Bai giang Toan A1 SPTN tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực kinh...
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
Trang 2MỤC LỤC
1.1 Ánh xạ 5
1.1.1 Định nghĩa ánh xạ 5
1.1.2 Ảnh và nghịch ảnh của tập con 5
1.1.3 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh, ánh xạ đồng nhất 6
1.1.4 Tích của các ánh xạ 7
1.1.5 Ánh xạ ngược 8
1.1.6 Thu hẹp và mở rộng của một ánh xạ 9
1.2 Phép thế 9
1.2.1 Khái niệm phép thế 9
1.2.2 Phép nhân phép thế bậc n 10
1.2.3 Dấu của phép thế 11
2 MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 13 2.1 Ma trận 13
2.1.1 Khái niệm về ma trận 13
2.1.2 Các ma trận đặc biệt 13
2.1.3 Các phép toán ma trận 14
2.1.4 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận, Ma trận bậc thang 18 2.2 Định thức 20
2.2.1 Khái niệm định thức 20
2.2.2 Cách tính định thức cấp 3 21
2.2.3 Các tính chất của định thức 22
2.2.4 Khai triển định thức 23
2.2.5 Định lí Laplace 24
2.2.6 Định thức của tích các ma trận vuông 25
Trang 32.3 Ma trận nghịch đảo 26
2.3.1 Khái niệm ma trận nghịch đảo 26
2.3.2 Các tính chất của ma trận nghịch đảo 27
2.3.3 Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo 27
2.4 Hạng của ma trận 29
2.4.1 Khái niệm hạng của ma trận 29
2.4.2 Các phương pháp tìm hạng của ma trận 30
3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 32 3.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát 32
3.1.1 Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính 32
3.1.2 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tổng quát 33
3.1.3 Hệ phương trình tương đương, các phép biến đổi tương đương 33
3.2 Hệ phương trình tuyến tính Cramer 34
3.2.1 Định nghĩa 34
3.2.2 Định lý Cramer 34
3.3 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng biến đổi sơ cấp 35
3.3.1 Điều kiện có nghiệm của hệ phương trình tuyến tính 35
3.3.2 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính 36
3.3.3 Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính 39
3.4 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 40
3.4.1 Định nghĩa 40
3.4.2 Hệ nghiệm cơ bản 40
3.4.3 Liên hệ nghiệm với hệ phương trình tuyến tính tổng quát 41 4 KHÔNG GIAN VECTƠ 43 4.1 Khái niệm không gian vectơ 43
4.1.1 Định nghĩa 43
4.1.2 Một số ví dụ 44
4.1.3 Một số tính chất đơn giản của không gian vectơ 45
4.2 Cơ sở và số chiều 46
4.2.1 Tổ hợp tuyến tính 46
4.2.2 Hệ sinh 47
4.2.3 Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính 47
Trang 44.2.4 Cơ sở 49
4.2.5 Số chiều 49
4.2.6 Tọa độ của một véc tơ đối với một cơ sở 50
4.2.7 Đổi cơ sở và phép biến đổi tọa độ 50
4.3 Không gian vectơ con 52
4.3.1 Khái niệm không gian vectơ con 52
4.3.2 Giao và tổng của các không gian vectơ con 52
4.3.3 Không gian con sinh bởi một hệ véc tơ 53
5 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 54 5.1 Ánh xạ tuyến tính 54
5.1.1 Định nghĩa 54
5.1.2 Đồng cấu, tự đồng cấu 54
5.1.3 Ví dụ về ánh xạ tuyến tính 54
5.1.4 Các tính chất của ánh xạ tuyến tính 55
5.1.5 Sự xác định của ánh xạ tuyến tính 56
5.1.6 Ảnh và hạt nhân của ánh xạ tuyến tính 57
5.2 Ma trận của ánh xạ tuyến tính 58
5.2.1 Định nghĩa 58
5.2.2 Tính chất 59
5.3 Giá trị riêng và vectơ riêng 59
5.3.1 Định nghĩa 59
5.3.2 Bài toán tìm giá trị riêng và vectơ riêng 60
6 DẠNG SONG TUYẾN TÍNH – DẠNG TOÀN PHƯƠNG 62 6.1 Dạng song tuyến tính 62
6.1.1 Định nghĩa 62
6.1.2 Ma trận, hạng và biểu thức tọa độ của dạng song tuyến tính 63
6.2 Dạng toàn phương 63
6.2.1 Định nghĩa 63
6.2.2 Định nghĩa 64
6.2.3 Ma trận, hạng, biểu thức tọa độ của dạng toàn phương 64
6.2.4 Dạng chính tắc của một dạng toàn phương 65
6.2.5 Phương pháp Lagrange 65
Trang 56.2.6 Dạng toàn phương xác định 68
6.2.7 Bất đẳng thức Cauchy - Schwartz 69
BÀI TẬP 71 1 Ánh xạ, Phép thế 72 1.1 Ánh xạ 72
1.2 Phép thế 75
2 Ma trận, Định thức 70 2.1 Ma trận, các phép toán trên ma trận 70
2.2 Định thức 71
2.3 Ma trận nghịch đảo 72
2.4 Hạng của ma trận 74
3 Hệ phương trình tuyến tính 75 3.1 Hệ phương trình Cramer 75
3.2 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát - Hệ thuần nhất 76
3.3 Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính 77
4 Không gian vectơ 79 4.1 Không gian vectơ - Cơ sở, tọa độ và số chiều 79
4.2 Ma trận chuyển cơ sở, biến đổi tọa độ 81
4.3 Không gian vectơ con 83
5 Ánh xạ tuyến tính 85 5.1 Ánh xạ tuyến tính 85
5.2 Ma trận của ánh xạ tuyến tính 86
5.3 Giá trị riêng và vectơ riêng 88
6 Dạng toàn phương 91 6.1 Dạng song tuyến tính 91
6.2 Dạng toàn phương 92
Tài liệu tham khảo 94
Trang 6CHƯƠNG 1ÁNH XẠ - PHÉP THẾ
1.1 Ánh xạ
Định nghĩa 1.1.1 Cho X và Y là hai tập hợp tuỳ ý khác rỗng Ánh xạ f từtập hợp X vào tập hợp Y, ký hiệu bởi f : X → Y, là một quy tắc đặt tươngứng mỗi phần tử x ∈ X với một phần tử xác định y ∈ Y Phần tử y được gọi
là ảnh của phần tử x, ký hiệu y = f (x) hoặc x 7→ y Tập hợp X được gọi làtập xác định hay tập nguồn, tập hợp Y gọi là tập giá trị hay tập đích của ánh
2) Tương ứng f : {1, 2, 3} → {a, b} cho bởi f (1) = f (2) = a, f (3) = c
3) Tương ứng f : N → N cho bởi n 7→ f (n) = 2n
4) Tương ứng f : R → R cho bởi x 7→ f (x) = sin x
5) Tương ứng f : R → R cho bởi x 7→ f (x) = ex
6) Tương ứng f : R → R cho bởi x 7→ f (x) = 2x + 3
7) Tương ứng f : [a, b] → [c, d] cho bởi x 7→ f (x) = c−da−bx + ad−bca−b
Định nghĩa 1.1.3 Cho f : X → Y là một ánh xạ từ X vào Y; A ⊆ X là tậpcon của X; B ⊆ Y là tập con của Y Ta gọi ảnh của A bởi f là một tập concủa Y được xác định bởi
f (A) = {f (x) | x ∈ A}
Trang 7Đặc biệt f (X), ảnh của tập xác định X , được gọi là miền giá trị hay là ảnhcủa ánh xạ f và ký hiệu bởi Im(f ) Như vậy:
Im(f ) = {y ∈ Y | ∃x ∈ X : y = f (x)} ⊆ Y
Nghịch ảnh của tập conB ⊆ Y bởi ánh xạ f là tập con của X xác định bởi:
Nói riêng, f−1(Y ) = X là tập xác định của ánh xạ f
Chú ý rằng, f−1(B) , B 6= ∅ có thể là tập rỗng.
Định nghĩa 1.1.4 Cho f : X → Y là ánh xạ Ta nói:
a) f là đơn ánh nếu hai phần tử bất kỳ khác nhau thuộc tập xác định sẽ cóảnh khác nhau qua f Nói cách khác, f là đơn ánh khi và chỉ khi:
∀x1, x2 ∈ X : x1 6= x2 ⇒ f (x1) 6= f (x2);
hay ∀x1, x2 ∈ X : f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2;
hay phương trình f (x) = y của ẩn x có nhiều nhất 1 nghiệm với mọi y ∈ Y.b) f là toàn ánh nếu mỗi phần tử thuộc tập giá trị sẽ có tạo ảnh thuộc tậpxác định của f Nói cách khác, f là toàn ánh khi và chỉ khi:
hay phương trình f (x) = y của ẩn x có ít nhất 1 nghiệm với mọi y ∈ Y.c) f là song ánh nếu f vừa đơn ánh và vừa toàn ánh Nói cách khác, mỗiphần tử thuộc tập giá trị đều có một tạo ảnh duy nhất thuộc tập xác định của
f, tức là:
∀y ∈ Y, ∃!x ∈ X : f (x) = y;
hay phương trình f (x) = y của ẩn x có nghiệm duy nhất với mọi y ∈ Y.Ánh xạ f : X → X cho bởi f (x) = x, ∀x ∈ X được gọi là ánh xạ đồng nhấttrên tập X, ký hiệu bởi idX Ta có idX là song ánh Trường hợp X =R là tập
số thực thì idR chính là hàm số bậc nhất thông thường: y = x Giả sử X ⊆ Y,khi đó ánh xạ f : X → Y cho bởi f (x) = x, ∀x ∈ X được gọi là ánh xạ nhúngtập con X vào tập Y
Trang 8Ví dụ 1.1.5 1) Ánh xạ f : R → R cho bởi x 7→ sin x không đơn ánh, khôngtoàn ánh.
2) Ánh xạ f :R → R cho bởi x 7→ ex là đơn ánh và không toàn ánh
3) Ánh xạ f : {1, 2} → {a, b, c} cho bởif (1) = a, f (2) = c là đơn ánh nhưngkhông toàn ánh
4) Ánh xạ f :R → R cho bởi x 7→ 2x + 3 là song ánh
5) Ánh xạ f :N → N∗ cho bởi n 7→ n + 1 là song ánh
Một số hình ảnh minh họa ánh xạ, đơn ánh, toàn ánh, song ánh:
Trang 9sang một số hữu hạn ánh xạ cho trước và ký hiệu k ◦ g ◦ f có ý nghĩa hoàntoàn xác định.
b) Giả sử f : X → Y và g : Y → Z là các ánh xạ, ta có:
- Nếu f và g đều là đơn ánh thì g ◦ f là đơn ánh
- Nếu f và g đều là toàn ánh thì g ◦ f là toàn ánh
- Nếu f và g đều là song ánh thì g ◦ f là song ánh
c) Nếu f : X → Y là đơn ánh thì f : X → Im(f ) sẽ là toàn ánh và do đó
Phép chứng minh ba tính chất trên xem như những bài tập
Định nghĩa 1.1.9 Giả sử f : X → Y là một ánh xạ Nếu tồn tại một ánh xạ
f
Nhận xét 1.1.10
1) Ánh xạ ngược của một ánh xạ nếu có thì duy nhất
Thật vậy, giả sử ánh xạ f có các ánh xạ ngược là g và k Khi đó, ta có
Từ nhận xét trên, nếu f có ánh xạ ngược là g : Y → X thì ta ký hiệu
2) Ánh xạ f−1 cũng là ánh xạ ngược của f hay f−1−1 = f
Vậy f và f−1 là cặp ánh xạ ngược của nhau Nói riêng, khi Y = X và
f−1 = f nghĩa là f−1(x) = f (x) , ∀x ∈ X thì f được gọi là ánh xạ đối hợp.Định lí 1.1.11 Ánh xạ f : X → Y có ánh xạ ngược khi và chỉ khi f là mộtsong ánh
Chứng minh Giả sử f : X → Y là song ánh Thế thì với bất kỳ y ∈ Y, tồn tạiduy nhất một phần tử x ∈ X sao cho f (x) = y Do đó, ánh xạ g : Y → X xácđịnh bởi:g (y) = xlà ánh xạ ngược của ánh xạf Thật vậy, với∀x ∈ X; ∀y ∈ Y,
ta có:
(g ◦ f ) (x) = g (f (x)) = x; (f ◦ g) (y) = f (g(y)) = y
Ngược lại, giả sử f : X → Ycó ánh xạ ngược là g : Y → X, ta chứng minh
f (x1) = f (x2) ⇒ g (f (x1)) = g (f (x2)) ⇒ idX(x1) = idX(x2) ⇒ x1 = x2
Trang 10Do đó f là đơn ánh Bây giờ giả sử y ∈ Y, khi đó tồn tại phần tử x = g(y) ∈ X
sao cho
hay f là toàn ánh Vậyf : X → Y là song ánh và định lý được chứng minh
Ví dụ 1.1.12 1) Ánh xạ f : R∗ → R∗ xác định bởif (x) = 1x là ánh xạ đốihợp tức f = f−1
2) Ánh xạ f : R → R cho bởi f (x) = x3 có ánh xạ ngược là f−1 : R → R
cho bởi f−1(x) = √3
x
3) Ánh xạ f : −π2;π2 → [−1; 1] cho bởi f (x) = sin x có ánh xạ ngược là
f−1 : [−1; 1] → −π2;π2 cho bởi f−1(x) = arcsin x
Nhận xét 1.1.13 1) Nếu f : X → Y là song ánh thì ánh xạ f−1 ◦ f là ánh
xạ đồng nhất trên X, tức là f−1 ◦ f = idX Tương tự f ◦ f−1 = idY là ánh xạđồng nhất trên Y
2) Nếu f : X → Y,g : Y → Z là các song ánh thì g ◦ f cũng là song ánh và
ta có công thức tính nghịch đảo của song ánh tích:
(g ◦ f )−1 = f−1 ◦ g−1
Phép chứng minh chúng xem như những bài tập dành cho bạn đọc
Định nghĩa 1.1.14 Giả sử f : X → Y là một ánh xạ,A ⊂ X là tập con thực
sự của X Ánh xạ g : A → Y cho bởi g (x) = f (x) ; ∀x ∈ A gọi là thu hẹp củaánh xạ f : X → Y vào tập con A của X, ký hiệu bởi g = fA
h (x) = f (x) ; ∀x ∈ X
được gọi là mở rộng của ánh xạ f : X → Y lên tập X0
Chú ý rằng, với một ánh xạ f : X → Y cho trước có thể tồn tại nhiều mởrộng của nó ngay cả khi tập X0 được hoàn toàn xác định
1.2 Phép thế
Định nghĩa 1.2.1 Cho X = {0, 1, 2, , n}là một tập hợp có n phần tử Mộtsong ánh f : X → X được gọi là phép thế bậc n (trên X) Ký hiệu Sn là tập
Trang 11trong đó (f (1), , f (n)) là một hoán vị của (1, 2, , n).
Ngược lại, nếu (f (1), , f (n)) là một hoán vị của (1, 2, , n) thì ánh xạ
Trang 121.2.3 Dấu của phép thế
Định nghĩa 1.2.6 Cho f là phép thế bậc n Cặp (f (i), f (j)) , 1 ≤ i < j ≤ n
gọi là một nghịch thế của f nếu f (i) > f (j)
Số các nghịch thế của f được ký hiệu bởi N (f )
Phép thế f được gọi là phép thế chẵn nếu sign(f) = 1 và trong trường hợpngược lại nếu sign(f) = −1 thì ta nói f là phép thế lẻ
Ví dụ 1.2.7 Phép thế đồng nhất e bậcn trên X là phép thế chẵn vì số nghịchthế của nó bằng 0, tức là N (e) = 0, do đó sign(e) = 0
Sử dụng định nghĩa dấu của phép thế, ta thu được
Trang 13b) Trường hợp n là số chẵn: Số nghịch thế của f là tổng của n2 số lẻ sau
Trang 14• Ma trận A còn được viết đơn giản dưới dạng A = [aij]m×n.
• Hai ma trận cùng cấp A = [aij]m×n và B = [bij]m×n được gọi là bằng nhaunếu aij = bij, ∀i = 1, , m; ∀j = 1, 2, , n
• Ma trận cấp n × n (số hàng = số cột) được gọi là ma trận vuông cấp n.Các phần tử a11, a22, , ann gọi là các phần tử nằm trên đường chéo chính của
Trang 15chéo chính bằng 1 và nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0
Ma trận tam giác: là ma trận tam giác trên hoặc ma trận tam giác dưới
Ma trận đối của ma trận A = [aij]m×n là ma trận −A = [−aij]m×n
a Phép cộng hai ma trận cùng cấp:
Cho các ma trận cùng cấp A = [aij]m×n và B = [bij]m×n Tổng của các matrận A và B là ma trận cùng cấp C = [cij]m×n trong đó:
iv) A + (- A) = (- A) + A = O; trong đó - A là ma trận đối của A.Phép trừ ma trận cùng cấp
Cho A, B là các ma trận cùng cấp, ta định nghĩa: A – B = A + (- B)
Trang 16Cho ma trận A = [aij]m×n và λ ∈ K Tích của λ ∈ K với A là ma trận
B = [bij]m×n với bij = λaij, ∀i = 1, , m; j = 1, , n Như vậy:
Từ các định nghĩa phép cộng các ma trận và phép nhân một số với ma trận,
ta kiểm chứng được các tính chất sau:
Tính chất của phép nhân một số với một ma trận
Chú ý: Để thực hiện phép nhân ma trận với ma trận theo định nghĩa, ta cầnlưu ý mấy điểm sau
+) Tích AB có nghĩa khi và chỉ khi số cột của ma trận đứng trước (ma trận
A) bằng số hàng của ma trận đứng sau (ma trận B)
+) Cấp của ma trận AB (khi có nghĩa): Cấp của ma trận AB có số hàngbằng số hàng của ma trận đứng trước và số cột bằng số cột của ma trận đứngsau
Trang 17+) Các phần tử của AB được tính theo quy tắc: Phần tử cij thuộc hàng i
và cột j của ma trận AB là tích vô hướng của hàng thứ i của ma trận đứngtrước và cột j của ma trận đứng sau
Giải Trong trường hợp này tích AB (hay BA) có nghĩa vì số cột của A bằng
số hàng của B ( Số cột của B bằng số dòng của A) Ta có:
Để tính các phần tử thuộc dòng thứ nhất của AB, ta lấy dòng thứ nhất của A
nhân với lần lượt các cột của B theo quy tắc vô hướng
Để tính các phần tử thuộc dòng thứ hai của AB ta lấy dòng thứ hai của A
nhân với lần lượt các cột của B
Trang 18Giải Ta có thể tính được AB nhưng lại không thể tính BA và
Phép luỹ thừa ma trận vuông
Cho A là ma trận vuông cấp n và m là số tự nhiên tuỳ ý Giả sử k = 0, khi
đó quy ước A0 = In Giả sử k > 0, khi đó định nghĩa:
Trang 19iii) Nếu A là ma trận tuỳ ý, λ ∈ K thì (λA)T = λAT.
Chứng minh Ta chỉ chứng minh tính chất i) Giả sửA = [aij]vàB = [bjk] , AT =
a Các phép biến đổi sơ cấp
Cho ma trận A trên K Các phép biến đổi sơ cấp các hàng của ma trận A
là các phép biến đổi sau:
1) Đổi vị trí hai hàng của ma trận A
Trang 202) Nhân một hàng của ma trận A với một số λ 6= 0 nghĩa là tất cả các phần
tử của hàng đó được nhân với số λ
3) Cộng vào hàng thứ i với bội λ của hàng thứ j của A
Tương tự ta có các phép biến đổi sơ cấp trên các cột của ma trận A
Nếu ma trận B nhận được từ ma trận A nhờ các phép biến đổi sơ cấp cáchàng (cột) của A thì ta nói A tương đương với B, kí hiệu A ≈ B
b Ma trận bậc thang
Cho ma trận A = [aij] cấp m × n Hàng thứ i của A gọi là hàng không nếutất cả các phần tử của hàng đó đều bằng 0 tức là ai j = 0, j = 1, 2, , n
Phần tử ai j được gọi là phần tử đầu tiên khác 0 của hàng thứ i nếu ai k = 0
khác 0 của cột được định nghĩa tương tự
Ma trận A gọi là ma trận bậc thang nếu nó có các tính chất sau:
i) Nếu hàng thứ i của A bằng không thì hàng thứ i + 1 của A cũng bằngkhông
ii) Nếu các phần tử đầu tiên khác không của hai hàng thứ ivà i + 1 của A
Định lí 2.1.6 (Định lí biến đổi ma trận về dạng bậc thang) Mọi ma trận đều
có thể đưa về dạng bậc thang bằng các phép biến đổi sơ cấp hàng Nói cáchkhác, mọi ma trận đều tương đương với một ma trận dạng bậc thang
Chứng minh Giả sử A là ma trận cỡ m × n Ta chứng minh quy nạp theo m
Giả sử m > 1 và định lí đúng với mọi ma trận có (m − 1) hàng Nếu A là
ma trận không thì nó là ma trận dạng bậc thang Giả thiết A khác ma trậnkhông Giả sử ji là cột đầu tiên của A khác không Nhờ phép đổi chỗ các hàng
ta giả thiết a1ji 6= 0
Cộng vào hàng thứ i của A, với bội −aiji
Trang 21thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp hàng Do đó, ma trận A cũng được đưa
về dạng bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp hàng Định lí được chứngminh
2.2 Định thức
Định nghĩa 2.2.1 Định thức của ma trận vuông A cấp n, ký hiệu là det(A)
hay |A|, được tính bằng công thức
nên định thức
a11 a12
a21 a22
Trang 22
Quy tắc 2:
Bước 1: Viết bổ sung cột 1 và cột 2 vào bên phải cột 3 của ma trận A.Bước 2: Tổng của các tích nằm trên đường nét liền trừ cho tổng của các tíchnằm trên đường nét đứt đoạn - - -
Trang 23Ta thừa nhận các tính chất sau của định thức.
i) Định thức của ma trận vuông A không thay đổi qua phép chuyển vị,tức là
A0
=
2 1 3
0 3 1
6 1 5
=