Luận văn thạc sĩ toán học phương pháp một số phép biến đổi các yếu tố trong tam giác

Luận văn thạc sĩ toán học phương pháp 60.46.01.13 Một số biến đổi các yếu tố trong tam giác do học viên cao học Võ Hoàng Thân thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của tiến sĩ Trịnh Đào Chiến. Luận văn gồm 83 chương dưới dạng pdf, thực hiện qua chương trình latex, trình bày đẹp. Luận văn gồm ba chương chính và một số phần phụ

VÕ HOÀNG THÂN

MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI CÁC YẾU TỐ CỦA TAM GIÁC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Bình Định - 2012

VÕ HOÀNG THÂN

MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI CÁC YẾU TỐ CỦA TAM GIÁC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS TRỊNH ĐÀO CHIẾN

Bình Định - 2012

Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt iii

Mở đầu iv

Chương 1 Một số kiến thức liên quan 1 1.1 Phương trình hàm Pexider 1

1.2 Một số hệ thức lượng giác trong tam giác 2

1.2.1 Các định lí cơ bản trong tam giác 2

1.2.2 Một số hệ thức cơ bản trong tam giác 3

Chương 2 Phép biến đổi bảo toàn yếu tố góc của tam giác 5 2.1 Một số phép biến đổi bảo toàn yếu tố góc của tam giác 5

2.2 Một số ví dụ áp dụng 22

Chương 3 Phép biến đổi bảo toàn yếu tố cạnh của tam giác 29 3.1 Một số phép biến đổi bảo toàn yếu tố cạnh của tam giác 29

3.2 Một số bài toán liên quan đến sự bảo toàn yếu tố cạnh của tam giác 36

3.2.1 Một số bài toán liên quan 36

3.2.2 Áp dụng 61

3.3 Phương trình bậc ba và các hệ thức liên quan đến cạnh của tam giác 68 Kết luận 74

ii

Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt

• N: tập các số tự nhiên

• Z: tập các số nguyên

• R: tập các số thực

• A, B, C : các góc của tam giác ABC

• a, b, c : tương ứng là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC

• P = a+b+c

2 : nửa chu vi của tam giác ABC

• S hay SABC : diện tích tam giác ABC

• ha, hb, hc : tương ứng là các đường cao hạ từ A, B, C của tam giác ABC

• ma, mb, mc : tương ứng là các đường trung tuyến hạ từ A, B, C của tam giácABC

• R, r, ra : tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp, bàng tiếp cạnh

a của tam giác ABC

MỞ ĐẦU

Các bài toán liên quan đến các yếu tố của tam giác khá quen thuộc trong chươngtrình toán phổ thông Nó thường xuyên có mặt trong các đề thi, từ thi tốt nghiệpTrung học phổ thông đến thi đại học và đặc biệt trong các đề thi chọn học sinh giỏicác cấp và Olympic toán quốc tế

Cho đến nay, tài liệu trong nước về vấn đề này đã xuất bản khá nhiều và là nguồntài liệu tham khảo phong phú cho giáo viên và học sinh Trong các tài liệu hiện hànhnày, chỉ có một số ít tài liệu đề cập đến các phép biến đổi liên quan đến các yếu tố củatam giác, đặc biệt là cạnh và góc, chẳng hạn [1], [6] và [7] Với các phép biến đổi đó,

số bài toán cảm sinh và số bài tập tự sáng tác từ một bài toán đã biết sẽ được hìnhthành gấp bội

Trong các dạng toán này, có một dạng toán được đặt ra một cách tự nhiên:

“Giả sử A, B, C là 3 góc của một tam giác cho trước Với những phép biến đổi fnào thì f(A), f(B), f(C) cũng là 3 góc của một tam giác?”

Nếu phép biến đổi f này được tìm thấy, thì số hệ thức cảm sinh từ một hệ thức

đã biết sẽ tăng lên gấp bội Chẳng hạn:

“Nếu A, B, C là 3 góc của một tam giác, thì

cũng là 3 góc của một tam giác.”

Rõ ràng nhờ phép biến đổi này mà, giả sử ta đã chứng minh được bất đẳng thức

sinA+ sinB+ sinC ≤ 3

Những phép biến đổi f như thế được gọi là phép biến đổi bảo toàn yếu tố góc trongtam giác.

Vấn đề bảo toàn này tiếp tục được đặt ra tương tự đối với yếu tố cạnh của tamgiác

Câu hỏi được đặt ra là:

“Giả sử a, b, c là 3 cạnh của một tam giác cho trước Với những phép biến đổi fnào thì f(a), f(b), f(c) cũng là 3 cạnh của một tam giác?”

Nếu phép biến đổi f này được tìm thấy, thì số hệ thức cảm sinh từ một hệ thức

đã biết sẽ tăng lên gấp bội Chẳng hạn:

“Nếu a, b, c là 3 cạnh của một tam giác, thì

a1 =f(a) = 2012a+ 2013, b1 =f(b) = 2012b+ 2013, c1 =f(c) = 2012c+ 2013

cũng là 3 cạnh của một tam giác.”

Rõ ràng nhờ phép biến đổi này mà, giả sử ta đã chứng minh được bất đẳng thức

về cạnh của một tam giác, thì ta cũng sẽ có ngay một bất đẳng thức khác về cạnh củamột tam giác Số bất đẳng thức càng được cảm sinh thêm gấp bội nếu cứ ta tiếp tụcmãi quá trình này hoặc nhờ vào sự tìm kiếm các phép biến đổi khác

Những phép biến đổi f như thế, tương tự, được gọi là phép biến đổi bảo toàn yếu

tố cạnh trong tam giác

Rõ ràng, việc tìm kiếm những phép biến đổi bảo toàn yếu tố góc hoặc cạnh củatam giác nêu trên là rất có ý nghĩa khoa học và mang tính thực tiễn cao, là một trongnhững phương pháp khá tốt trong quá trình nghiên cứu về các yếu tố của tam giác,đặc biệt là việc giáo viên và học sinh phổ thông có thể tự đề xuất ra những bài tậpmới

Tuy nhiên, cho đến nay, số tài liệu có xu hướng đề cập về vấn đề này là khôngnhiều và việc tìm kiếm những phép biến đổi như thế còn quá ít

Luận văn sẽ phần nào đề cập đến vấn đề trên một cách toàn diện hơn, với nhiềuphép biến đổi bảo toàn và những áp dụng khá phong phú được đề xuất

Do đó, nội dung của luận văn có ý nghĩa khoa học và có giá trị trong thực tiễngiảng dạy và học tập ở phổ thông, đặc biệt đối với hệ Chuyên Toán

Với mục đích nghiên cứu đó, ngoài những phần như Mục lục, Lời mở đầu, Kết luận

và Tài liệu tham khảo, luận văn đề cập đến những nội dung chính, chia ra 3 chươngnhư sau:

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

Luận văn đề cập đến một số kiến thức chuẩn bị cho việc nghiên cứu ở các chươngtiếp theo, trong đó có một kiến thức được dùng trong việc chứng minh các kết quả ở

Chương 2 khá hữu hiệu và thú vị, đó là Phương trình hàm Pexider dạng

Chương 2 Phép biến đổi bảo toàn yếu tố góc của tam giác

Chương này trình bày một cách khá toàn diện, đầy đủ và tổng quát về các phépbiến đổi bảo toàn yếu tố góc của tam giác như đã đề cập ở phần trên cùng với những

áp dụng cụ thể để sáng tác ra những bài toán cảm sinh và giải được nhiều bài tập khótrong các kỳ thi học sinh giỏi

Nội dung phần này chủ yếu tham khảo ở tài liệu [8] Tuy nhiên, những kết quảtrong tài liệu này hầu hết đều không có chứng minh, trong khi nguồn tham khảo tríchdẫn trong tài liệu lại rất khó tìm được Tất cả những chứng minh trong chương nàyđều là chứng minh độc lập của tác giả, trong đó có những phần không phải quá dễdàng Đó có thể được xem là một nỗ lực của tác giả luận văn

Như đã nêu ở Chương 1, đóng góp của luận văn trong chương này còn thể hiện

ở chỗ, đã áp dụng được một kiến thức toán cao cấp (Phương trình hàm Pexider) vàotrong các chứng minh cho các kết quả của lượng giác, hoàn toàn sơ cấp

Rất nhiều bất đẳng thức lượng giác về góc của tam giác cảm sinh, cùng với những

áp dụng của nó, đã được luận văn đề cập

Chương 3 Phép biến đổi bảo toàn yếu tố cạnh của tam giác

Chương này cũng đề cập một cách khá toàn diện, đầy đủ và tổng quát về các phépbiến đổi bảo toàn yếu tố cạnh của tam giác như đã đề cập ở phần trên, cùng với những

áp dụng cụ thể để sáng tác ra những bài toán cảm sinh và giải được nhiều bài tập khótrong các kỳ thi học sinh giỏi

Ngoài Mục 3.1, chủ yếu tham khảo ở tài liệu [1], về những áp dụng kiến thức toáncao cấp (phương trình hàm) để chứng minh một số kết quả về các phép biến đổi bảotoàn yếu tố cạnh, việc tìm kiếm một cách khá đầy đủ các phép biến đổi bảo toàn khác

ở Mục 3.2 là một nỗ lực của tác giả luận văn

Một số lời giải trong Mục 3.2 (chẳng hạn Bài toán 3.2.24, Bài toán 3.2.29, ) làlời giải độc lập của tác giả, trong điều kiện không tìm thấy lời giải chính thức của cácbài toán này ở bất kỳ tài liệu nào tìm được

Một số kết quả ở mục này còn cho ta một sự cảm sinh “chéo” khá thú vị Chẳnghạn kết quả của Bài toán3.2.29:

“Nếu A, B, C là 3 góc của một tam giác, thì cosλA

λ, cosλA

λ, cosλA

λ là 3 cạnhcủa một tam giác”

Rất nhiều bất đẳng thức lượng giác về cạnh của tam giác cảm sinh, cùng với những

áp dụng của nó, đã được luận văn đề cập

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sỹ Trịnh ĐàoChiến, người thầy đã rất nghiêm khắc và tận tâm trong công việc, người Thầy khôngchỉ giúp đỡ, cung cấp tài liệu, gợi mở cho tác giả nhiều ý tưởng hay và đã truyền đạtnhiều kiến thức quí báu, cũng như những kinh nghiệm nghiên cứu khoa học mà cònchỉ bảo cho tác giả phong cách làm việc, thông cảm, khuyến khích tác giả vượt quanhững khó khăn, vướng mắc trong chuyên môn và trong cuộc sống Chính vì thế màtác giả luôn tỏ lòng biết ơn sâu sắc và sự kính phục đối với thầy giáo hướng dẫn - Tiến

sỹ Trịnh Đào Chiến

Nhân đây, tác giả cũng bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Ban Giám hiệu TrườngĐại học Quy Nhơn, Phòng Sau đại học, Khoa Toán học, các Thầy cô giáo đã trực tiếpgiảng dạy lớp cao học khóa 13 đã tạo điều kiện tốt nhất trong thời gian tác giả thamgia khóa học

Đồng thời tác giả cũng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến UBND tỉnh Gia Lai, SởGiáo dục và Đào tạo tỉnh Gia Lai, Ban Giám hiệu Trường THPT Chuyên Hùng Vương

- Gia Lai đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả tham gia khóa học

và hoàn thành đề tài này

Để hoàn thành luận văn, tác giả đã cố gắng tập trung nghiên cứu khoa học, song

ít nhiều, thời gian và năng lực có hạn nên trong luận văn còn nhiều vấn đề chưa đề cập

và khó tránh khỏi những thiếu sót nhất định Tác giả rất mong nhận được những chỉbảo của quý Thầy cô và những góp ý của bạn đọc để luận văn này được hoàn thiện hơn

Một số kiến thức liên quan

1.1 Phương trình hàm Pexider

Bài toán 1.1.1 Nghiệm tổng quát của phương trình

f(x+y) =g(x) +h(y), (1.1)trong đó các hàm f, g, h xác định và liên tục trên R, là

trong đó CR là tập hợp các hàm số liên tục trên R; α, β, γ ∈R

Bài toán 1.1.3 Nghiệm của phương trình

f(xy) =g(x) +h(y), (1.3)trong đó các hàm số f, g, h xác định và liên tục trên R+, là

1

1.2 Một số hệ thức lượng giác trong tam giác

1.2.1 Các định lí cơ bản trong tam giác

Định lý 1.2.1 (Định lí sin trong tam giác)

Trong tam giác ABC ta luôn có

a

sinA = b

sinB = c

sinC = 2R

Định lý 1.2.2 (Định lí côsin trong tam giác)

Trong tam giác ABC ta luôn có

a2 =b2+c2−2bccosA, b2=c2+a2−2cacosB, c2 =a2+b2−2abcosC.Định lý 1.2.3 (Công thức về đường trung tuyến)

Trong tam giác ABC ta luôn có

Định lý 1.2.4 (Công thức về diện tích tam giác).

Diện tích của tam giác ABC là

1.2.2 Một số hệ thức cơ bản trong tam giác

1 0<sinA+ sinB+ sinC ≤ 3

4 2<sin2A+ sin2B+ sin2C ≤ 9 4

5 0<sinAsinBsinC ≤ 3

Phép biến đổi bảo toàn yếu tố góc của tam giác

Trong các phép biến đổi liên quan đến yếu tố góc của tam giác, một câu hỏi tựnhiên được đặt ra: phép biến đổi nào bảo toàn yếu tố góc của tam giác? Trong chươngnày, luận văn đề cập đến một số phép biến đổi như thế

Các kết quả của chương này được đề cập trong tài liệu [8], nhưng không trình bàychứng minh Việc chứng minh một cách độc lập các kết quả này là đóng góp chính củaluận văn

2.1 Một số phép biến đổi bảo toàn yếu tố góc của

A+B+C =π, (2.2)nếu và chỉ nếu chúng thỏa mãn các điều kiện

A1 =kA+λπ, B1 =kB+µπ, C1 =kC+νπ, (2.3)trong đó k+λ+µ+ν = 1

Chứng minh

5

+) Chứng minh phần thuận

Từ (2.1) và (2.2) ta có

A1(π− B − C) =π− B1(B)− C1(C) (2.4)Đặt

f(x) =A1(π− x), g(x) = π

2 − B1(x), h(x) = π

2 − C1(x) (2.5)Khi đó(2.4) trở thành

Định lý 2.1.2 Các hàm thực liên tục

A→ A1(A), B → B1(B), C → C1(C)

là nghiệm của phương trình

A1+B1+C1 =π; A1, B1, C1≥0, (2.11)với điều kiện

A+B+C =π; A, B, C ≥0, (2.12)nếu và chỉ nếu chúng thỏa mãn các điều kiện

A1=kA+λπ, B1=kB+µπ, C1 =kC +νπtrong đó k+λ+µ+ν = 1 và

λ, µ, k+λ, k+µ≥0, λ+µ, k+λ+µ≤1 (2.13)Chứng minh

+) Chứng minh phần thuận

Từ (2.12), ta suy ra 0≤ A, B, C ≤ π

Từ (2.12) và (2.13), ta có

A1(π− B − C) =π− B1(B)− C1(C) (2.14)Đặt

f(x) =A1(π− x), g(x) = π

2 − B1(x), h(x) = π

2 − C1(x) (2.15)Khi đó(2.14) trở thành

Khi đó kA0 <−λπ ⇒ kA0+λπ <0⇒ A1 <0, điều này mâuthuẫn Do đó λ ≥0.

1.2.2.2) Nếu k < −λ

Ta có kA < −λA ≤ −λπ ⇒ kA < −λπ ⇒ kA+λπ <0

⇒ A1 <0, điều này mâu thuẫn Do đó λ ≥0.Tóm lại, ta đã hoàn tất việc chứng minh λ ≥0.2) Chứng minh µ ≥0: Tương tự như trên

Vậy phần thuận của định lí được chứng minh.

Vậy phần đảo của định lý được chứng minh

Tóm lại, định lý đã được chứng minh hoàn toàn

Nhận xét Trong phần tiếp theo, để các kết quả được phát biểu gọn hơn, ta sẽ mô tảcác lớp của tam giác đặc biệt như sau

K = (A, B) : A, B ≥0, A + B≤ π (2.20)

1) Đối với lớp các tam giác không tù, kí hiệu là Ko.

KO= n (A, B, C) : 0≤ A, B, C ≤ π2, A + B + C =πo (2.21)hoặc

KO= n (A, B) : 0≤ A, B ≤ π2, A + B≥ π2 o (2.22)2) Đới với lớp các tam giác không nhọn

2.1) Tam giác không nhọn tại A, kí hiệu là KA

KA = n (A, B, C) : 0 ≤ B, C ≤ π2, A ≥ π2, A+B+C= πo

(2.23)hoặc

KA = n (A, B) : A≥ π2, B ≥0, A + B≤ πo (2.24)2.2) Tam giác không nhọn tại B, kí hiệu là KB

KB = n (A, B, C) : 0≤ A, C ≤ π2, B ≥ π2, A+B+C=π

o

(2.25)hoặc

KB = n (A, B) : A≥0, B ≥ π2, A + B≤ πo (2.26)2.3) Tam giác không nhọn tại C, kí hiệu là KC

KC = n (A, B, C) : 0≤ A, B ≤ π2, C ≥ π2, A+B+C =π

o

(2.27)hoặc

KC = n (A, B) : A≥0, B ≥0, A + B≤ π2 o (2.28)Các tập K, K0, KA, KB, KC được mô tả ở hình (2.1), hình (2.2) như trên

Bổ đề 2.1.3 i) Các hàm A1, B1, C1 xác định bởi (2.3) biến đổi từ K0 vào K, nếu

λ≥0, µ≥0, k

2 +λ≥0, k

2 +µ≥0,k

2 +λ+µ≤1, k+λ+µ≤1 (2.29)ii) Các hàm A1, B1, C1 xác định bởi (2.3) biến đổi từ K vào K0, nếu

λ ≥0, µ≥0, 0≤ k+λ≤ 1 2, 0≤ k+µ≤ 1 2,1

2 ≤ λ+µ≤1, 1

2 ≤ k+λ+µ≤1

(2.30)

Chứng minh - Chứng minh i).

Với các giả thiết 0≤ B ≤ π2, µ≥0, k

Vậy ta đã chứng minh được 0≤ A1 ≤ π2.

2) Chứng minh 0≤ B1 ≤ π2 : Tương tự như trên

Vậy, ta đã chứng minh được 0≤ k+ν ≤ 1 2

Bây giờ, từ các giả thiết 0≤ C ≤ π, ν ≥0, 0≤ k+ν ≤ 1 2,

Vậy, ta đã chứng minh xong Bổ đề2.1.3

Định lý 2.1.4 Các hàm A1, B1, C1 được xác định bởi(2.3) biến đổi tương ứng 1−1

từ K0 vào K khi và chỉ khi k =−2, λ=µ=ν = 1 nghĩa là khi và chỉ khi

A1= π−2A, B1 =π−2B, C1 =π−2C

Khi đó, từ (2.33), ta có hệ bất đẳng thức (2.33′)như sau

Thử lại, ta thấy, với k=−2, λ=µ= ν= 1 thỏa mãn định lí.

Vậy, định lí đã được chứng minh

Bổ đề 2.1.5 i) Các hàm A1, B1, C1 xác định bởi (2.3) biến đổi từ K vào KC, nếu

λ≥0, µ≥0, k+λ ≥0, k+µ≥0, λ+µ≤ 1 2, k+λ+µ≤ 1 2 (2.35)ii) Các hàm A1, B1, C1 xác định bởi(2.3) biến đổi từ KC vào K, nếu

λ ≥0, µ≥0, k

2 +λ≥0, k

2 +µ≥0, λ+µ≤1, k

2 +λ+µ≤1 (2.36)Chứng minh - Chứng minh i)

Vậy, ta đã chứng minh được 0≤ A1≤ π2

2) Chứng minh 0≤ B1 ≤ π2: Tương tự như trên

3) Chứng minh C1 ≥ π2:

+) Nếu k ≥0: Với giả thiết C ≥ π2, k

2 +ν≥0,

ta có C1 = kC +νπ≥ k.π2 +νπ= (k

2 +ν)π≥0.+) Nếu k <0: Với giả thiết π

Tóm lại, Bổ đề 2.1.5 đã chứng minh xong

Định lý 2.1.6 Các hàm A1, B1, C1 được xác định bởi(2.3) biến đổi tương ứng 1−1

từ K vào KC khi và chỉ khi : k = 1

2, λ=µ= 0, nghĩa là khi và chỉ khi

Áp dụng kết quả của Bổ đề2.1.5, phần (i), biến đổi từ K vào KC, ta có điều kiện

Từ (2.41), ta có −λk ≥0 suy ra k <0

Khi đó, từ (2.41), ta có 1−2λ ≤0, 1−2µ≤0,

suy ra λ ≥ 1 2, µ≥ 1 2.

Do đó λ+µ≥1, mâu thuẫn với (2.39), vì λ+µ≤ 1 2

Vậy trường hợp này không xảy ra

2) Nếu λ= 0, µ >0:

Từ (2.41), ta có −λ

k ≥0 suy ra k <0.Khi đó, từ (2.41), ta có 1−2λ

2k ≤1⇒ 2 1k ≤1⇒ k ≥ 1 2Ngoài ra, bởi (2.40), ta có k+λ+µ≤ 1 2 ⇒ k ≤ 1 2 Vậy k = 1

2.

Thử lại, ta thấy với k = 1

2, λ=µ= 0 thì định lý được thỏa mãn

Vậy định lý được chứng minh xong

Bổ đề 2.1.7 i) Các hàm A1 B1, C1 xác định bởi (2.3) biến đổi từ K0 vào KC, nếu

λ ≥0, µ≥0, k

2 +λ≥0, k

2 +µ≥0,k

2 +λ+µ≤ 1 2, k+λ+µ≤ 1 2 (2.42)ii) Các hàm A1, B1, C1 xác định bởi(2.3) biến đổi từ KC vào K0, nếu

0≤ λ, µ, k2 +λ, k

2 +µ≤ 1 2,k

2 +λ+µ≥ 1 2, λ+µ≥ 1 2 (2.43)Chứng minh - Chứng minh i)

Vậy, ta đã chứng minh được 0≤ A1≤ π2.

2) Chứng minh 0≤ B1 ≤ π2: Tương tự như trên

+) Nếu k ≥0: Ta có kC ≥ 0 ⇒ kC+νπ≥ νπ ≥ 1 2.π= π

2,hay C1=kC +νπ ≥ π2

+) Nếu k <0: Với giả thiết 0≤ C ≤ π2 và k

1.1) Chứng minh A1 ≥0: Với các giả thiết 0≤ A ≤ π2, λ≥0, k

2 +λ≥0,

ta có A1 =kA+λπ ≥ kA+λ2A= 2A(k

2 +λ)≥0.1.2) Chứng minh A1 ≤ π2 :

+) Nếu k ≥0: Với giả thiết A ≤ π2, k

Với giả thiết λ ≤ 1 2, µ≤ 1 2, ta có λ+µ≤1

Định lý 2.1.8 Các hàm A1, B1, C1 được xác định bởi (2.3) biến đổi tương ứng1−1

từ K0 vào KC khi và chỉ khi λ = µ = 1

2, k = −1, nghĩa là khi và chỉ khi A1 =

A = 1

kA1− λkπ, B= 1

kB1− µkπ (2.44)Đặt k′ = 1

2 +λ+µ, λ+µ≥ 1 2

(2.46)

Áp dụng kết quả của Bổ đề 2.1.7, phần(i), biến đổi từ K0 và KC, ta có điều kiện

2.Tương tự, ta cũng chứng minh được µ = 1

2.

Khi đó, bởi (2.48), ta có 1

2k − λk − µk ≤ 1 2 ⇒ 1 2 − λ − µ ≥ k2 ⇒ k ≤ −1.Ngoài ra, bởi (2.46), ta có k

2 +λ+µ≥ 1 2 ⇒ k2 + 1

2 +

1

2 ≥ 1 2 ⇒ k ≥ −1.Vậy từ đó, suy ra k =−1

2) Nếu λ= 0 (hoặc tương tự µ= 0)

Bởi (2.46), ta có µ ≤ 1 2 và λ+µ≥ 1 2 hay µ ≥ 1 2 Suy ra µ = 1

2.Khi đó, bởi (2.46), ta có k

2 +µ≤ 1 2 ⇒ k2 + 1

2 ≤ 1 2 ⇒ k ≤0.Ngoài ra, bởi (2.46) ta có k

2 +λ+µ≥ 1 2 ⇒ k2 + 1

2 ≥ 1 2 ⇒ k ≥0.Vậy k = 0, không thỏa mãn, vì phép biến đổi là tương ứng 1−1

Thử lại, ta thấy, với λ = µ= 1

2, k = −1, các điều kiện của định lí được thỏamãn

Vậy định lí được chứng minh hoàn toàn

Định lý 2.1.9 Các hàm thực liên tục Ai → A′

i(Ai), i= 1,2, , n, n ≥3, là nghiệmcủa phương trình Pn

i(Ai) =k0Ai+ki(n−2)π, i= 1,2, n trong đó Pn

j=0

kj = 1

cũng là ba góc của tam giác (biến đổi từ K vào K0).

Dựa vào phép biến đổi này ta có thể tạo ra các bất đẳng thức lượng khác từ cácbất đẳng thức cơ bản Sau đây là một số ví dụ:

2.2.2) Ta biết rằng, nếu A, B, C là ba góc của một tam giác, thì

cũng là ba góc của tam giác (biến đổi từ K vào KC)

Dựa vào phép biến đổi này ta có thể tạo ra các bất đẳng thức lượng khác từ cácbất đẳng thức cơ bản Sau đây là một số ví dụ:

2.2.3) Ta biết rằng, nếu A, B, C là ba góc của một tam giác nhọn, thì

A1 =π−2A, B1 =π−2B, C1= π−2Ccũng là ba góc của tam giác (biến đổi từ K0 vào K)

Dựa vào phép biến đổi này ta có thể tạo ra các bất đẳng thức lượng khác từ cácbất đẳng thức cơ bản Sau đây là một số ví dụ:

Như vậy, ta đã tạo ra được bất đẳng thức

2<sinA+ sinB+ sinC ≤ 3

Như vậy, ta đã tạo ra được bất đẳng thức

0<sin 2A+ sin 2B+ sin 2C≤ 3

sin(π−2A) + sin(π−2B) + sin(π−2C)

≥sin(2π−4A) + sin(2π−4B) + sin(2π−4C).Như vậy, ta đã tạo ra được bất đẳng thức

sin 2A+ sin 2B+ sin 2C+ sin 4A+ sin 4B+ sin 4C ≥0.hay

sin 3AcosA+ sin 3BcosB+ sin 3CcosC≥0

• Từ bất đẳng thức

 sinA

Như vậy, ta đã tạo ra được bất đẳng thức

(cosA+ cosB + cosC)2 ≤sin2

Dựa vào phép biến đổi này ta có thể tạo ra các bất đẳng thức lượng khác từ cácbất đẳng thức cơ bản Sau đây là một số ví dụ:

Như vậy, ta đã tạo ra được bất đẳng thức

2<cosA+ cosB+ sinC ≤ 3

Như vậy, ta đã tạo ra được bất đẳng thức

−1 8 <cos 2Acos 2Bcos 2C <1.2.2.5) Ta biết rằng, nếu A, B, C là ba góc của một tam giác nhọn, thì

A1 = π

2 − A, B1 = π

2 − B, C1=π− Ccũng là ba góc của tam giác thuộc tập KC (biến đổi từ K0 vào KC)

Dựa vào phép biến đổi này ta có thể tạo ra các bất đẳng thức lượng khác từ cácbất đẳng thức cơ bản Sau đây là một số ví dụ:

Như vậy, ta đã tạo ra được bất đẳng thức

0<cosAcosBsinC < 3√

3

8 .

0< cosA+cosB+ sinC ≤1 +√

2.2.2.6) Ta biết rằng, nếu A, B, C là ba góc của một tam giác thuộc tập KC, thì

A1 = π

2 − A, B1 = π

2 − B, C1=π− C

là ba góc của tam giác nhọn (biến đổi từ KC vào K0)

Dựa vào phép biến đổi này ta có thể tạo ra các bất đẳng thức lượng khác từ cácbất đẳng thức cơ bản Sau đây là một số ví dụ:

Như vậy, ta đã tạo ra được bất đẳng thức

2<cosA+ cosB+ sinC ≤ 3

2<cos2

A+ cos2

B+ sin2

C ≤ 9 4

Như vậy, ta đã tạo ra được bất đẳng thức

−1 8 <sinAsinBcosC <0

cotA+ cotB−tanC ≥3√

3

Phép biến đổi bảo toàn yếu tố cạnh của tam giác

Trong các phép biến đổi liên quan đến yếu tố cạnh của tam giác, một câu hỏi tựnhiên được đặt ra: phép biến đổi nào bảo toàn yếu tố cạnh của tam giác? Trong chươngnày, luận văn đề cập đến một số phép biến đổi như thế

Các kết quả của chương này được đề cập trong tài liệu [8], nhưng không trình bàychứng minh Việc chứng minh một cách độc lập các kết quả này là đóng góp chính củaluận văn

3.1 Một số phép biến đổi bảo toàn yếu tố cạnh của

tam giác

Bài toán 3.1.1 Tìm tất cả các hàm số dạng f(x) = αx+ β; α, β ∈ R sao cho

f(a), f(b), f(c) là độ dài ba cạnh của một tam giác, với mọi tam giác ABC

29

Trường hợp khi đồng thời xảy ra α= 0, β = 0 thì f(x)≡0, điều này không thỏamãn bài toán.

Ngược lại, với α ≥ 0, β ≥ 0, α+β > 0 thì ta thấy rằng f(a), f(b), f(c) là độdài ba cạnh của một tam giác

α(a− b) < αc+β < α(a+b) + 2β (ii) (3.3)với mọi a, b, c thỏa mãn điều kiện(3.2)

Ta sẽ tìm α, β như sau:

• Chọn bộ ba cạnh của tam giác đều (a, b, c) =  1

• Chọ tiếp tục bộ ba cạnh của tam giác đều (a, b, c) = (n, n, n) thay vào (i)

của (3.3) ta suy ra αn+β > 0⇔ α > −βn, cho n →+∞ ta được α ≥0

Do đó, ta có α ≥ 0và β ≥0

• Nếu α=β = 0 thì khi đó f(x)≡0, (loại)

Do đó α, β không thể đồng thời bằng không, tức là α+β >0

Thử lại, rõ ràng với điều kiện α ≥0, β ≥0 và α+β > 0thì (3.3) thỏa mãn Vậy f(x) =αx+β với α ≥0, β ≥0 và α+β >0 là hàm số cần tìm

Nhận xét

Nhận xét rằng, bộ ba cạnh của tam giác là một phần tử của tập hợp

∆ = (a, b, c)∈R3: a, b, c >0; |a − b| < c < a+b Trong lời giải trên, do a, b, c ràng buộc nhau bởi(3.2)nên khi chọn một giá trị của

ađể thay vào(i)của(3.3)thì ta phải chọn kèm theo b và c thích hợp để (a, b, c)∈∆

(là bộ ba cạnh của một tam giác)

là độ dài ba cạnh của một tam giác ứng với mọi tam giác ABC cho trước

Thật vậy, xét tam giác cân ABC có a=b= 2, c= 1, thì ta có

với mọi tam giác ABC.

f(a)≤ f(b)≤ f(c).Vậy ta cần xác định các số α >0, β >0sao cho luôn có f(a)> f(b)> f(c) ứngvới mọi tam giác ABC thỏa mãn a ≥ b ≥ c

Xét tam giác cân ABC đồng dạng với tam giác cân cạnh3, 3, 1, tức là

(là ba cạnh tam giác)

là độ dài ba cạnh tam giác ứng với tam giác ABC cho trước

Thật vậy, xét tam giác cân ABC có a=b= 2, c=... f(b)> f(c) ứngvới tam giác ABC thỏa mãn a ≥ b ≥ c

Xét tam giác cân ABC đồng dạng với tam giác cân cạnh3, 3, 1, tức

• Chọn ba cạnh tam giác (a, b, c) =  1

• Chọ tiếp tục ba cạnh tam giác (a, b, c) = (n, n, n) thay