan h¾ giua hàm đ¾c trưng và hàm phân phoi

Trong đó có trình bày m®t úng dung ve nghiên cúu "bài toán rúi ro

báo hiem."

Đ%nh nghĩa: Cho không gian xác suat (Ω, F, P) Không giám tính tong quát

ta có the giá thiet (Ω, F, P) là không gian xác suat đn túc là neu A là bien co

có xác suat 0 (P(A)=0) thì moi t¾p con B ⊂ A cũng là bien co

1 Giá sú E là không gian metric, ánh xa X : Ω −→ E đưoc goi là m®t bien ngau nhiên vói giá tr% trên E neu vói moi t¾p Borel cna E ta có

X −1(B) ∈ F

2 Neu X là bien ngau nhiên nh¾n giá tr% trên E = Rn ta nói X là vectơ ngau nhiên n - chieu

3 Neu X là bien ngau nhiên nh¾n giá tr% trên t¾p so thnc R ta nói X là bien ngau nhiên

M¾nh đe 1 a, X : Ω −→ R là đai lưong ngau nhiên khi và chs khi

X −1(∞, x) = {ω : X(ω) < x} ∈ F, ∀§ ∈ R

b,

X˙ = (X1, X2, , X n ) : Ω −→ Rn là véc tơ ngau nhiên khi và chs khi moi toa đ®

X k (k = 1, , n) cúa nó là đai lưong ngau nhiên.

Chúng minh Ta de suy ra a, Đe chúng minh b, ta xét phép chieu π k : Rn −→

R, π k ˙x = x k (toa đ® thú k cna ˙x), π k liên tuc nênπ k đo đưoc (đoi vói (B n ,

B1))

Do đó, neu

X˙

là véc tơ ngau nhiên, thì X k =

π k X˙

là đai lưong ngau nhiên

Ngưoc lai, giá sú moi X k là đai lưong ngau nhiên Đe đơn gián hơn, ta xét trưòng hop n = 2 và chú ý rang: R2 = R × R, B2 = B1 × B1 (σ - đai so tích) Khi đó, vói B1, B2 ∈ B1 ta có:

X˙ −1(B1 × B2) = X −1(B1) ∩ X −1(B2) ∈ A

Do đó ta có X˙ −1(B2) ∈ A túc

là X˙

là véc tơ ngau nhiên

1.2 PHÂN PHOI XÁC SUAT

Đ%nh nghĩa: 1 Cho X là bien ngau nhiên E - giá tr% Xét hàm t¾p µ X xác đ

%nh trên σ - đai so Borel cna E theo cách sau:

µ X (B) = P (X −1(B)), ∀B ∈ B.

De kiem tra đưoc µ X là m®t đ® đo xác suat trên E µ X đưoc goi là phân bo xác suat trên (E, B) cna bien ngau nhiên X

2 Giá sú X = (X1, , X n) là véc tơ ngau nhiên n - chieu Hàm so F (x)

=

F (x1, x2, , x n) xác đ%nh bói công thúc:

F (x1, x2, , x n ) = P (X1 < x1, X2 < x2, , X n

< x n)

đưoc goi là hàm phân bo xác suat cna vectơ ngau nhiên X

M¾nh đe 2 Neu ν là xác suat trong (E, «) thì ton tai ít nhat m®t không gian xác suat cơ bán (Ω, A, P) và m®t phan tú ngau nhiên E - giá tr% X, sao cho ν

là

phân phoi cúa nó: P X = ν

Chúng minh Lay Ω = E, A = «, P = ν và X là ánh xa đong nhat tù R lên R:

X (x) = x, ∀x ∈ R.

Khi đó, P X (B) = P {ω : X(ω) ∈ B} = ν{x : x ∈ B}, ∀B ∈ «

M¾nh đe 3 Neu X là đai lưong ngau nhiên, thì hàm phân phoi cúa nó:

F X (x) = P {ω : X(ω) < x}

có các tính chat sau:

1 Không giám: F X (x1) ≤ F X (x2) vói x1 ≤ x2.

2 Liên tnc bên trái : F X (x) = F X (x − 0).

3 Nh¾n giá tr% 0 tai −∞ và 1 ta% +∞ :

Ngưoc lai, neu cho trưóc hàm F (x) có ba tính chat trên thì ton tai ít nhat m®t không gian xác suat cơ bán (Ω, A, P) và m®t đai lưong ngau nhiên X sao cho F

là hàm phân phoi cúa nó: F X = F.

Chúng minh 1, Suy ra tù đang thúc

(−∞, x2) = (−∞, x1) + [x1 + x2).

2, 3, suy ra tù tính liên tuc cna P X và tù các nh¾n xét:

1

(−∞, x −

n ) = B n ↑ B = (−∞, x), (−∞, −n) = C −n ↓ ∅, (−∞, n) = C n ↑ (−∞, +∞)

Cuoi cùng, giá sú F là hàm so có ba tính chat 1, 2, 3, Khi đó, đ® đo Lebesgue- Stieltjes µ F tương úng là xác suat trên đưòng thang.Tù m¾nh đe

2 suy ra đieu phái chúng minh

Chú ý Phân phoi P X chính là đ® đo Lebesgue-Stieltjes sinh ra tù hàm phân phoi F X

Đe mó r®ng m¾nh đe trên cho trưòng hop vec tơ ngau nhiên, ta phái đưa vào

Rn m®t quan h¾ thú tn

Giá sú ˙a = (a1, , a n ),˙b = (b1, , b n ) Ta quy ưóc viet ˙a < ˙b (˙a ≤

˙b), neu a k < b k (a k ≤ b k) vói ∀k = 1, 2, , n Rõ ràng, vói quan h¾ thú tn

đó Rn tró thành t¾p đưoc sap thú tn m®t phan.Ta viet a ↑ b neu a k ↑ b k vói moi ∀k = 1, 2, , n.

Bây giò ta nhac lai đ%nh nghĩa cna sai phân.Giá sú F (x) là hàm m®t bien

so, sai phân cap 1 cna F là

h F (a) = F (a + h) − F (a), a

∈ R1 , h > 0.

Chính xác hơn ,ta goi

F (˙x) = F (x1, , x n) là hàm n bien so Đ¾t

h F (˙a) = ∆ h

1 ∆h

n F (a1, , a n ) = F (a1 + h1, , a n + h n)

−

F (a1 + h1, , a j , , a n + h n) +

F (a1 + h1, , a j , ,

a n + h n)

− + (−1) n F (a1, , a n)

và goi ∆n

h là toán tú sai phân cap n vói bưóc ˙h = (h1, , h n ) > 0 Chang han,

vói n=2 ta có:

h F (˙a) = F (a1 + h1, a2 + h2) − F (a1, a2 + h2) − F (a1 + h1, a2) + F (a1, a2).

Ta nói F (˙x) là hàm n bien không giám, neu

h F (˙a) ≥ 0, ∀˙a

∈ R , ∀h > 0, h ∈ R

.

∆

1

h

h

∆

n

tiep theo ta nói rang F (˙x) liên tuc bên trái tai ˙x0 khi và chí khi F (˙x) liên tuc bên trái theo moi bien tai ˙x0.

Bang nhung l¾p lu¾n tương tn như khi chúng minh m¾nh đe 3 ta có m¾nh đe sau:

Tieng Vi¾t

TÀI LIfiU THAM KHÁO

1 Nguyen Viet Phú - Nguyen Duy Tien (2004), Cơ só lý thuyet xác suat, NXB Đai hoc Quoc Gia Hà N®i.

2 Tran Hùng Thao (2009), Nh¾p môn toán hoc tài chính, NXB Khoa hoc và

ky thu¾t.

3 Đ¾ng Hùng Thang (2013), Xác suat nâng cao, NXB Đai hoc Quoc Gia

Hà N®i.

4 Nguyen Duy Tien - Vũ Viet Yên (2013), Lý thuyet xác suat, NXB Giáo dnc Vi¾t Nam.

Tieng Anh

1 Leda D Minkova (2010), Insurance Rish Theory, Lecture Notes,

2 Asmussen S.(2000), Ruin Probabilities Singapore, World Scientifie Pub- lishing Co.