bai giang toan a1 dai hoc cong nghiep thuc pham_3 ppt

Những kết quả đạt được vẫn đúng trong một quá trình khác 1 Vô cùng bé VCB... 4 Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao.

Khi 1





Định lí 1.4 Cho hàm số f x u x v x xác định trong một lân cận của ( ), ( ), ( ) x có thể trừ tại 0

0

x và ( ) u x  f x( )v x( ) với mọi x thuộc lân cận,

lim ( ) lim ( )

x x u x x x v x L

0

lim ( )

Vidụ 5 Chứng minh

0

sin

x

x x

Thật vậy :0

2

   ta có bất đẳng thức cosx sinx 1

x

0

lim cos 1

  suy ra

0

sin

x

x x

1.3.3 Một số tính chất

1) Nếu

0

lim ( )

x x f x L

  thì giới hạn đó là duy nhất

2)

0

lim

x x C C

  (C : hằng số)

3) Nếuf x( )g x( ), thuộc một lân cận nào đó của x x hoặc ở vô cực thì 0

lim ( ) lim ( )

x x f x x x g x

   (nếu các giới hạn này tồn tại)

4) Nếu f x( )g x( )h x( ), thuộc một lân cận nào đó của x x hoặc ở vô cực và 0

x x f x L x x h x

0

lim ( )

5) Giả sử các hàm số f x g x có giới hạn khi ( ), ( ) x x0 khi đó ta có các kết quả sau :

lim( ( ) ( )) lim ( ) lim ( )

x x f x g x x x f x x x g x

lim ( ) lim ( )

x x o kf x k x x o f x

lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )

0 ,

lim ( ) ( )

( ) lim ( )

x x

x x

f x





1.3.4 Vô cùng bé, vô cùng lớn

Giả sử ta xét các hàm trong cùng một quá trình, chẳng hạn khi x x o (Những kết quả đạt được vẫn đúng trong một quá trình khác)

1) Vô cùng bé (VCB)

Hàm ( )x được gọi là một VCB trong một quá trình nào đó nếu

0

lim ( ) 0

x x  x

Ví dụ 6 sin , x tgx , 1 cos  x là những VCB khi x 0

2 1

2

x x



 là một VCB khi x  

2) So sánh hai VCB

Cho ( )x và ( )x là hai VCB trong một quá trình nào đó (chẳng hạn khi x x o) Khi đó:

(i) Nếu ( )

( )

x x



  thì ta nói ( )x là VCB bậc cao hơn VCB ( )x trong quá trình đó (( )x dần tới 0 nhanh hơn ( )x )

(ii) Nếu lim ( ) 0

( )

x



   thì ta nói ( )x và ( )x là hai VCB ngang cấp trong quá trình

đó (( )x và ( )x dần tới 0 ngang nhau) Đặc biệt khi L  ta nói 1 ( )x và ( )x là hai VCB tương đương, kí hiệu là ( )x ( )x

3) Một số VCB tương đương cơ bản khi x  0

sinx x ; tgx x ; arcsinx x ; arctgx x;

2 ( )

1 cos

2

ax ax

log (1 )

ln

a   a ; 1 x 1 x



ln(1x)x ; a x - 1xln ; a e x - 1x ;

1



Ví dụ 7 So sánh cấp của các VCB:

( )x sinx tgx; ( )x 1 cosx

Ta có:

1 sin 1

x









Do đó, ( )x là VCB cấp cao hơn ( )x

Ví dụ 8 So sánh cấp của các VCB: ( )x  1 cos , ( )x  x x x2,  0







Do đó, ( )x và ( )x là hai VCB cùng cấp

4) Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao

Định lí 1.5

i) Nếu ( )x 1( )x và ( )x 1( )x thì trong cùng một quá trình thì trong quá trình ấy

1 1

ii) Cho ( )x và ( )x là hai VCB trong một quá trình và ( )x có cấp cao hơn ( )x Khi đó ( )x ( )x ( )x

Từ hai kết quả trên ta suy ra quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao:

Giả sử (( )x và ( )x là hai VCB trong một quá trình nào đó, ( )x và ( )x đều là tổng

của nhiều VCB Khi đó giới hạn của tỉ số ( )

( )

x x



 bằng giới hạn của tỉ số hai VCB cấp thấp

nhất trong ( )x và ( )x

Ví dụ 9 Tìm các giới hạn sau:

(1)

0

3 sin 4 sin lim

5

x



Ta có

(2)

3 0

lim

x

x x



 

  Khi x  ta có 0

1

2

1

3

Suy ra

3

x x

 



 

Vậy

3 0

lim

x

x x



 



 

(3)

0

sin lim

x

x





Khi x 0, ta có:

sin

2 khi 0

x

0

sin

x

x





 (4) Tính

3 3

0

sin sin lim

x

x



Ta có

2

3

1

sin

x x

x



Do đó 3 1 3 3 3 3

sin sin

tgx x x  x x  x khi x  0

Suy ra

3 3

3

2

x

  khi x  0

Vậy

0

3 3

lim

2

x x

x



5) Vô cùng lớn (VCL)

Hàm f x( ) được gọi là một VCL trong một quá trình nào đó nếu

0

lim ( )

x x f x

Ví dụ 10

(1) 1 1

, , cot

(2) x2, 2x 1 là những VCL khi x  

6) So sánh hai VCL

Cho f x( ) và ( )là hai VCL trong một quá trình nào đó (chẳng hạn khi x x o) Khi đó:

(i) Nếu ( )

lim ( )

f x

g x   thì ta nói f x( ) là VCL cấp (bậc) cao hơn ( ) (theo nghĩa f x( )

tiến tới  nhanh hơn ( )

(ii) Nếu lim ( ) 0

( )

g x   thì ta nói f x( ) và ( ) là hai VCL ngang cấp trong quá trình

đó (( )x và ( )x dần tới  ngang nhau) Đặc biệt khi L  ta nói 1 ( )x và ( )x là hai VCL tương đương, kí hiệu là ( )x ( )x

Ví dụ 11

(1) So sánh cấp của các VCL f x( )x32, ( )g x  x x;  

Ta có

3

2

( )

x x





Do đó f (x) là một VCL có cấp cao hơn g(x)

(2) So sánh cấp của các VCL: f x( ) 3x6 2x và 1 g x( ) 42x8 4x22x  1

khi x  

Ta có:

6 3

4



4 4

1

1 lim

2

x



Do đó, f x( ) 3x6 2x và 1 g x( ) 42x8 4x22x  là hai VCL cùng cấp 1

7) Qui tắc ngắt bỏ VCL cấp thấp

Định lí 1.6 Cho f x( ) và ( )là hai VCL trong một quá trình nào đó, (chẳng hạn x  )

và f x( ) f x1( ), g x( )g x1( ) Khi đó trong cùng một quá trình ấy

1 1

Giả sử f x( ) và ( )là hai VCL trong quá trình nào đó, f x( ) và ( )đều là tổng của nhiều

VCL Khi đó giới hạn của tỉ số ( )

( )

f x

g x bằng giới hạn của tỉ số hai VCL cấp cao nhất trong

( )

Ví dụ 12



1.4 Tính liên tục của hàm số

1.4.1 Các định nghĩa

1) Hàm số y  f x( ) được gọi là liên tục tại x o D nếu 0

0

lim ( ) ( )

x x f x f x

  Khi đó x gọi là 0

điểm liên tục của hàm f x( )

2) Hàm số y  f x( ) được gọi là liên tục trên ( , )a b nếu f x( ) liên tục tại mọi điểm thuộc

( , )a b

3) Hàm số y  f x( ) được gọi là liên tục bên trái (bên phải) x0 D nếu 0

0

lim ( ) ( )

x xf x f x

0 0

lim ( ) ( )

x x f x f x

4) f x( )liên tục trên [ , ]a b nếu f x( )liên tục trên ( , )a b và liên tục bên phải tại a, bên trái tại

b

Nhận xét: f x( ) liên tục tại x0 D  liên tục bên phải và bên trái x0 Nếu hàm số sơ cấp

( )

f x có miền xác định là D thì f x( ) liên tục trên D Nếu f x( ) liên tục trên [ , ]a b thì đồ thị của