Luận văn Thạc sĩ Toán học Biến đổi laplace

Địnhlý1.1.Nếu ft làmộthàmgốcvàcóchỉsốtăng 0 thìbiếnđổiLaplacecủanócómiềnhộitụlà Res... Fs sang ft nóitrênđượcg ọilàphépbiếnđổiLaplace... Fv Gs vd vĐịnhlý1.14.Chohàm Fs thoảmãncácđiều

Trongvậtlý,phépbiếnđổiLaplaceđượcdùngđểgiảicácbàitoánvềphântíchmạchđiện,xửlýsốliệu,daođộngđiềuhoà,cáchệcơhọc

NhưvậyphépbiếnđổiLaplacekhôngchỉcóýnghĩatronglýthuyếttoánhọcmànócòncónhiềuứngdụngtrongcácngànhkhoahọckhác

TrêncơsởđóvàdướisựhướngdẫncủaTiếnsĩTrầnVănVuông,tôiđãlựac h ọnđềtài“BiếnđổiL a p l a c e ” nhằmnghiên cứusâuhơnvềp h é p biếnđổinàyc ũngnhưmộtsốứngdụngcủanótrongthựctiễn

hàmhaibiếnđểtìmbiếnđổiLaplace,biếnđổiLaplacengượccủamộtsốhàm

sốthôngthường.VậndụngphépbiếnđổiLaplaceđểgiảimộtsốphươngtrìnhviphân,phươngtrìnhsaiphân,phươngtrìnhtíchphân,phươngtrìnhđạohàmriêng



T

lim

T

es T

chứngminh (n1)n! (n¥).

 vớitấtcảthoảmãn(b)đượcgọilàchỉsốtăngcủa f(t).

Địnhlý1.1.Nếu f(t) làmộthàmgốcvàcóchỉsốtăng

0 thìbiếnđổiLaplacecủanócómiềnhộitụlà Res

s t

0

e (sh)t

f (t)dte  st

f (t)dt

vớiRes3.

Vídụ1.9.Tìm La (t)trongđóa 1(t)(ta)

0

khi ta khi ta

trongđóa ¡ làhằngsố,thì

La (t)e as F(s)

e

a s

Le t

f (t)e st e t f

(t)dte (s)t

f (t)dtF(s)

e st df(t)e st f

(t) se st

f (t)dt

tsinatL(t)sinatd a

dss2

a2  2sa

,(s

 F(s) g(t)f(

ı)dı lànguyênhàmcủa f(t) vàLf(ı)dı

0 u Lờigiải.Do

f(tı1)g(ı1)dı1 g*f(t).

0

ược

F(s) sang f(t) nóitrênđượcg ọilàphépbiếnđổiLaplace

1 1

1 1 nên

Fv Gs vd v

Địnhlý1.14.Chohàm F(s) thoảmãncácđiềukiệnsau

a) F(s) giảitíchtrongmiền Res0

b) Khis  trongmiền args;

Mconst.



c

12 i

Khiđóhàm F(s) xácđịnhtrên Res

0 eR1t t n dt



c n1 n!

0 thìchuỗi  td t e hộitụđềutheoN

n0 n! N Mặtkhác,từngsốhạngcủachuỗinàytiếnvề0khiN   nêntừ(1.5)tasuyra

2

f Au,

¡

)

(Af,Av)(g,Av)

(f,v)(Af,Av)(g,Av).

12

Chương2 MỘTSỐỨNGDỤNGCỦABIẾNĐỔILAPLACE

e st

5 dt5

0

1

es t

khiđótacó Lf(ta)(ta)esast F(s).

 s s s b)f(t)2t 2

(t)(2t2t3)(t3)(t34)(t5)

s s

s2

1

 t

s u G(s) du

Lf'(t)

s s

  s(s1)

e)Le 3t

E i(t)

g)Lte 2t

E i(3t)

1

s

1arctan 2 s1

tìmđược Le 3t ln(s31) ln(s4)

E i(t)F(s3) 

s3 s3

 

ln

 1 nên

vớiđiềukiện

banđầu x(0)1,x'(0)0.

x(t)t 1t31e

t

1e t .

x''5x'6x f(t)3f'(t) với

f(t)e t

(

t) vàcácđiềukiệnbanđầuđềubằng0.

tatìmđược

x(t)1(sinttcost)u (t)1(sin(t)(t)cos(t)

y(t)cost, z(t)y'(t)sint.

(Hình2.1)Dođoạnmạchmắcnốitiếpn ê n hiệuđiệnthếh a i đầumạchđiệnbằngtổngcác

E(t).Với mạchdiện

trên,tasẽcómộtsốbàitoáncơbảnsau:

Bàitoán1.GiảsửI làdòngđiệnthoảmãn

LdI d t

RIE0sint),với

L.dI  RI 1tI(ı

)dı (t),

dt C 0 ởđó R,L,Clàcáchằngsố Tìm

Lx(t)

k  

k0làđộđànhồicủalòxo, F(t) mx''(t)kxax'(t)F(t).

Xéthệtrêntrongtrườnghợp

F(t)

0 tacó x''

ax '

Khih ạch k(t,ı) cód ạngđ ặ cbiệt k(t,ı)k(t

ı) thìtac ó thểgiảic á cphươngtrìnhdạngtrênbằngcáchlấybiếnđổiLaplace

x(t)2cost.

d y

2

1y

12g

s

s

2g



cy

 2

 

x t Lờigiải.LấybiếnđổiLaplacehaivếcủaphươngtrìnhđãcho,tađược

L uL u

dU (x,s)sU(x,s)u(x,0)

x t dx

ii) vàiii) tacóU(0,s)Lu(0,t)0,

limU(x,s)limLu(x,t)Llimu(x,t)1

 Lsint.Lx(t)

Vậynghiệmcủabàitoánnàylà x(t)1(sinttcost).

2

Vớimụcđíchnghiêncứuđặtratừbanđầu,quaquátrìnhnghiêncứuvàhoànthiệnluậnvăn“BiếnđổiLaplace”,luậnvănđãđạtđượcmộtsốkếtquảthểhiệnt r o n g chínhnộidungcủanónhưsau:

Chương1:XâydựnglýthuyếtcơbảncủaphépbiếnđổiLaplace(Địnhnghĩavàcáctínhchất),trêncơsởđóđềcậpđếnbiếnđổiLaplacengượcvàmốiliênhệgiữahailoạibiếnđổitrên

- DùngbiếnđổiLaplacetacóthểgiảiđượcmộtlớpcácbàitoáncóphạmvitươngđốirộng

MặcdùbiếnđổiLaplacecónhiềuứngdụngnhưvậysongdothờigianvàđiềuk i ệnbảnthânnêntôichưanghiêncứuđượcđầyđủvềphépbiếnđổinày.Tôihyvọngluậnvănsẽđượctiếptụcnghiêncứuởmứcđộlýthuyếtcaohơnvàcácứngd ụngsâusắchơn,cóýnghĩathựctếhơn