Sinh viên tự chứng minh như bài tập... Hình 2.2 2 Cung đường cong C được gọi là lõm trên , a b nếu mọi điểm của cung này đều nằm bên trên tiếp tuyến bất kì của cung.. Hình 2.3 3 Điểm p
Trang 1
Ví dụ Tính lim ln3
(dạng - )
Ta có:
3
x
2
3 ln
1
x
Vậy: lim ln3 lim 1 - ln3 .1
x
x
Ví dụ Tính
0
sin
lim
x
x
x
( dạng 00)
Ta có
sin sin ln
0
lim sin ln
Bây giờ ta đi tính
0
lim sin ln
(dạng 0 )
2 2
2
1
cos sin
sin
x x
0
lim sin ln sin
x
x
Ví dụ Tính
0
ln
lim(1 )
x
x
x
( dạng 1)
Ta có :
0
ln lim(1 )
x
x
(Ở đây ta đã sử dụng công thức 0
0
lim [ ( ) 1] ( ) ( )
lim ( )f x g x x x f x g x
x x e , công thức này không chứng minh)
mà
0
lim ln 0
x x x
0
ln
x
x
Ví dụ Tính
2
lim
x
x
x
( dạng 0)
Ta có
2
0
1
1
x
x
x
Trang 22.3.2 Sự biến thiên của hàm số
Cho hàm số y f x( ) liên tục trên [ , ]a b và có đạo hàm hữu hạn trên ( , )a b , khi đó ta có các kết quả sau :
Nếu f x( ) luôn tăng (giảm) trên [ , ]a b thì f x'( ) 0, x ( , )a b (f x'( ) 0, x ( , )a b ) Nếu f x'( ) 0, x ( , )a b (f x'( ) 0, x ( , )a b ) thì trên [ , ]a b hàm f x( ) đơn điệu tăng (giảm)
Việc chứng minh hai kết quả trên dựa vào định nghĩa hàm số tăng (giảm), định nghĩa đạo hàm và định lí Lagrange Sinh viên tự chứng minh như bài tập
Từ hai kết quả trên ta có nhận xét : Nếu hàm f x( ) có đạo hàm đồng nhất bằng 0 trên [ , ]a b
thì f x( ) là hàm hằng trên [ , ]a b
2.3.3 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Cho hàm số y f x( ) liên tục trên [ , ]a b theo tính chất của hàm số liên tục thì f x( ) đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên [ , ]a b Nếu giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đạt được tại một điểm x0 ( , )a b thì tại x hàm sẽ có cực trị Từ đó ta có phương pháp tìm giá trị lớn 0
nhất và nhỏ nhất của một hàm số y f x( ) liên tục trên [ , ]a b như sau :
Tìm các cực trị của f x( ) trên đoạn [ , ]a b và tính các giá trị cực trị So sánh các giá trị cực trị
với f a f b Số lớn nhất trong các giá trị trên là giá trị lớn nhất của ( ), ( ) f x( ) trên đoạn [ , ]a b ,
số bé nhất là giá trị bé nhất củaf x( ) trên đoạn [ , ]a b
Như vậy để tìm giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất của f x( ) trên đoạn [ , ]a b trước tiên ta phải tìm các cực trị của hàm Định lí Ferma cho phép ta giới hạn việc tìm cực trị tại những điểm 0
x mà f x '( )0 0 hoặc không tồn tại đạo hàm, các điểm x như vậy gọi là các điểm tới 0
hạn
của f x( )
Kết quả sau cho ta điều kiện đủ để một điểm tới hạn là cực trị của hàm số
Định lí 2.1
Giả sử f x( ) liên tục trên một lân cận của x có đạo hàm trong lân cận đó (có thể trừ 0 x ) và 0
0
x là điểm tới hạn của f x( ) Khi đó :
i) Nếu f x'( ) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x thì 0 f x( ) đạt cực tiểu tại x 0
ii) Nếu f x'( ) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x thì 0 f x( ) đạt cực đại tại x 0 iii) Nếu f x'( ) không đổi dấu khi x đi qua x thì 0 f x( ) không đạt cực trị tại x 0
Ví dụ Tìm cực trị của hàm số y f x( )(x1)3x2
Ta có :
Miền xác định của hàm số là R
Bảng xét dấu của đạo hàm :
3
5 - 2 '
3
x y
x
, với các điểm tới hạn là : 2
0, 5
x x
Ta có hàm số đạt cực đại x và đạt cực tiểu tại 0
2 5
x
Định lí
Trang 3Cho hàm số y f x( ) liên tục trên [ , ]a b và khả vi liên tục đến cấp hai trên ( , )a b , khi đó:
i) Nếu tại x0 ( , ), '( )a b f x0 và 0 f x ''( )0 0 thì f x( ) đạt cực đại tại x 0
ii) Nếu tại x0 ( , ), '( )a b f x0 và 0 f x ''( )0 0 thì f x( ) đạt cực tiểu tại x 0
Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x( ) 3x(1x)2 trên [-1,1]
Ta có
2 3
x
, f x'( ) không xác định tại
x x
Như vậy trên [-1,1] f x có ba điểm tới hạn và ( )
3
3
( ) , (0) 0, (1) 0, ( 1) 4
f f f f so sánh các giá trị ta có f x( ) đạt giá trị
lớn nhất là
34
3 tại
1 3
x , đạt giá trị nhỏ nhất 34 tại x 1
2.3.4 Tính lồi, lõm và điểm uốn của đường cong
Giả sử hàm f x( ) khả vi trên khoảng ( , )a b và có đồ thị trên ( , )a b
là cung đường cong ( )C
1) Cung đường cong ( )C được gọi là lồi trên ( , )a b nếu mọi điểm
của cung này đều nằm bên dưới tiếp tuyến bất kì của cung
Hình 2.2
2) Cung đường cong ( )C được gọi là lõm trên ( , )a b nếu mọi
điểm của cung này đều nằm bên trên tiếp tuyến bất kì của
cung Hình 2.3
3) Điểm phân chia giữa cung lồi và cung lõm kề nhau của một
đường cong được gọi là điểm uốn của đường cong đó
Để xét tính lồi , lõm của đường cong ta có định lí sau:
Định lí
Giả sử hàm f x( ) khả vi đến cấp hai trên khoảng ( , )a b Khi đó
i) Nếu f x''( ) 0, x ( , )a b thì cung đường cong f x( ) lõm trên
khoảng đó
ii) Nếu f x''( ) 0, x ( , )a b thì cung đường cong f x( ) lồi trên
khoảng đó
Từ định lí 2.3 ta suy ra hệ quả sau đây :
Hệ quả
Giả sử f x( ) liên tục tại x khả vi đến cấp hai tại một lân cận của 0 x ( có thể trừ tại 0 x ) và 0
''( )
f x đổi dấu khi x đi qua x thì điểm 0 ( , ( ))x f x0 0 là điểm uốn của đường cong f x( )
Ví dụ Xét tính lồi lõm và điểm uốn của đường cong y ex2
Ta có
2
2 2
'' 0
2
Bảng xét dấu của y''
Hình 2.2
Hình 2.3
Trang 4Như vậy: đường cong lồi trên khoảng 2 2
2 2
2
và 2
2 Các điểm uốn là : 2 2
2.3.5 Tiệm cận của hàm số
1) Đồ thị của hàm số f x( ) gọi là có nhánh vô cực nếu
0
lim ( )
x x f x
Trong trường hợp đó đường thẳng d được gọi là đường tiệm cận
của đường cong ( )C của hàm f x( ) nếu khoảng cách từ điểm
( , ) ( )
2) Các loại tiệm cận
Nếu lim ( ) (lim ( ) ); lim ( ) )
x a f x x af x x af x
thì đường thẳng x a là tiệm cận đứng của ( )C
Nếu lim ( )
thì đường thẳng y b là tiệm cận ngang của ( )C
Nếu lim ( ) ( ) 0
thì y ax b là tiệm cận xiên của ( )C , trong trường hợp này
( ) lim ; lim ( )
f x
x
Ví dụ
( )
1
x
y f x
x
có tiệm cận đứng x , tiệm cận ngang 1 y 2 (2) Đường cong
3
2
x
x
Ta có :
3 2
lim
2
x
x x
: đường cong có tiệm cận đứng x 2 3
lim
2
x
x x
: đường cong không có tiệm cận ngang
3
1
3
2
x
a
Vậy y x 1 là một tiệm cận xiên của đường cong khi x
3
2
3
2
2
x
a
x
x
Vậy y x 1 là tiệm cận xiên thứ hai của đường cong khi x
Hình 2.4
Trang 5Ví dụ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
3 2 4
x y x
Ta có : TXD R\ 0
3 2 0
4 lim
x
x
x
: đường cong có tiệm cận đứng x 0 3
2
4 lim
x
x
x
: đường cong không có tiệm cận ngang
3 3 3 2
4
a
x
x
đường cong có tiệm cận xiên y x
3
8
x
4
24
y
x
: đường cong luôn lõm
Ta có bảng biến thiên
Hàm số đạt cực tiểu tại x và 2 ymin 3
Giao điểm của đồ thi với trục hoành (34, 0)
Vẽ đồ thị
BÀI TẬP CHƯƠNG II Đạo hàm
Câu 1 Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y sin2x
b)y cos( x2 3 ) x
c) y ln( x2 3 ) x
d)y x2 x 1 tại x 2 ; ds 5 7
14 e) y es in x
f) y xx
g) yx sin x
Câu 2
a) Cho
2
x x
f x
Tính f '(1) ?;ds 2
