PHƯƠNG TRÌNH HỆ PT TOÁN THCS HE PT DAI SO

Hệ phương trình vô nghiệm.. Hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt... a.Định nghĩa: Đó là hệ chứa hai ẩn x, y mà khi ta thay đổi vai trò x, y cho nhau thì hệ phương trình không thay đổi

Chuyên đề 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

TÓM TẮT GIÁO KHOA I.Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

1.Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

a.Dạng: 1 1 1

a x by c

a x b y c



 (I)

Cách giải đã biết: Phép thế , phép cộng đại số, …

b.Giải và biện luận hệ phương trình:

Qui trình giải và biện luận Bước 1: Tính các định thức

1 2 2 1

2 2

= = - (gọi là định thức của hệ)

1 2 2 1

2 2

x

= = - (gọi là định thức của x)

1 2 2 1

2 2

y

= = - (gọi là định thức của y)

Bước 2: Biện luận

g Nếu D¹ 0 thì hệ có nghiêm duy nhất

x

y

D x D D y D

ìïï = ïïï íï

ï = ïïïî

g Nếu D= và 0 D x ¹ 0 hoặc D y ¹ 0 thì hệ vô nghiệm

g Nếu D=D x=D y = thì hệ có vô số nghiêm hoặc vô nghiệm (nên 0 thay giá tri cụ thể của tham số vào hệ phương trình vào hệ rồi kết luận)

Ý nghĩa hình học: Giả sử (d1) là đường thẳng a1x + b1y = c1

(d2) là đường thẳng a2x + b2y = c2

Khi đó :

1 Hệ (I) có nghiệm duy nhất ⇔ (d1) và (d2) cắt nhau

2 Hệ (I) vô nghiệm ⇔ (d1) và (d2) song song với nhau

2 Hệ (I) vô số nghiệm ⇔ (d1) và (d2) trùng nhau

Áp dụng:

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: 5 2 9

ì - =-ïï

íï + = ïî

Ví dụ 2: Giải và biên luận hệ phương trình: 1

2

ì + = + ïï

íï + = ïî

Ví dụ 4: Tìm m để hệ phương trình x my 1

mx y 3

 − =

 + =



có nghiệm (x; y) thoả mãn điều kiện x.y < 0

Ví dụ 5: Cho hệ phương trình: 2 3

1

ïï

íï + = ïî

Xác dịnh tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả x > 1 và y > 0

ĐS (− 2 m 0)< <

Ví dụ 6: Với giá trị nguyên nào của tham số m hệ phương trình + = +

 + =



duy nhất (x; y) với x, y là các số nguyên (m= − ∨ = −1 m 3)

Ví dụ 7: Cho hệ phương trình:  + = +



2 2

x m y m 1

m x y 3 m Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiêm duy nhất (x; y) sao cho

= +

S x y đạt giá trị lớn nhất

Ví dụ 8: Giải các hệ phương trình: a)

ì + + = ïï

ïï + + = íï

ï + + = ïïî

b)

2 2 5

ì - + =-ïï

ïï - + + = íï

ï + - =

ïïî

I.Hệ phương trình bậc hai hai ẩn

1.Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai hai ẩn :

Ví dụ1: Giải các hệ phương trình

a) 2 2 2 5

ì + = ïï

íï + - =

ïî b)

 − =

x 2y 1

x 14y 1 4xy

Ví dụ2 : Cho hệ phương trình

2 2 1

ì + = ïï

íï - = ïî

Xác định các giá trị của m để:

a Hệ phương trình vô nghiệm (m > 2)

b Hệ phương trình có nghiêm duy nhất.(m=± 2)

c Hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt (m < 2)

(Chú ý: Giải bằng pp đồ thị ( ) :C x2+y2 = đường tròn1

( ) : d x- y = đường thẳng) m

2.Hệ phương trình đối xứng:

1.Hệ phương trình đối xứng loại I.

a.Định nghĩa: Đó là hệ chứa hai ẩn x, y mà khi ta thay đổi vai trò x, y cho

nhau thì hệ phương trình không thay đổi

b.Cách giải:

Bước1: Đặt x + = và xy P y S = với S³ 4P ta đưa hệ về hệ mới chứa hai ẩn S,P

Bước 2: Giả hệ mới tìm S, P Chọn S, P thoả mãn S³ 4P

Bước 3: Với S, P tìm được thì x, y là nghiệm của phương trình

X2- SX + = (theo định lý Viet đảo)P 0

Chú ý: Do tính đối xứng, cho nên nếu ( , )x y là nghiêm của hệ thì 0 0 ( , )y x cũng là nghiệm 0 0

của hệ

Áp dụng:

Ví dụ1: Giải các hệ phương trình

1)

2 2 4

2

ïï

íï + + =

ïî 2)

 + + = −



 2 2

7

3 3 16

x y xy

x y x y 3) 2 2

11 30

ì + + = ïï

íï + =

ïî 4)

3( ) 2 9 0

ìï + =

ïí

30 35

ìï + = ïí

ï + =

ïî 6) 2 2

6 20

ïí

ïî

7) 4

4

ìï + =

ïïí

ï + - =

ïïî 8)

2

ìï + = ïí

ï + =

ïî 9) 2 2

1 1

5

1 1

9

ìïï + + + = ïïï

íï

ïï ïî 10) 30

35

ïïí

ïïî

1) (0;2); (2;0) 2) (2; 3),( 3;2),(1− − + 10;1− 10),(1− 10;1+ 10)

3) (1;5),(5;1),(2;3),(3;2) 4) (3; 2),( 2;3),( 2− − − + 10; 2− − 10),( 2− − 10; 2− + 10)

5) (2;3);(3;2) 6) (1;4),(4;1) 7) (4;4) 8) (1− 2;1+ 2),(1+ 2;1− 2)

9) 3− 5 3+ 5 3− 5 3+ 5

(1; ),(1; ),( ;1),( ;1)

2 2 2 2 10) (9;4),(4;9)

Ví dụ2: Với giá trị nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm: 1

1 3

ìï + = ïïí

-ïïî

Ví dụ3: Với giá trị nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm: x 1 2y 1 m

x y m 4m 6







ĐS:

6

3

2 2

m

m

é ³

ê

ê

ê £ £

ê

2.Hệ phương trình đối xứng loại II.

a.Định nghĩa: Đó là hệ chứa hai ẩn x, y mà khi ta thay đổi vai trò x, y cho nhau thì phương

trình này trở thành phương trình kia của hệ

b.Cách giải:

gTrừ với vế hai phương trình và biến đổi về dạng phương trình tích số.

g Kết hợp một phương trình tích số với một phương trình của hệ để suy ra nghiệm của hệ

Áp dụng:

Ví dụ1: Giải các hệ phương trình

1)





 2)

2 2

ìï + = ïí

ïî 3)







4)

 + =





 + =



2

2

1 3

1 3

x y

x

y x

y

5)

2 2 2 2

2 3

2 3

y y

x x x

y

ï = ïï ïí

ï = ïï ïî

6)

 − =





 − =



y

x 3y 4

x x

y 3x 4

y

Ví dụ2: Cho hệ phương trình

2 2

( 1) ( 1)

ìï + = -ïí

-ïî

a Giải phương trình với m= 1

b Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (m=8)

Ví dụ3:Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất:

7 7

ìï = + -ïí

16)

m>

III Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai:

a.Dạng:







b Cách giải :

Cách1

Bước 1: Khử số hạng tự do để dẫn tới phương trình: Ax2+Bxy Cy+ 2=0

Bước 2: Đặt x= , khi đó:ty

g Xét y= thay vào hệ.0

g Xét Ax2+Bxy Cy+ 2= , nếu có nghiêm 0 t thì thế 0 x=t y0 vào hệ để xét hệ

với một ẩn y

Cách 2

Từ hệ khử số hạng x (hoặc 2 y ) để dẫn tới phương trình khuyết 2 x (hoặc 2 y ) Từ 2

phương trình này tính x(tính y) qua y(qua x) rồi thế vào một trong hai phương trình ban đầu

ta có phương trình trùng phương ẩn y(hoặc y)

Chú ý: Với bài toán chứa tham số ta thưòng lựa chọn cách 2

Áp dụng:

Ví dụ1: Giải các hệ phương trình

1)  + + =





x xy y 2)

ìï + + = ïí

ïî 3)  − =



− =



( ) 2

-Ví dụ2: Cho hệ phương trình

2

2

ìï - = ïí

ïî

a) Giải hệ với m = ĐS(2;1),( 2; 1)14 -

-b) Tìm m để hệ có nghiệm ĐS ("m)

IV.Các hệ phương trình khác:

Ta có thể sử dung các phương pháp sau:

a.Đặt ẩn phụ:

Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau:

1) 2 2 3

6

ì - +

=-ïï

íï + - + + =

ïî 2)

( 1) ( 1) 36

ìï + - - = ïí

3)

2 2

2 2

ïï

ïî 4)

 − + − =







5 6



2 2

x 1 y(y x) 4y (x 1)(y x 2) y 6) 2x y2 x y 4

x y 128





+ =

 ĐS (8;8),(8; 8)

b.Sử dụng phép cộng và phép thế:

Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau:

a)  + − =



2 2

2 2

x y 10x 0

x y 4x 2y 20 0 b)

2 2

2 2

2 ( ) 3 ( ) 10

ïï

íï + =

ïî ĐS (1;2),(2;1)

c.Biến đổi về tích số:

Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau:

1)

2 2 3( )

ì + = +

ïï

íï + = +

ïî 2)

2 2

2

ïï

íï + = + +

ïî

3)

3

ìïï =

-ïïí

ïï = +

ïïî

V Hệ phương trình, hệ bất phương trình chứa giá tri tuyệt đối:

Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau:

1)

2

2

1

ìï - + =

ïí

ï + =

ïî 2)

ïï

íï - - =

2 2 3 2 0

2

ïï

íï + = ïî

4)

2

2

2

1 10

x

ìï - ³

ïï

ïï + <

íï

ïï - >

-ïïî

( 2< £ )x 9

Ví dụ 2: Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:

2 2 0

ïï

íï - + £

ïî ĐS:

1 5

Ví dụ 3: Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:

2

3 4 0

ì - - £ ïï

ïî ĐS: 16- £ m£1

Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của hệ bất phương trình:

2 1 4 0

ìï + - - ³ ïí

ï - + + - £

ïî ĐS: (-1;2), (-1;3), (-2;2)

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:

2 2 1

ì + = ïï

íï + + = -ïî

(Áp dụng tính chất a b a b+ = + ⇔ab ≥0; nghiệm của hệ thuộc đường tròn x2+y2= )1

Ví dụ 6: Giải hệ phương trình:

2 2 82

9

ìïï + = ïï

ïí

ïï + + - + = + + ïï

ïî ( Áp dụng tính chất a b+ = + ⇔a b ab ≥0 )

VI.Hệ phương trình, hệ bất phương trình chứa căn.

Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau:

a)

2 2 2 8 2

4

ïïí

ïïî ( Đặt ẩn phụ; x = y =4) b) 2 2 4

128

ìï + + - = ïí

ï + =

ïî ( Đặt ẩn phụ ; (8; 8), (8; -8) c)

3 3

ìïï + = ïï

íï

ïï - + = ïî

{ Đặt ẩn phụ ; (2;1),( 3; 3),( 1; 2),( ;3)3

d) 4 7

ìï - <

ïí

ï + + - >

7

4

4£ < )x

Ví dụ 2: Cho hệ PT

1 1 3

ìï + + + = ïïí

ïïî

a) Giải hệ khi m = 6 (Đặt ẩn phụ; x = 0 ; y = 3)

b) Tìm m để hệ có nghiệm (Đặt ẩn phụ; 0 27

4

m

£ £ )