Khái niệm về số cân bằng
Định nghĩa 1.1.1 Số nguyên dương nđược gọi làsố cân bằng nếu
1 + 2 +ã ã ã+ (n−1) = (n+ 1) + (n+ 2) +ã ã ã+ (n+r), (1.1) với một số nguyên dương r nào đó Ở đây r được gọi là hệ số cân bằngứng với số cân bằngn.
Ví dụ 1.1.1 Các số 6, 35 và 204 là các số cân bằng với các hệ số cân bằng lần lượt là 2,14và84.
Mệnh đề 1.1.1 Nếu n là một số cân bằng với số hệ số cân bằng tương ứng làr thì n 2 (n+r)(n+r + 1)
Chứng minh Từ (1.1), ta có
Mệnh đề được chứng minh. Định nghĩa 1.1.2 [3] Số tam giỏclà số cú dạng1 + 2 +ã ã ã+nvớin∈ Z +
Nếu n² là một số tam giác, thì n là một số cân bằng Đồng thời, nếu 8n² + 1 là một số chính phương, thì n cũng là một số cân bằng Do đó, từ các điều kiện đã nêu, ta có thể kết luận rằng n là một số cân bằng nếu và chỉ nếu n² là một số tam giác và 8n² + 1 là một số chính phương.
Một số công thức tìm số cân bằng
Trong phần này chúng tôi trình bày công thức tìm số cân bằng Cho nlà một số cân bằng bất kì, ta xét các hàm sau:
Các hàm F(n), G(n) và H(n) đều tạo ra các số cân bằng cho bất kỳ số cân bằng nào n.
Chứng minh Vìnlà số cân bằng nên 8n 2 + 1là số chính phương và
2 = 4n 2 (8n 2 + 1), là một số tam giác và cũng là một số chính phương, nghiệm chính phương của nó 2n√
8n 2 + 1 là một số cân bằng (chẵn) Do đó, cho nlà số cân bằng bất kì thìF(n) là một số cân bằng chẵn.
Vì8n 2 + 1là số chính phương, nên suy ra 8(G(n)) 2 + 1cũng là một số chính phương Do đóG(n) là số cân bằng.
Tiếp tục, vì G(G(n)) = H(n)nên suy ra H(n)cũng là một số cân bằng. Điều này kết thúc chứng minh Định lý1.2.1.
Nếu n là một số cân bằng bất kỳ, thì F(n) luôn là số chẵn Đồng thời, G(n) sẽ là số chẵn khi n là số lẻ và G(n) sẽ là số lẻ khi n là số chẵn.
G(F(n)) là một số cân bằng lẻ Ta lại có
Từ đó ta có hệ quả sau:
Hệ quả 1.2.1 Nếu nlà một số cân bằng bất kì thì
Số cân bằng lẻ được thể hiện qua biểu thức 8n² + 1 + 16n² + 1 Chúng ta đã chứng minh rằng F(n) chỉ tạo ra các số cân bằng chẵn, trong khi K(n) chỉ tạo ra số cân bằng lẻ Ngược lại, H(n) và G(n) có khả năng sinh ra cả số cân bằng chẵn và lẻ Cụ thể, H(6) = 204 và có số cân bằng 35 nằm giữa 6 và 204, cho thấy H(n) không sinh ra số cân bằng kế tiếp với bất kỳ số cân bằng n nào Điều này dẫn đến câu hỏi liệu G(n) có sinh ra số cân bằng kế tiếp với số cân bằng n bất kỳ hay không Câu trả lời là có, và nếu n là một số cân bằng bất kỳ, thì số cân bằng kế tiếp sẽ là 3n + √.
8n 2 + 1và do đó số cân bằng liền trước là3n−√
8n 2 + 1. Định lí 1.2.2 Nếu n là một số cân bằng bất kì thì không có số cân bằng m sao chon < m < 3n+ √
Chứng minh Hàm G : [0,∞) → [1,∞), định nghĩa bởi G(n) = 3n +
Hơn nữa, ta thấy rằngGlà song ánh vàn < G(n)với mọi n≥ 0 Do đóG −1 tồn tại, cũng tăng ngặt và thỏa mãn G −1 (n) < n Đặt u = G −1 (n) Khi đó G(u) = n vàu = 3n±√
8n 2 + 1 2 là một số chính phương nên suy raG −1 (n) cũng là một số cân bằng.
Chúng tôi sẽ chứng minh định lý bằng hai phương pháp: quy nạp toán học và lùi vô hạn Bài viết này sẽ trình bày chi tiết cả hai phương pháp này.
Bằng phương pháp quy nạp, ta định nghĩa B 0 = 1 và B n = G(B n−1) với n = 1, 2, Do đó, B 1 = 6, B 2 = 35, Để đơn giản, ký hiệu H i là giả thiết không tồn tại số cân bằng giữa B i−1 và B i, mà H 1 rõ ràng đúng Giả sử H i đúng với i = 1, 2, , n, ta sẽ chứng minh H n+1 cũng đúng, nghĩa là không tồn tại số cân bằng nào cho B n < m < B n+1 Nếu giả sử ngược lại tồn tại số m, thì G −1(m) sẽ là một số cân bằng, và vì G −1 là hàm tăng ngặt, nên ta có G −1(B n) < G −1(m).
G −1 (B n+1 ) cho thấy B n−1 < G −1 (m) < B n, điều này mâu thuẫn với giả thiết Hn đúng Vì vậy, Hn+1 cũng đúng Nếu n là một số cân bằng, thì n = Bm với một số m nào đó, và không tồn tại số cân bằng giữa n và G(n).
Bằng phương pháp lùi vô hạn, giả sử H n sai với một giá trị n nào đó, sẽ tồn tại một số cân bằng m sao cho B n−1 < m < B n Điều này dẫn đến B n−2 < G −1 (m) < B n−1, chỉ ra sự tồn tại một số cân bằng B ở giữa B 0 và B 1, điều này là sai Do đó, H n đúng với n= 1, 2, Kết thúc chứng minh Định lý 1.2.2.
Hệ quả 1.2.2 Nếu n là số cân bằng bất kì thì số cân bằng trước là 3n −
Chứng minh Dễ thấy rằng G(3n−√
8n 2 + 1) = n Áp dụng Định lý 1.2.2 suy ra điều phải chứng minh.
Tổng quát hóa các hàm sinh, chúng ta xác định hàm hai biến f(n, m) để sinh ra các số cân bằng, trong đó các hàm F(n), G(n), H(n) được xem như là các trường hợp đặc biệt của hàm này.
Cho nlà một số cân bằng bất kì Ta thử tìm các số cân bằng có dạng
8n 2 + 1, trong đóp, q ∈ Z + Trong phần trước ta đã thấy rằng phần lớn các số cân bằng có dạng này VìB là một số cân bằng nên8B 2 + 1 = 8qn+p√
8q 2 −p 2 +1phải là một số chính phương; điều này xảy ra nếu8q 2 −p 2 +1 = 0 tức làp = p
8q 2 + 1vìp ∈ Z + nên suy ra8q 2 +1phải là một số chính phương và điều này là có thể nếuq là một số cân bằng.
Lập luận trên đây cho ta định lý sau: Định lí 1.2.3 Nếunvàm là các số cân bằng thì f(n, m) = np
8n 2 + 1, (1.8) cũng là một số cân bằng.
Chú ý:Các hàmF(n), G(n), H(n)vàK(n)là các trường hợp riêng của hàm f(m, n) trong định lý trên Cụ thể: a) f(n, n) = F(n); b) f(n,1) = G(n); c) f(n,6) = H(n); d) f(n, G(n)) = K(n).
Một số công thức truy hồi
Ta biết rằng B 1 = 6, B 2 = 35, B 3 = 204, Ta luôn giả sử rằngB 0 = 1. Ở phần trên ta đã chứng minh rằng nếuB n là số cân bằng thứnthì
Từ đó suy ra các số cân bằng tuân theo công thức truy hồi sau:
Sử dụng công thức truy hồi (1.9), ta có thể phát triển một số công thức thú vị liên quan đến các số cân bằng Định lý 1.3.1 chỉ ra rằng: a) B n+1 B n−1 = (B n + 1)(B n −1); b) B n = B k B n−k −B k−1 B n−k−1 với k là số dương bất kỳ nhỏ hơn n; c) B 2n = B n 2 −B n−1 2; d) B 2n+1 = B n (B n+1 −B n−1).
Chứng minh Từ (1.9), suy ra
Từ (1.10) và(1.11) , ta có B n 2 −B n−1 B n+1 = B n−1 2 −B n−2 B n Lặp đi lặp lại ta thấy rằng B n 2 −B n−1 Bn+1 = B 1 2 −B0.B2 = 36 −1.35 = 1 Do đó
Chứng minh b) bằng quy nạp Rõ ràng b) đúng với n > 1 và k = 1 Giả sử rằng b) đúng với k=r, tức làB n = B r B n−r −B r−1 B n−r−1 Do đó
Chứng minh rằng b) đúng với k = r + 1 đã hoàn tất Chứng minh c) được suy ra từ b) bằng cách thay n bằng 2n và k bằng n Tương tự, chứng minh d) cũng được suy ra từ b) bằng cách thay n bằng 2n + 1 và k bằng n Điều này hoàn tất chứng minh Định lý 1.3.1.
Hàm sinh
Chúng ta đã thu được một số công thức truy hồi cho dãy số cân bằng Trong phần này, chúng ta sẽ áp dụng hàm sinh của dãy Bn để tìm ra công thức không đệ quy cho Bn.
Hàm sinh cho một dãy số thực {x n } được định nghĩa như sau: Đối với dãy số thực {x n }, hàm sinh g(s) được xác định để biểu diễn dãy số này.
Chú ý rằng nếu g(s)là hàm sinh của dãy {x n }thì x n 1 n!. d n ds n g(s) s=0
. Định lí 1.4.1 Hàm sinh của dãy B n các số cân bằng là g(s) 1
Chứng minh Từ(1.9)vớin = 1,2, ta cóBn+1−6Bn+B n−1 = 0 Nhân mỗi số hạng vớis n và lấy tổng trên n = 1tớin = ∞, ta có
Khinchẵn, các số hạng chứas n trong(1.12)là(6s−s 2 ) n 2 ,(6s−s 2 ) n 2 +1 , ,(6s− s 2 ) n và trong trường hợp này hệ số của s n trong g(s)là
Khinlẻ, các số hạng chứas n trong(1.12)là(6s−s 2 ) n+1 2 ,(6s−s 2 ) n+3 2 , ,(6s− s 2 ) n và trong trường hợp này hệ số của s n trong g(s)là
Rõ ràng(1.14)biểu diễn vế phải của(1.12)khinchẵn và(1.15)biểu diễn vế phải của (1.12) khinlẻ Điều này kết thúc chứng minh Định lý1.4.1.
Một công thức không đệ quy khác
Trong phần trước, chúng ta đã phát triển công thức không đệ quy cho Bn, với n = 0, 1, 2, thông qua hàm sinh Ở phần này, chúng ta sẽ tìm ra một công thức không đệ quy khác cho Bn bằng cách giải phương trình sai phân từ công thức truy hồi (1.9).
B n+1 −6B n +B n−1 = 0, (1.16) là phương trình sai phân thuần nhất cấp 2 mà phương trình đặc trưng là λ 2 −6λ+ 1 = 0 (1.17)
8 là các số thực và không bằng nhau Do đó
B n = Aλ n 1 +Bλ n 2 , (1.18) trong đó Avà B được xác định từ các giá trị củaB 0 vàB 1 Thay B 0 = 1 và
Giải(1.19)và (1.20) ta thu được
B 6−λ 1 λ 2 −λ 1 = − λ 2 λ 1 −λ 2 Thay các giá trị này vào(1.18), ta có
8. Định lí 1.5.1 NếuBn là số cân bằng thứ nthì
Một số tính chất khác
Chúng ta đã chấp nhận 1 là một số cân bằng và đặt B 0 = 1, B 1 = 6 Để chuẩn hóa ký hiệu giống như các số Fibonacci, ta đặt lại các số cân bằng với B 1 = 1, B 2 = 6 Trong các mục trước, chúng ta đã xây dựng một số tính chất của dãy Bn, trong đó có công thức truy hồi tuyến tính bậc hai.
Bn+1 = 6Bn −B n−1 ; n= 2,3, (1.21) ii) Công thức truy hồi không tuyến tính bậc nhất:
B n+1 B n−1 = (B n + 1)(B n −1) (1.25)Tiếp theo ta đánh giá một vài tính chất số học và một vài tính chất thú vị của các số cân bằng.
Nếu x và y là các số thực hoặc phức, thì (x + y)(x − y) bằng x² − y² Định lý này chứng minh tính chất tương tự của số cân bằng và dẫn đến phương trình (1.25) Định lý 1.6.1 khẳng định rằng nếu m và n là các số tự nhiên với m > n, thì
Chứng minh Sử dụng công thức Bitnet (1.24) và nhớ rằngλ 1 λ 2 = 1, ta có
= B m 2 −B n 2 = (B m +B n )(B m −B n ). Định lý được chứng minh.
Ta biết rằng nếu nlà một số tự nhiên thì
1 + 2 +ã ã ã+ 2n = n(2n+ 1). Định lý sau ta chứng minh 3 tính chất của số cân bằng tương tự như ba công thức trên. Định lí 1.6.2 Nếunlà một số tự nhiên thì a) B 1 +B 3 +ã ã ã+B 2n−1 = B n 2 , b) B 2 +B 4 +ã ã ã+B 2n = B n B n+1 , c) B 1 +B 2 +ã ã ã+B 2n = B n (B n +B n+1 ).
Chứng minh Từ Định lý 1.6.1ta có
B m+n +B m−n = B m 2 −B n 2 , trong đó m > n Thay m bằng n+ 1 trong đồng nhất thức trên và nhớ rằng
Thaynbằng2nvà r bằngnvào(1.23)ta thấy
B2n = Bn+1.Bn −Bn.B n−1 , từ đó suy ra b).
Cuối cùng c) suy ra trực tiếp từ a) và b).
Mệnh đề 1.6.1 ChoB n là số cân bằng thứ n Đặt C n = p
Chứng minh Sử dụng công thức (1.24) ta có
Đồng nhất thức phức (cosx + isin x)^n = cos(nx) + isin(nx) được gọi là công thức Moivre Định lý 1.6.3 khẳng định rằng nếu n và v là các số tự nhiên, thì công thức này vẫn giữ nguyên tính đúng đắn.
Chứng minh Theo mệnh đề 1.6.1và công thức(1.24), ta có
Hệ quả 1.6.1 Nếu nvàr là các số tự nhiên thì
8 = λ n 2 suy ra kết quả. Định lý sau giống như công thức lượng giác sin(x+y) = sinxcosy + cosxsiny. Định lí 1.6.4 Nếum vànlà các số tự nhiên thì
Chứng minh Nếu m vànlà các số tự nhiên thì sử dụng phương trình (1.26) ta có
(1.28) Kết hợp (1.27) và(1.28)ta có
8(B m C n +C m B n ) (1.29) Cho phần hữu tỷ và vô tỷ từ hai vế của(1.29)bằng nhau, ta được
Chú ý: Chúng ta đã biết, dãy {F n } các số Fibonacci và dãy {L n } các số Lucas (Định nghĩa 1.1.1 và Định nghĩa 1.1.2 trong [1]) lần lượt được định nghĩa bởi:
F n = F n−1 + F n−2 , n ≥ 2, (1.30) với các giá trị ban đầuF 0 = 0, F 1 = 1 và
Ln = L n−1 +L n−2 , n ≥ 2, (1.31) với các giá trị ban đầuL0 = 2, L1 = 1.
Hai dãy này có tính chất
Tính chất này gần giống với tính chất được nêu trong Định lý1.6.4.
Hệ quả sau giống như công thức lượng giác sin(x−y) = sinxcosy −cosxsiny.
Hệ quả 1.6.2 Nếu mvà nlà các số tự nhiên và m > n thì
Chứng minh Tương tự như Định lý1.6.4.
Hệ quả sau giống như công thức lượng giácsin 2x = 2 sinxcosx.
Hệ quả 1.6.3 Nếu nlà một số tự nhiên thì
Chứng minh Suy ra trực tiếp tự Định lý 1.6.4vớim = n.
Chú ý: Tính chất tương tự cho các số Fibonacci và số Lucas F 2n = F n L n , (Định lý 1.4.7 trong [1]).
Với hai số nguyên m và n bất kì, ta kí hiệu ước chung lớn nhất của m và n là (m, n) Ta biết rằng F m chia hết F n nếu và chỉ nếu m chia hết n và
(Fm, Fn) = F(m,n) thể hiện mối quan hệ giữa các số cân bằng Định lý 1.6.5 chỉ ra rằng nếu m và n là các số tự nhiên, thì Bm chia hết Bn nếu và chỉ nếu m chia hết n Để chứng minh Định lý 1.6.5, chúng ta cần các bổ đề hỗ trợ.
Bổ đề 1.6.1 Nếu mvànlà các số tự nhiên thì (Bn, Cn) = 1.
Chứng minh VìC n 2 = 8B n 2 + 1 nên (B n 2 , C n 2 ) = 1 Do đó(Bn, Cn) = 1.
Bổ đề 1.6.2 Nếu nvàk là các số tự nhiên thìBk chia hếtBnk
Chứng minh bằng quy nạp cho thấy bổ đề đúng với n=1 Giả sử bổ đề đúng với n=r, ta có B(r+1)k = B rk + k = B rk C k + C rk B k theo Định lý 1.6.4 Do (B k , C k) = 1 theo Bổ đề 1.6.1 và B k chia hết B rk theo giả thiết, suy ra B k chia hết B(r+1)k.
Bổ đề 1.6.3 Nếu nvàk là các số tự nhiên thì(B k , C nk ) = 1.
Chứng minh Theo Bổ đề 1.6.1thì (B nk , C nk ) = 1 Vì B k chia hếtB nk theo
Bổ đề1.6.2nên suy ra (B k , C nk ) = 1.
Bổ đề 1.6.4 Nếunvàklà các số tự nhiên vàB k chia hếtB n thì kchia hết n.
Chứng minh cho trường hợp n ≥ k Nếu n = k, điều này là hiển nhiên Giả sử n > k, theo bổ đề Euclide, tồn tại các số nguyên q và r sao cho q ≥ 1, 0 ≤ r < k và n = qk + r Theo Định lý 1.6.4, ta có Bn = Bqk + r BqkCr + CqkBr Bk chia hết Bqk theo Bổ đề 1.6.2 và (Bk, Cqk) = 1.
Bổ đề 1.6.3suy ra B k chia hết B r Vì r < k, suy raB r = 0và do đó r = 0.
Do vậyn= qk và do đók chia hếtn.
Định lý 1.6.5 được chứng minh một cách rõ ràng, vì nó suy ra trực tiếp từ Bổ đề 1.6.2 và Bổ đề 1.6.4 Định lý 1.6.6 khẳng định rằng nếu m và n là các số tự nhiên, thì (B m , B n ) = B (m,n).
Để chứng minh, nếu m = n thì điều này là tầm thường Chúng ta sẽ xem xét trường hợp m khác n, cụ thể là giả sử m < n Theo bổ đề chia hết của Euclide, tồn tại các số nguyên q1 và r1 sao cho q1 ≥ 0, 0 ≤ r1 < m và n = q1 m + r1 Theo Định lý 1.6.4, chúng ta có
Theo Bổ đề 1.6.2, vì Bm chia hết Bq 1 m và (Bm, Cq 1 m) = 1 theo Bổ đề 1.6.3, ta suy ra (Bm, Bn) = (Bm, Br 1 ) và (m, n) = (m, q1m + r1) = (m, r1) Nếu r 1 > 0, tồn tại các số nguyên q 2 và r 2 sao cho q 2 ≥ 1, 0 ≤ r 2 < r 1 và m = q 2 r 1 + r 2 Theo Định lý 1.6.4, ta có.
Quá trình xử lý các giá trị (Br 2, Br 1) và (m, r1) cho thấy rằng (q2r1 + r2, r1) sẽ dẫn đến (r2, r1) Quá trình này có thể tiếp tục cho đến khi xuất hiện r i bằng 0 Với điều kiện r 1 > r 2 > dẫn đến r i ≤ m − i, do đó sau tối đa m bước, một số giá trị r i sẽ bằng 0 Nếu k−1 > 0 và r k = 0, thì chúng ta có thể rút ra kết luận.
(B m , B n ) = (B r k−2 , B r k−1 ) = (B q k r k−1 , B r k−1 ) = B r k−1 và (m, n) = (r k−2 , r k−1 ) = (q k r k−1 , r k−1 ) = r k−1 Do đó (B m , B n ) B r k−1 = B (m,n) và chứng minh kết thúc.
Một áp dụng của số cân bằng vào một phương trình Diophantus 21
Ta biết rằng các nghiệm của phương trình Diophantus x 2 +y 2 = z 2 , (x, y, z ∈ Z + ) (1.32) có dạng x = u 2 −v 2 , y = 2uv, z = u 2 + v 2 , trong đó u, v ∈ Z + và u > v. Nghiệm (x, y, z) được gọi là bộ ba Pythagoras.
Ta xét các nghiệm của (1.32)dưới dạng đặc biệt, cụ thể x 2 + (x+ 1) 2 = y 2 (1.33)
Trong phần này ta liên kết các nghiệm của(1.33) với các số cân bằng.
Giả sử(x, y) là một nghiệm của(1.33) Khi đó2y 2 −1 = (2x+ 1) 2 Do đó
2 = y 2 (2y 2 −1), là một số tam giác đồng thời cũng là một số chính phương Do đó
B = p y 2 (2y 2 −1), (1.34) là một số cân bằng lẻ (vìy 2 và 2y 2 −1là lẻ) Vìy 2 ≥1, từ(1.34)suy ra y 2 = 1 +√
Tiếp tục, vìy dương theo giả thiết, ta có y 1 2 q
Ví dụ vớiB = 35 thìx = 3và y = 5.
Trong chương thứ hai này, chúng tôi trình bày lại nội dung ở bài báo [5].
Chúng tôi giới thiệu khái niệm số đối cân bằng và các tính chất liên quan, đồng thời khám phá mối liên hệ giữa số cân bằng và số đối cân bằng Đặc biệt, chúng tôi sẽ trình bày một số hàm sinh của các số đối cân bằng và áp dụng chúng vào việc giải các phương trình Diophantus.
Khái niệm về số đối cân bằng
Định nghĩa 2.1.1 Số nguyên dương nđược gọi làsố đối cân bằngnếu
1 + 2 +ã ã ã+ n= (n+ 1) + (n+ 2) +ã ã ã+ (n+r), (2.1) với một số nguyên dương r nào đó Ở đây r được gọi là hệ số đối cân bằng ứng với số đối cân bằng n.
Ví dụ 2.1.1 Các số 2, 14 và 84 là các số đối cân bằng với các hệ số đối cân bằng lần lượt là1,6và35.
Mệnh đề 2.1.1 Nếu n là một số đối cân bằng với hệ số đối cân bằng tương ứng làr thì n(n+ 1) (n+r)(n+r + 1)
Chứng minh Từ (2.1), ta có
Mệnh đề được chứng minh. Định nghĩa 2.1.2 Một số được gọi là số Pronicnếu nó viết được dưới dạng n(n+ 1)vớinlà một số nguyên dương nào đó.
Từ (2.3), ta suy ra rằng một số được gọi là đối cân bằng nếu và chỉ nếu 8n^2 + 8n + 1 là một số chính phương, hoặc n(n+1) là một số tam giác Cụ thể, với n = 0, ta có 8×0^2 + 8×0 + 1 = 1, đây là một số chính phương Do đó, ta có thể thừa nhận rằng 0 là một số đối cân bằng, tương tự như việc thừa nhận 1 là một số cân bằng ở chương 1.
Theo lập luận trên, nếu là một số đối cân bằng, thì cản(n+1)vàn(n+1)/2 sẽ tạo thành các số tam giác Vì vậy, nghiên cứu của chúng ta về số đối cân bằng sẽ tập trung vào các số tam giác Pronic, tức là những số vừa là số tam giác vừa là số Pronic.
Vì n < p n(n+ 1) < n+ 1 nên suy ra nếu T là một số tam giác Pronic thì[√
T]phải là một số đối cân bằng Ví dụ T = 6là một số tam giác Pronic và do dó[√
6] = 2là một số đối cân bằng.
Một số công thức tìm số đối cân bằng
Trong phần này ta giới thiệu một vài hàm sinh ra các số đối cân bằng Cho n, m là 2 số đối cân bằng bất kì, ta xét các hàm sau: f(n) = 3n+p
Hàm số 8m² + 8m + 1 - 1i luôn sinh ra các số đối cân bằng Định lý 2.2.1 khẳng định rằng với bất kỳ hai số đối cân bằng n và m, các hàm f(n), g(n), h(n) và t(n, m) đều tạo ra các số đối cân bằng.
Chứng minh Giả sửu = f(n) Khi đó n < uvà n= 3u−p
Vì n và u là các số nguyên không âm nên 8u 2 + 8u+ 1 phải là một số chính phương và do đóulà một số đối cân bằng.
Vì f(f(n)) = g(n)nên g(n) cũng là một số đối cân bằng.
Ta cũng có thể kiểm tra trực tiếp rằng 8h 2 (n) + 8h(n) + 1và8t 2 (n, m) + 8t(n, m) + 1là các số chính phương Vì vậy h(n)vàt(n, m)là các số đối cân bằng.
Chúng ta sẽ chứng minh rằng với một số đối cân bằng bất kỳ n, hàm f(n) không chỉ là một số đối cân bằng mà còn là số đối cân bằng kế tiếp của n Theo định lý 2.2.2, nếu n là một số đối cân bằng, thì số đối cân bằng kế tiếp của n được xác định bởi f(n) = 3n + p.
8n 2 + 8n+ 1 + 1, và do vậy số đối cân bằng liền trước củanlà f(n) = 3n−p
8n 2 + 8n+ 1 + 1 là số đối cân bằng kế tiếp củanchứng minh giống Định lý1.2.2 Vì f f(n)
= nnên suy raf(n) là một số đối cân bằng lớn nhất nhỏ hơnn.
Một số công thức truy hồi
Cho n = 1,2, và b n là số đối cân bằng thứ n Ta đặt b 1 = 0 Hai số đối cân bằng kế tiếp làb2 = 2và b3 = 14.
Trong chương trước, chúng ta đã định nghĩa số cân bằng với B0 = 1 và B1 = 6, đồng thời ký hiệu Bn là số cân bằng thứ n Để chuẩn hóa ký hiệu cho đồng bậc với các số Fibonacci, chúng ta điều chỉnh lại các số cân bằng bằng cách đặt B1 = 1 và B2 = 6 Định lý 2.2.2 khẳng định rằng bn+1 = 3bn + p.
Cộng vế với vế hai phương trình trên ta kết luận rằng số đối cân bằng tuân theo công thức truy hồi tuyến tính bậc hai. b n+1 = 6b n −b n−1 + 2 (2.4)
Từ công thức(2.4)ta thu được định lý sau: Định lí 2.3.1 Mọi số đối cân bằng là số chẵn.
Chúng ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp Hai số đối cân bằng đầu tiên là b1 = 0 và b2 = 2, đều là số chẵn Giả sử b_n là số chẵn với n ≤ k, từ đó có thể thấy rằng b_(k+1) cũng là số chẵn nhờ vào công thức (2.4).
Sử dụng công thức truy hồi, ta có thể rút ra một số mối liên hệ thú vị giữa các số đối cân bằng Định lý 2.3.2 cho biết rằng (b n −1) 2 = 1 + b n−1 b n+1 Đối với n > k ≥ 2, ta có b n = b k + B k b n−k+1 − B k−1 b n−k Ngoài ra, b2n được tính bằng Bnbn+1 − bn(Bn−1 − 1) và b2n+1 được xác định là (Bn+1 + 1)bn+1 − Bnbn.
Chứng minh Từ (2.4), ta có b n+1 +b n−1 −2 bn
Chứng minh của b) cần mối liên hệ giữa số cân bằng và đối cân bằng được thiết lập trong phần sau Do đó ta hoãn lại chứng minh b).
Chứng minh của c) suy ra từ b) bằng cách thay n bằng 2n và k bằng n.Tương tự chứng minh của d) suy ra từ b) bằng cách thayn bằng2n+ 1 vàk bằngn+ 1.
Hàm sinh
Chúng ta đã phát triển công thức truy hồi b n+1 = 6b n − b n−1 + 2 cho các số đối cân bằng Từ công thức này, chúng ta có thể thu được hàm sinh đầu tiên cho các số đối cân bằng, đồng thời thiết lập một mối liên hệ thú vị giữa các số cân bằng và số đối cân bằng.
Nhớ lại rằng, hàm sinh thông thường cho dãy {x n } ∞ n=0 các số thực được định nghĩa là g(s) ∞
X n=0 xns n Chương 1 ta biết rằng hàm sinh cho các dãy số cân bằng {B n } ∞ n=0 là g(s) 1
1−6s+ s 2 Để phù hợp với quy ước mới như đề xuất trong phần trước, có thể dễ dàng thấy rằng hàm sinh cho dãy các số cân bằng{B n } ∞ n=1 có dạng g(s) 1
1−6s+ s 2 Định lí 2.4.1 Hàm sinh cho các dãy các số đối cân bằng{b n } ∞ n=1 là f(s) 2s 2
(1−s)(1−6s+s 2 ) và do đó vớin≥ 2thì b n = 2(B 1 +B 2 +ã ã ã+B n−1 ).
Chứng minh Từ (2.4), với n = 1,2, ta có b n+2 −6b n+1 + b n = 2 Nhân hai vế vớis n+2 và lấy tổng từn= 1 tớin= ∞, ta có
X n=1 s n , mà các số hạng của f(s) có thể biểu diễn là
Đối với n ≥ 2, các hệ số của s^n trong f(s) được xác định bằng cách kết hợp các hệ số của s^r từ g(s) và các hệ số của s^(n−r) từ 2(s + s^2 + ), với r = 1, 2, , n−1 Trong đó, các hệ số của s^r trong g(s) là B_r, và hệ số của s^(n−r) trong 2(s + s^2 + ) là 2 Kết quả là b_n = 2(B_1 + B_2 + + B_(n−1)) Điều này hoàn tất quá trình chứng minh.
Hệ quả sau và Định lý2.3.2là hệ quả trực tiếp của Định lý2.4.1.
Hệ quả 2.4.1 Chonlà một số nguyên dương thì Bn = (bn+1 −bn)/2.
Bây giờ chúng ta chứng minh Định lý 2.3.2b): Chứng minh bằng quy nạp trên k Dễ thấy khẳng định đúng với n > k = 2 Giả sử khẳng định đúng với n > r ≥ k ≥ 2tức là b n = b r +B r b n−r+1 −B r−1 b n−r (2.5)
Ta biết rằng các số cân bằng tuân theo công thức truy hồi
B n+1 = 6B n −B n−1 Áp dụng công thức này, (2.4)và Hệ quả 2.4.1vào(2.5)ta có b r+1 +B r+1 b n−r −B r b n−r−1
Do đó khẳng định cũng đúng với k = r + 1 Điều này kết thúc chứng minh Định lý2.3.2b).
Mối liên hệ giữa số cân bằng và số đối cân bằng 30 2.6 Một áp dụng của số đối cân bằng vào phương trình Diophantus 35
Cho B là một số cân bằng với hệ số cân bằng R, và b là một số đối cân bằng với hệ số đối cân bằng r Theo định nghĩa, các cặp (B, R) và (b, r) thỏa mãn những tính chất nhất định.
Giải(2.6)theoB và(2.7)theob, ta được
Từ các công thức (2.8) và (2.9), ta có thể kết luận rằng nếu R là hệ số cân bằng, thì biểu thức 8R² + 8R + 1 sẽ là một số chính phương; tương tự, nếu r là hệ số đối cân bằng, thì 8r² + 1 cũng sẽ là một số chính phương Điều này dẫn đến định lý 2.5.1: mọi hệ số cân bằng đều là một số đối cân bằng, và ngược lại, mọi hệ số đối cân bằng đều là một số cân bằng.
Chọn n = 1, 2, , với B n là số cân bằng thứ n và b n là số đối cân bằng thứ n Ký hiệu R n là hệ số cân bằng tương ứng với B n và r n là hệ số đối cân bằng tương ứng b n Kết quả mà chúng ta sẽ chứng minh sau đây mạnh hơn nhiều so với Định lý 2.5.1 Định lý 2.5.2 khẳng định rằng với n = 1, 2, , thì R n = b n và r n+1 = B n.
Chứng minh Ta biết rằng nếuB là một số cân bằng với hệ số cân bằngRthì
Theo Định lý2.3.1và Hệ quả 1.2.2, ta có
Thay lần lượt (2.12) và(2.13)vào(2.10)và (2.11), ta có
Cộng hai phương trình trên, ta được
Do đóR n thỏa mãn công thức truy hồi giống nhưb n Hơn nữa, vìR 1 = b 1 = 0 vàR 2 = b 2 = 2nên suy raR n = b n vớin = 1,2, Điều này chứng tỏ phần thứ nhất của định lý.
Ta chứng minh phần thứ hai của định lý bằng cách tương tự Sử dụng (2.3), ta có r n+1 −(2bn+1+ 1) + q 8b 2 n+1 + 8bn+1 + 1
Thay b n+1 = 3b n + q 8b 2 n+1 + 8b n+1 + 1 + 1, vào(2.14) và thay b n−1 = 3b n − q8b 2 n−1 + 8b n−1 + 1 + 1, vào(2.15), ta được r n+1 2b n + q 8b 2 n+1 + 8b n−1 + 1 + 1
Cộng hai phương trình trên, ta được r n+1 +r n−1 −12bn+ 6p
Do đór n thỏa mãn công thức truy hồi giống nhưB n Hơn nữa, vìB 1 = r 2 = 1 vàB 2 = r 3 = 6 suy ra B n = r n+1 vớin = 1,2, Điều này kết thúc chứng minh định lý.
Hệ quả 2.5.1 Mọi hệ số cân bằng là số chẵn.
Chứng minh Suy ra trực tiếp từ Định lý 2.3.1và Định lý2.5.2.
Chứng minh Suy ra trực tiếp từ Hệ quả2.4.1và Định lý2.5.2.
Chúng ta sẽ chứng minh rằng h(n) và t(n, m) là các số đối cân bằng theo khẳng định của Định lý 2.2.1 Đầu tiên, nếu n là một số đối cân bằng, thì h(n) được xác định bằng công thức h(n) = 8n^2 + 8n + 1 + (2n + 1)p.
8n 2 + 8n+ 1 + 1 cũng là một số đối cân bằng.
Từ Định lý1.2.2, ta biết rằng nếumlà một số cân bằng thìu = 2m√
8m 2 + 1 cũng là một số cân bằng và hệ số cân bằng tương ứng vớiu là
8m 2 + 1 (2.16) Nếu nlà hệ số cân bằng tương ứng với số cân bằngm thì từ (2.8)ta tìm m (2n+ 1) +√
Hệ số cân bằng bất kỳ n sẽ luôn là một hệ số cân bằng, theo Định lý 2.5.1, mọi hệ số cân bằng đều là số đối cân bằng, từ đó suy ra kết quả Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh rằng nếu n và m là các số đối cân bằng thì t(n, m) cũng sẽ giữ tính chất này.
8m 2 + 8m+ 1−1i cũng là số đối cân bằng Từ Định lý 1.2.3, ta thấy rằng nếu u và v là các số cân bằng thì w = up
8u 2 + 1 cũng là một số cân bằng Cho s, x, y là các hệ số cân bằng tương ứng với các số cân bằngw, u, v Khi đó s −(2w+ 1) +√
2 , vào đẳng thức trên, ta được s 1
Tiếp tục, vì mọi hệ số cân bằng là một số đối cân bằng Định lý 2.5.1, suy ra kết quả.
2.6 Một áp dụng của số đối cân bằng vào phương trình
Phương trình Diophantus x² + (x + 1)² = y², với x, y ∈ Z⁺, là một trường hợp đặc biệt của phương trình x² + y² = z², cũng với x, y, z ∈ Z⁺ Nghiệm (x, y, z) của phương trình này được gọi là bộ ba Pythagoras Trong chương 1, chúng ta đã thiết lập mối liên hệ giữa các nghiệm của phương trình x² + (x + 1)² = y² và các số cân bằng, từ đó dễ dàng nhận thấy mối liên hệ giữa các nghiệm của phương trình này với các số đối cân bằng.
Cho b là một số đối cân bằng bất kì, r là hệ số đối cân bằng tương ứng của nó vàc = b+r Khi đó(2.1) có thể viết như sau
Do đó2c 2 + 2c+ 1là chính phương và
2c 2 + 2c+ 1 = c 2 + (c+ 1) 2 Điều này gợi ý rằng phương trình Diophantus x 2 + (x+ 1) 2 = y 2 có nghiệm x = b+r, y = p
Ví dụb = 14 thìr = 6vàc = b+r = 20 Hơn nữa2c 2 + 2c+ 1 = 841 = 29 2 và ta có
20 2 + 21 2 = 29 2 Tương tự chob = 84 ta có 119 2 + 120 2 = 169 2
Luận văn đã trình bày lại kết quả về số cân bằng và số đối cân bằng theo tài liệu [3], [4] và [5] Cụ thể, luận văn đã trình bày về:
Số cân bằng và số đối cân bằng là hai khái niệm quan trọng trong toán học, với nhiều tính chất thú vị Số cân bằng được định nghĩa là số có các chữ số đối xứng, trong khi số đối cân bằng là số mà tổng các chữ số ở vị trí đối xứng là bằng nhau Đặc biệt, các công thức truy hồi và công thức không đệ quy cho phép tính toán hiệu quả các loại số này, giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc và mối quan hệ giữa chúng.
2 Một số hàm sinh cho số cân bằng và số đối cân bằng;
3 Mối liên hệ giữa số cân bằng và số đối cân bằng;
4 Áp dụng số cân bằng và số đối cân bằng để tìm nghiệm của phương trình Diophantus.