Luận văn Thạc sĩ Toán học: Xấp xỉ biến đổi Laplace ngược và công thức cầu phương nội suy

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Xấp xỉ biến đổi Laplace ngược và công thức cầu phương nội suy trình bày các kiến thức chuẩn bị cho việc tính toán tích phân Mellin, phương pháp tính tích phân Mellin bằng công thức cầu phương nội suy và một số nội dung khác.

LÊ DUY THỨC

Chuyên Ngành : Toán Giải Tích

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành Phố Hồ Chí Minh – Năm 2006

Phép biến đổi Laplace có nhiều áp dụng quan trọng trong khoa học và kỹ thuật Bài toán khôi phục hàm gốc từ hàm ảnh trong phép biến đổi Laplace được nhiều nhà Toán học quan tâm khảo cứu và đến nay có rất nhiều phương pháp được đưa ra

Trong luận văn này, chúng tôi khảo sát một số phương pháp tính xấp xỉ biến đổi Laplace ngược thông qua công thức cầu phương nội suy Trong đó chúng tôi đã chứng minh sự hội tụ của các công thức nội suy, và tính ổn định của nghiệm xấp xỉ thu được, cũng như minh hoạ việc giải số trên máy tính thông qua một ví dụ cụ thể

Luận văn được chia làm 4 chương như sau :

Chương 1 : Trình bày các kiến thức chuẩn bị cho việc tính toán tích phân Mellin Chương 2 : Khảo sát một số phương pháp tính tích phân Mellin bằng công thức cầu phương nội suy Sau đó là các định lý về sự hội tụ của quá trình nội suy và tính ổn định của nghiệm xấp xỉ

Chương 3 : Đưa ra công thức cầu phương nội suy với độ chính xác cao nhất

Chương 4 : Xây dựng công thức tính toán cho công thức cầu phương nội suy với hệ số cân bằng Cuối cùng là một ví dụ về giải số trên máy tính

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Cam, người Thầy đã dạy dỗ, dìu dắt tôi từ những năm đầu đại học

Xin chân thành cảm ơn PGS.TS Lê Hoàn Hóa, PGS.TS Nguyễn Bích Huy,

TS Nguyễn Thành Long, những người Thầy đã quan tâm, giúp đỡ và truyền đạt cho tôi những kiến thức nền tảng trong thời gian học đại học và cao học

Xin cảm ơn các Thầy trong hội đồng chấm luận văn đã cho những nhận xét quý báu, các Thầy- Cô đã truyền đạt kiến thức trong các học phần

Cảm ơn BGH Trường PTTH Mạc Đĩnh Chi TPHCM, và các đồng nghiệp đã tạo điều kiện, động viên để tôi hoàn thành khoá học

Cảm ơn gia đình, bạn bè và người thân đã hỗ trợ, giúp đỡ nhiều mặt

Xin cảm ơn bạn Thúy Trang, University of Western Australia, đã động viên và cung cấp nhiều tài liệu bổ ích trong quá trình làm luận văn

Hình 4.1 79

CHƯƠNG I : MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1

CHƯƠNG 2 : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN MELLIN

BẰNG CÔNG THỨC CẦU PHƯƠNG NỘI SUY

2.1 Lý Thuyết Tổng Quát Về Các Phương Pháp Nội Suy 13 2.2 Phương Pháp Nội Suy Với Mốc Nội Suy Cách Đều 16 2.3 Phương Pháp Nội Suy Với Mốc Nội Suy Không Cách Đều 17 2.4 Phương Pháp Nội Suy Sử Dụng Chuỗi Taylor Chặt cụt 23 2.5 Sự Hội Tụ Của Quá Trình Nội Suy Công Thức (2.3.7) 24 2.6 Sự Hội Tụ Của Quá Trình Nội Suy Của (2.1.6) 31 CHƯƠNG 3 : PHƯƠNG PHÁP SỐ CỦA BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC THÔNG

QUA CÔNG THỨC CẦU PHƯƠNG VỚI ĐỘ CHÍNH XÁC CAO NHẤT

3.1 Lý thuyết về công thức cầu phương 34 3.2 Các Đa Thức Trực Giao Liên Hệ Với Công Thức Cầu Phương 43 3.3 Phương Pháp Tính Các Hệ Số Và Các Điểm Của Công Thức Cầu Phương 64

CHƯƠNG 4 : CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC

THÔNG QUA CÔNG THỨC CẦU PHƯƠNG VỚI HỆ SỐ CÂN BẰNG

4.1 Xây Dựng Công Thức Tính Toán 72 4.2 Một Ví Dụ Về Lời Giải Số 76

Kết luận

Tài liệu tham khảo

CHƯƠNG I : MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

(khi a đủ lớn)

Vậy theo điều kiện Cauchy thì

ht n

+ Nếuγ = +∞:E = ∅ ⇒ F p( )không xác định tại mọi p

+ Nếu γ = −∞:E = ⇒ R F p( )xác định với mọi p

+ Nếu γ ∈ R:

- Vớiσ <γthì F(p) không xác định

- Vớiσ >γthì F(p) xác định và F(p) là hàm chính qui

1.5 Định nghĩa

f(t) được gọi là hàm gốc nếu thỏa:

1) f(t) xác định với ∀ ∈t R, f(t) = 0 với ∀ <t 0

2) f t( ) khả tích trên mọi đoạn hữu hạn

3) xác định tại ít nhất một p nào đó

Vì F p ) ( 0 xác định nên với A đủ lớn thì M2 < ε

Ta có f t( ) khả tích trên đoạn [0,A] nên tồn tại hàm g(t) khả vi liên tục thỏa :

1 ( ), 0

( )

1 ( ),

1.11 Ñònh lyù

Cho F(p) giải tích trong nửa mặt phẳng Re p> αvà thỏa :

i)lim ( ) 0

p

F p

→∞= trong nửa mặt phẳng Re p≥ > αc (hội tụ đều)

ii) ( ) hội tụ tuyệt đối

vì ( ) hội tụ tuyệt đối nên

∫ hội tụ và do đó

hội tụ đều đối với t, do đó (5) cho ta:

C p = R p>c trên cung này thì

max F P( ) = α( )R →0 khi R→ ∞ nên :

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN MELLIN

BẰNG CÔNG THỨC CẦU PHƯƠNG NỘI SUY

2.1 Lý Thuyết Tổng Quát Về Các Phương Pháp Nội Suy

bằng cách thay hàm F(p) bởi một hàm khác nội suy F(p) từ một số điểm

Ta biết rằng : lim ( ) 0

Ta chọn hệ ωv( ) p thỏa điều kiện sau :

Với ϕ ( ) p được xác định ở trên, với c > α và ε > 0 thì có một tổ hợp tuyến tính

sao cho trong miền

1

k k

k k

p l

k

k

p p

p p

⎛ ⎞ ω⎜ ⎟

Thay (2.1.4) vào tích phân (2.1.3) ta có công thức sau:

Ở phần sau ta sẽ chứng minh Rn → 0 (khi n → ∞) nên có thể bỏ đi phần dư Rn ở

(2.1.6) để có công thức tính xấp xỉ hàm gốc từ hàm ảnh :

j

c i n

pt s j k

j

c i n

p s j s j k

2.2 Phương Pháp Nội Suy Với Mốc Nội Suy Cách Đều

Ta xét trường hợp các pk cách đều nhau trên nửa đường thẳng thực [ ,α ∞):

k

p = α + k + h (h>0,k =0,1, , )n

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử h=1

Sử dụng phép đổi biến p= α + p h' thì các điểm pk trở thành các số nguyên:

p = +k (k =0,1, ,n) Trong trường hợp này, thay (2.1.9) vào (2.1.8) ta có :

( 1) 2.1( 1)( 2) ( )

n n

( 2 )1

Với A là số thực nhỏ hơn α

Phép đổi biến trên biến nửa trục [ , )α ∞ thành đoạn [-1,1] Đường thẳng Re p= α

biến thành đường tròn đơn vị x =1 và nửa mặt phẳng Re p≥ α biến thành hình tròn

đơn vị x ≤1 Điểm A biến thành tâm x = 0 của đường tròn đơn vị Đường thẳng lấy

tích phân Re p=c trong tích phân (2.3.1) trở thành đường tròn nằm trong đường tròn

đơn vị và tiếp xúc nhau tại điểm x = 1 Bán kính của đường tròn này sẽ phụ thuộc

vào c Khi c tiến về α thì bán kính này tiến về 1 Trái lại, nếu c tăng, thì nó sẽ giảm

và có thể trở thành nhỏ tùy ý

Hàm ϕ( )p trở thành :

Sử dụng các giá trị của hàm Φ( )x tại những điểm x k (k =0,1, 2, , )n , ta thiết lập

đa thức nội suy :

0

n k k

k

=

trong đó ( 2 )

1

k k

( ) )

n k k

p A a

j

pt

c i n

Tích phân nầy có được nhờ tra bảng tính

Cuối cùng, ta có :

1 (2 )

1 0

j

s j n

c i n

+ − + ∞

2.3.2 Phương Pháp Tính Dựa Vào Các Mốc Nội Suy

Các hệ số của (2.3.12) hoặc (2.3.13) được tính theo cách sau:

−

= + để tìm L xk( ):

kj j k

c b

T + x

=

′

- Trở về biến số p, ta tìm khai triển của lk( ) p theo lũy thừa của 1

n k

k

T c

j k

j k

Tiếp tục quá trình này cho tới khi tìm được tất cả các , nên tìm được các nhờ công thức (2.3.15)

2.4 Phương Pháp Nội Suy Sử Dụng Chuỗi Taylor Chặt cụt

Trong mục này, ta xét trường hợp phép nội suy được thực hiện với mốc nội suy là các điểm bội đơn Khi đó, đa thức nội suy sẽ trùng với chuỗi Taylor chặt cụt

Trở lại với việc nội suy hàm Φ ( ) x chính quy trong hình tròn x < 1 Trên đoạn [0,1] chọn một điểm ξ (ξ<1) thì hàm Φ( ) x chính quy trong hình tròn tâm ξ bán kính

Để có giá trị xấp xỉ của hàm

1

r≥ − ξ Φ( )x trên hình tròn này ta khai triển theo chuỗi Taylor chặt cụt tại điểmξ:

( ) 0

!

v n

v v

x x

Khai triển (p− ζ)j theo lũy thừa của (p+ − αA 2 ) thì kết quả tích phân được cho trong bảng và (2.4.2) được tính hoàn toàn

Trong trường hợp đặc biệt hàm ϕ( )p chính quy tại vô cực, ta có khai triển :

c i pt

− ∞

2.5 Sự Hội Tụ Của Quá Trình Nội Suy Công Thức (2.3.7)

Trong phần trước chúng ta đã xem xét công thức cầu phương nội suy (2.3.7) cho phép xấp xỉ tích phân Mellin Phần dư của công thức này là :

trong đó r pn( ) là sai số của phép nội suy hàm ϕ( )p

Quá trình cầu phương (2.3.7) là hội tụ nếu phần dư này hội tụ về 0 khi n→ ∞

Từ công thức (2.5.1) rõ ràng là quá trình cầu phương hội tụ nếu phép nội suy là hội tụ, tức là ï Do đó ta bắt đầu bằng việc khảo sát sự hội tụ của phép nội suy

x

+

=

− Đường thẳng lấy tích phân p = + σ − ∞ < σ < ∞c i ( ) trở thành

đường tròn nằm trong đường tròn đơn vị và qua các điểm 1

1

c x c

−

=+ (khi p=c) và x

Smirnov V.I và Lebedev N.A [4] đã chứng minh các kết quả sau :

2.5.1 Định lý

Nếu một hàm Φ( )x là chính quy trên một miền đóng β bao gồm một elip với các

tiêu điểm là -1,1 các nửa trục là 2

Ta chuyển từ biến x sang biến p để có định lý sau:

k

x p

Nhận xét: Nếu được lấy đủ nhỏ, điều này được thực hiện khi chọn c đủ lớn, thì

elip được xác định trong định lý sẽ vượt ra ngoài đường tròn đơn vị chỉ những điểm lân cận của 1 và -1 Vì

ε

( )x

Φ là chính quy trên hình tròn x <1 nên để thoả mãn

định lý 2.5.1 đòi hỏi phải có tính chính quy của Φ( )x trên lân cận của những điểm x=1 và x= -1, tức là trên lân cận x− ≤ ε1 2 , x+ ≤ ε1 2

2.5.3 Định lý

Cho ϕ( )p là hàm chính quy trên nửa mặt phẳng Re p>0, trên lân cận p 1

R

≤ của

p = 0, và trên lân cận p ≥R của ∞, thì quá trình cầu phương nội suy (2.3.7) với các

mốc nội suy 1

1

k k

k

x p

n→ ∞

≤ ≤ < ∞1

Tích phân bên vế phải phụ thuộc vào c vì tính chính quy của hàm được lấy tích phân và sự bị chặn của r p n( ) trong lân cận của ∞ Nói riêng c có thể được lấy lớn bất

kỳ Ta có thể chọn c Theo định lý 2.5.2 ta có phần dư của quá trình nội suy sẽ hội tụ đều về 0 trên đường lấy tích phân khi

R

n→ ∞0

∀ε > , ∃N p( ): ∀ ≥ ⇒n N r p n( ) ≤ ε

Thực hiện phép đổi biến p = + σc i ta có :

I i

∞

π tiến về 0 khi n→ ∞

Tích phân thứ hai được viết lại như sau:

cận này hàm

[r p n( )−r n( )∞ ] hội tụ về 0 khi 1 0

p → , nên hàm [r p n( )−r n( )∞ ] chính quy trên miền p ≥R Từ nhận xét trong định lý 2.5.2 ta biết rằng hội tụ đều về 0 khi

n

r ∞ →0 p =R1 Nên cả hàm p r[ n( )p −r n( )∞ ] hội tụ đều đến 0 trên

biên của miền p ≥R1 Mặt khác hàm này chính quy trên miền đóng p ≥R1, nên treo nguyên lý modul cực đại hàm này hội tụ đều trên miền trong của p ≥R1

Nếu c≥R1, ta đã chứng minh được hàm p r p[ n( )−r n( )∞ ] hội tụ đều về 0 trên

Re p=c Nên hàm này hội tụ đều đến 0 khi n→ ∞ trên đường lấy tích phân

Re p=c, tức là với mọi ε >0 tồn tại N độc lập với p sao cho với n≥N thì

∫ (đổi biến p = + σc i )

Tích phân cuối hội tụ với s > 0 nên I2 hội tụ về 0 khi n→ ∞ với s > 0 bất kỳ

Định lý được chứng minh

2.6 Sự Hội Tụ Của Quá Trình Nội Suy Của (2.1.6)

Thực hiện phép đổi biến p 1

x

= Phép đổi biến này biến nửa mặt phẳng Re p≥ α

thành đường tròn với bán kính 1

2α với tâm tại điểm

12α Tia α ≤ < ∞p biến thành đường kính d1 nằm trên trục thực của đường tròn này Đường thẳng lấy tích phân

Re p=c, với , sẽ biến thành đường tròn nằm trong đường tròn nói trên và tiếp

xúc nhau tại điểm x = 0 Nếu c được chọn đủ lớn thì bán kính của đường tròn có thể nhỏ tùy ý Hàm

được thỏa nếu với bất kỳ hàm f(z) chính quy trên G,với các mốc nội suy bất kỳ z (k =1, 2, ,n+1;n =1, 2, ) trong một tập bị chặn bất

kỳ , có một dãy các đa thức nội suy của hàm f(z) hội tụ đều đến f(z) (khi ) trên một tập con bất kỳ

Giả sử F và G là hai tập đóng và , là hình tròn đóng lớn nhất chứa trong

G và tâm là ξ∈F, thì

=+ , hoặc các mốc nội suy bất kỳ trong đoạn [0,1] sẽ hội tụ đều trên miền

B là giao của hai đường tròn

(k =0,1, , )n

1

x R

Aùp dụng định lý 2.6.1

Đặt G là nửa mặt phẳng bên phải và miền x 1

R

≤ ; Tập F là đoạn [0,1] Để tìm tập

B, ta xây dựng hai hình tròn đóng lớn nhất chứa trong G với tâm tại x=0 và x=1 Các

hình tròn này là 1 x 1 1 12

R

x R

≤ và Tập B cần tìm là giao của hai hình tròn ên

ược ở trên cho phép tìm hiểu định lý về sự hội tụ của quá trình cầu hương (2.1.6)

ϕ là chính quy trên nửa mặt phẳng Rep>0 và trên lân cận p ≥R

∞, thì quá trình cầu phương nội suy (2.1.6) với các mốc nội suy

CHƯƠNG 3 PHƯƠNG PHÁP SỐ CỦA BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC THÔNG QUA CÔNG THỨC CẦU PHƯƠNG VỚI ĐỘ CHÍNH XÁC CAO NHẤT

3.1 Lý thuyết về công thức cầu phương

Xét tích phân Mellin

1

2

c i pt

p− − αA Độ chính xác của các công thức cầu phương nội

suy này, với các mốc nội suy cho trước trong nửa mặt phẳng Re p> α, nhận được thông qua việc chọn các hệ số cầu phương Ak

Trong chương này, nhằm gia tăng độ chính xác, ta sẽ không chỉ chọn các hệ số cầu phương mà còn cả các mốc nội suy và xây dựng một công thức cầu phương với độ chính xác cao nhất trong một lớp các hàm hữu tỉ có dạng đặc biệt

Thực hiện phép đổi biến : p p'

′ ′

i p i

ε+ ∞ ε− ∞

Trong (3.1.5) hệ số Ak và các điểm pk là bất kỳ Ta cố gắng chọn chúng sao cho

công thức (3.1.5) chính xác theo đa thức cấp 2n-1 của biến 1

p Một điều kiện cần và đủ để thực hiện điều này được cho trong định lý sau đây:

ε+ ∞

− ε− ∞

Điều kiện cần

Nếu công thức (3.1.5) chính xác với mọi đa thức bậc 2n-1 theo biến x 1

p

= thì nó

cũng chính xác với các đa thức bậc n-1 theo 1

p Vì vậy (3.1.5) là một công thức nội suy, nên điều kiện 1) được thỏa

⎝ ⎠ cho

1

n p

trong đó Q và ρ là các đa thức theo 1

p bậc không lớn hơn n – 1 Vì n 1 0

k p

⎝ ⎠ như là tổng của hai tích phân sau:

⎝ ⎠không lớn hơn n – 1 và công thức (3.1.5) là một công thức nội suy nên phương trình sau phải thỏa:

p

Nên công thức (3.1.5) chính xác với các đa thức bất kỳ bậc 2n – 1 theo 1

p Định lý được chứng minh

Vì vậy câu hỏi về khả năng xây dựng công thức cầu phương (3.1.5) chính xác theo

các đa thức bậc 2n – 1 được liên kết với sự tồn tại của đa thức n 1

p

⎛ ⎞

ω ⎜ ⎟

⎝ ⎠ bậc n có tính chất trực giao (3.1.7)

i

ε+ ∞

+ ε− ∞

Vì 1

i

p u i

Xét hệ n hàm 2 1 2

x + − x + − x + − độc lập tuyến tính trên đoạn không rỗng bất kỳ Ta xây dựng một phương trình vi phân tuyến tính cấp n sao cho hệ các hàm này lập thành một hệ đầy đủ các nghiệm độc lập:

2 ( 2) [( 2) ( 1)]

1 ( 1) [( 1) ]

(M kí hiệu cho phần tử liền trước của phần tử bên trái nó)

Hoàn toàn tương tự ta thiết lập được các phần phụ đại số cho các phần tử

theo thứ tự bằng : ( )

Điều này chứng minh được khai triển (3.1.13) đúng

Phương trình (3.1.13) là phương trình Euler và có hai điểm kỳ dị là x=0 và x= ∞ Định thức Wronski của các nghiệm 2 1 2

x= ∞ Nó khác 0 tại các diểm khác

Mặt khác do tại x = 1 thì : 2 2 3

( s n , , s n )

Vậy Δ ≠0 do đó hệ (3.1.12) có nghiệm duy nhất

Điều này chứng minh sự tồn tại và duy nhất của đa thức n 1

p

⎛ ⎞

ω ⎜ ⎟

⎝ ⎠ Định lý được chứng minh

Vì trong (3.1.7) hàm trọng lượng phụ thuộc vào tham số s nên đa thức n 1

⎛ ⎞

ω ⎜ ⎟

⎝ ⎠ Để hoàn tất việc khảo sát khả năng xây dựng

công thức (3.1.5) chính xác theo đa thức bậc 2n -1 của 1

p ta cần chỉ ra rằng mọi

nghiệm của các đa thức ( )s 1

n p

⎛ ⎞

ω ⎜ ⎟

⎝ ⎠ với s > 0 bất kỳ nằm trong nửa mặt phẳng bên phải

3.2 Các Đa Thức Trực Giao Liên Hệ Với Công Thức Cầu Phương

Để nhận được một biểu diễn tường minh cho đa thức ( )s 1

n p

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ bởi khai triển của nó trong (3.2.1) và dùng tích phân từng phần ta được :

n i

n i

i n

1

m i

p n s m

dp

+ ε+ ∞

− − − +

⎛ ⎞

ω ⎜ ⎟

⎝ ⎠

một thừa số hằng số bằng với hệ số đầu của ( )s 1

n P

1

s n

( )

( ) 1

(2 ) ( )

s n

s n s

1

s P p

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠,

( ) 1

1

s P p

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠, … ,

( ) 1

1

s n

Lấy tích vô hướng hai vế với ( )s 1

k P

− ε− ∞

⎝ ⎠ ta sẽ tính được các hệ số a b cn, n, n

Đồng nhất hệ số của n 1

x + trong (3.2.7) ta có :

( 1)( ) (2 3)

( 1)( ) (2 2)

n n

ε+ ∞

− ε− ∞

=

π ∫

e x P x Q x dx i

trong đó C là đường tròn bán kính 1

2ε với tâm tại điểm

1 2

x =

ε

Để suy ra phương trình vi phân cần tìm, ta xét tích phân :

1 / ( )1

2

n C

i k

Số hạng đầu tiên bên vế phải triệt tiêu

Ta xét số hạng thứ 2: Vì [( k + − s 1) xk − xk−1] là một đa thức bậc k nên theo điều kiện trực giao (3.2.9) thì số hạng thứ 2 này bằng 0 khi k =1, 2, ,n −1 Vậy ta đã chứng minh rằng J =0 với k =0,1, 2, ,n−1 tức là:

ra rằng [ x P2 n( ) ''s ( x ) + ( sx − 1) Pn( ) 's ( x )] chỉ sai khác ( )s ( )