bai giang toan a1 dai hoc cong nghiep thuc pham_4 potx

Các điểm gián đoạn khác gọi là điểm gián đoạn loại 2... Tìm a để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng.

nó là một đường nối liền từ điểm A a f a đến điểm ( , ( ))( , ( )) B b f b Xem hình 1.6

1.4.2 Tính chất của hàm số liên tục

Giả sử f x g x là hai hàm liên tục trên ( ), ( ) [ , ] a b Khi đó:

1)f x ( )  g x ( ) và f x g x ( ) ( ) liên tục trên[ , ] a b , nếu g x  ( ) 0 thì ( )

( )

f x

g x liên tục trên [ , ] a b 2) ( )f x liên tục trên [ , ] a b

3) Nếu u x ( )liên tục tại x và 0 ( ) liên tục tại u0  u x ( )0 thì hàm f u x0 ( ) liên tục tại x 0

4) f x ( ) liên tục trên [ , ] a b thì đạt giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất trên đoạn đó

1.4.3 Điểm gián đoạn

Nếu f x ( ) không liên tục tại x0  D thì ta nóif x ( ) gián đoạn tại x và điểm 0 x gọi là điểm 0

gián đoạn

Hàm f x ( ) gián đoạn tai x nhưng tồn tại giới hạn của f(x) tại 0

-0 0 , x x

thì x được gọi là 0

điểm gián đoạn loại 1 Các điểm gián đoạn khác gọi là điểm gián đoạn loại 2

Ví dụ 1 Xét tính liên tục của hàm

(1)

( ) sin

, 0 2

x

x x















Ta có

sin 1 lim ( ) lim (0) 1

x

x

Vậyf x ( ) gián đoạn tạix  ,và0 x  là điểm gián đoạn loại 1 0

(2)

( )

f x

x x

















Hàm số gián đoạn tại x  và 0

x f x x f x

     nên x  là điểm gián đoạn 0 loại 1

( )

2

x

f x x





 , có điểm gián đoạn tại x 0 2

Hình 1.6

Ta có

2

lim ( )



2

lim ( )



Suy ra x 0 2 là điểm gián đoạn loại 2

BÀI TẬP CHƯƠNG I

Hàm số

Câu 1 Tìm miền xác định của hàm số

a)yln 1x2 ; ds ( 1 ; 1 )

b)

1

1 arctan





x

c) 21

1

x



  ; ds (   ; ) d) ex2 x 1; ds (   ; )

c)

2

sin

2 3

x

  

; ds ( 3;1)  Câu 2 Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) y x

b) y  x2 4 x  4

c) y x  x2

d)

2

e e y







e)

2

e e y







Giới hạn HS

Câu 1 Tính giới hạn của các dãy số sau:

a) lim ( n2 n n)





; ds 1 2

4

1

lim

n

n n n







n n

4 3 lim









Câu 2 Tính giới hạn sau:

a)

2 2

lim

x



 ;ds 1/ 2

b)

2 2 1

1 lim

x

x





  ;ds 1 d)

3 2 1

1 lim

1

x

x x





 ;ds 1/6 e)

lim

x a





 ;ds

4

3a

   ; ds : không tồn tại giới hạn

g) lim(2 2 2 )

Câu 3 Tính giới hạn sau:

a)

2 2 0

(1 cos ) lim

sin tan





x

x

x x x ; ds 1/4

0

1 cos 2 lim

sin

x

x x





; ds 1

c)

0

1 lim(cot )

x ds ; 0

d)

0

sin 3 lim

ln(2 1)

x

x

x ; ds 3/2

e)

3 0

sin lim

x

x





; ds 1/2 Câu 4 Tính giới hạn sau:

0

lim(sin cos )

b)

0

lim ln

x





; ds 0 c) lim x

x xe

 ; ds 0

d)

1 2( 1) 1

lim x

x x 

e)

0

sin tan lim



x

Hàm số liên tục

Câu 1 Tìm a để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng

a)

sin 2

( 0) ( 0)

x x







 



; ds 2

b)

2

2

1 cos

( 0)

2

x x x

y

a









 



; ds 1

c)

2

( 0)

y

a x

 





Câu 2 Tìm các điểm gián đoạn của hàm số và chúng thuộc loại nào

x y

x





2 2 2

x x y

x

 



x y

x





 





2 CHƯƠNG 2 PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

2.1 Đạo hàm

2.1.1 Đạo hàm tại một điểm

1) Cho hàm số y  f x ( ) xác định tại x và tại lân cận 0 x Khi đó nếu tỉ số 0 0

0

( ) ( )

f x f x

x x





có giới hạn khi x x0 thì ta nóif x ( ) khả vi tại x hay 0 f x ( )có đạo hàm tại x và giới 0

hạn đó được gọi là đạo hàm của f x ( ) tại x Ký hiệu là 0 f x '( )0 hay y x '( )0 Vậy

0 0 0

f x







Nếu đặt

0 0





Lúc đó

'( ) lim

x

f x x f x

f x

x

 

  





2) Đạo hàm trái, đạo hàm phải

Đạo hàm trái của f x ( )tại x là: 0 0 0

'( ) lim

x

f x x f x

f x

x





 

  





Đạo hàm phải của f x ( ) tại x là 0 0 0

'( ) lim

x

f x x f x

f x

x









  





Nhận xét:

Hàm số f x có đạo hàm tại ( ) x khi và chỉ khi 0 f x'( )0  f x'( )0 Khi đó:

'( ) '( ) '( )

f x  f x  f x Nếu f x ( ) có đạo hàm tại x thì 0 f x ( ) liên tục tại x 0

Ví dụ Xét tính liên tục và tính có đạo hàm của hàm số f x ( )  x tại x 0 0

Xét tính liên tục:

0

lim ( ) lim

x

x









  

 







Suy ra f x ( ) liên tục bên trái và liên tục bên phải tại x  Do đó 0 0 f x ( ) liên tục tại

0 0

x 

Xét sự tồn tại f '(0):

Ta có:

0 0

0

lim

x

x

x

x

f

x

x







 

 

















Do đó f x ( ) không có đạo hàm tại x  0 0

Vậy hàm sốf x ( ) | |  x liên tục nhưng không có đạo hàm tại x  0 0

3) Hàm số y  f x ( ) được gọi là có đạo hàm trên khoảng ( , ) a b nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x0  ( , ) a b Khi đó đạo hàm của hàm số f x ( ) là một hàm số xác định trên ( , ) a b Cho nên ký hiệu của đạo hàm của y  f x ( ) trên ( , ) a b là f x '( ) hoặc y '

Vậy

0

x

x

 

  



Ví dụ Xét hàm số y  f x ( )  x2

Ta có miền xác định của hàm số là R Đạo hàm của hàm số trên tập xác định là

y

x



Do đó y '  f x '( )  ( )' x2  2 x

2.1.2 Ý nghĩa hình học của đạo hàm tại một điểm

Cho đường cong ( ) : C y  f x ( ) Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến của ( ) C tại

0 0

( , ) ( )

M x y  C bằng đạo hàm của f x ( ) tại điểm x và phương trình tiếp tuyến của 0

đường cong ( ) C tại M x y ( , )0 0 là y y - 0  f x '( )( -0 x x0) Minh họa hình 2.1

2.1.3 Bảng đạo hàm cơ bản

 

' 1

1

' 0 ( )

1

1

ln '

1 (log )'

ln ( )'

n

n n

a

x

n x x

x x









Hình 2.1