bai giang toan a1 dai hoc cong nghiep thuc pham_2 pptx

Theo định nghĩa ta thấy rằng đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng, đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.. Các hàm số sơ cấp gồm hàm luỹ thừa, hàm mũ, hàm loga

Theo định nghĩa ta thấy rằng đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng, đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng

Ví dụ Các hàm y  x , y x43x21 là các hàm số chẵn, hàm số y x y3, sinx

là các hàm số lẻ, y 3x5 không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ

4) Hàm số tuần hoàn

Cho hàm số y  f x( )xác định trên miền D Hàm f x( ) được gọi là tuần hoàn nếu có số

0

T  sao cho x D  x T D vàf x( T) f x( ), số T  nhỏ nhất thõa mãn 0

tính chất trên gọi là chu kì của hàm số f

Ví dụ Hàm số y sinx là hàm số tuần với chu kì 2

1.2.3 Hàm số hợp, hàm số ngược

1) Cho hai hàm số f và g, ánh xạ hợp g f0 của f và g cũng là một hàm số và gọi là hàm số hợp của f và g

2) Hàm số f là một song ánh thì ánh xạ ngược f1

được gọi là hàm số ngược của hàm f

Ta có x f1( )y  y f x( )

Để thuận tiện hàm ngược của hàm y  f x( ) được viết lại y  f1( )x Đồ thị hai hàm số ( )

y  f x và y  f1( )x đối xứng nhau qua đường thẳng y  x

Ví dụ Cho y f x( )3x 2,y g x( )cosx Khi đó:

1

( ) [ ( )] cos( ( )) cos(2 3)

2 ( )

3

o

x

y f x



1.2.4 Các hàm số sơ cấp cơ bản, hàm sơ cấp

Các hàm số sơ cấp gồm hàm luỹ thừa, hàm mũ, hàm logarit, các hàm lượng giác, các hàm lượng giác ngược và các hàm hyperbolic

Các hàm lượng giác ngược gồm:

1) Hàm y arcsinx là hàm số ngược của hàm số y sinx

sin arcsin

, , 1,1

2 2

y x

y   x





Do đó hàm y = arcsinx có

MXD: D = [–1, 1]

y

MGT: ,

2 2

 

 

Hàm y arcsinx là hàm tăng và

arcsin   x arcsin ,x x  [ 1,1] Đồ thị của hàm xem hình 1.2

2) Hàm y arccosx là hàm số ngược của hàm số y cosx

cos arccos( ) 1 1

0

y 



 











Do đó hàm y = arccosx có:

MXD: D = [–1, 1]

MGT: [0, ], là hàm giảm và

arccos(  x)  arccos( ),x   x [ 1,1], đồ thị của hàm xem hình 1.3

3) Hàm y arctgx

y arctgx là hàm số ngược của hàm số y tgx

x tgy

y

















MXD: D = R

2 2

 



  , là 1 hàm tăng và arctg x(- )-arctgx x, R

Đồ thị xem hình 1.4

4) Hàm y arccotgx

Hàm y arccotgx là hàm số ngược của hàm số

cot

y  gx

cot cot

0

x gy

y arc gx x R

y 



 











MXD: D R

MGT: (0, ), là hàm giảm và,

cot (- ) - cot ,

arc g x  arc gx  x R

Hình 1.2

Hình 1.3

Hình 1.4

Hình 1.5

Đồ thị xem hình 1.5

Hàm số được tạo thành bởi các hàm số sơ cấp cơ bản liên kết với nhau bằng các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, phép hợp nối được gọi là hàm số sơ cấp

( ) arcsin

1

x

y f x

x

 là 1 hàm số sơ cấp

Hàm

( )

y f x





không phải là hàm số sơ cấp vì nó không liên kết hai hàm y1  x 1 và y2   x 1 bởi các phép tính hàm số

1.3 Giới hạn hàm số

1.3.1 Dãy số và giới hạn dãy số

1) Một dãy số thực (dãy số) là một ánh xạ từ tập các số tự nhiên  đến tập các số thực

R n x R Ký hiệu dãy số là ( ),x n n 1, 2 , x n gọi là số hạng tổng quát của dãy hay

là số hạng thứ n của dãy

Ví dụ 1 ( )x n với 1

n

x n

 , khi đó:

n

2) Giới hạn của dãy số

Dãy (xn) được gọi có giới hạn là a nếu:

Khi đó ta cũng nói dãy ( )x n hội tụ về a, kí hiệulim n

  hoặc x n  , n   , nếu a

dãy ( )x n không hội tụ thì ta nói dãy ( )x n phân kỳ

Định lí 1.1 Nếu dãy ( )x n hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất

Chứng minh Giả sử x n  và a x n b a,  khi b n  , chọn 0

2

a b

   theo định nghĩa về giới hạn của dãy tồn tại

01, 02 : 01

2

n

2

n

0 max( 01, 02)

n  n n , với nn0 ta có:

a b

a b x  a x     b    

suy ra

2

a b

a b  Điều này vô lí Vậy a  b

Định lí 1.2 Cho ba dãy ( ), ( ), ( )x n y n z có n x n y n z n, n N và lim n lim n

thì lim n

Chứng minh Vì lim n lim n

    nên

0



 

1.3.2 Giới hạn hàm số

Ta có các định nghĩa

1) Cho x0 R ,  -lân cận của x là khoảng số thực có dạng 0 (x0,x0 ),  0 2) Cho hàm số f x( ) xác định trong một lân cận của x (có thể trừ tại 0 x ) Số L được gọi là 0

giới hạn của hàm số f x( ) khi x dần đến x nếu: 0

0

0, 0, x D: (0 x x f x( ) L )

Kí hiệu

0

lim ( )

x x f x L

  hay ( )Lkhi x x0 Giới hạn của hàm số f x( ) khi x dần đến x còn có thể định nghĩa thông qua giới hạn của 0

dãy số như sau:

 

3) Giới hạn bên trái

Cho hàm số f x( ) xác định trong khoảng ( , ] x0 (có thể trừ tại x ) Số 0 L1 được gọi là giới hạn trái của hàm số f x( ) khi x dần đến x (0 x ( , ] x0 ) nếu:

0, 0, x ( , ] : (0x x x f x( ) L )

Kí hiệu

lim ( )

x xf x L

  hay f x( )L1khi x x0 4) Giới hạn bên phải

Cho hàm số f x( ) xác định trong khoảng [ , )x  (có thể trừ tại 0 x ) Số 0 L2 được gọi là giới hạn phải của hàm số f x( ) khi x dần đến x (0 x [ , )x 0 ) nếu:

0, 0, x [ , ) : (0x x x f x( ) L )

Kí hiệu

lim ( )

x xf x L

  hay f x( )L2 khi x x0

Định lí 1.3

Ví dụ 2 Chứng minh

1

lim(2 3) 5

2

Chọn =

2





1

lim(2 3) 5



 

Ví dụ 3 Chứng minh

2 2

2

x

x x









Ta có

x

4

Vậy

2

16 2

x x



5) Giới hạn vô tận

Cho hàm số f x( ) xác định trong một lân cận của x trừ tại 0 x0

Hàm số f x( ) có giới hạn là  khi x dần đến x nếu với mọi 0 M  lớn tùy ý tồn tại 0

0

0, 0 x x f x( ) M

0

lim ( )

x x f x

Hàm số f x( )có giới hạn là  khi x dần đến x nếu với mọi 0 M  lớn tùy ý tồn tại 0

0

0, 0 x x f x( ) M

0

lim ( )

x x f x

6) Giới hạn ở vô cực

Hàm số f x( ) được gọi là có giới hạn L khi x dần đến  nếu với mọi   tùy ý tồn 0 tại

M   x M  f x L  Kí hiệu  lim ( )

Hàm số f x( ) được gọi là có giới hạn L khi x dần đến  nếu với mọi   tùy ý tồn 0 tại M 0:  x M  f x( )L  Kí hiệu lim ( )

Ví dụ 4 Chứng minh  1





