Phân phối xã suất và hàm đặc trưng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN -LÊ NAM TRUNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT VÀ HÀM ĐẶC TRƯNG LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội, 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-LÊ NAM TRUNG

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

VÀ HÀM ĐẶC TRƯNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Hà Nội, 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-LÊ NAM TRUNG

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

VÀ HÀM ĐẶC TRƯNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS PHAN VIẾT THƯ

Hà Nội, 2015

Lời cảm ơn

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS Phan Viết Thư, người thầy đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo, định hướng nghiên cứu cho tôi để hoàn thành luận văn này Qua đây, tôi cũng xin chân thành cám ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán - Cơ - Tin học, Bộ môn Xác suất thống kê trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội, những người đã giúp đỡ, giảng dạy và truyền đạt kiến thức cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, do hạn chế về thời gian thực hiện nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Tác giả kính mong nhận được ý kiến đóng góp quý báu của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn Xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội,tháng 06 năm 2015

Lê Nam Trung

Mục lục

1 TỔNG QUAN VÀ NHỮNG KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 5

1.1 BIẾN NGẪU NHIÊN 6

1.2 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 7

1.2.1 Quan hệ giữa phần tử ngẫu nhiên và phân phối xác suất 7 1.2.2 Phân phối rời rạc và phân phối liên tục 11

2 HÀM PHÂN PHỐI 14 2.1 CẤU TRÚC HÀM PHÂN PHỐI 14

2.2 HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM PHÂN PHỐI 17

2.2.1 Định nghĩa và tính compact 17

2.2.2 Khoảng cách Levy 22

2.2.3 Hội tụ của dãy tích phân 27

2.3 ỨNG DỤNG HÀM PHÂN PHỐI VÀO NGHIÊN CỨU BÀI TOÁN RỦI RO BẢO HIỂM 32

2.3.1 Đặt vấn đề 32

2.3.2 Các giả thiết của định lý Cramer - Lundberg 36

2.3.3 Phát biểu định lý Cramer - Lundberg 37

2.3.4 Chú ý 37

3 HÀM ĐẶC TRƯNG 40 3.1 CÁC HÀM QUAN TRỌNG 40

3.2 HÀM ĐẶC TRƯNG 43

3.2.1 Định nghĩa và tính chất 43

3.2.2 Tính chính quy, khai triển hàm đặc trưng 47

4 QUAN HỆ GIỮA HÀM ĐẶC TRƯNG VÀ HÀM PHÂN PHỐI 55 4.1 TÍNH QUY LUẬT 55

4.2 TÍCH CHẬP CÁC HÀM PHÂN PHỐI VÀ PHÉP NHÂN CÁC HÀM ĐẶC TRƯNG 59

MỞ ĐẦU

Hàm phân phối xác suất và hàm đặc trưng là những khái niệm nhất của lý thuyết xác suất và thống kê toán học Với sự ra đời của tác phẩm "Những khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất"(Kolmogorov, 1933) thì những nền móng vững chắc cho hai khái niệm trên được hình thành Cho đến nay nhiều kết quả liên quan đã thu được và một lý thuyết hiện đại về XSTK đã được xây dựng và phát triển Ý nghĩa của các khái niệm trên sẽ được trình bày trong phần Tổng quan của chương I Luận văn được trình bày gồm 4 chương:

Chương I: Giới thiệu tổng quan và những khái niệm cơ bản về biến ngẫu nhiên và hàm phân phối, trong đó có đề cập đến một khẳng định quan trọng của Kolmogorov về phân phối hữu hạn chiều

Chương II: Trình bày về lý thuyết hàm phân phối; cấu trúc và sự hội tụ, khoảng cách Levy và ứng dụng nghiên cứu bài toán rủi ro bảo hiểm

Chương III: Nói về hàm đặc trưng, định nghĩa, tính chất, tính chính quy và khai triển hàm đặc trưng

Chương IV: Trình bày mối liên quan giữa hàm phân phối và hàm đặc trưng, nêu tính quy luật, quan hệ giữa tích chập của hàm phân phối và phép nhân của hàm đặc trưng

Chương 1

TỔNG QUAN VÀ NHỮNG KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU

Trong chương này trình bày vài nét tổng quan về những vấn đề cần nghiên cứu và những khái niệm mở đầu cần dùng cho các chương sau

Khác với thế giới tất định, trong phạm trù ngẫu nhiên người ta làm việc với các đại lượng lấy những giá trị ngẫu nhiên Ta không thể coi những giá trị ngẫu nhiên đó như giá trị của một tham số tất định biến đổi tùy ý được Đối với một biến ngẫu nhiên, người ta cần biết cái luật phân phối của nó Đối với những biến ngẫu nhiên rời rạc, ta cần biết nó có thể lấy những giá trị nào và nó lấy mỗi giá trị đó với xác suất bao nhiêu; đối với những biến ngẫu nhiên liên tục, ta cần biết nó lấy giá trị trong một khoảng nào đó với xác suất bao nhiêu? Những xác suất đó thể hiện luật phân phối của các biến ngẫu nhiên Luật phân phối lại được biểu diễn qua hàm phân phối Biết hàm phân phối cụ thể của một biến ngẫu nhiên cụ thể là coi như ta xác định được biến ngẫu nhiên đó

Ta lại có một cách khác để thể hiện luật phân phối của biến ngẫu nhiên đó

là dựa trên hàm đặc trưng Biết được hàm đặc trưng, ta biết biến ngẫu nhiên

đó là biến ngẫu nhiên gì Vậy vấn đề đặt ra là hàm phân phối và hàm đặc trưng liên quan đến nhau như thế nào? Về mặt toán học, thực ra hàm đặc trưng là một biến đổi Fourier của hàm phân phối Ngược lại nếu biết hàm đặc trưng thì

ta tính được hàm phân phối nhờ định lý đảo của biến đổi Fourier Trong nhiều bài toán thực tế, sử dụng hàm đặc trưng thì thuận lợi hơn hàm phân phối Đóng góp vào việc xây dựng các định lý đảo có các công trình của Levy, Gurland, Gil

- Palaez, Shiely

Vậy trong luận văn này sau khi nêu các khái niệm mở đầu chúng tôi sẽ trình bày 3 vấn đề:

1 Hàm phân phối

2 Hàm đặc trưng

3.Quan hệ giữa hàm đặc trưng và hàm phân phối

Trong đó có trình bày một ứng dụng về nghiên cứu "bài toán rủi ro bảo hiểm."

Định nghĩa: Cho không gian xác suất(Ω, F , P). Không giảm tính tổng quát ta

có thể giả thiết (Ω, F , P) là không gian xác suất đủ tức là nếu A là biến cố có xác suất 0 (P(A)=0) thì mọi tập con B ⊂ A cũng là biến cố

1 Giả sử E là không gian metric, ánh xạ X : Ω −→ E được gọi là một biến ngẫu nhiên với giá trị trên E nếu với mỗi tập Borel của E ta có X−1(B) ∈ F

2 Nếu X là biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên E =Rn ta nói X là vectơ ngẫu nhiên n - chiều

3 Nếu X là biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên tập số thực R ta nói X là biến ngẫu nhiên

Mệnh đề 1 a, X : Ω −→R là đại lượng ngẫu nhiên khi và chỉ khi

X−1(∞, x) = {ω : X(ω) < x} ∈ F , ∀§ ∈R

b, ~ X = (X1, X2, , Xn) : Ω −→Rn là véc tơ ngẫu nhiên khi và chỉ khi mỗi tọa độ

Xk(k = 1, , n) của nó là đại lượng ngẫu nhiên

Chứng minh Ta dễ suy ra a, Để chứng minh b, ta xét phép chiếu πk : Rn −→

R, πk ~ x = xk (tọa độ thứ k của ~ x), πk liên tục nênπk đo được (đối với (Bn, B1))

Do đó, nếu X~ là véc tơ ngẫu nhiên, thì Xk = πk ~ X là đại lượng ngẫu nhiên Ngược lại, giả sử mỗi Xk là đại lượng ngẫu nhiên Để đơn giản hơn, ta xét trường hợpn = 2 và chú ý rằng: R2 =R×R, B2= B1× B 1 (σ - đại số tích) Khi

đó, với B1, B2 ∈ B 1 ta có:

~

X−1(B1× B2) = X1−1(B1) ∩ X2−1(B2) ∈ A

Do đó ta có X~−1(B2) ∈ A tức là X~ là véc tơ ngẫu nhiên

1.2 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

Định nghĩa: 1 Cho X là biến ngẫu nhiên E - giá trị Xét hàm tập µX xác định trên σ - đại số Borel của E theo cách sau:

µX(B) = P (X−1(B)), ∀B ∈ B.

Dễ kiểm tra được µX là một độ đo xác suất trên E µX được gọi là phân bố xác suất trên (E, B) của biến ngẫu nhiên X

2 Giả sử X = (X1, , Xn) là véc tơ ngẫu nhiên n - chiều Hàm số F (x) =

F (x1, x2, , xn) xác định bởi công thức:

F (x1, x2, , xn) = P (X1< x1, X2 < x2, , Xn < xn)

được gọi là hàm phân bố xác suất của vectơ ngẫu nhiên X

1.2.1 Quan hệ giữa phần tử ngẫu nhiên và phân phối xác suất

Mệnh đề 2 Nếu ν là xác suất trong (E, =) thì tồn tại ít nhất một không gian xác suất cơ bản (Ω, A, P) và một phần tử ngẫu nhiên E - giá trị X, sao cho ν là phân phối của nó: PX = ν

Chứng minh Lấy Ω = E, A = =, P = ν và X là ánh xạ đồng nhất từ R lên R:

X(x) = x, ∀x ∈R.

Khi đó,

PX(B) = P {ω : X(ω) ∈ B} = ν{x : x ∈ B}, ∀B ∈ =

Mệnh đề 3 Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên, thì hàm phân phối của nó:

FX(x) = P {ω : X(ω) < x}

có các tính chất sau:

1 Không giảm: FX(x1) ≤ FX(x2) với x1≤ x2.

2 Liên tục bên trái : FX(x) = FX(x − 0).

3 Nhận giá trị 0 tại −∞ và 1 taị +∞:

Ngược lại, nếu cho trước hàm F (x) có ba tính chất trên thì tồn tại ít nhất một không gian xác suất cơ bản (Ω, A, P) và một đại lượng ngẫu nhiên X sao cho F

là hàm phân phối của nó: FX = F.

Chứng minh 1, Suy ra từ đẳng thức

(−∞, x2) = (−∞, x1) + [x1+ x2).

2, 3, suy ra từ tính liên tục của PX và từ các nhận xét:

(−∞, x − 1

n) = Bn ↑ B = (−∞, x), (−∞, −n) = C−n ↓ ∅, (−∞, n) = Cn ↑ (−∞, +∞)

Cuối cùng, giả sử F là hàm số có ba tính chất 1, 2, 3, Khi đó, độ đo Lebesgue-Stieltjes µF tương ứng là xác suất trên đường thẳng.Từ mệnh đề 2 suy ra điều phải chứng minh

Chú ý Phân phối PX chính là độ đo Lebesgue-Stieltjes sinh ra từ hàm phân phối FX.

Để mở rộng mệnh đề trên cho trường hợp vec tơ ngẫu nhiên, ta phải đưa vào

Rn một quan hệ thứ tự

Giả sử ~a = (a1, , an),~b = (b1, , bn). Ta quy ước viết ~a < ~b(~a ≤ ~b), nếu

ak < bk(ak ≤ bk)với ∀k = 1, 2, , n Rõ ràng, với quan hệ thứ tự đó Rn trở thành tập được sắp thứ tự một phần.Ta viết a ↑ b nếu ak ↑ bk với mọi ∀k = 1, 2, , n.

Bây giờ ta nhắc lại định nghĩa của sai phân.Giả sửF (x) là hàm một biến số, sai phân cấp 1 của F là

∆1hF (a) = F (a + h) − F (a), a ∈ R1, h > 0.

Chính xác hơn ,ta gọi ∆1h là toán tử sai phân cấp 1 với bước h Tiếp theo, giả sử

F (~ x) = F (x1, , xn) là hàm n biến số Đặt

∆nhF (~a) = ∆1h

1 ∆1h

n F (a1, , an) = F (a1+ h1, , an+ hn)

−P

F (a1+ h1, , aj, , an+ hn) +PF (a1+ h1, , aj, , an+ hn)

− + (−1) n F (a1, , an)

và gọi ∆nh

h là toán tử sai phân cấp n với bước ~h = (h1, , hn) > 0. Chẳng hạn, với n=2 ta có:

∆nhF (~a) = F (a1+ h1, a2+ h2) − F (a1, a2+ h2) − F (a1+ h1, a2) + F (a1, a2).

Ta nói F (~ x) là hàm n biến không giảm, nếu

∆nhF (~a) ≥ 0, ∀~a ∈ Rn, ∀~h > 0, ~h ∈Rn.

tiếp theo ta nói rằng F (~ x) liên tục bên trái tại ~ x 0 khi và chỉ khi F (~ x) liên tục bên trái theo mỗi biến tại ~ x0.

Bằng những lập luận tương tự như khi chứng minh mệnh đề 3 ta có mệnh

đề sau:

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

1 Nguyễn Viết Phú - Nguyễn Duy Tiến (2004), Cơ sở lý thuyết xác suất, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội

2 Trần Hùng Thao (2009), Nhập môn toán học tài chính, NXB Khoa học và

kỹ thuật

3 Đặng Hùng Thắng (2013), Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội

4 Nguyễn Duy Tiến - Vũ Viết Yên (2013), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục Việt Nam

Tiếng Anh

1 Leda D Minkova (2010), Insurance Rish Theory, Lecture Notes,

2 Asmussen S.(2000), Ruin Probabilities Singapore, World Scientifie Pub-lishing Co