Luận văn Thạc sĩ Toán học Ninoid và đại số binoid

Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ chỉ ra rằng mọi binoid có thể nhúng vào mộtbinoid gồm các ánh xạ mappS, ◦, idS, cp .Đặc biệt, ta có một tập hợp M là một vị nhóm nếu và chỉ nếu nó là mộ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LƯU HOÀNG ANH

BINOID VÀ ĐẠI SỐ BINOID

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2020

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LƯU HOÀNG ANH

BINOID VÀ ĐẠI SỐ BINOID

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Mã số: 84.60.104

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS TRẦN NGUYÊN AN

THÁI NGUYÊN - 2020

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi Tôi không saochép từ bất kỳ một công trình nghiên cứu nào khác

Thái Nguyên, ngày 10 tháng 6 năm 2020

Người viết luận văn

Lưu Hoàng Anh

của trưởng khoa chuyên môn của người hướng dẫn khoa học

TS Trần Nguyên An

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Trần Nguyên

An - giảng viên khoa Toán Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên.Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người đã hướng dẫn tôicách đọc tài liệu, nghiên cứu khoa học đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc

và đã dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của Viện Toánhọc và Đại học Thái Nguyên những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, độngviên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập

Tôi xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên,Khoa Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôihọc tập

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp, người thân đã giúp đỡ, độngviên, ủng hộ tôi để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn cũng như khóa học củamình

Thái nguyên, ngày 10 tháng 6 năm 2020

Người viết Luận văn

Lưu Hoàng Anh

Mục lục

Chương 1 Binoid 3

1.1 Binoid và đồng cấu binoid 3

1.2 Tập sinh binoid 7

1.3 Một số lớp binoid đặc biệt 10

1.4 Quan hệ tương đương 15

1.5 Tích smash 20

1.6 Tác động của binoid trên tập định điểm 22

1.7 Địa phương hóa 23

1.8 Iđêan trong binoid giao hoán 25

Chương 2 Đại số binoid 31

2.1 Đại số 31

2.2 Đại số binoid 35

2.3 Iđêan trong đại số binoid 39

2.4 R[N]–môđun 41

2.5 Đại số binoid của N -binoid 43

KẾT LUẬN 46

TÀI LIỆU THAM KHẢO 47

MỞ ĐẦU

Năm 2015, Simone Bottger trong luận án tiến sĩ của mình “Monoids withabsorbing elements and their associated algebras” [3] đã giới thiệu khái niệmbinoid và đại số binoid mở rộng, khái niệm vị nhóm, đại số vị nhóm: Cho R làvành giao hoán, cho M là một vị nhóm với phép cộng Phần tử a ∈ M thỏa mãn

a + b = a, với mọi b ∈ M được gọi là phần tử hút (absorbing element) Phần tửnhư vậy nếu tồn tại là duy nhất và được ký hiệu là ∞ Một vị nhóm có phần tửhút được gọi là một binoid Đại số kết hợp với binoid được gọi là đại số binoidcủa M, ký hiệu là R[M ] và được xác định là đại số thương

R[M ] := RM/(X∞),

trong đó RM = L

a∈M RXa là đại số vị nhóm, (X∞) là iđêan của RM sinh bởi

X∞ Như vậy, đại số binoid là mở rộng của đại số vị nhóm Đại số binoid là vànhthương của đại số đa thức bởi iđêan đơn thức hoặc iđêan nhị thức sinh bởi cácnhị thức thuần túy (pure difference binomial) Nhắc lại giả sử S = R [x1, , xn] ,

n ≥ 1 là vành đa thức, đa thức dạng xa1

1 xa2

2 xan

n , ai ∈ N, i = 1, n được gọi là mộtđơn thức, đa thức dạng

Mục đích của luận văn là tìm hiểu về binoid và đại số binoid theo hai tài liệuchính [2], [3].

Luận văn bao gồm 2 chương

Chương 1 tìm hiểu về binoid, đồng cấu binoid, tập sinh binoid, một số lớpbinoid đặc biệt, tích smash, tác động binoid trên tập định điểm, địa phương hóa

và iđêan trong binoid giao hoán

Chương 2 tìm hiểu về đại số và đại số binoid, iđêan trong đại số binoid, cấutrúc môđun của đại số

Chương 1

Binoid

1.1 Binoid và đồng cấu binoid

Phần này giới thiệu định nghĩa binoid và một số tính chất của binoid Trongluận văn ta luôn quy ước R là vành giao hoán có đơn vị

Định nghĩa 1.1.1 (1) Một nửa nhóm (M, ∗) là một tập hợp M và phép toán ∗kết hợp

∗ : M × M → M (a, b) 7→ a ∗ bMột vị nhóm (M, ∗, e) là một nửa nhóm tồn tại phần tử e thỏa mãn

(3) Một phần tử a ∈ M trong nửa nhóm là phần tử hút (absorbing) nếu

a ∗ x = x ∗ a = a với mọi x ∈ M Một phần tử hút luôn là duy nhất nếu tồn tại.(4) Một binoid (M, ∗, e, a) (nửa binoid (M, ∗, a)) là một vị nhóm (hay nửanhóm) với một phần tử hút a Một binoid con (nửa binoid con) của M là một vịnhóm con (hay nửa nhóm con) của M chứa phần tử hút của M Trong phép toáncộng, phần tử hút sẽ được ký hiệu bằng ∞ và trong phép toán nhân ta ký hiệu

là 0 Theo định nghĩa, nửa binoid và vị nhóm luôn là tập khác rỗng, đặc biệt cácbinoid cũng vậy

Ta ký hiệu tập các binoid là B và tập các binoid giao hoán là com B.

Trong suốt luận văn này, nếu không nói gì thêm thì mọi binoid sẽ được trang

bị phép toán cộng (kể cả binoid không giao hoán) Hơn nữa, trừ khi có sự nhầmlẫn, chúng ta viết tắt là:

na = a + + a và nA = {a1+ + an | ai ∈ A} ,với n ∈ N, a ∈ M, A ⊆ M, 0a = 0 và 0A = ∅

(3) Cho (R, +, ·) là một vành Khi đó (R, ·) là một binoid

Ví dụ 1.1.3 Cho V là tập tùy ý Tập lũy thừa P (V ) là tập các tập con của V.Khi đó ta có hai binoid sau:

P (V )∩ = (P (V ), ∩, V, ∅) và P (V )∪ = (P (V ), ∪, ∅, V )

Ta có P (∅) tạo ra binoid không và P ({1}) là binoid tầm thường Nếu V là hữuhạn, chúng ta viết tắt P ({1, , n}) = Pn, n ≥ 1 và viết Pn,∩ và Pn,∪ cho cácbinoid tương ứng Các binoid con của P (V )∩ và P (V )∪ được cho bởi các tập hợpcon M ⊆ P (V ) chúng là đóng đối với phép toán ∪ và ∩, lần lượt chứa ∅ và V Nếu M là một binoid con của P (V )∪ (tương ứng P (V )∩), thì

Mc = {Uc | U ∈ M } ,trong đó Uc = V \ U là phần bù của U , là một binoid con của P (V )∩ (tươngứng P (V )∪) vì Uc∪ Wc = (U ∩ W )c (tương ứng Uc∩ Wc = (U ∪ W )c ) với mọi

U, W ⊆ P (V ) Đặc biệt, mọi topo T = U | U ⊆ V mở trên tập khác rỗng Vxác định các binoid giao hoán liên quan đến phép hợp và phép giao, cụ thể là(T , ∩, V, ∅) = T∩ và (T , ∪, ∅, V ) = T∪, cũng như tập hợp tất cả các tập đóng

Tc = {Uc | U ∈ T } Các binoid P (V )∪ và P (V )∩ sinh từ tôpô rời rạc trên V vàbinoid do tôpô tầm thường trên V chính là binoid tầm thường {V, ∅}

Định nghĩa 1.1.4 Nửa binoid và vị nhóm thành lập bằng thêm một phần tửhút và một phần tử đơn vị vào một nửa nhóm M sẽ được ký hiệu lần lượt là M∞

và M0 Nếu M chứa phần tử hút, chúng ta viết M• = M \ {∞}

Định nghĩa 1.1.5 Một tập định điểm (pointed set) (S, p) là tập S có phần tửđặc biệt p ∈ S Một ánh xạ (S, p) → (T, q) của các tập hợp điểm với p 7→ q đượcgọi là ánh xạ định điểm (pointed map) Tập hợp tất cả các ánh xạ định điểm

S → T sẽ được ký hiệu là mapp7→q(S, T ) Trong trường hợp T = S và p = q,chúng ta chỉ cần viết mappS Tập mappS là một binoid với phép hợp thành ánh

xạ S → S Phần tử đơn vị được cho bởi idS và phần tử hút xác định bởi ánh xạkhông đổi cp : s 7→ p, s ∈ S

Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ chỉ ra rằng mọi binoid có thể nhúng vào mộtbinoid gồm các ánh xạ

mappS, ◦, idS, cp
Đặc biệt, ta có một tập hợp M là một vị nhóm nếu và chỉ nếu nó là một nửanhóm định điểm (M, 0) với tính chất bổ sung của phần tử đơn vị 0 Tương tự,nửa binoid M là một nửa nhóm định điểm (M, ∞) với tính chất xác định của ∞.Khi quan sát điều này, một binoid M có thể được coi là một tập hợp định điểm(M, p) theo hai cách khác nhau: Một tập hợp định điểm với p = 0 hoặc như mộttập hợp định điểm với p = ∞

Tích và tổng trực tiếp của một họ (Si, pi)i∈I của các tập định điểm cũng là mộttập định điểm với phần tử (pi)i∈I và chúng trùng nhau nếu và chỉ nếu I là hữuhạn; trong trường hợp này, chúng ta ký hiệu L

i∈I Si thay vì Q

i∈ISi Tương tựcác cấu trúc khác, ta có các khái niệm tổng, tích các binoid

Định nghĩa 1.1.6 Cho M và N là binoids (hoặc nửa binoid) Một ánh xạ

ϕ : M → N là một đồng cấu binoid (nửa binoid) nếu nó là một đồng cấu (nửanhóm) và ϕ(∞M) = ∞N Hơn nữa, chúng ta gọi ϕ là một đơn cấu hoặc phépnhúng nếu nó là đơn ánh, là một toàn cấu nếu nó là toàn ánh, là một đẳng cấunếu nó là song ánh, khi đó ta viết M ∼= N Tập im ϕ = ϕ (M ) là ảnh của ϕ vàtập ker(ϕ) = {a ∈ M | ϕ (a) = ∞N} là hạt nhân của ϕ Tập hợp tất cả các đồngcấu binoid từ M đến N được ký hiệu là hom(M, N )

Ghi chú 1.1.7 Một đồng cấu binoid thỏa mãn ker = {∞} không chắc là đơnánh Ví dụ đồng cấu binoid: ϕ : N∞ → {0, ∞} với x 7→ 0 nếu x 6= ∞ và ∞ 7→ ∞thỏa ker(ϕ) = {∞}, nhưng không phải là đơn ánh.

Ví dụ 1.1.8 Cho M là một binoid Khi đó:

(4) P (V ) ∼= P (V )c

Ví dụ 1.1.9 Cho I = {1, , n} , n ≥ 1

(1) Các song ánh chính tắc Pn,∩ → {0, ∞}n, A 7→ (δi(A))i∈I và

Pn,∪ → {0, ∞}n, A 7→ ¯δi(A)
i∈I , trong đó

(2) Cho (Mi)i∈I là một họ binoid và k ∈ I Khi đó, phép chiếu trên thành phầnthứ k

bởi a 7→ (∞, , ∞, a, ∞, , ∞) chỉ là một đồng cấu nửa binoid và tương ứng

a 7→ (0, , 0, a, 0, , 0) chỉ là một đồng cấu vị nhóm (trong cả hai trường hợp a làthành phần thứ k)

Bổ đề 1.1.10 Cho M là một binoid Khi đó, tồn tại một phép nhúng binoid

M → map∞M, a 7→ (tx : y 7→ x + y) Chứng minh Ánh xạ này là một đồng cấu binoid vì

(tx◦ tx0) (y) = x + x0+ y = tx+x0(y),với mọi x, y ∈ M, 0 7→ t0 = idM và ∞ 7→ (t∞ : y 7→ ∞) Ánh xạ là đơn cấu vì

từ tx = tx0 tương đương với x + y = x0+ y với mọi y ∈ M, kéo theo x = x0 với

y = 0

1.2 Tập sinh binoid

Định nghĩa 1.2.1 Cho M là một binoid và A là một tập con của M Vì giaocủa một họ các binoid con của M cũng là binoid con của M nên tồn tại mộtbinoid con nhỏ nhất của M chứa A và được gọi là binoid sinh bởi A, ký hiệu làhAi

Nếu M = hAi thì ta nói M sinh bởi A và A được gọi là một hệ sinh, các phần

tử của A được gọi là các phần tử sinh của M Trong trường hợp này, A được gọi

là hệ sinh tối tiểu của M nếu không có tập con thực sự nào của A sinh ra M.Một binoid được gọi là hữu hạn sinh nếu nó được sinh bởi một tập hữu hạn Mộtbinoid hữu hạn sinh có hệ sinh (tối tiểu) có n phần tử và mọi hệ sinh khác của

M có nhiều hơn hoặc bằng n phần tử được gọi là n-phần tử sinh Một binoid hữuhạn chỉ chứa hữu hạn các phần tử Định nghĩa này cũng được áp dụng cho nửabinoid S và tập con A ⊂ S nếu các điều kiện trên đúng với binoid S0 và A.Một hệ sinh A của M sinh ra M như là một vị nhóm nếu và chỉ nếu tồn tạicác phần tử a, b ∈ M• sao cho a + b = ∞ (tính chất này sau này sẽ được gọi làkhông tách rời) Mặt khác, A ∪ {∞} sinh ra M là một vị nhóm Đặc biệt, mộtbinoid là hữu hạn sinh nếu và chỉ nếu nó là một vị nhóm hữu hạn sinh

Ví dụ 1.2.2 Từ định nghĩa ta có một số ví dụ đơn giản sau

(1) Binoid không ∞ là binoid hữu hạn sinh bởi ∅ là một vị nhóm và cũng làmột binoid Binoid tầm thường {0, ∞} như binoid sinh bởi ∅ nhưng {∞} là vịnhóm sinh của nó

(2) N∞ = h1i như binoid nhưng là tập sinh của vị nhóm N∞ sinh bởi 1 và ∞.Tổng quát (Nn)∞ với n ≥ 1 là binoid hữu hạn sinh với hệ sinh là với các phần tử

ei := (0, , 0, 1, 0, , 0), i ∈ {1, , n},trong đó 1 ở vị trí phần tử thứ i và (Nn)∞ với n ≥ 1, còn là binoid hữu hạn sinhbởi vị nhóm (∞, , ∞) và ei, i ∈ {1, , n}

Bổ đề 1.2.3 Một binoid giao hoán M là hữu hạn nếu và chỉ nếu M hữu hạnsinh và mọi binoid con 1-phần tử sinh của M là hữu hạn

Chứng minh Mọi binoid giao hoán hữu hạn sinh M = hx1, , xri, r ∈ N đềuxác định một toàn cấu chính tắc

Tích trên là hữu hạn vì các thành phần của nó là hữu hạn theo giả thiết Vì ánh

xạ là toàn cấu nên M hữu hạn

Nếu M là một binoid sinh bởi A (không nhất thiết phải hữu hạn) thì mọi phần

tử f ∈ M• có thể viết dưới dạng tổng hữu hạn các phần tử của M Trong trườnghợp M giao hoán, ta có thể viết

f =X

a∈A

naa với na ∈ N và na = 0 với hầu hết a ∈ A

Hiển nhiên biểu diễn này không phải là duy nhất

Định nghĩa 1.2.4 Cho V là một tập hợp các phần tử bất kỳ Kí hiệu M (V ) là

vị nhóm tự do chứa tất cả các tổng hữu hạn các phần tử của V với phép toáncộng xác định bởi

(x1+ + xn) + (y1+ + ym) := x1+ xn + y1+ + ym,

trong đó xi, yj ∈ V, i ∈ {1, , n}, j ∈ {1, , m} và tổng trên tập rỗng (:= 0) làphần tử trung lập Binoid M (V )∞ =: F (V ) được gọi là binoid tự do trên V

Bổ đề 1.2.5 Mọi phần tử khác ∞ của F (V ) đều có thể được viết duy nhất dướidạng một tổng các phần tử của V

Chứng minh Điều này là hiển nhiên vì x1+ + xn = (x1) + + (xn).

Rõ ràng F (V ) là giao hoán nếu và chỉ nếu V = {x} là một đơn thức Trongmột binoid giao hoán có nhiều hơn một phần tử sinh, biểu diễn trên không là duynhất Ta dễ kiểm tra được kết quả sau:

Bổ đề 1.2.6 Cho M là một binoid Mọi tập con A = {ai | i ∈ I} ⊆ M đều cảmsinh duy nhất một đồng cấu binoid

ε : F (I) −→ M, i 7−→ ai, i ∈ I

là toàn cấu khi và chỉ khi A sinh ra M

Chứng minh Chứng minh này là dễ dàng

Bổ đề suy ra rằng: Với mọi tập sinh A = {ai | i ∈ I} của binoid M có toàncấu binoid chính tắc

ε : F (I) −→ M, i 7−→ ai, i ∈ I

Định nghĩa 1.2.7 Cho M là một binoid giao hoán Ta nói M là binoid giaohoán tự do nếu tồn tại đồng cấu ε : N(I)
∞ → M với mọi tập I (I có thể vô hạn)

Họ các phần tử (ε(ei))i∈I của M gọi là cơ sở của M Binoid giao hoán tự do với

cơ sở V được ký hiệu là F C (V ) hoặc là F Cn nếu V = {1, , n}

Bổ đề 1.2.8 Mọi phần tử f 6= ∞ của binoid giao hoán tự do hữu hạn sinh với

cơ sở (xi)i∈I xác định duy nhất một biểu thức f = P

i∈Inixi với ni = 0 với hầuhết mọi i ∈ I

Ví dụ 1.2.9 Binoid giao hoán Z∞ không giao hoán tự do vì các phần tử nghịchđảo không tầm thường, 0 ∈ Z∞ tạo ra các biểu thức không duy nhất Toàn cấubinoid chính tắc ϕ : N2
∞ → Z∞; (1, 0) 7→ 1; (0, 1) 7→ −1 không là nội xạ vìchẳng hạn như ϕ−1(0) = {(m, n) | n ∈ Z}

Bổ đề 1.2.10 Cho một họ các phần tử giao hoán (ai)i∈I của binoid M , i.e.ai+

aj = aj + ai với mọi i, j ∈ I; tồn tại duy nhất một đồng cấu binoid

ε : F C (I) → M, i 7→ ai, i ∈ I

là toàn ánh nếu và chỉ nếu {ai| i ∈ I} hệ sinh của M

Định nghĩa 1.2.11 Cho V là một tập tùy ý Các binoid cảm sinh từ F(V ) vàFC(V) bằng cách trang bị phép toán cộng Ri, i ∈ I, giữa các phần tử của V, kýhiệu bởi

F(V )/ (Ri)i∈I and FC(V )/ (Ri)i∈I

Ở đây, chúng ta ngầm thừa nhận các tính chất của một vị nhóm xác định bởi cácphần tử sinh với quan hệ được cho bởi định nghĩa trên một cách sơ sài

Định nghĩa 1.2.12 Cho M là một binoid giao hoán khác không Ta nói M làmột binoid nửa tự do với nửa cơ sở (ai)i∈I nếu M sinh bởi {ai|i ∈ I} , sao chomỗi phần tử f ∈ M• có thể viết được duy nhất dưới dạng f = P

i∈Iniai, ni = 0với hầu hết i ∈ I Khi đó, tập {ai|ni 6= 0} =: supp(f ) được gọi là tập hỗ trợ của

f Một nửa binoid giao hoán S là nửa tự do nếu binoid S0 là nửa tự do

Rõ ràng, mọi binoid giao hoán hữu hạn sinh tự do là nửa tự do (xem Hệ quả1.3.17) và một nửa cơ sở luôn là hệ sinh tối tiểu Binoid nửa tự do là lớp đại diệnquan trọng của các binoid giao hoán, xem Hệ quả 1.8.10

Ví dụ 1.2.13

(i) Binoid N(I)
∞ là nửa tự do với nửa cơ sở ei, i ∈ I

(ii) Phần tử sinh 1 và −1 của Z∞ không là nửa cơ sở vì 0 = n · 1 + n · (−1) vớimọi n ≥ 1 Thật vậy, Z∞ không là nửa tự do Mọi hệ sinh tối tiếu của Z∞ đượccho bởi hai số nguyên n, m ∈ Z với n > 0, m < 0, và gcd(n, −m) = 1 Do đó,

kn + lm = 1 với k, l > 0 kéo theo ˜kn + ˜lm = −1 với ˜k, ˜l > 0, cộng mn − nm = 0vào hai vế ta được −kn − lm = −1 Áp dụng cho phương trình trên ta thu đượcmột biểu diễn không duy nhất của 0 theo n và m

1.3 Một số lớp binoid đặc biệt

Định nghĩa 1.3.1 Cho M là một binoid (hoặc nửa binoid) Một phần tử a ∈ Mđược gọi là lũy linh nếu tồn tại n ≥ 1 sao cho

na = a + a = ∞

Tập hợp các phần tử lũy linh ký hiệu là nil(M )

Ta nói M là rút gọn nếu nil(M ) = {∞} và M là rút gọn mạnh nếu a + a + b = ∞kéo theo a + b = ∞, với a, b ∈ M

Bổ đề 1.3.2 (1) Một binoid rút gọn mạnh là một binoid rút gọn.

(2) Một binoid giao hoán là rút gọn mạnh nếu và chỉ nếu nó là rút gọn.Chứng minh (1) Nếu tồn tại a và n ≥ 2 sao cho na = ∞ trong một binoid rútgọn mạnh thì bằng cách áp dụng nhiều lần

∞ = na = a + a + (n − 2)a = a + (n − 2)a = (n − 1)a,

ta thu được ∞ = 2a = a + a + 0 Do đó ta có ∞ = a + 0 = a

(2) Bằng cách cộng b vào hai vế của phương trình a + a + b = ∞ trong binoidgiao hoán, ta suy ra 2(a + b) = ∞ Do đó a + b = ∞ nếu binoid đó là binoid rútgọn

Định nghĩa 1.3.3 Cho M 6= {∞} là một binoid (hoặc nửa binoid) Một phần

tử a ∈ M• được gọi là nguyên nếu từ a + b = ∞ hoặc b + a = ∞ kéo theo b = ∞.Tập các phần tử nguyên của M ký hiệu là int(M ) và phần bù M \ int(M ) ký hiệu

là intc(M ) Ta nói M là nguyên nếu M• là một vị nhóm con (hoặc tương ứng lànửa nhóm con) của M, nghĩa là M• chỉ chứa các phần tử nguyên

Ví dụ 1.3.4 (1) Theo định nghĩa (Nn)∞ là một binoid nguyên và (Zn)∞ là mộtnhóm binoid Mặt khác, binoid (N∞)n, n ≥ 2 hiển nhiên là không nguyên

(2) Khái niệm về tính chất nguyên của vành R và binoid (R, ·, 1, 0) là trùngnhau, nghĩa là các phần tử không nguyên chính là các ước của không trong R

Do đó intc(R) = {0} nếu và chỉ nếu R là miền nguyên

Bổ đề 1.3.5 Phần tử lũy linh là không nguyên, nghĩa là nil(M ) ⊆ intc(M ) đốivới mỗi binoid Đặc biệt, mỗi binoid nguyên là một binoid rút gọn

Chứng minh Điều này được suy ra trực tiếp từ định nghĩa

Bổ đề 1.3.6 Tập con Mint := int(M ) ∪ {∞} ⊆ M là một binoid con nguyên vớimọi binoid M khác không

Định nghĩa 1.3.7 Cho M là một vị nhóm (hoặc binoid khác không) Một phần

tử u ∈ M được gọi là phần tử đơn vị nếu tồn tại một phần tử a ∈ M sao cho

a + u = u + a = 0 Phần tử a được xác định duy nhất (đối với phép toán cộng) vàđược gọi là phần tử đối của u, ký hiệu là −u Tập tất cả các phần tử đơn vị M×

là binoid con của M , là nhóm con đơn vị của M nếu M là nhóm Tập các phần

tử không đơn vị M \ M× ký hiệu là M+ Ta nói M là dương nếu nó có một nhómđơn vị tầm thường, nghĩa là M \ {0} = M+ Một nhóm binoid là một binoid Gsao cho G• = G×, nghĩ là G• là một nhóm

Trong phần này ta quy ước nếu R là một vành thì R∞ kí hiệu nhóm binoid(giao hoán) được xây dựng bởi các phần tử hút liền kề của RF đối với cấu trúccộng Chẳng hạn

(Zn)∞ = (Zn∪ {∞}, +, (0, , 0), ∞) và (Z/mZ)∞ = (Z/mZ ∪ {∞}, +, [0], ∞),trong đó n ≥ 1 và m ≥ 2

Ví dụ 1.3.8 Nếu (Mi)i∈I là một họ các binoid khác không thì

Bổ đề 1.3.12 Mọi binoid boolean đều dương và rút gọn

Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh tính dương của binoid boolean Thật vậy,giả sử a + b = 0 với a, b là hai phần tử lũy đẳng Cộng a vào vế trái và cộng b vào

vế phải ta được a = a + b = b Do đó a = b = 0

Sau đây là khái niệm về tính xoắn và triệt tiêu

Định nghĩa 1.3.13 Cho M là một binoid (hoặc nửa binoid) Một phần tử a ∈ M

là phần tử xoắn nếu a = ∞ hoặc tồn tại b ∈ M, b 6= a sao cho na = nb, với n ≥ 2

Ta nói M là không xoắn nếu nó không có phần tử xoắn nào khác ngoài ∞, nghĩa

là na = nb kéo theo a = b, với mọi a, b ∈ M và n ≥ 1 Nếu na = nb 6= ∞ kéotheo a = n với mọi a, b ∈ M và n ≥ 1 thì M được gọi là không xoắn đến bậc lũylinh (torsion-free up to nilpotence)

Theo định nghĩa, một binoid là không xoắn nếu và chỉ nếu nó rút gọn và khôngxoắn đến bậc lũy linh Với khái niệm này, một vị nhóm không có phần tử hút làkhông xoắn nếu M∞ là một binoid không xoắn Một nhóm G là một nhóm xoắnnếu và chỉ nếu mọi phần tử của G∞ đều là phần tử xoắn Đặc biệt, nhóm đơn vị

M× không là không xoắn

Một ví dụ quan trọng về binoid không xoắn đến bậc lũy linh nhưng (nhìnchung) không rút gọn được cho bởi Hệ quả 1.8.10 Tập tất cả các phần tử xoắntrong một binoid là không xoắn đến bậc lũy linh chính là nil(M ) Nhìn chung,tập tất cả các phần tử xoắn của M không có cấu trúc được chỉ ra trong ví dụsau

Ví dụ 1.3.14 Xét binoid M = FC(x, y)/(10x + 2y = ∞) Phần tử x và y khôngphải phần tử xoắn nhưng mọi phần tử nx + my với n, m ≥ 1 là phần tử xoắn

Bổ đề 1.3.15 (1) Mọi phần tử lũy linh đều là phần tử xoắn

(2) Binoid boolean là không xoắn

Chứng minh Suy ra trực tiếp từ định nghĩa

Mệnh đề 1.3.16 Mọi binoid giao hoán hữu hạn sinh M là dương và có luật giảnước đều nhận duy nhất một hệ sinh tối tiểu xác định bởi M+\ 2M+

Chứng minh Do M là binoid dương nên mọi hệ sinh của M đều được chứa trong

M+ = M \ {0} Trước hết ta chứng minh M+ \ 2M+ chứa bất kỳ hệ sinh tốitiểu nào của M, từ đó suy ra nó cũng là một hệ sinh của M Thật vậy, lấy tùy ý{x1, , xr} là hệ sinh tối tiểu của M và giả sử x1 ∈ M/ +\ 2M+ Khi đó tồn tại

y, z ∈ M+ sao cho x1 = y + z Suy ra x1 = n1x1+ · · · + nrxr với tối thiểu hai số

ni ≥ 1 hoặc một số ni ≥ 2, i ∈ I Nếu n1 6= 0 thì theo tính có luật giản ước của

M ta có một đẳng thức không tầm thường

0 = (n1− 1)x1+ n2x2+ · · · + nrxr.Điều này mẫu thuẫn với M× = {0} Do đó n1 = 0 và x1 có thể được loại bỏkhỏi hệ sinh {x1, , xr}, mâu thuẫn với tính tối tiểu của {x1, , xr} Vì vậy,{x1, , xr} ⊆ M+ \ 2M+ Ta có thể thấy ngay tính tối tiểu của M+ \ 2M+ vìnếu x ∈ M+ \ 2M+ có thể được loại bỏ thì biểu thức x = n1y1 + · · · nsys, với

yi ∈ M+\ 2M+ có ít nhất một số ni 6= 0, i ∈ {1, , s} Điều này có nghĩa là tồntại i ∈ {1, , s} sao cho x = yi vì x /∈ 2M+ Do đó x không thể bị loại bỏ Lậpluận tương tự ta thấy M+\ 2M+ phải chứa trong mọi hệ sinh của M

Hệ quả 1.3.17 Một binoid hữu hạn sinh là giao hoán tự do nếu và chỉ nếu nó

là binoid giao hoán, nguyên và nửa tự do

Chứng minh Tất cả các tính chất của binoid giao hoán tự do đều xuất phát từthực tế là (Nn)∞ có các tính chất này Ngược lại, theo Mệnh đề 1.3.16 binoid Mvới các tính chất đã cho nhận một hệ sinh tối tiểu là M+\ 2M+ = {x1, , xn}

Vì M là nửa tự do và nguyên nên toàn cấu binoid chính tắc

Đặc biệt, M+\ nM+ hữu hạn với mọi n ≥ 1.

Định nghĩa 1.3.19 Cho M là một binoid dương và giao hoán hữu hạn sinh.Ánh xạ

H(−, M ) : N −→ N với H(n, M) := #(M \ nM+) nếu n ≥ 1 và H(0, M ) := 0được gọi là hàm Hilbert-Samuel của M và

H(M ) :=X

n∈N

H(n, M )Tn

là chuỗi Hilbert-Samuel của M

1.4 Quan hệ tương đương

Định nghĩa 1.4.1 Một tương đương trên một binoid M là một quan hệ tươngđương ∼ trên M tương thích với phép cộng, nghĩa là nếu a, b ∈ M mà a ∼ b thì

a + c ∼ b + c và c + a ∼ c + b, với mọi c ∈ M Ta ký hiệu lớp tương đương của

a ∈ M là [a] (hoặc ¯a) và tập tất cả các lớp tương đương ký hiệu là M/ ∼ Giả sử

∼1 và ∼2 là hai tương đương trên một binoid Khi đó giao của hai tương đương

∼1 ∩ ∼2 là một tương đương ∼ trên M xác định với a, b ∈ M

a ∼ b nếu a ∼1 b hoặc a ∼2 b

Ta viết ∼1≤∼2 nếu a ∼1 b kéo théo a ∼2 b, với mọi a, b ∈ M

Trên tập các tương đương của binoid xác định một quan hệ thứ tự toàn phần

≤ nên tồn tại tương đương lớn nhất và tương đương nhỏ nhất Nghĩa là, tồn tạitương đương ∼u và ∼id sao cho ∼id≤∼≤∼u, với mọi ∼ trên binoid Theo đó, tínhphổ dụng tương đương ∼u thể hiện mối liên hệ giữa hai phần tử phân biệt bất kỳvới nhau và tính đồng nhất tương đương ∼id thể hiện mối liên hệ giữa hai phần

tử trùng nhau

Mệnh đề sau mô tả khái niệm tương đương của đồng cấu và đẳng cấu của mộtbinoid trước khi nghiên cứu về binoid giao hoán tự do và binoid hữu hạn sinh.Mệnh đề 1.4.2 Cho M là một binoid và ∼ là một tương đương trên M, thươngM/ ∼ là một binoid với phép toán cộng

[a] + [b] := [a + b]

sao cho ánh xạ chính tắc M −→ M/ ∼, a 7−→ [a] là toàn cấu binoid Ngược lại,nếu ϕ : M −→ N là toàn cấu binoid thì quan hệ ∼ϕ trên M định nghĩa bởi a ∼ϕ bnếu ϕ(a) = ϕ(b) là tương đương trên M sao cho M/ ∼ϕ−→ N, a 7−→ ϕ(a) làđẳng cấu binoid.

Chứng minh Dễ dàng kiểm tra được M/ ∼ là binoid với phép toán đã cho và ∼ϕ

là tương đương trên M Chiều ngược lại được suy ra từ kết quả sau

Bổ đề 1.4.3 Nếu ϕ : M −→ N là đẳng cấu và ∼ là một tương đương trên Mvới ∼≤∼ϕ thì tồn tại duy nhất một đồng cấu ˜ϕ sao cho biểu đồ sau giao hoán

Đặc biệt, với hai tương đương ∼1 và ∼2 trên M, quan hệ ∼1≤∼2 tương đương vớiánh xạ M/ ∼1−→ M/ ∼2, [a]1 7−→ [a]2 được định nghĩa là toàn cấu binoid.Ghi chú 1.4.4 Thông thường, tương đương ∼ϕ được định nghĩa bởi đồng cấu

vị nhóm ϕ : M −→ N như trong Mệnh đề 1.4.2 thường được ký hiệu là ker ϕ,xem ví dụ trong [6], [7], [10] Những tính chất này chủ yếu được suy ra từ định

lý đẳng cấu nổi tiếng

M/ ∼ϕ∼= im ϕ

có thể phát biểu với định nghĩa chung, chẳng hạn xem [10], Mệnh đề 8.2 Hoặc

có thể do không có phần tử hút nào được đưa vào định nghĩa của ker Chú ýrằng (tiếp tục với định nghĩa của ta) đồng cấu binoid cảm sinh bởi ker ϕ khôngnhất thiêt là đẳng cấu, xem Ghi chú 1.8.8 ở phía sau Mặt khác, nếu ϕ là đồngcấu binoid sao cho ϕ|M \ker ϕ là đơn ánh, nghĩa là ker ϕ được định nghĩa bởi tươngđương ∼ϕ thì đồng cấu cảm sinh là một đẳng cấu, xem Ghi chú 1.8.8

Rất phổ biến để tìm đồng nhất của tương đương ∼ với tập

R(∼) := {(a, b) | a ∈ M } ⊆ M × M

Chẳng hạn, R(∼i) = M × M và R(∼id) là đường chéo

D := {(a, a) | a ∈ M } ⊆ M × M

Mặt khác, mọi tập con R ⊆ M × M sinh ra một tương đương trên M Ví dụ tập

R0 := {(a + c, b + c) | (a, b) ∈ R ∪ R−1∪ D, c ∈ M },trong đó R−1 = {(b, a) | (a, b) ∈ R} Quan hệ ∼R trên M được cho bởi

a ∼R b :⇔ ∃ a = a1, a2, , an = b sao cho (a1, ai+1) ∈ R0, i ∈ {1, , n − 1},

là tương đương trên M

Định nghĩa 1.4.5 Cho M là một binoid và tập con R ⊆ M × M Tương đương

∼R được định nghĩa như trong Ghi chú 1.4.4 là tương đương sinh bởi quan hệ R.Một tương đương ∼ trên binoid M được gọi là hữu hạn sinh nếu tồn tại một tậpcon hữu hạn R ⊆ M × M sao cho ∼ là tương đương sinh bởi R

Ghi chú 1.4.6 [Binoid Noether] Tập tất cả các tương đương trên một binoid

M là tập sắp thứ tự toàn phần với quan hệ ≤, trong đó ∼1≤∼2 tương đương vớiR(∼1) ⊆ R(∼2)

Ví dụ 1.4.7 Cho M là một binoid giao hoán sinh bởi {ai | i ∈ I} Nếu ε :FC(I) −→ M là toàn cấu chính tắc i 7−→ ai thì M ∼= FC(I)/ ∼ε theo Mệnh đề1.4.2 Do đó M đã cho sinh bởi tập {ai | i ∈ I} và họ các quan hệ ε(yj) = ε(zj)(nghĩa là Rj : yj ∼ε zj, j ∈ J ) cảm sinh ra ∼ε Điều này đúng với phát biểutrong Định nghĩa 1.2.1

M = FC(I)/(Rj)j∈J.Nếu #I = r thì M ∼= (Nr)∞, trong đó ε : ei 7→ ai, i ∈ {1, , r}

Tương tự như đối với nửa nhóm và vị nhóm, tập chỉ số J trong ví dụ trên cóthể thay bởi một tập con hữu hạn nếu M là binoid giao hoán hữu hạn sinh Kếtquả này được biết đến là Định lý Resdei và chứng minh đối với binoid giống hệtvới nửa nhóm và vị nhóm

Bổ đề 1.4.8 Cho ∼ là tương đương trên binoid giao hoán tự do Nn)∞ và J (∼) làiđêan của vành đa thức Z[X1, , Xn] là đại số binoid của (Nn)∞ trên Z, sinh bởicác binoid Xa− Xb

, trong đó a, b ∈ (Nn)∞ sao cho a ∼ b và Xc = Xc1

1 · · · Xcn

c = (c1, , cn) ∈ Nn và X∞ = 0 Khi đó a ∼ b nếu và chỉ nếu Xa− Xb ∈ J (∼)

Định lý 1.4.9 [Định lý Rédei] Mọi tương đương trên binoid giao hoán tự do(Nn)∞ là hữu hạn sinh.

Chứng minh Giả sử ∼ là tương đương trên (Nn)∞ Nếu ∼ không hữu hạn sinhthì tồn tại một dãy tăng dần R1 ⊂ R2 ⊂ · · · ⊂ Rk ⊂ · · · của các tập con hữu hạnR(∼) = {(a, b) | a ∼ b}, cảm sinh ra chuỗi tăng dần các tương đương

∼R1≤ ∼R2≤ · · · ≤ ∼Rk≤ · · ·trên (Nn)∞ Theo giả thiết của ∼ chuỗi này không thể dừng và do đó chuỗi tăngdần các iđêan

J (∼R1) ⊆ J (∼R2) ⊆ · · · ⊆ J (∼Rk) ⊆ · · ·trong Z[X1, , Xn] như trong Bổ đề 1.4.8 cũng không dừng Điều này mâu thuẫnvới Định lý cơ sở Hilbert, xem [[9], Định lý 1.C.4]

Tương tự như định lý đối với vị nhóm, hệ quả của Định lý 1.4.9 có thể gọi làĐịnh lý Rédei cho binoid giao hoán hữu hạn sinh

Hệ quả 1.4.10 Mọi binoid giao hoán hữu hạn sinh M với các phần tử sinh

x1, , xn đều có hữu hạn các quan hệ R1, , Rs sao cho

M ∼= FC(x1, , xr)/(Rj, j ∈ {1, , s})

Chứng minh Điều này được suy ra trực tiếp từ Định lý 1.4.9 khi

M ∼= (Nn)∞/ ∼ε,trong đó ε : (Nr)∞ −→ M là đồng cấu binoid chính tắc ei 7−→ xi, i ∈ {1, , r}

Định nghĩa 1.4.11 Một quan hệ tương đương ∼ trên M với tính chất π : M →M/ ∼ là đơn ánh trên M \ ker π được gọi là một iđêan tương đương

Ví dụ 1.4.12 Mọi đồng cấu binoid ϕ : M → N xác định một iđêan tương đương(rất quan trọng) trên M, gọi là a ∼ker ϕ b nếu a = b hoặc a, b ∈ ker ϕ Các phần

tử của M/ ∼ker ϕ được cho bởi [a] = {a} nếu a /∈ ker ϕ và [a] = [∞] trong trườnghợp còn lại Khái niệm M/ ker ϕ với M/ ∼ker ϕ sẽ được sử dụng phía sau

Bổ đề 1.4.13 Mọi đồng cấu binoid ϕ : M → N được phân tích duy nhất quaM/ ker ϕ sao cho M/ ker ϕ là miền nguyên nếu N cũng là miền nguyên.

Dễ dàng chứng minh được kết quả sau

Bổ đề 1.4.14 Nếu M là một binoid dương thì M/ ∼ cũng là binoid dương vớimọi iđêan tương đương ∼

Bổ đề 1.4.15 Cho M là một binoid giao hoán Khi đó

(1) Quan hệ ∼int trên M được cho bởi a ∼int b nếu a = b hoặc a, b ∈ intc(M ),

là một iđêan tương đương sao cho M/ ∼int ∼= M

int (2) Quan hệ ∼red trên M được cho bởi a ∼red b nếu a = b hoặc a, b ∈ nil(M ),

là một iđêan tương đương sao cho M/ ∼red =: Mred

Chứng minh Rõ ràng ∼int và ∼red là các quan hệ tương đương Để chứng minh

∼int là một tương đương ta lấy a, b ∈ M với a ∼int b Vì a = b nên a + c = b + cvới mọi c ∈ M Do đó, ta xét trường hợp a, b ∈ intc(M ) Khi đó a + x = ∞ = b + yvới x, y ∈ M• Do M giao hoán nên (a + c) + x = ∞ = (b + c) + y, với mọi c ∈ Mhay a + c ∼int b + c Phát biểu cuối của (1) được suy ra từ tính chất [a] = [∞]nếu và chỉ nếu a ∈ intc(M ) và [a] = {a} trong trường hợp còn lại Chứng minhphát biểu (2) tương tự như chứng minh (1)

Định nghĩa 1.4.16 Cho M là một binoid giao hoán Hai phần tử a, b ∈ M đượcgọi là liên kết của nhau nếu tồn tại phần tử đơn vị u của M sao cho a = b + u

Bổ đề 1.4.17 Cho M là một binoid giao hoán Quan hệ ∼pos trên M đượccho bởi a ∼pos b nếu a, b là liên kết của nhau, là một quan hệ tương đương nếuM/ ∼pos =: Mpos là một binoid dương Hơn nữa, Mpos ∼= M khi và chỉ khi Mdương

Chứng minh Rõ ràng, ∼pos là một quan hệ tương đương Lấy a ∼pos b, khi đó

a = b + u với u ∈ M× Điều này kéo theo a + c = b + c + u với mọi c ∈ M dotính chất giao hoán của M Do đó, a + c ∼pos b + c Khẳng định cuối cùng đượcsuy ra từ tính chất [u] = [0] với mọi phần tử đơn vị u Chiều ngược lại là hiểnnhiên

với điểm phân biệt [(pi)i∈I] =: p∧ được gọi là tích smash của họ (Si, pi)i∈I Lớp[(si)i∈I] ∈ ∧i∈ISi với (si)i∈I ∈Y

i∈I

Si nào đó được ký hiệu là ∧i∈ISi

Ví dụ 1.5.2 Binoid M = FC(x, y)/(3x = x, 2y = 0) là một tích smash của(M×)∞ và Mpos, nghĩa là M ∼= (M×)∞∧ Mpos Hơn nữa, với vành K ta có

i∈IMi là một binoid với phần tử lũy linh ∧i∈I0i =: 0∧ vàphần tử hút ∧i∈I∞i=: ∞∧ Hơn nữa phép nhúng chính tắc

ιk : Mk −→ ^

i∈I

Mi, a 7−→ ∧i∈Iai,

trong đó ak = a và ai = 0 với i 6= k là đồng cấu binoid

Chú ý rằng tích smash là binoid không nếu có một binoid không trong họbinoid đã cho và V

trong đó a đứng ở vị trí thứ i trong aebi Đặc biệt, các phần tử sinh của Vr

i∈IN∞là

b

ei := 0 ∧ · · · ∧ 0 ∧ 1 ∧ 0 · · · ∧ 0, i ∈ {1, , n},trong đó 1 đứng ở vị trí thứ i trong ebi Chú ý rằng Vr

i∈I ∼= (Nr)∞.Ghi chú 1.5.5 Cho G là một nhóm binoid và N là một binoid dương Khi đó

G ∧ N là một binoid với nhóm đơn vị G× và (G ∧ N )pos đẳng cấu với N Đặcbiệt, có một đơn cấu và toàn cấu binoid

(G×)∞ −→ G ∧ N −→ N,sao cho thành phần của chúng chỉ mang điểm đặc trưng của χG×

Ví dụ 1.5.6 Xét nhóm binoid G = (Z/2Z)∞ = FC(y)/(2y = 0) và binoid

N = FC(x)/(3x = x) Khi đó tích smash của chúng là

Do đó, đại số binoid tương ứng trên vành K là

K[G ∧ N ] = K[X, Y ]/(X3− X, Y2− 1)