Bài giảng Toán A2 TNKT

Tính duy nhất của giới hạnNếu một hàm số có giới hạn thì giá trị giới hạn là duy nhất.. Chú ý: Từ định nghĩa ta suy ra 1 Định nghĩa hàm liên tục theo ngôn ngữ ε, δ là..... Tính liên tục

ù♥❣ ❞ö♥❣ ♥❤ú♥❣ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ✤➣ ❤å❝ ✤➸ ❣✐↔✐ q✉②➳t ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ tr♦♥❣ t❤ü❝t➳ ♥❤÷ t➼♥❤ ❣✐❛ tè❝✱ ✈➟♥ tè❝✱ ❞✐➺♥ t➼❝❤✱ t❤➸ t➼❝❤✳✳✳

✺

L = lim

m →∞ xm+1 = x.L

❱➻ x > 1 → L = 0✳ ✭✣✐➲✉ ♥➔② ❧➔ ✈æ ❧þ✮

✼

❁❚ü ✤å❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤❃

✶✶

✶✳✷✳✷ ✣✐➲✉ ❦✐➺♥ ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❞➣② ✤ì♥ ✤✐➺✉✱ ❝→❝ ♥❣✉②➯♥ ❧þ ❝õ❛ ❞➣② ❤ë✐tö

✶✾

✣à♥❤ ❧þ ✷✳ ✭✐✮ limn →∞(an+ bn) ≥ limn →∞an+ limn →∞bn.

✐✐✮ limn →∞(an + bn) ≥ limn →∞an + limn→∞bn

✐✐✐✮ −limn →∞an = limn→∞(−an)

✣à♥❤ ❧þ ✸✳ (an) ❤ë✐ tö ⇔ limn →∞an = limn→∞an

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

(⇒) : an ❤ë✐ tö ⇒ limn →∞an = limn→∞an✳

✷✶

n −1

X

k=1

1k(k + 1)

❈⑩❈ ❉❸◆● ❇⑨■ ❚❾P

✶✮ ❚➻♠ ❣✐î✐ ❤↕♥✳

P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✶✳ ❘ót ❣å♥ ✲ ❞ò♥❣ ❝→❝ ❣✐î✐ ❤↕♥ ❝ì ❜↔♥ ✭t❤÷í♥❣ ❣➦♣✮✳P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✷✳ ❉ò♥❣ ♥❣✉②➯♥ ❧þ ❦➭♣



an ≤ cn ≤ bn

lim an = lim bn = αP❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✸✳ ❚➻♠ limn →∞an❀ limn →∞an ✈➔ ❝❤➾ r❛ ❤❛✐ ❦➳t q✉↔ ♥➔②

✹✮ ❚➻♠ ❣✐î✐ ❤↕♥ tr➯♥✱ ❞÷î✐✳

✺✮ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ❦❤→❝✳

✷✻

✶✳✶✺✳ limn →∞(sin 12 + sin 222 + + sin n2n )

✶✳✶✻✳ limn →∞(cos 1!1.2 + cos 2!2.3 + + n(n+1)cos n! )

CHƯƠNG 2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VÀ HÀM

LIÊN TỤC (Tỉ Lệ TL/BT/TH: 8/2/20)2.1 HÀM SỐ

2.1.1 Các khái niệm cơ bản về hàm số

2.1.1.1 Định nghĩa Cho X ⊂ R, ta gọi một ánh xạ f : X → R là mộthàm số

3) Hàm f được gọi là đơn điệu nếu nó đơn điệu tăng hoặc giảm

4) Hàm f được gọi là bị chặn trên, dưới, bị chặn trên D nếu

∃ M > 0 : f(x) ≤ M, ∀x ∈ D,

∃ N > 0 : f(x) ≥ N, ∀x ∈ D,

∃ A > 0 : |f(x)| ≤ A, ∀x ∈ D

1

5) Hàm f được gọi là hàm số chẵn, lẻ, tuần hoàn (tự đọc)

• Hàm f được gọi là hàm lồi trên X

⇔ f, g cùng xác định trên X

f (x) > g(x) ∀x ∈ X3) Tổng của f (x) và g(x) trên D = Df ∩ Dg 6= ∅ là

⇒ (g ◦ f)(x) = g[f(x)]

2

5) hàm ngược

Cho f : X → Y là song ánh Ánh xạ mới, kí hiệu

f−1 : Y → X

y 7−→ x mà f (x) = yđược gọi là hàm ngược của hàm f

Chú ý

1 Nếu f−1 là hàm số ngược của f thì f cũng là hàm ngược của f−1 tức là(f−1)−1 = f Hơn nữa,

(f−1 ◦ f)(x) = x; (f ◦ f−1)(y) = y

Đồ thị y = f−1(x) và y = f (x) đối xứng nhau qua đường thẳng y = x

2 Để tìm hàm ngược củay = f (x) ta cần buộc f là song ánh và giải phươngtrình y = f (x) để tìm x = f−1(y)

2.1.2 Các loại hàm sơ cấp cơ bản

1 Hàm lũy thừa

Cho α ∈ R, hàm lũy thừa với số mũ α là ánh xạ f : R∗+ → R xác định bởi

f (x) = xα, ∀x ∈ R∗+.Nếu α = 0 → f(x) ≡ 1

x 7→ ch(x) = 12(ex + e−x)Hàm tanhypebolic là ánh xạ: th : R → R

x 7→ th(x) = sh(x)

ch(x) =

ex − e−x

ex + e−xHàm cotanhypebolic là ánh xạ: coth : R → R

x 7→ coth(x) = ch(x)sh(x) = e

x + e−x

ex − e−x.Nhận xét:

1 Hàm sh(x), th(x), coth(x) là các hàm lẻ; hàm ch(x) là hàm chẵn

2 Với mọi x, a, b, p, q ∈ R ta có

• ch2(x) − sh2(x) = 1(1) ⇒

4

Ví dụ: Hàm dấu không là hàm sơ cấp.

5

2.2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

2.2.1 Định nghĩa giới hạn hàm số

Định nghĩa:

• Ta gọi ε− lân cận của a ∈ R là khoảng (a − ε, a + ε)

• Ta gọi A− lân cận của +∞ là khoảng (A, +∞); A > 0 khá lớn

• Ta gọi B− lân cận của −∞ là khoảng (−∞, −B); B > 0 khá lớn

• a được gọi là điểm tụ của X ⇔ ∃(an) ⊂ X mà an → a

• Cho f xác định trên lân cận của a (nhưng có thể không xác định tại a)

1 Ta nói f có giới hạn là l khi x → a

⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ X, 0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − l| < ε

Kí hiệu là: limx →af (x) = l hay f (x) → l khi x → a

(Mọi lân cận bé tùy ý của l, luôn có vô hạn phần tử xtập trung xung quanh

a mà f (x) thuộc vào lân cận đó)

2 Ta nói f có giới hạn là +∞ khi x → a

⇔ ∀A > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ X : 0 < |x − a| < δ ⇒ f(x) > A

Kí hiệu là: limx →af (x) = +∞ hay f (x) → +∞ khi x → a

3 Ta nói f có giới hạn là −∞ khi x → a nếu −f có giới hạn là +∞ khi

x → a

⇔ ∀A > 0, ∃δ > 0 : ∀x ∈ X : 0 < |x − a| < δ ⇒ f(x) < −A

Kí hiệu là: limx →af (x) = −∞ hay f (x) → −∞ khi x → a

4 Ta nói f có giới hạn là l khi x → +∞

⇔ ∀ε > 0, ∃A > 0 : ∀x > A ⇒ |f(x) − l| < ε

6

Kí hiệu là: limx →+∞f (x) = l hay f (x) → l khi x → +∞.

5 Ta nói f có giới hạn là l khi x → −∞

⇔ ∀ε > 0, ∃A > 0 : ∀x < −A ⇒ |f(x) − l| < ε

Kí hiệu là: limx →−∞f (x) = l hay f (x) → l khi x → −∞

6 Ta nói f có giới hạn là +∞ tại x = +∞

⇔ ∀A > 0, ∃M > 0 : ∀x > M ⇒ f(x) > A

Kí hiệu là: limx →+∞f (x) = +∞ hay f (x) → +∞ khi x → +∞

7 Ta nói f có giới hạn là −∞ tại x = +∞ ⇔ −f có giới hạn là +∞ tại

x = +∞

8 Ta nói f có giới hạn là +∞ tại x = −∞

⇔ ∀A > 0, ∃M > 0 : ∀x < −M ⇒ f(x) > A

Kí hiệu là: limx →+∞f (x) = −∞ hay f (x) → +∞ khi x → −∞

9 Ta nói f có giới hạn là −∞ tại x = −∞ ⇔ −f có giới hạn là +∞ tại

1 f (x) = cos(x) có giới hạn là cos(x0) tại x = x0

Thật vậy, với ∀ε > 0 nếu chọn δ < ε, chẳng hạn δ = ε/2 thì

|cos(x) − cos(x0)| = 2.|sinx + x0

2 .sin

x − x0

2 |

7

Định lí 1 (Sự liên hệ với dãy số )

Định lí 2 (Tính duy nhất của giới hạn)

Nếu một hàm số có giới hạn thì giá trị giới hạn là duy nhất

Chứng minh Giả sử ngược lại: f (x) → l1; f (x) → l2 > l1 Khi đó lấy

Nếu f (x) → l khi x → a thì f (x) bị chặn trong một lân cận của a

Chứng minh f (x)→l nên với ε = 1, tồn tại δ > 0 : 0 < |x − α| < δ ⇒

|f(x) − l| < 1

⇒ |f(x)| − |l| ≤ |f(x)| − l| < 1∀x ∈ (a − δ, a + δ)\{a}

Chọn M = 1 + |l| ⇒ |f(x)| ≤ M ∀x ∈ (a − δ, a + δ)\{a}.

Định lý 4 (Liên hệ với giá trị tuyệt đối)

Nếu f (x) → l thì |f(x)| → |l| khi x → x0 Điều ngược lại không đúng Với

l = 0 thì điều ngược lại của định lý là đúng

Chẳng hạn |sign(x)| = 1 → 1 khi x → 0 nhưng limx →0sign(x) không tồntại

10

Chứng minh.

(xn) ⊂ X; xn→x0 ⇒ limn →∞f (xn) = l

Theo tính chất dãy số ⇒ lim

n →∞|f(xn)| = |l|, ∀(xn) ∈ X, xn→x0.Theo Định lý 1 ta có đpcm

Định lý 5 (Tính chất thứ tự của giới hạn và nguyên lý kẹp)

Cho f (x) → l khi x → a Khi đó,

i) Nếu A < l < B thì tồn tại δ-lân cận của a : A < f (x) < B

ii) Nếu α < f (x) < β trong δ-lân cận của a thì α ≤ l ≤ β

iii) f (x) → l, g(x) → l′; l > l′ ⇒ ∃U ∋ x0 : f (x) > g(x), ∀x ∈ U\{x0}.Chứng minh i) Chọn ε = min{l − A, B − l}, vì f (x)→l khi x → a, nêntồn tại δ > 0 để 0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − l| < ε hay l − ε < f(x) < l + ε

⇒ l − (l − A) = A < f(x) < (B − l) + l = B; ∀x ∈ δ − lân cận của a.ii) Giả sử ngược lại l < α, theo i) tồn tại δ− lân cận của a để với mọi

x : 0 < |x − a| < δ thì f (x) < α < α >< α < f(x) ⇒ l ≥ α

Tương tự cho trường hợp l ≤ β

Hệ quả Nếu lim

x →af (x) = l, khi đó1) Nếu c < l thì trong lân cận đủ bé của a : c < f (x)

2) Nếu 1 < d thì trong lân cận đủ bé của a : d > f (x)

3) Nếu c ≤ f(x) thì trong lân cận đủ bé của a : c ≤ l

4) Nếu d ≥ f(x) thì trong lân cận đủ bé của a : d ≥ l

5) lim f (x) > 0 ⇒ f(x) > 0 trên lân cận của a

6) f (x) > 0 trên lân cận của a ⇒ l > 0

Chứng minh Với ε > 0, vì lim

x →af1(x) = lim

x →af2(x) = l ⇒ ∃δ1, δ2 > 0 để

l − ε < f1(x) < l + ε, ∀x : 0 < |x − a| < δ1,

l − ε < f2(x) < l + ε, ∀x : 0 < |x − a| < δ2.Lấy δ = min{δ1, δ2} và với f1 < g < f2 ta có

∀x : 0 < |x − a| < δ thì |g(x) − l| < ε ⇒ lim

x →ag(x) = l.Vậy, định lý được chứng minh

Định nghĩa Cho X ⊂ R, f : X−→R, x0 là điểm tụ của X ∩ [x0; +∞].

Ta nói l ∈ R là giới hạn của f khi x→x0 (tại x0) và viết

f (x0 + 0) = lim

x →x + 0

f (x) = lim

x →x + 0

|f(x) − l| < ε

Vì f (a − 0) = l ⇒ ∃δ2 > 0, ∀x ∈ X, 0 < a − x < δ2 ⇒ |f(x) − l| < ε.Đặt δ = min{δ1, δ2}

⇒ ∀x ∈ X, |x − a| < δ ⇒ |f(x) − l| < ε ⇒ limx

→af (x) = l

13

Định lý 2 (Tiêu chuẩn Cauchy)

Cho f : X−→R, x0 là điểm tụ của X,

∃ limx

→x 0

f (x) = 1

⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x′, x′′ ∈ X, 0 < |x − x0|, |x′′− x0| < δ : |f(x′) − f(x′′)| < ε.Giới hạn tại ±∞

Định lý f (x)→l khi x→ ± ∞ ⇔ ∀ε > 0, ∃N > 0, ∀x′, x′′ > N (< −N)thì |f(x′) − f(x′′)| < ε

2.2.5 Các đại lượng vô cùng bé, vô cùng lớn, các dạng vô định giới hạn trên,giới hạn dưới

2.2.5.1 Vô cùng bé

Định nghĩa Cho A ⊂ R, x0 là điểm tụ của A, f : A−→R

Ta nói f là vô cùng bé (viết tắt là VCB) khi x → x0 nếu lim

Tổng quát: Nếu αi(x) là các VCB tại a, khi đó Pn

i=1

αi(x) và Qn

i=1

αi(x) là cácVCB tại a

2) f là VCB tại a, g bị chặn trong lân cận thủng của a Khi đó, f g là VCBtại a

3) Nếu f là VCL thì f không bị chặn Điều ngược lại không đúng

1.2.5.2 So sánh các VCB

Định lý Cho f, g là các VCB khi x → x0 và giả sử lim

x →x 0

f (x)g(x) = l ∈ R

• Nếu l = 0 ta nói f là VCB có bậc cao hơn g hay g là VCB có bậcthấp hơn f, ký hiệu f = 0(g)

• Nếu l 6= 0, l ∈ Rta nói f và g là hai VCB cùng bậc, ký hiệu: g = O(g)hay g = O(f ) Đặc biệt, nếu l = 1 ta nói f, g là hai VCB tương đương, kýhiệu: f ∼ g

•Nếul = ±∞ thì ta nói f là VCB có bậc thấp hơng, nghĩa làg = o(f )

Định lý 1 f ∼ g khi và chỉ khi f − g = o(f) hoặc f − g = o(g).

Ví dụ 3 (của Định lý 4)

lim

x →0

x + sin2x + tan3x2x + x3 + 4x5 lim xln(1 + x)

Chứng minh M M′ < [M H < AH ⇔ sin x < x < tanx với x > 0 →

→ cos x < sin x

x < 1Khi x → 0 thì theo nguyên lý kẹp → đpcm

n

n

≥ 1 + n.x

n = 1 + x, ∀x ≥ −1.Cho n → ∞ ta được

x →0

loga(1 + x)

x = logae → loga(1 + x) ∼ logae.x = x

lna → ln(1 + x) ∼ x6) lim

x →0

(1 + x)α − 1

x = α ⇒ (1 + x)α − 1 ∼ αx

17

= lim

x →0

5x21

2512

7 =

25

84.

18

- Nếu f liên tục tại mọi x0 ∈ X ta nói f liên tục trên X.

- Nếu f không liên tục tại x0 ta nói f gián đoạn tại x0

Chú ý: Từ định nghĩa ta suy ra

1) Định nghĩa hàm liên tục theo ngôn ngữ ε, δ là

2) f liên tục tại x0 ⇔ limx

→x 0

f (x) = f (x0).3) Nếu x0 là điểm cô lập của X thì f liên tục tại x0

f (x)

∄ lim

x →x − 0

f (x)

∃ lim

x →x + 0

f (x) 6= ∃ lim

x →x − 0

f (x)

19

⇒ x0 ∈ Df là điểm gián đoạn

⇒ f gián đoạn loại 2 tại mọi điểm

Phân loại điểm gián đoạn

• x0 là điểm gián đoạn loại 1 nếu ∃f(x0+ 0), ∃f(x0 − 0) và

f (x) = ∃ lim

x →x − 0

f (x) (x0 là điểm gián đoạn bỏ được)

 x0 ∈ D/ f

lim

x →x 0f (x) 6= f(x0)

• x0 là điểm gián đoạn lại 2 nếu là điểm gián đoạn nhưng không phải

là điểm gián đoạn loại 1

Định lý 3 f liên tục tại x0 ⇒ |f| liên tục tại x0

Định lý 4 f liên tục tại x0 ⇔ f liên tục cả hai phía

Địnhl lý 5 f ↑, liên tục cả trên (a, b)

20

Đặt A = inf

(a,b)f (x); B = sup

(a,b)f (x) ⇒ ∃x = f−1(y) và f−1 liên tục và tăngngặt trên (A, B)

(Định lý này đúng nếu thay ↑ bởi ↓)

Định lý f liên tục tại x0 ⇔ limx

→x 0

f (x) = f lim

x →x 0

x
.2.3.2 Tính liên tục của hàm sơ cấp

Định lý Hàm sơ cấp luôn liên tục tại với mọi điểm thuộc tập xác định.2.3.3 Liên tục đều

2.3.3.1 Định nghĩa Cho X ⊂ R, f : X−→R được gọi là liên tục đềutrên X nếu

∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x, y ∈ X, |x − y| ≤ δ −→ |f(x) − f(y)| ≤ ε

⇒ f không liên tục đều trên X:

∃ε > 0, ∀δ > 0, ∃x1, y1 : |x1− y1| ≤ δ −→ |f(x1) − f(y1)| ≥ ε

Chú ý 1) f liên tục đều trên X ⇒ f liên tục trên X

2) f không liên tục đều ⇐⇒ ∃ε > 0, ∀δ > 0, ∃x1, y1 : |x1 − y1| < δ mà

|f(x1) − f(y1)| > ε

3) f liên tục đều trên A ⇔ ∀(xn), (yn) ⊂ A, |xn − yn| → 0 thì |f(xn) −

f (yn)| → 0

Ví dụ

1 Nếu f là ánh xạ Lipschitz trên [a, b] thì f liên tục đều trên [a, b]

2 f (x) = x2 liên tục trên R nhưng không liên tục đều trên R

Cách 1 Thật vậy, nếu ngược lại

→ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : ∀x1, x2 ∈ X, |x1 − x2| ≤ δ

21

→ chọn ε = 1 → |x2

1 − x22| < 1(∗)Lấyx1 = 1

Cách 2

Lấy xn = n + 1/n

yn = n

=⇒ |xn− yn| −→ 0

Ta có |f(xn) − f(yn)| = 2 + 1/n2 −→ 2