Bai giang Toan A1 TNKT

Bai giang Toan A1 TNKT tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực kinh...

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TS THIỀU ĐÌNH PHONG

BÀI GIẢNG TOÁN A1

KHỐI NGÀNH TỰ NHIÊN - KỸ THUẬT

Tài liệu lưu hành nội bộ

Nghệ An - 2015

MỤC LỤC

1.1 Ma trận 10

1.1.1 Khái niệm về ma trận 10

1.1.2 Các ma trận đặc biệt 10

1.1.3 Các phép toán ma trận 11

1.1.4 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ma trận bậc thang 15 1.2 Định thức 17

1.2.1 Định nghĩa 17

1.2.2 Khai triển định thức 21

1.2.3 Định lí Laplace 22

1.2.4 Định thức của tích các ma trận vuông 22

1.3 Ma trận nghịch đảo 23

1.3.1 Khái niệm ma trận nghịch đảo 23

1.3.2 Các tính chất của ma trận nghịch đảo 24

1.3.3 Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo 25

1.4 Hạng của ma trận 27

1.4.1 Khái niệm hạng của ma trận 27

1.4.2 Các phương pháp tìm hạng của ma trận 27

2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 29 2.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát 29

2.1.1 Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính 29

2.1.2 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tổng quát 30

2.1.3 Hệ phương trình tương đương, các phép biến đổi tương đương 30

2.2 Hệ phương trình tuyến tính Cramer 31

2.2.1 Định nghĩa 31

2.2.2 Định lý Cramer 31

2.3 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng biến đổi sơ cấp 32

2.3.1 Điều kiện có nghiệm của hệ phương trình tuyến tính 32

2.3.2 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính 32

2.3.3 Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính 36

2.4 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 37

2.4.1 Định nghĩa 37

2.4.2 Hệ nghiệm cơ bản 37

2.4.3 Liên hệ nghiệm với hệ phương trình tuyến tính tổng quát 38 3 KHÔNG GIAN VECTƠ HỮU HẠN CHIỀU 40 3.1 Khái niệm không gian vectơ 40

3.1.1 Định nghĩa 40

3.1.2 Một số ví dụ 41

3.1.3 Một số tính chất đơn giản của không gian vectơ 42

3.2 Cơ sở và số chiều 43

3.2.1 Tổ hợp tuyến tính 43

3.2.2 Hệ sinh 43

3.2.3 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính 44

3.2.4 Cơ sở 46

3.2.5 Số chiều 46

3.2.6 Tọa độ của một véc tơ đối với một cơ sở 47

3.2.7 Đổi cơ sở và phép biến đổi tọa độ 47

3.3 Không gian vectơ con 48

3.3.1 Khái niệm không gian vectơ con 48

3.3.2 Giao và tổng của các không gian vectơ con 49

3.3.3 Không gian con sinh bởi một hệ véc tơ 50

4 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 51 4.1 Ánh xạ tuyến tính 51

4.1.1 Định nghĩa 51

4.1.2 Đồng cấu, tự đồng cấu 51

4.1.3 Ví dụ về ánh xạ tuyến tính 51

4.1.4 Các tính chất của ánh xạ tuyến tính 52

4.1.5 Sự xác định của ánh xạ tuyến tính 53

4.1.6 Ảnh và hạt nhân của ánh xạ tuyến tính 54

4.2 Ma trận của ánh xạ tuyến tính 55

4.2.1 Định nghĩa 55

4.3 Giá trị riêng và vectơ riêng 56

4.3.1 Định nghĩa 56

4.3.2 Bài toán tìm giá trị riêng và vectơ riêng 57

5 DẠNG SONG TUYẾN TÍNH – DẠNG TOÀN PHƯƠNG 59 5.1 Dạng song tuyến tính 59

5.1.1 Định nghĩa 59

5.1.2 Ma trận, hạng và biểu thức tọa độ của dạng song tuyến tính 60

5.2 Dạng toàn phương 60

5.2.1 Định nghĩa 60

5.2.2 Định nghĩa 61

5.2.3 Ma trận, hạng, biểu thức tọa độ của dạng toàn phương 61

5.2.4 Dạng chính tắc của một dạng toàn phương 62

5.2.5 Phương pháp Lagrange 62

5.2.6 Dạng toàn phương xác định 65

5.2.7 Bất đẳng thức Cauchy - Schwartz 66

1 Ma trận, Định thức 70 1.1 Ma trận, các phép toán trên ma trận 70

1.2 Định thức 71

1.3 Ma trận nghịch đảo 72

1.4 Hạng của ma trận 74

2 Hệ phương trình tuyến tính 75 2.1 Hệ phương trình Cramer 75

2.2 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát - Hệ thuần nhất 75

2.3 Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính 77

3 Không gian vectơ 79 3.1 Không gian vectơ - Cơ sở, tọa độ và số chiều 79

3.2 Ma trận chuyển cơ sở, biến đổi tọa độ 813.3 Không gian vectơ con 83

4.1 Ánh xạ 854.2 Ánh xạ tuyến tính 874.3 Giá trị riêng và vectơ riêng 90

5.1 Dạng song tuyến tính 945.2 Dạng toàn phương 95Tài liệu tham khảo 97

1

ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT HỌC PHẦN: TOÁN A1

Dùng cho: Các ngành khối kỹ thuật của các Khoa Lý, Hóa, CNTT, ĐTVT, XD

1 Thông tin về giảng viên: PGS.TS Lê Quốc Hán, PGS.TS Nguyễn Thành Quang, TS

Nguyễn Thị Hồng Loan, TS Đào Thị Thanh Hà, TS Nguyễn Quốc Thơ, TS Thiều Đình Phong, TS Nguyễn Thị Ngọc Diệp

- Địa chỉ: Bộ môn Đại số - Khoa SP Toán học - Trường Đại học Vinh

- Điện thoại cơ quan: 038.3855329

- Hướng nghiên cứu chính: Đại số và lý thuyết số

2.Tên học phần: Toán A1 (Đại số tuyến tính)

3 Mã học phần: TN10015

4 Số tín chỉ: 3

5 Loại học phần: Bắt buộc, tiên quyết

- Môn học tiên quyết:

- Môn học kế tiếp: Đại số đại cương, Số học

6.Giờ tín chỉ đối với các hoạt động của học phần:

+ Nghe giảng lý thuyết: 36 tiết

+ Bài tập trên lớp: 9 tiết

+ Tự học, tự nghiên cứu: 90 tiết

7 Mục tiêu của học phần:

7.1 Kiến thức: Sinh viên cần nắm vững những vấn đề về ma trận, định thức, hệ phương trình

tuyến tính, không gian véctơ, ánh xạ tuyến tính, véctơ riêng và giá trị riêng,chéo hóa ma trận, dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, phân loại các đường và các mặt

7.2 Kỹ năng: Sinh viên thành thạo các kỹ năng về ánh xạ, tính toán trên các ma trận, tính định

thức, giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính; chứng minh không gian véc tơ, tìm cơ sở,

số chiều của không gian véc tơ; tìm toạ độ véctơ, đổi cơ sở, kiểm tra ánh xạ tuyến tính, tìm véctơ riêng và giá trị riêng, chéo hóa ma trận; chứng minh một ánh xạ là ánh xạ song tuyến tính, dạng toàn phương; không gian Ơclit, phân loại được các đường và các mặt bậc hai và biết cách sử dụng phần mềm Mapple trong tính toán liên quan đến nội dung môn học

7.3 Thái độ: Qua môn học bồi dưỡng cho sinh viên năng lực tư duy khoa học, tư duy lôgíc,

cung cấp cho họ các công cụ của toán học cao cấp để có thể vận dụng vào việc giải các bài toán kinh tế, xã hội đặt ra từ thực tế Sinh viên cũng phải thấy được môn học cung cấp cho họ các kiến thức toán học cao cấp cơ bản để tiếp tục học các môn toán khác hay các môn chuyên ngành khác

8 Tóm tăt nội dung học phần:

Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính, không gian véctơ, ánh xạ tuyến tính, véctơ riêng, giá trị riêng, chéo hóa ma trận, dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, phân loại đường mặt bậc hai

9 Nội dung chi tiết học phần:

Chương II HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

3.1 Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính

3.1.1 Các dạng biểu diễn hệ phương trình tuyến tính

3.1.2 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

3.1.3 Hệ tương đương và phép biến đổi tương đương

2.2 Hệ phương trình Cramer

2.2.1 Định nghĩa

2.2.2 Định lý Cramer

2.3 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng biến đổi sơ cấp (phương pháp Gauss)

2.4 Điều kiện có nghiệm của hệ phương trình tuyến tính Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính

2.5 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

2.5.1 Điều kiện có nghiệm không tầm thường

2.5.2 Hệ nghiệm cơ bản

2.5.3 Mối liên hệ với hệ không thuần nhất

Chương III KHÔNG GIAN VECTƠ HỮU HẠN CHIỀU

3.1 Khái niệm không gian vectơ

3.1.1 Định nghĩa không gian vectơ

3.1.2 Ví dụ

3.1.3 Các tính chất đơn giản

3.2 Cơ sở và số chiều

3.2.1 Tổ hợp tuyến tính, hệ sinh

3.2.2 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

3.2.3 Cơ sở, chiều, toạ độ

3.2.4 Đổi cơ sở và phép biến đổi toạ độ

3.3 Không gian con

3.3.1 Định nghĩa không gian con

3.3.2 Giao và tổng các không gian con

3.3.3 Tổng trực tiếp các không gian con

3.3.4 Không gian con sinh bởi một hệ vectơ

3.3.5 Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Chương IV ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

4.2.3 Ảnh và hạt nhân của ánh xạ tuyến tính

4.2.4 Hạng, số khuyết của ánh xạ tuyến tính

3

4.2.5 Ma trận của ánh xạ tuyến tính

4.3 Véctơ riêng và giá trị riêng

4.4 Bài toán chéo hóa ma trận

Chương V DẠNG TOÀN PHƯƠNG

5.2.3 Dạng chính tắc của dạng toàn phương, phương pháp Lagrange

5.2.4 Luật quán tính Phân loại dạng toàn phương

5.3 Không gian vectơ Euclide

5.3.1 Định nghĩa không gian vectơ Euclide

5.3.2 Chuẩn của véctơ

5.3.3 Góc giữa hai vectơ, véc tơ trực giao

5.3.4 Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn

5.3.5 Trực giao hóa Gram-Smidt

5.4 Chéo hóa trực giao

5.4.1 Ma trận trực giao

5.4.2 Chéo hóa trực giao, áp dụng đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc

5.5 Phân loại đường và mặt bậc hai

5.5.1 Một số đường và mặt bậc hai cơ bản

5.5.2 Phân loại đường bậc hai

5.5.3 Phân loại mặt bậc hai

PHỤ LỤC

Thực hành tính toán trên máy tính

A Giới thiệu phần mềm Maple

B Ứng dụng Maple trong tính toán Đại số tuyến tính

10 Học liệu

10.1 Tài liệu chính

[1] Nguyễn Đình Trí (Chủ biên); Toán học cao cấp, Tập 1, Đại số và Hình học giải tích;

NXB Giáo dục, 2003

10.2.Tài liệu tham khảo

[2] Nguyễn Thành Quang, Lê Quốc Hán, Giáo trình Toán A1 (Đại số tuyến tính), NXB

Trường ĐH Vinh, 2013

[3] Nguyễn Văn Giám, Mai Quý Năm, Nguyễn Hữu Quang, Nguyễn Sum, Ngô Sỹ Tùng;

Toán cao cấp , Tập 1, Đại số tuyến tính; NXBGD; 1998

[4] Lê Tuấn Hoa, Đại số tuyến tính qua các ví dụ và bài tập, NXB ĐHQG Hà Nội, 2005 [5] Nguyễn Hữu Việt Hưng; Đại số tuyến tính; NXB ĐHQG Hà Nội, 2001

[6] Ngô Việt Trung; Giáo trình Đại số tuyến tính; NXB ĐHQG Hà Nội, 2001

11 Hình thức tổ chức dạy học

- Số giờ tín chỉ phải thực hiện: 3

- Thời gian, địa điểm, thực hiện các hình thức dạy học

- Nội dung chính của hoạt động dạy học

- Yêu cầu công việc đối với sinh viên

4

LỊCH TRÌNH CHUNG

LỊCH TRÌNH GIẢNG DẠY CỤ THỂ Hình thức

TCDH

Nội dung chính Yêu cầu SV chuẩn bị Thời gian

Lên lớp 1.2 Định thức Làm bài tập trong [1] Tuần 2

Lên lớp 1.2 Định thức (tiếp) Ôn tập lý thuyết và làm bài

Làm bài tập trong [1]

Đọc trước mục 2.4, 2.5 trong [1] và [2]

Tuần 4

Lên lớp 2.4 Điều kiện có nghiệm, giải và

biện luận

2.5 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Làm bài tập trong [1]

Tự ôn tập các phần từ Chương 1 đến Chương 2

Đọc trước Mục 3.1 trong [1] và [2]

Tuần 5

Lên lớp 3.1 Khái niệm không gian vectơ Làm bài tập trong [1] Đọc

trước Mục 3.2 trong [1] và [2]

Tuần 6

Lên lớp

3.2 Cơ sở, số chiều

Làm bài tập trong [1] Đọc trước Mục 3.3 trong [1] và [2]

Tuần 7

Lên lớp 3.3 Không gian con, Không gian

nghiệm Kiểm tra giữa kỳ

Làm bài tập trong [1] Tuần 8, 9

Lên lớp

4.1 Ánh xạ 4.2 Ánh xạ tuyến tính

Ôn tập lý thuyết các mục 3.1, 3.2, 3.3 Làm bài tập ở nhà trước khi đến lớp

Tuần 10, 11,

12

Lên lớp,

Thảo luận 5.1 Dạng song tuyến tính 5.2 Dạng toàn phương

5.3 Không gian véc tơ Euclide 5.4 Chéo hóa trực giao

5.5 Phân loại đường bậc 2

SV tự đọc Mục 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5 trong [1] và [2] trước khi đến lớp

Tự học,

tự nghiên cứu

12 Quy định đối với học phần và yêu cầu khác của giảng viên

Dạy chủ yếu theo tài liệu [1], [2]

Để nắm được nội dung môn học, nhất thiết sinh viên phải đọc trước nội dung các phần sẽ học trong giáo trình theo hướng dẫn của giáo viên Trên lớp giáo viên chỉ trình bày các vấn đề khái quát, trọng tâm và hướng dẫn sinh viên tự nghiên cứu Ngoài giáo trình quy định, sinh viên phải đọc thêm các tài liệu tham khảo khác Sinh viên phải làm hết tất cả các bài tập trong giáo trình chính, ngoài ra phải làm thêm các bài tập trong các tài liệu khác

13 Phương thức kiểm tra, đánh giá môn học

- Kiểm tra, đánh giá thường xuyên: Một bài kiểm tra tại lớp

- Kiểm tra, đánh giá định kỳ: Kết thúc môn học có một bài thi kết thúc học phần 120 phút

14 Cấp phê duyệt: Trường Đại học Vinh

15 Ngày phê duyệt

am1 am2 am n





m×n

gồm m.n phần tử aij ∈ K, i = 1, , m; j = 1, , n được xếp thành m hàng và

n cột

• Phần tử aij nằm ở hàng thứ i và cột thứ j của A Ta gọi i là chỉ số hàng

và j là chỉ số cột

• Ma trận A còn được viết đơn giản dưới dạng A = [aij]m×n

• Hai ma trận cùng cấp A = [aij]m×n và B = [bij]m×n được gọi là bằng nhaunếu aij = bij, ∀i = 1, , m; ∀j = 1, 2, , n

• Ma trận cấp n × n (số hàng = số cột) được gọi là ma trận vuông cấp n.Các phần tử a11, a22, , ann gọi là các phần tử nằm trên đường chéo chính của

chéo chính bằng 1 và nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0

Ma trận tam giác: là ma trận tam giác trên hoặc ma trận tam giác dưới

Ma trận đối của ma trận A = [aij]m×n là ma trận −A = [−aij]m×n

1.1.3 Các phép toán ma trận

a Phép cộng hai ma trận cùng cấp:

Cho các ma trận cùng cấp A = [aij]m×n và B = [bij]m×n Tổng của các matrận A và B là ma trận cùng cấp C = [cij]m×n trong đó:

iii) A + O = B + O = O, trong đó O là ma trận không

iv) A + (- A) = (- A) + A = O; trong đó - A là ma trận đối của A.Phép trừ ma trận cùng cấp

Cho A, B là các ma trận cùng cấp, ta định nghĩa: A – B = A + (- B).Phép cộng nhiều ma trận

Do phép cộng ma trận cùng cấp có tính chất kết hợp cho nên ta định nghĩatổng của ba ma trận cùng cấp như sau:

A + B + C = (A + B) + C = A + (B + C)

b Phép nhân một số với một ma trận

Cho ma trận A = [aij]m×n và λ ∈ K Tích của λ ∈ K với A là ma trận

B = [bij]m×n với bij = λaij, ∀i = 1, , m; j = 1, , n Như vậy:

B = λA = λ[aij]m×n = [λaij]m×n

Từ các định nghĩa phép cộng các ma trận và phép nhân một số với ma trận,

ta kiểm chứng được các tính chất sau:

Tính chất của phép nhân một số với một ma trận

cik = ai1b1k + ai2b2k + + ainbnk =

nXj=1

aijbjk; i = 1, , m; k = 1, , p

Khi đó, ta ký hiệu C = AB Chú ý rằng, ai1, ai2, , ain là các phần tử nằm ởhàng thứ i của A và các phần tử b1k, b2k, , bnknằm ở cột thứ k của B

Chú ý: Để thực hiện phép nhân ma trận với ma trận theo định nghĩa, ta cầnlưu ý mấy điểm sau

+) Tích AB có nghĩa khi và chỉ khi số cột của ma trận đứng trước (ma trận

A) bằng số hàng của ma trận đứng sau (ma trận B)

+) Cấp của ma trận AB (khi có nghĩa): Cấp của ma trận AB có số hàngbằng số hàng của ma trận đứng trước và số cột bằng số cột của ma trận đứngsau

(A = [aij]m×n; B = [bij]m×n ⇒ C = A.B = [cij]m×p)

+) Các phần tử của AB được tính theo quy tắc: Phần tử cij thuộc hàng i

và cột j của ma trận AB là tích vô hướng của hàng thứ i của ma trận đứngtrước và cột j của ma trận đứng sau

Giải Trong trường hợp này tích AB (hay BA) có nghĩa vì số cột của A bằng

số hàng của B ( Số cột của B bằng số dòng của A) Ta có:

Để tính các phần tử thuộc dòng thứ nhất của AB, ta lấy dòng thứ nhất của A

nhân với lần lượt các cột của B theo quy tắc vô hướng

c11 = 1.5 + (−2) 9 + 1.7 = −6; c12 = 1.8 + (−2) 5 + 1 (−2) = −4

Để tính các phần tử thuộc dòng thứ hai của AB ta lấy dòng thứ hai của A

nhân với lần lượt các cột của B

Phép luỹ thừa ma trận vuông

Cho A là ma trận vuông cấp n và m là số tự nhiên tuỳ ý Giả sử k = 0, khi

đó quy ước A0 = In Giả sử k > 0, khi đó định nghĩa:

Ak = A.A A

| {z }k

Do phép nhân ma trận vuông cùng cấp có tính chất kết hợp, cho nên luỹ thừa

ma trận vuông có các tính chất sau:

AkAl = Ak+l; (Ak)l = Akl, ∀k, l ∈ N

d Phép chuyển vị ma trận

iii) Nếu A là ma trận tuỳ ý, λ ∈ K thì (λA)T = λAT.

Chứng minh Ta chỉ chứng minh tính chất i) Giả sửA = [aij]vàB = [bjk] , AT =

aijbjk =

nXj=1

a∗jib∗kj =

nXj=1

b∗kja∗ji = c0ki

Vậy, (AB)T = BTAT

1.1.4 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ma trận bậc thang

a Các phép biến đổi sơ cấp

Cho ma trận A trên K Các phép biến đổi sơ cấp các hàng của ma trận A

là các phép biến đổi sau:

1) Đổi vị trí hai hàng của ma trận A

2) Nhân một hàng của ma trận A với một số λ 6= 0 nghĩa là tất cả các phần

tử của hàng đó được nhân với số λ

3) Cộng vào hàng thứ i với bội λ của hàng thứ j của A.

Tương tự ta có các phép biến đổi sơ cấp trên các cột của ma trận A

Nếu ma trận B nhận được từ ma trận A nhờ các phép biến đổi sơ cấp cáchàng (cột) của A thì ta nói A tương đương với B, kí hiệu A ≈ B

b Ma trận bậc thang

Cho ma trận A = [aij] cấp m × n Hàng thứ i của A gọi là hàng không nếutất cả các phần tử của hàng đó đều bằng 0 tức là ai j = 0, j = 1, 2, , n

Phần tử ai j được gọi là phần tử đầu tiên khác 0 của hàng thứ i nếu ai k = 0

với k = 1, 2, , j − 1và ai k 6= 0 Các khái niệm cột không và phần tử đầu tiênkhác 0 của cột được định nghĩa tương tự

Ma trận A gọi là ma trận bậc thang nếu nó có các tính chất sau:

i) Nếu hàng thứ i của A bằng không thì hàng thứ i + 1 của A cũng bằngkhông

ii) Nếu các phần tử đầu tiên khác không của hai hàng thứ ivà i + 1 của A

Định lí 1.1.6 (Định lí biến đổi ma trận về dạng bậc thang) Mọi ma trận đều

có thể đưa về dạng bậc thang bằng các phép biến đổi sơ cấp hàng Nói cáchkhác, mọi ma trận đều tương đương với một ma trận dạng bậc thang

Chứng minh Giả sử A là ma trận cỡ m × n Ta chứng minh quy nạp theo m.Nếu m = 1 thì A là ma trận bậc thang

Giả sử m > 1 và định lí đúng với mọi ma trận có (m − 1) hàng Nếu A là

ma trận không thì nó là ma trận dạng bậc thang Giả thiết A khác ma trậnkhông Giả sử ji là cột đầu tiên của A khác không Nhờ phép đổi chỗ các hàng

Định thức cấp một: Nếu A = [a] thì det(A) = a.

Định thức cấp hai: Cho ma trận vuông cấp hai

a11 a12

a21 a22

= a11a22 − a21a12

= a11det(M11) − a21det(M21)

Ví dụ 1.2.1 Định thức D =

1 2

3 4

− 0

3 0 3

1 8 2

0 1 5

+ 0